专题09 立体几何中的空间角与距离问题常考9题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09 立体几何中的空间角与距离问题 题型归纳·内容导航 题型1求异面直线所成角（重点） 题型6已知二面角求其它值（重点） 题型2已知异面直线所成角求其它量 题型7求点到面的距离（重点） 题型3求线面角（常考点） 题型8求直线到平面的距离 题型4已知线面角求其它量（重点） 题型9求两平面间的距离 题型5求二面角（常考点） 题型通关·靶向提分 题型一求异面直线所成角（共7小题） 1.(25-26高二上北京期中)已知在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且 AB=AC=2AD=2,点E为BC中点，则直线AE与BD所成的角的余弦值为() A.V10 B.V5 C.V10 D.2 J 5 2.(25-26高一下·全国课后作业)已知正三棱柱ABC-A,B,C,的侧棱长与底面边长相等，则 AB,与侧面ACC,A,所成角的正弦值等于() A.6 B.V10 C.2 D. 3 4 4 2 3.(25-26高一上河北唐山月考)在直三棱柱ABC-A,B,C,中， AB=AC=2,AA=3,∠BAC=60°，则异面直线A,B与AC,所成角的余弦值为() A.3 B. 3 D.2 2 4.(25-26高二上·广东汕尾期末)在棱长为2的正四面体ABCD中，M,N分别为BC,AD 的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为() A.5 3 B D.22 3 5.(2026山东潍坊模拟预测)如图，在棱长均相等的正三棱柱中，P,Q为三棱柱的顶点， 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M,N为所在棱的中点，设MN与PQ所成的角为a,则cosa=() A. 8.② 4 c 6.(25-26高二上江西宜春期末)在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，A4,=4AB,则异面直 线A,B与AD所成角的余弦值为 D A B : 7.(25-26高一下.全国课后作业)在空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3,E,F 分别是另外两条边4D,BC上的点，且5C=EF=5,求B和CD所成角的了 大小 E B C 题型二已知异面直线所成角求其它量（共4小题） 8.(25-26高二上河北月考)在空间四边形ABCD中，AD=4,BC=6,点M,N分别是 线段AB,CD的中点，若异面直线AD与BC所成角为60°，则线段MN的长度为() A.√7 B.√19 C.27 D.√7或√19 9.(24-25高二上重庆长寿，月考)如图所示，两条异面直线☑，b所成的角为60°，在直线 a,b上分别取点A,E和点A,F,使AA'⊥a,且AA'⊥b.己知A'E=3,AF=4,EF=7,则线段 2/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AA'的长为() A.25 B.4 C.6或2√3 D.4或2√3 10.(多选)(24-25高一下江西南昌·期末)如图，四面体ABCD中，AC=3,BD=2, M,N分别为AB,CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为6O,则MN的长为() M A.V2 B.3 c.© D. 2 2 2 2 11.(24-25高二上·上海.期中)在空间四边形ABCD中，对角线AC,BD的长分别为6和8， 异面直线AC与BD所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 题型三求线面角（共8小题） 12.(25-26高二上陕西渭南·期末)在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为、√5， 则侧棱PA[与底面ABCD所成角的正弦值为() A. B.3 C.v6 D.V6 2 3 3 6 13.(25-26高三上江苏淮安·月考)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=1,AA,=V3,点D是 侧棱BB,的中点，则直线C,D与平面ABC所成角的余弦值为() A.3 B.27 D.27 c. 7 7 7 14.(25-26高二上辽宁开学考试)如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象 出四边形ABCD,其中∠BAD=60°，AB=1,AB⊥BD,BC⊥CD,BC=CD.现将 3/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BCD沿着BD折起，连接AC,得到三棱锥C-ABD,取AD,BD的中点分别为E,F,连 接CE,CF,EF.若LCFE=30°，则直线AC与平面CEF所成的角为() D E A.30° B.45° C.60° D.750 15.(多选)(25-26高三上陕西咸阳·期末)在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别是 AB,BC的中点，则() A.EF⊥BD B.EF/I平面BA,C C.直线EF与AD所成的角为45° D.直线EF与平面ABC所成的角为60 16.(25-26高二上北京期末)在正四棱锥P-ABCD中，0为顶点P在底面内的射影，Q为 侧棱PD的中点，且PO=4,AB=2V2,则直线BD与平面OAC所成角的正弦值为 17.(25-26高二上四川成都期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，点E、F分 别为棱BC、BB,的中点，点G为线段AD上的一个动点，则VA-E6=；直线 FG与平面ADD,A,所成角为O,则sin0的最大值为 D A G 、 D A B 18.(24-25高一下.黑龙江双鸭山期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, E为PD的中点，AD∥BC,∠BAD=90°，PA=AB=BC=1,AD=2. 4/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)求证：DC⊥平面PAC; (2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值. 19.(24-25高一下.重庆渝北期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为AA的中点. D B D B (1)若点F满足2FD=D,D,求证：E,B,F,C,四点共面： (2)求直线AB与平面EBC所成角的正弦值. 题型四已知线面角求其它值（共5小题） 20.(25-26高三上陕西·月考)已知正三棱锥A-BCD的底面△BCD的边长为6，直线AB与 底面BCD所成角的余弦值为V5,则正三棱锥A-BCD的体积为《) A.27√2 B.18√2 c.122 D.9√2 21.(24-25高一下.重庆期末)印章乃中华文明独特信物，多以铜玉为材，形制方圆各异.自 秦汉玺印至明清篆刻，方寸之间承载三千年文脉，既是实用之器，更成艺术瑰宝如图是一 个金属印章，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体己 知正四棱柱和正四棱锥的高相等，均为4，正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为25，则 5 该几何体的体积是() 5/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.32 B.64 C.64 D.128 3 3 22.(24-25高一下.江苏镇江期末)已知圆台上、下底面半径分别为1、2，若其母线与底面 所成角为60，则该圆台的表面积为() A.6π B.8π C.9π D.11π 23.(25-26高三上河南·月考)在三棱锥P-ABC中，AC1平面 P1B,B=1L,PC=8,∠PBA=,直线PC与平面ABC所成的角为写则三棱锥P-A8C的 6 体积为() A.115 B.115 C.225 D.22√5 24.(23-24高一下·吉林长春期末)在正三棱台ABC-A,B,C,中，AB=2,AB,=1,侧棱 A4与底面ABC所成角的余弦值为V3 则此棱台的表面积是() A.73 B.5V5 c.93 D.35 2 2 4 4 题型五求二面角（共7小题） 25.(多选)(25-26高一下.全国·课后作业)（多选）从空间中一点P向二面角α-1-B的两 个面a,B分别作垂线PE,PF,E,F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角a-I-B的大小 可能是() A.60 B.120° C.30° D.150 26.(25-26高二上山东淄博期末)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,则平面A,BC与 平面ABC夹角的余弦值为() A.V27 B.② c.2 D.5 7 2 7 5 27.(25-26高二上浙江嘉兴，月考)已知在边长为a的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别 6/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为AB,BC上的动点，且AE=BF.当B,-BEF的体积取最大值时，平面B,EF与平面BEF的 夹角的正切值为() A.2 B.3 c.6 D.2√2 28.(24-25高一下.北京朝阳·月考)祈年殿（图1)是北京市的标志性建筑之一，距今已有 600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19 米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根 约为6米的檐柱，象征十二个时辰己知由一根龙井柱A4,和两根金柱BB,，CC形成的几何 体ABC-A,BC1(图2)中，AB=AC≈8米，∠BAC≈144°，则平面A,B,C与平面ABC所 成角的正切值约为() B B 图1 图2 7 3 7 3 A. B. D. 8sin18 4sin18 8cos18 4cos18° 29.(2026高一.全国.专题练习)已知圆锥的顶点为S,O为底面圆心，母线S4,SB互相垂 直且△SAB的面积为3，直线S4与圆锥底面所成角为云，则二面角S-AB-0的大小为· 6 30.(25-26高一下.全国课后作业)如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD, BD⊥CD. 7/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B-- ------------>0 D (1)求证：平面ABD⊥平面ACD: (2)若AB=2BD,求二面角A-DC-B的正弦值. 31.(25-26高一下浙江·开学考试)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2.过点A作AE⊥PB于E,作AF⊥PC于F,连EF. D B (1)证明：EF⊥PC; (2)求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值. 题型六已知二面角求其它值（共8小题） 32.(25-26高二上北京期中)将边长为1的正方形ABCD,沿对角线AC折成60的二面角， 则此时顶点B到CD的距离是() A.1 B.7 c.10 D. 4 4 2 33.(25-26高二上湖北襄阳期中)如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为边AD的 中点将。BE沿直线BE翻折至648E位里，使得二面角4-BE-C的大小为受则4C= () A D A.2V5 B.3v2 C.4 D.8 34.(25-26高三下江苏泰州开学考试)在三棱锥S-ABC中，若 SA=48=BC=5C=4C=2,二面角S-AC-8为，则三棱锥S-48C外接球的表面积 8/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为() A.14 B.28m c.25m D. 24π 3 4 5 35.(2526商二上：四川南充，月考)如图.已知二面角a-1B平面角的大小为等其棱1 上有A,B两点，AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知AB=1, AC=BD=2,则CD= B D 36.(2025高一.全国.专题练习)如图，已知二面角a-1-B的大小为60°，点A,B分别在平 面，B内，AC⊥1，BD⊥1，垂足分别为C,D.若AC=BD=2,直线AB与平面所成的 角为30°，则线段CD的长为 B 37.(2025高三.全国.专题练习)在四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,BC=√2，AD=√5.沿 直线AC将△ACD折起，形成三棱锥D-ABC,己知二面角B-AC-D的大小为120°，则三 棱锥D-ABC的体积为 38.(25-26高三上.宁夏中卫.开学考试)2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟 空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化 元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的 塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，己知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹 角为45°，则六棱锥的体积为 9/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 39.(25-26高二上广东广州期末)把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为120°的二面角 B-AC-D,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 题型七求点到面的距离（共6小题） 40.(25-26高二上广东广州期末)在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，点A到平面 BD,C的距离为() A.2V5 B.2V3 c.2 D.5 3 41.(25-26高二上广东汕头期中)己知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，则点C到平面 DBC的距离等于() D B A D B A.4V5 B.5 c.4v6 D.6 3 42.(25-26高二上.安徽淮南期末)已知长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=1,直线 BD,与平面ABB,A所成角的正切值为；，则点D到平面ACD,的距离为() A.27 8.f c.25 7 7 D.3 43.(24-25高一下.河南安阳期末)已知等边ABC的边长为1，PC1平面ABC,且 PC=1,则点C到平面PAB的距离为 44.(2026高一.全国.专题练习)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°，D 为BC上一点，且AD L AB,将△BAD沿AD翻折至平面ABD⊥平面ACD,连接BC,则点 10/12 专题09 立体几何中的空间角与距离问题 题型1 求异面直线所成角（重点） 题型6 已知二面角求其它值（重点） 题型2 已知异面直线所成角求其它量 题型7 求点到面的距离（重点） 题型3 求线面角（常考点） 题型8 求直线到平面的距离 题型4 已知线面角求其它量（重点） 题型9 求两平面间的距离 题型5 求二面角（常考点） 题型一 求异面直线所成角（共7小题） 1．（25-26高二上·北京·期中）已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：    补形为正方体，直线与所成的角为， 可求，， 所以， 所以直线与所成的角的余弦值为. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 3．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 4．（25-26高二上·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 6．（25-26高二上·江西宜春·期末）在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】 【详解】连接， 正四棱柱中， 有且，四边形为平行四边形， 则有， 则就是异面直线与所成的角． 设，则， 中，由余弦定理得． 故答案为： 7．（25-26高一下·全国·课后作业）在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 【答案】． 【详解】如图，连接，过点E作的平行线交于点O，连接． ，，． ，． 又，， ，与所成的角即为和所成的角，． ，． 在中，，， ，， 所以和所成的角为． 题型二 已知异面直线所成角求其它量（共4小题） 8．（25-26高二上·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 9．（24-25高二上·重庆长寿·月考）如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 10．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 11．（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【答案】 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 题型三 求线面角（共8小题） 12．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 13．（25-26高三上·江苏淮安·月考）在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即直线C1D与平面所成角. 在正三棱柱中，有平面，即平面， 故即直线C1D与平面所成角. 平面，平面， . 又因为由题可知， 故，则. 故选：D. 14．（25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意易得 又因为且面， 所以平面. 如图过点作的平行线，并与的延长线交于点， 所以平面. 连接，则直线与平面所成的角为． 在中，， 由，，可得. 由，可得. 则，则． 故选：C.    15．（多选）（25-26高三上·陕西咸阳·期末）在正方体中，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与所成的角为45° D．直线与平面所成的角为60° 【答案】ABC 【详解】对于A，因为正方体中，，分别是，的中点， ，，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面， ，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； 对于C，因为， 所以是与所成的角，C正确； 对于D，设与的交点为，    在正方体中，，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 连接，又， 所以即为直线与平面所成的角，，D错误， 故选：ABC. 16．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    17．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 【答案】 / / 【详解】因平面平面，平面，则平面， 则到平面的距离为， 因点、分别为棱、的中点，则， 则， 则； 取线段的中点，易知平面， 则直线与平面所成角， 则， 在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时， 故的最大值为. 故答案为：； 18．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点. (1)若点F满足，求证：四点共面； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）连接，则可得四边形为平行四边形，再结合正方体的性质可得，从而可证得结论； （2）延长交与，连接，过作交与，连接，过作与，连接，则与面所成角就是与面所成角，可得就是与面所成角，在Rt中求解即可. 【详解】（1）连接，由，知，且， 因为为的中点，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为,，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，故四点共面. （2）延长交与，连接，则与面所成角就是与面所成角. 过作交与，连接，过作与，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面 所以就是与面所成角. 令，由，得， 在Rt中，由等面积法可求得， 同理在Rt中，， 在Rt中，， 故直线平面所成角的正弦值为. 题型四 已知线面角求其它值（共5小题） 20．（25-26高三上·陕西·月考）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，作平面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接， 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线与底面所成角的余弦值为，即， 所以， 故, 故选：B 21．（24-25高一下·重庆·期末）印章乃中华文明独特信物，多以铜玉为材，形制方圆各异.自秦汉玺印至明清篆刻，方寸之间承载三千年文脉，既是实用之器，更成艺术瑰宝.如图是一个金属印章，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，均为4，正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为，则该几何体的体积是（    ） A．32 B． C．64 D． 【答案】D 【详解】设正四棱锥的底面边长为，则底面的对角线长为， 由题意正四棱柱和正四棱锥的高为，所以正四棱锥的侧棱长为， 因为正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为，所以，解得， 故该几何体的体积为. 故选：D 22．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取圆台的轴截面，如下图所示： 、为圆台的两条母线，由题意可知，，且，， 延长、交于点，则是边长为的等边三角形， 因为，，故为的中位线，则、分别为、的中点， 故，即圆台的母线长为， 因此，该圆台的表面积为. 故选：D. 23．（25-26高三上·河南·月考）在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作，垂足为，连接，    因为平面，平面，则，， 且，平面，可知平面， 可知直线与平面所成的角为， 且，则， 又因为，则，， 且，可得， 所以三棱锥的体积为. 故选：D. 24．（23-24高一下·吉林长春·期末）在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为．则此棱台的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正三棱台中，令BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 则，由侧棱与底面所成角的余弦值为， 得，则， 而，则， ，，， 正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，于是侧面积为， 所以此棱台的表面积是. 故选：A 题型五 求二面角（共7小题） 25．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内时，如图， 令直线平面，连，因，则， 因此，直线平面，有，则是二面角的平面角， 四边形中，，，则有； 当点P在二面角外时，如图，同理可得是二面角的平面角， 令，在与中，，则， 所以二面角的平面角的大小为或. 故选：AB 26．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 27．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 又，且，所以当时，的体积取最大值， 即为的中点时，的体积取最大值， 取中点，连接，因为，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 则，所以平面与平面的夹角的正切值为，    故选：D. 28．（24-25高一下·北京朝阳·月考）祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若平面平面，是的中点，连接，从而得到是平面与平面所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值. 【详解】过作平面平面，交于点 则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角， 由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知， 若是的中点，连接，则，且平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，又平面， 所以，又为平面与平面的交线， 则是平面与平面所成角的平面角， 其中，，则.    故选：B 29．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 30．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：平面，平面， ，又且． 平面．又平面平面平面． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在Rt中，，，． 即二面角的正弦值为． 31．（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 题型六 已知二面角求其它值（共8小题） 32．（25-26高二上·北京·期中）将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角， 即，则为等边三角形， 故, 过作， 由于，故, 因此， 故, 故选：B 33．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 34．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）在三棱锥中，若，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，，结合已知条件即可得到即为二面角的平面角；判断出外接球球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上，设和外心分别为，，连接，，，，结合三角形外心性质及直角三角形即可求出半径，代入球的面积公式求解即可. 【详解】取中点，连接，. 在等边中，为中点，所以，. 在等边中，为中点，所以，. 所以即为二面角的平面角，所以. 设外接球的球心为，则球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上. 设和外心分别为，，连接，，，. 则平面，，；平面，，. 所以，所以. 在中，. 在中，，. 即三棱锥外接球的半径为， 所以. 35．（25-26高二上·四川南充·月考）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则______. 【答案】 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ，则，， ，平面， 故平面， 因为平面，则， 故. 故答案为： 36．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知二面角的大小为，点分别在平面内，，，垂足分别为．若，直线与平面所成的角为，则线段的长为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，过点作交直线于点，连接． 因为，所以，又，所以即为二面角的平面角， 故，从而，． 由且，，平面，得平面， 由平面，故，结合，，，得， 所以即为直线与平面所成的角，故． 由，，得，所以． 在直角梯形中，，，， 所以． 故答案为： 37．（2025高三·全国·专题练习）在四边形中，．沿直线将折起，形成三棱锥．已知二面角的大小为，则三棱锥的体积为_____． 【答案】/0.125 【详解】没有翻折时，图形为： 因， 则是以为直角的等腰直角三角形，是以为的等腰三角形． 翻折之后，图形为： 假设点到了新的位置，而原来位置记为，过作交于点，连接， 因为，则二面角的平面角为， 故二面角的平面角为的补角，因二面角的大小为， 故，又，则为等边三角形. 由上分析，易得平面，过点作于点，则， 故可得平面，则三棱锥的高为． ，在中，，解得， 从而，于是三棱锥的高为， 又底面的面积为，故三棱锥的体积为 故答案为：. 38．（25-26高三上·宁夏中卫·开学考试）2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________． 【答案】 【详解】正六棱锥，如图所示，为底面中心， 取的中点，连接、，因为为正六棱锥， 所以，， 所以为侧面与底面的夹角，所以， 又底面，底面，所以， 所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形， 所以，则， 所以， 所以， 所以六棱锥的体积为． 故答案为： 39．（25-26高二上·广东广州·期末）把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 【答案】/0.75 【详解】设的中点为，连接， 在正方形中，， 因此折叠后，即为二面角的平面角，故， 设分别为的中点，连接， 则，即（或其补角）为异面直线AB与CD所成角， 设正方形的边长为2，则， 又，，则，则， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故答案为：. 题型七 求点到面的距离（共6小题） 40．（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在棱长为1的正方体中，连接， 则几何体是棱长为的正四面体，， ， 设点到平面的距离为，则， 因此，所以. 故选：B 41．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 则，设点C到平面的距离为h， 则， 又因为， 所以， 故选：A 42．（25-26高二上·安徽淮南·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 43．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 【答案】/ 【详解】如图，因为平面，所以为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，得， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为，则， 得． 故答案为：. 44．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 45．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 题型八 求直线到平面的距离（共4小题） 46．（2026高一·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 【答案】1 【详解】连接交于点E， 由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 47．（25-26高二上·上海·期中）在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【答案】/ 【详解】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 故答案为： 48．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 49．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)192；(3). 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 题型九 求两平面间的距离（共1小题） 50．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $