专题10 球的切、接问题常考11题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10球的切、接问题 题型归纳·内容导航 题型1墙角模型（还原长方体） 题型7直角三角形拼接模型 题型2对棱相等模型（还原长方体） 题型8折叠模型 题型3斗笠模型（正椎体） 题型9柱体内切球 题型4垂面模型（一条侧棱垂直底面）（常考点）题型10椎体内切球（难点） 题型5汉堡模型（直棱柱） 题型11台体内切球（难点） 题型6切瓜模型（两个平面垂直）（重点) 题型通关·靶向提分 题型一墙角模型外接球（还原长方体）（共4小题） 1.(25-26高二下·云南昭通开学考试)在长方体ABCD-A,B,CD,中，已知 AB=AD=2AA=4,则长方体ABCD-AB,CD,外接球的体积为() A.36π B.32元 C.288π D.96元 3 2.(25-26高三上广东深圳期末)在四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直，且 AB=3,AC=4,AD=5,若A,B,C,D均在球2的球面上，则2的表面积为() A.50n B.100刀 C.150刀 D.2007 3.(24-25高一下.黑龙江·期末)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=2,PC=2√3，PA,PB,PC两 两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为() A.18元 B.20π C.24π D.28π 4.(24-25高一下云南保山期末)如图，在边长为2的正方形SG,GG3中，E,F分别是 G,G2,GG的中点，若沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G,G,G三 点重合，重合后的点记为G,则四面体S-EFG的外接球体积为() 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G3 G E G2 A.3√6π B.4V3π C.6π D.V6π 5.(24-25高二下江苏连云港期末)已知四面体ABCD中，DA=DB=DC=1,DA1DB, DALDC,且DA与平面ABC所成角的余弦值为V ,则该四面体外接球的半径为 3 题型二对棱相等模型外接球（还原长方体）（共3小题） 6.(2026宁夏银川模拟预测)已知三棱锥A-BCD中，且AB=CD=√6，BC=AD=2√2 ,AC=BD=√1O,则该三棱锥外接球的表面积为() A.12π B.36π C.4V3π D.123元 7.(2026高一全国.专题练习)在三棱锥P-ABC中，已知PA=BC=√5，PC=AB=√5， PB=AC=√6，则该三棱锥外接球的体积为() A.√7元 B.76 C.3π D.37π 6 8.(25-26高二上广东肇庆期中)己知四边形ABCD为平行四边形，AB=4,AD=3, ∠BAD=T ,现将△ABD沿直线BD翻折，得到三棱锥A'-BCD，若A'C=√3，则三棱锥 A'-BCD的外接球表面积为 题型三斗笠模型模型外接球（正椎体）（共2小题） 9.(23-24高一下·河北张家口·期末)在正四棱锥P-ABCD中，AB=4,PB与平面ABCD所 成角的余弦值为5，则四棱锥P-ABCD外接球的体积为 3 10.(2025高三.全国.专题练习)在正三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA=3,E为侧棱PC的 中点，若二面角E-AB-C的大小为30，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为一， 题型四垂面模型外接球（一条侧棱与底面垂直）（共8小题） 11.(25-26高三上·天津和平期中)古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形.且 有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖懦若 四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD,AB=BC=4,PA=3,则此“阳马”外接球的 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 体积为() B A.41V41元 B.V41元 C.√41元 6 2 12.(24-25高一下.贵州贵阳·月考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD,四边形 ABCD为正方形，PA=2,PC与平面ABCD所成角的大小为0，且an0=4W5 则四棱锥 3 P-ABCD的外接球表面积为() 0 A B A.27 B.22π c.19π 4 4 D.13π 3 4 13.(24-25高一下.吉林松原期末)在三棱锥P-ABC中，已知PA1平面ABC, PA=2AB=2BC=4,AC=2√2若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 () A.4V6π B.12元 C.8√6π D.24π 14.(25-26高二上·湖北孝感月考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB1平面BCD, CD⊥AD,AB=BD=√2，己知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到 点B的最短距离为√7，则该棱锥的外接球的表面积为· 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(24-25高一下.辽宁丹东期末)已知等边ABC的边长为4√5，AD是BC边上的高， 以AD为折痕将△ACD折起，使∠BDC=60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为· 16.(24-25高一下.山西吕梁月考)在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PD1平面 ABCD,AB=5,PD=4,PE=元PD,PB∥平面EAC,四面体ACDE的外接球的表面积 为 17.(24-25高一下辽宁朝阳期末)在四面体S-ABC中，SA1平面 ABC,∠BAC=60°，SA=2AC=4,AB=3,则该四面体的外接球的表面积为. 18.(23-24高一下.内蒙古乌海·月考)在三棱锥A-ABC中，AA=2,AB=BC=1, ∠ABC=60°，当三棱锥A-ABC的体积最大时，则该三棱锥的外接球表面积为 B B 题型五切瓜模型外接球（两个平面垂直）（共4小题） 19.（24-25高一下.陕西宝鸡期末)将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二 面角B-AC-D,则四面体D-ABC的外接球的表面积为() A.4π B.6π C.8元 D.12π 20.(2026陕西商洛.一模)在四棱锥P-ABCD中，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角 形，AB1CD,A8=6,CD=8,cos∠ADC=2 .若点P,A,B,C,D均在球0的表面上，则当 10 四棱锥P-ABCD的体积最大时，球O的表面积为() 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.25π B.85π 500元 C.100元 D. 3 21.(2026高一，全国.专题练习)如图，在四面体ABCD中，平面ABD1平面BCD,侧面 △BCD是等边三角形，底面△ABD是等腰直角三角形，AB⊥BD,BD=2,则四面体 ABCD的外接球的体积是 22.(2026高一.全国.专题练习)如图所示，已知在三棱锥A-BCD中，二面角A-BD-C为 直二面角，BC⊥CD,BC=CD=√5，AB=AD=√2，若三棱锥A-BCD的各个顶点都在 同一个球面上，则该球的体积为· B ------D C 题型六汉堡模型外接球（直棱柱）（共3小题） 23.(24-25高一下.四川资阳·期中)若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则 该正三棱柱的体积为() A.3 B.9V5 c.35 D.3 2 16 16 24.(25-26高二上云南大理期末)在三棱柱ABC-A,B,C,中，已知AA,⊥底面ABC,侧棱 A4,=2,AB=1,∠ACB=30°，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积 为() A.4V2 3元 B.8V2 3π c.16√2 3π D.32V2 3π 25.(25-26高二上山东东营，期末)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AB=4,BC=3, AC=5,D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为34π，则四 面体DAB,C的体积为 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B C B 题型七两直角三角形拼在一起（共2小题） 26.(24-25高一下.福建福州期末)已知在三棱锥A-BCD中， BC⊥CD,AB=BC=CD=DA=2,则三棱锥A-BCD外接球的体积为() A.8V2元 B.8π C.2v D.2√2π 3 3 27.(25-26高二上辽宁大连·期末)在矩形ABCD中，AB=1,BC=√5，沿对角线AC将 △ABC折起，B折至B,则四面体AB,CD的外接球的体积为() D. 3公 题型八折叠模型外接球（二面角）（共4小题） 28.(2025高三上贵州贵阳.专题练习)如图所示，四边形ABCP为正方形，将△ACP围绕 AC旋转60得到三棱锥P-ABC,且三棱锥P-ABC的体积为，则三棱锥P-ABC外接 球的半径R为() B B A.1 B.2 C.√2 D.5 29.(24-25高一下辽宁抚顺期末)在长方体ABCD-A,B,CD,中，M为AB的中点，AB=4 ,BC=2√6，BB,=2,则三棱锥A,-BCM外接球的表面积为() A.56π B.52π C.48π D.64元 30.(2026内蒙古赤峰。一模)如图1所示，在平面四边形ABCD中，4B=AC=2,∠A= 3 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BD=CD=√2，将ABC沿BC折叠，得到图2中的三棱锥A-BCD,使二面角 4-BC-D的余弦值为-5，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为 3 D D (1) (2) 31.(24-25高一下.四川成都期末)如图1，在平面四边形ABCD中，△ACD是边长为2的 等边三角形，∠ABC=分将44CD沿4C折，使得点D到点P的位置，如图2所示.若 平面PAC⊥平面ABC,三棱锥P-ABC的外接球的表面积为·若二面角P-AC-B的 余弦值为-V6 则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 3 D 图1 图2 题型九柱体内切球（共2小题） 32.(24-25高一下·湖南岳阳·期末)已知直三棱柱ABC-AB,C,AB⊥BC,AB=6, BC=8,AA,=8,设该直三棱柱的外接球的表面积为S,该直三棱柱内部半径最大的球的 =() 表面积为S,则3， A号 8.27 c.35 4 33.(24-25高一下.全国课后作业)为满足市场对球形冰淇淋的需求，某工厂特地制作了一 款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁 厚度忽略不计)，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形 冰祺淋.己知该模具底面边长均为6cm. 7/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求内壁的面积； (2)求制作该模具所需材料的体积： (3)求模具顶点到内壁的最短距离. 题型土椎体内切球（共2小题） 34.(25-26高三上·贵州黔西南·月考)已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为12π的半圆， 在该圆锥内置球的体积最大值为() A.2x B.7r c.8V2π D.5π 3 3 3 35.(25-26高一上·湖南邵阳·期末)己知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一 棱长为m的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数m的最大值是() A.② B.2V2 C.√2 D. 42 3 3 3 题型士一台体内切球 36.（24-25高一下.四川绵阳·月考)正三棱台ABCA,B,C的上、下底边长分别为6,12，该 正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为() A.√6 B.26 C.36 D.46 37.(25-26高二上广东广州期末)已知在正四棱台ABCD-A,B,CD,中，AB=6,A,B,=2, 若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为() A.52V2 B.52V5 c.104V2 D.104V5 3 3 3 3 38.(24-25高一下辽宁期末)如图，若圆台的上、下底面半径分别为=2,5=4，则此 圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O M M ---B 39.(24-25高一下山东青岛期末)已知圆台的母线与下底面所成角为60°，球O与圆台的 上、下底面及侧面都相切，若圆台内可再放入与下底面、侧面及球O都相切的小球，则最 多可放入的小球的个数为 (注：若锐角a满足sina= 3 ,则a≈17°) 6 40.(2026高一.全国.专题练习)如图，三棱锥P-ABC中，AB=√2PB=√2CB=2√2， ∠P8=∠ACBD已知平面EFG/平面4BC,且PC=3PG,三棱锥P-A8C的肉内匪 同时与平面EFG也相切，则PC=一· D ● 9/9 专题10 球的切、接问题 题型1 墙角模型（还原长方体） 题型7 直角三角形拼接模型 题型2 对棱相等模型（还原长方体） 题型8 折叠模型 题型3 斗笠模型（正椎体） 题型9 柱体内切球 题型4 垂面模型（一条侧棱垂直底面）（常考点） 题型10椎体内切球（难点） 题型5 汉堡模型（直棱柱） 题型11 台体内切球（难点） 题型6 切瓜模型（两个平面垂直）（重点） 题型一 墙角模型外接球（还原长方体）（共4小题） 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 3．（24-25高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故选：B． 4．（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为折前，，， 所以折后，，， 如图所示： 则四面体的外接球半径， 从而四面体的外接球体积. 故选：D． 5．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知四面体ABCD中，，，，且DA与平面ABC所成角的余弦值为，则该四面体外接球的半径为________． 【答案】 【详解】因为，，，所以， 如图所示： 取的中点，连接，则，，， 所以平面，作于，又平面， 平面，则，， 所以 平面，则是直线与平面所成角， 即，在直角三角形中， . 则 ，，则，故. 所以两两互相垂直，四面体的外接球的半径. 故答案为： 题型二 对棱相等模型外接球（还原长方体）（共3小题） 6．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 7．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 8．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，      此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 故答案为： 题型三 斗笠模型模型外接球（正椎体）（共2小题） 9．（23-24高一下·河北张家口·期末）在正四棱锥中，，与平面所成角的余弦值为，则四棱锥外接球的体积为_________． 【答案】 【详解】在正四棱锥中，，设，连接， 则平面，所以为与平面所成角， 设四棱锥的外接球的球心为，则在上，连接， 依题意， 因为与平面所成角的余弦值为，即， 则，所以， 设四棱锥外接球的半径为，则 ，解得， 所以四棱锥外接球的体积． 故答案为：． 10．（2025高三·全国·专题练习）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接，则，作面于，作面于． 因为为正三棱锥， 且， 所以为的中心，在线段上， 因为E为侧棱的中点， 所以，所以为的中点，且， 因此， 连接，由正三棱锥的性质可得， 因为D为AB中点，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 所以，则， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上， 连接，在中，由勾股定理得， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 题型四 垂面模型外接球（一条侧棱与底面垂直）（共8小题） 11．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 12．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 13．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. A 14．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    【答案】 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 15．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 16．（24-25高一下·山西吕梁·月考）在底面为正方形的四棱锥中，⊥平面，，，，//平面，四面体的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】 连接交于点O，连接，因为，共面，且//平面，所以//， 底面为正方形，交于点O，所以O为中点，所以E为中点，所以 ，四面体可以补型为一个长方体，所以四面体的外接球半径为： ， 故四面体的外接球表面积为：. 故答案为：. 17．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】/ 【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 18．（23-24高一下·内蒙古乌海·月考）在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，则该三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】/ 【详解】因为，所以底面为正三角形，， 由于，所以当垂直底面时体积最大， 将三棱锥放在正三棱柱中，则它们的外接球相同， 设上下底面的外接圆圆心分别为，则中点即为外接球球心， 对于，由正弦定理可得，则， 由于，则， 即外接球半径为，其表面积为. 故答案为：. 题型五 切瓜模型外接球（两个平面垂直）（共4小题） 19．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（   ） A．4π B．6π C．8π D．12π 【答案】A 【详解】令正方形对角线交点为，在四面体中，， 因此四面体的外接球的球心点为，半径为1， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：A 20．（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 21．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 22．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 题型六 汉堡模型外接球（直棱柱）（共3小题） 23．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 24．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 25．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    【答案】 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为 故答案为：    题型七 两直角三角形拼在一起（共2小题） 26．（24-25高一下·福建福州·期末）已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，取中点，因为， 所以， 而，所以， 所以， 所以点为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为，故所求为. 故选：A. 27．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为四边形为矩形， 所以折起后均为直角三角形， 所以的外接圆的圆心均为的中点， 又四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为的中点，半径， 所以外接球的体积为. 故选：B. 题型八 折叠模型外接球（二面角）（共4小题） 28．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的边长为a，则， 取AC中点O，连接BO，PO，则， 因为将围绕旋转60°得到三棱锥， 所以P到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且AC为斜边，O为AC中点， 所以O为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径. 故选：D 29．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）在长方体中，M为的中点，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A．56π B．52π C．48π D．64π 【答案】D 【详解】取的中点，连接，将三棱锥补成直三棱柱， 因为，所以， 设外接圆的半径为，又， 利用正弦定理可得，即， 直三棱柱上下底面外接圆圆心距离为， 根据勾股定理可得三棱锥外接球的半径， 则球的表面积为. 故选：D． 30．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 31．（24-25高一下·四川成都·期末）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】对第一种情况，如下图： 取的中点，连接，，在线段上取点，使得，则为正三角形的重心. 因为，所以为的外心，即. 又为等边三角形，所以，又平面，平面平面，平面平面， 所以平面. 所以. 又为正三角形的重心，所以也是正三角形的外心，所以. 所以为的外接球球心. 因为，所以，所以外接球半径. 所以外接球表面积为：. 对第二种情况：如图： 因为为的外接圆圆心，为正的外接圆圆心. 过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心. 因为二面角的余弦值为， 所以，所以. 又，所以. 所以三棱锥外接球. 所以此时三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为：； 题型九 柱体内切球(共2小题） 32．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 33．（24-25高一下·全国·课后作业）为满足市场对球形冰淇淋的需求，某工厂特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋．已知该模具底面边长均为6cm． (1)求内壁的面积； (2)求制作该模具所需材料的体积； (3)求模具顶点到内壁的最短距离． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由题意得，内壁的面积即正三棱柱内切球的表面积． 如图，过三条侧棱的中点M，N，G作正三棱柱的截面， 则球心O为的中心．连接MO并延长交GN于点H． 因为，所以内切圆的半径， 即内切球的半径，所以内切球的表面积，即内壁的面积为． （2）由题意得，材料的体积即正三棱柱的体积减去其内切球的体积． 由（1）得正三棱柱的高． 因为，， 所以，即制作该模具所需材料的体积为． （3）由对称性知6个顶点到内壁的最短距离都相等．如图，连接OM，OA， 则由（1）知，所以， 所以A到球面上的点的距离最小值为， 即模具顶点到内壁的最短距离为． 题型十 椎体内切球（共2小题） 34．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则由题意可得：，由勾股定理可得：， 设圆锥的内切球半径为，如图可知：， 由勾股定理可得：， 解得：， 所以该圆锥内置球的半径最大值为，即此时体积为：， 故选：C 35．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大. 因为圆锥的底面半径为1，轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2， 如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，，即内切球的半径为. 因为正四面体的边长为，则补全为正方体时其棱长为，如图（二）所示， 所以正四面体的外接球半径，所以， 故选：B. 题型十一 台体内切球 36．（24-25高一下·四川绵阳·月考）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B 37．（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 38．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 39．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知圆台的母线与下底面所成角为，球O与圆台的上、下底面及侧面都相切，若圆台内可再放入与下底面、侧面及球O都相切的小球，则最多可放入的小球的个数为________. （注：若锐角满足，则） 【答案】10 【详解】 圆台的母线与下底面所成角为，球O与圆台的上、下底面及侧面都相切， 如图可得，设内切球的半径为， 根据轴截面这个等腰梯形，由于可得：， 再在圆台内可再放入与下底面、侧面及球O都相切的小球，如球， 这些球心一定在以为圆心的圆上，设球的半径都为, 因为，根据直角三角形的性质可得， 又因为，根据两球相切的性质可得：， 可得，所以，根据，所以， 由于，利用等腰三角形三线合一，可解得， 根据锐角满足，则， 所以， 从而可得相邻两个球之间的圆心角，根据， 可知最多可放入的小球的个数为10个 故答案为：10 40．（2026高一·全国·专题练习）如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【答案】 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， ， ，， ， ， 三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面平面， ， 由， 得， ， ，解得， ， 四点共球，直径为， ， ，故． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $