专题03 平行四边形5大考点（期中真题汇编，湖北专用）八年级数学下学期新教材人教版

专题03 平行四边形 5大高频考点概览 考点01 平行四边形的性质 考点02 平行四边形的判定 考点03 矩形的性质与判定 考点04 菱形的性质与判定 考点05 正方形的性质与判定 地 城 考点01 平行四边形的性质 1．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)在▱ABCD中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 利用平行四边形对角相等、邻角互补，结合已知条件求解． 【详解】∵在平行四边形中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 2．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，根据平行四边形的性质求出，根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．(24-25八·湖北荆州公安县·期中)如图，P，Q分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图． 聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 明明： 分别过点P，Q作于点，于点． 下列关于以M，P，N，Q为顶点的四边形的说法正确的是（   ） A．聪聪作的四边形是菱形 B．明明作的四边形是菱形 C．聪聪作的四边形是矩形 D．明明作的四边形是矩形 【答案】C 【来源】湖北省荆州市公安县2024-2025学年八年级数学下册期中试题 【分析】根据聪聪的作法，证明，得到，从而可得到，可判定聪聪作的四边形是矩形；根据明明的作法，证明，得到，，可判定明明作的四边形是平行四边形．即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由聪聪作图可知：， ∴， ∴四边形是矩形，故A选项不符合题意，C选项符合题意； ∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故B、D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形和菱形的判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形和菱形的判定是解题的关键． 4．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的周长和面积，下列说法正确的是（   ）    A．周长和面积都不变 B．周长和面积都变小 C．周长不变，面积变小 D．周长不变，面积变大 【答案】C 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式． 平面图形的周长就是围成它的所有线段的长度和；将矩形拉成平行四边形后，每个边的长度不变，所以它的周长就不变，但是它的高变小了，因此面积就变小了． 【详解】解：矩形木框挤压变成平行四边形后，底边没变，但高变小了， 木框的面积变小了； 在变化过程中，木框每边的长度没变， 木框的周长不变． 故选：C ． 5．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)已知直线与平行四边形的一组对边分别相交于E、F两点，以下命题及逆命题都正确的有（　　） ①当直线平分的面积时，那么直线必过对角线的交点； ②当直线平分的周长时，那么直线必过对角线的交点； ③当直线平分的周长时，那么直线必平分的面积； ④当直线平分的面积时，那么直线必平分的周长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了平行四边形的中心对称的性质，解题关键是正确应用性质．根据平行四边形的中心对称的性质解答即可． 【详解】解：①当直线平分的面积时，那么直线必过对角线的交点，正确，逆命题也正确； ②当直线平分的周长时，那么直线必过对角线的交点，正确；逆命题也正确； ③当直线平分的周长时，那么直线必过对角线的交点,那么直线必平分的面积，正确；逆命题也正确； ④当直线平分的面积时，那么直线必过对角线的交点,那么直线必平分的周长，正确，逆命题也正确； 故选：D． 6．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】B 【来源】湖北省武汉市武珞路中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据平行四边形性质得到，再根据已知得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵的周长比的周长多2， ∴，即， ∴， 故选：B． 7．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)在中，对角线交于点O.E为的中点，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，根据平行四边形对角线互相平分得到点O是的中点，则是的中位线，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，对角线相交于点O， ∴点O是的中点， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 8．(24-25八下·湖北宜城五校·期中)如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若，，，则四边形的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省宜城市五校2024-2025学年八年级下学期期中学业质量监测数学试卷 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质；先利用平行四边形的性质、平行线的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质得到，，即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 四边形的周长： ∵，， ∴四边形的周长， 故选：B． 9．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年下学期八年级期中数学试题 【分析】本题考查的是作图基本作图，涉及到平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 根据题干中的作图过程得出是，再利用平行四边形的性质得到，从而证明即可解决问题. 【详解】解：由题意可知是的平分线， ． 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)在平行四边形中，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵平行四边形邻角互补，即． ∴， 故选：B 11．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较大的内角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形对边平行，据此由平行线的性质可证明平行四边形对角相等，邻角互补， 再由两个内角的度数比为计算求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中两个内角的度数比为， ∴， ∴， ∴， ∴其中较大的内角是， 故选：C． 12．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)在中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省孝感市应城市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键；根据平行四边形的性质得到，，，，根据以上结论即可选出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 即和的数相等，和的数相等，且， 故选：C． 13．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)在平行四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（   ） A．8或12 B．8 C．10或14 D．10 【答案】A 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．分两种情况：当与在有交点平行四边形内部有交点时，当与在有交点平行四边形外部有交点时，分别证明，，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当与在平行四边形内部有交点时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 如图2所示，当与在平行四边形外部有交点时， 则； 综上所述，的长为8或12， 故选：A． 14．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点F，E，若设该平行四边形的面积为12，则图中阴影部分的面积为（    ） A．无法确定 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质可得，证明可得，据此可证明． 【详解】解：∵平行四边形的对角线和相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选；C． 15．(24-25八下·湖北荆州荆州经济技术开发区·期中)如图，已知，若四边形为平行四边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据平行四边形的对角相等求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴． 故选：A． 16．(24-25八下·湖北孝感安陆·期中)的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省孝感市安陆市2024-2025学年八年级下学期期中质量调研数学试卷 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，平行四边形的对角线互相平分，则平行四边形两条对角线的中点坐标相同，据此根据中点坐标计算公式列式求解即可． 【详解】解：∵平行四边形两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故选：D． 17．(24-25八下·湖北宜昌二十五中教联体·期中)如图，在中，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】 湖北省宜昌二十五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】此题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的各种性质是解题的关键． 四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：D ． 18．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图，在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 19．(24-25八下·湖北黄冈蕲春县·期中)如图，在中，，分别是与的角平分线，交点为点，，则（   ） A．5 B．10 C．9 D．12 【答案】C 【来源】湖北省黄冈市蕲春县2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，得到是解答的关键．先根据平行四边形的性质得到，，，，结合角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，，根据等角对等边求得，，则，然后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵分别是与的角平分线， ∴，， ∴，， ， ∴，，又， ∴， 在中，， 故选：C． 20．(24-25八下·湖北宜昌长江中学·期中)在平行四边形ABCD中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省宜昌市长江中学2024--2025学年下学期八年级期中能力检测 数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形对边平行，据此结合平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，与平行，与平行， ∴， ∴ 故选：C ． 21．(24-25八下·湖北荆州沙区·期中)平面直角坐标系中，O为原点，，，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为______． 【答案】 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平移方式确定点的坐标，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形得到，再由平移即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴点A向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点O， ∴点B向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点C， ∵， ∴，即， 故答案为：． 22．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，的对角线，相交于点，且，的周长为27．则______． 【答案】11 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平行四边形的性质可得，，由，可得，由的周长是27，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长是27， ∴， 解得， ，． 故答案为：11． 23．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)在中，，为的中点，若，，则__________. 【答案】18 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理． 根据平行四边形的性质， ，，得出，，根据，，推出，，根据，得出，即，设，，根据勾股定理列式，从而求出，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴设，， 故， ∴ 解得，， 当时，， 当时，， ， ， 则的面积为． 故答案为：． 24．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，过平行四边形的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交所在的直线于四点，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形，见解析 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定．由平行四边形的性质可推出，，即可利用“”证明，得出．同理可得出，再结合题意，即证明四边形为菱形． 【详解】解：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 25．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1)当___________秒时，四边形为矩形； (2)在整个运动过程中，t为何值时，垂直平分线段？判断此时四边形的形状，并说明理由； (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)3 (2)时，垂直平分线段；此时四边形为菱形，理由见解析 (3)当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了平行四边形以及特殊的平行四边形的性质，勾股定理等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得：，推出．若四边形为矩形，则，据此即可求解； （2）若垂直平分线段，可得，；根据即可求解； （3）分类讨论当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴轴，， 由题意得： ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， 即当秒时，四边形为矩形， 故答案为：3； （2）解：时，垂直平分线段；此时四边形为菱形， 理由如下： ∵点A的坐标为， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， 此时， ∴时，垂直平分线段，此时四边形为菱形； （3）解：当点P在线段上时，，， 当，且时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当点P在线段的延长线上时，，， 当，且时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 地 城 考点02 平行四边形的判定 26．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解∶ A、， ． 四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形，符合题意； C、当，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形，不符合题意； D、当，时，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，不符合题意； 故选∶B． 27．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)如图，在一次综合与实践课上，小勤将两张宽度都为1的长方形纸条重叠在一起，并测得，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图分别过B，D作于点F，于点H，求出可得结论． 【详解】解：如图分别过B，D作于点F，于点H， ， 两纸条等宽， ， ， ， 两纸条都是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积 故选A． 28．(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省宜昌市金东方教育集团2024—2025学年下学期八年级数学期中考试 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，符合题意； B、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：A． 29．(24-25八下·湖北荆州沙区·期中)下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷 【分析】本题考查了命题的真假，平行四边形的判定，根据错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，以及平行四边形的判定方法进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 30．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①② 【答案】D 【来源】湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 同理可证： 四边形是平行四边形，故②正确； ，故③错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故④错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 31．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 【答案】4 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 32．(24-25八下·湖北荆州沙区·期中)如图，在四边形中，，，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷 【分析】（1）由题中条件，由两组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）结合（1）中判定的四边形是菱形，由菱形性质，求出相关线段长度，最后由等面积法，根据代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）解：相交于点，由（1）知，四边形是菱形， ∴，，， ∴， ， 在中，由勾股定理可得， ∴， ， ， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积等知识．熟记平行四边形判定与性质、菱形的判定与性质是解决问题的关键． 33．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)已知，中，，，为边的中点，若是线段上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点H． (1)试猜想四边形一定是什么特殊的四边形，并加以证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形一定是矩形，证明见解析 (2) 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边中线性质得，进而得，根据得，则，由此可判定四边形是平行四边形，再根据即可得出四边形的形状； （2）根据矩形性质得，进而得是等腰直角三角形，则，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：（1）四边形一定是矩形，证明如下： 连接，，如图所示： ，， 和都是直角三角形， 点为的中点， 根据直角三角形斜边中线性质得：，， ， ， 在中，，，为边的中点， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形， 故四边形一定是矩形； （2）四边形是矩形，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定，三角形中位线的性质，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，理解等腰直角三角形性质，熟练掌握矩形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 34．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 35．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是矩形．（无需说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）首先得到，，然后由中点求出，即可得到四边形是平行四边形； （2）添加条件：，证明出，即可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵在中， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）如图所示，连接． 添加条件：， 理由：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理的逆定理，矩形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 36．(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点是上的两点且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【来源】湖北省宜昌市金东方教育集团2024—2025学年下学期八年级数学期中考试 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，确定，再由平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 37．(24-25八下·湖北宜昌二十五中教联体·期中)如图1，在中，分别是边上的中线，与相交于点O，点F是的中点，点G是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】 湖北省宜昌二十五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形． （1）由三角形中位线定理推出，，，，得到，，即可证明； （2）在（1）中已知四边形是平行四边形，结合，确定点在的垂直平分线上，再利用全等得到，确定点也在的垂直平分线上，从而利用中垂线及中位线的性质得到，进而可证四边形是矩形． 【详解】（1）证明：，分别是边上的中线， 、E分别是和的中点， 是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， 四边形是平行四边形； （2）证明：连接，交于点，并延长，交于点， ∵， ∴，且点在的垂直平分线上， 点、分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点也在的垂直平分线上， ∴，即， 由（1）可知， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴， 由（1）中四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 38．(24-25八下·湖北武汉武昌区武珞路·期中)如图，在中，对角线上有两点E，F，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【来源】湖北武汉武昌区武珞路2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据四边形是平行四边形得，，再证明，得，，则邻补角相等，即可得到，即可得到结论； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 39．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)（1）如图1，在中，，点D，E，F分别是边的中点，连接，求证：； （2）如图2，在梯形中，，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据三角形中位线定理得到，得到； （2）过点C作，交于E，根据平行线的性质得到，再证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，得到，进而证明结论． 【详解】证明：（1）在中，，点D是边的中点， ∴， ，分别是边的中点， 是的中位线， ， ； （2）如图2，过点C作，交于E， ， ∵， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 40．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)如图，在中，E，F是对角线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，直按写出的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）连接，交于点O，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得到，进而得到，即，求出，即可得到． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 41．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图是由7×6的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都在格点上，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)边的长＝______； (2)在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质． （1）过点作于点，构造直角，利用勾股定理可以求出； （2）作格点使且，连接，四边形是平行四边形；连接、交于点，连接并延长，交于点，则有． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 由网格图可知，，， ， 故答案为：； （2）解：如图，作格点使且，连接，四边形是平行四边形，连接、交于点，连接并延长，交于点，则有； 理由如下： 四边形是平行四边形， ∴，， ， 在和中，， ， ． 42．(24-25八下·湖北荆州荆州经济技术开发区·期中)如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 【答案】四边形是平行四边形，这个停车位的面积是 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，先根据两组对边分别相等是四边形是平行四边形进行判断，然后过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理求出，然后根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解∶，， 四边形是平行四边形， 过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 答：四边形是平行四边形，这个停车位的面积是． 43．(24-25八下·江苏南通海陵中学集团·)如图，在四边形中， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】江苏省南通海陵中学集团2024-2025学年下学期八年级数学 第一次阶段考试试卷 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用条件求得的长，求得其对角线互相平分是解题的关键． （1）在中，可求得，结合条件可判定四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可求得，利用平行四边形的面积公式可求得答案． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ，且， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ，且， ． 44．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当满足_______时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据对角线互相垂的平行四边形是菱形即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形．理由如下： 由（1）知四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形． 45．(24-25八下·湖北黄冈蕲春县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设点两点运动的时间是秒 (1)填空：点坐标为______，的长为______； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由； (3)为第二象限内一点，且为等边三角形．连接．当t为何值时，恰好等于？（计算结果保留根号，不取近似值） 【答案】(1)， (2)当或秒时，为直角三角形，理由见解析 (3)当时，恰好等于 【来源】湖北省黄冈市蕲春县2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质，及勾股定理即可解答； （2）因为，故可分两种情况求解：当时，可证四边形是矩形，根据矩形的性质列方程，即可求得的值；当时，可求得，根据，列出方程，即可求得的值； （3）根据等边三角形和平行四边形的性质，可证明是等腰直角三角形，由此可得，在中，，由此得到方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ，， ， ， ， ， 解得， ，点坐标为， 故答案为：，． （2）解：当或秒时，为直角三角形，理由如下， ， 可分两种情况求解： 当时，如图， ，， 四边形是矩形， ， ∵在中，， ∴， ， ； 当时，如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或秒时，为直角三角形． （3）解：如图， 为等边三角形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ∴当时，恰好等于． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，对直角三角形分类讨论是解题的关键． 地 城 考点03 矩形的性质与判定 46．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了矩形的性质，作角平分线，全等三角形的性质和判定，勾股定理；根据作图过程可得是的平分线，然后证明，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接EG， 根据作图过程可知：是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， 解得． 故选：B． 47．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由矩形的性质可得，则可求出，由作图方法可知，垂直平分，则，由等边对等角即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， 故选：B． 48．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，矩形的对角线和相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质得出，再结合，则是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵矩形的对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 故选：D 49．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，矩形的两条对角线交于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键 根据矩形的性质得到，可证明是等边三角形，再根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B ． 50．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)如图，在矩形中，对角线，交于点O.已知，，则图中长度为3的线段有（   ）条. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，解题关键在于矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等．根据矩形性质得出，，，，推出，得出是等边三角形，推出，进一步可得答案． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即图中长度为3的线段有、、、、、共6条， 故选：D． 51．(24-25八下·湖北荆州松滋·期中)下列命题中正确的是（   ） A．平行四边形一定是轴对称图形 B．菱形的对角线相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形是轴对称图形，有4条对称轴 【答案】D 【来源】湖北省荆州市松滋市2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试卷 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，轴对称图形的定义，根据相关性质内容进行逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、普通平行四边形没有对称轴，只有菱形（2条对称轴）和矩形（2条对称轴）等特殊类型才有，因此“一定是轴对称图形”错误，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，仅当菱形为正方形时对角线相等，故该选项不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故该选项不符合题意； D、正方形既是轴对称图形，对称轴有4条（两条对角线、两条对边中点连线），描述正确，故该选项符合题意； 故选：D 52．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)给出下列四个命题：①若一个三角形三边的比为，则它是等腰直角三角形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③两个邻角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】逐一判断四个命题的正确性：①根据勾股定理验证是否为等腰直角三角形；②根据矩形的判定定理判断；③由邻角相等推导出直角；④举反例说明对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形． 【详解】解：命题①：三边比为的三角形满足勾股定理，故为等腰直角三角形，正确， 命题②：平行四边形的对角线相等时，根据矩形判定定理，必为矩形，正确， 命题③：平行四边形邻角互补，若邻角相等则每个角为，故为矩形，正确， 命题④：对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形。例如构造对角线相等且垂直但边不相等的四边形，故错误， 故选C． 【点睛】本题考查判断命题的真假、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定定理、菱形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 53．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（   ） A．当时，则四边形为矩形 B．当时，则四边形为矩形 C．当时，则四边形为矩形 D．当时，则四边形为菱形 【答案】D 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】根据角平分线的定义得到，求得，得到，推出，当时，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形为矩形，判断A选项；当时，由，得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形；判断B选项；当时，由，得到，求得，得到四边形为矩形；判断C选项；当时，则是等腰直角三角形，得到，但不能证得四边形是平行四边形，当时，四边形不一定为菱形，判断D选项． 【详解】解：如图，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 当时，， ， ， ， 四边形为矩形，故A选项不符合题意； 当时， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形；故B选项不符合题意； 当时， ， ， ， 四边形为矩形；故C选项不符合题意； 当时，则是等腰直角三角形， ， 但不能证得四边形是平行四边形， 当时，四边形不一定为菱形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 54．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)矩形纸片如图折叠，D点落在B点，，，则的面积为___________． 【答案】30 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用矩形的性质得到，，，利用折叠的性质得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用三角形的面积公式求出的面积，再通过证明，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ，，， ， ． 故答案为：30． 55．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)如图，在矩形中，，，平分交于点E，，垂足为H，连接并延长交于点F．下列结论中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】对于①，证明即可；证明，则，即可判断③；由于不是等边三角形，则，故，即可判断②；取中点，连接，则由三角形中位线得到，，则为等腰直角三角形，，由角平分线得到，则，又，故，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴不是等边三角形， ∴， ∴，故②错误； 取中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴， 又， 故，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 56．(24-25八下·湖北宜昌十六中教联体·期中)（1）如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点以及点O均在格点上．（要求用无刻度的直尺画图，不准用圆规，不写作法，保留画图痕迹） ①直接写出的长为______； ②画出以为边，O为对角线交点的平行四边形； （2）如图2，画出一个以为对角线，面积为6的矩形，且D和E均在格点上； （3）如图3，正方形中，E为上一点，在线段上找一点F，使得． 【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【来源】 湖北省宜昌十六中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查刻度尺作图、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）①直接用勾股定理求解即可；②根据平行四边形的判定以及题目要求画出图形即可； （2）作一个边长分别为、的矩形即可； （3）如图：连接相交于点J，连接，延长交于点F，点F即为所求． 【详解】解：① 故答案为：； ②如图1中，四边形；即为所求． （2）矩形即为所求． （3）如图3中，点F即为所求． 57．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)在中，，.点D在的延长线上，，，连接，.，. (1)求证：四边形是矩形； (2)四边形能否为正方形？如能，请求出此时的值；如不能，也请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)能， 【来源】湖北省孝感市应城市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形得，再证明，进而可依据“”判定得，再根据平行线性质得，继而得，由此可得出，然后再根据，由此即可得出结论； （2）当时，四边形正方形，由得，再根据四边形是矩形即可得出四边形是正方形；过点A作于点H，设，则，则，，再根据当时，四边形正方形得，继而得，由此即可得出的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形能为正方形，理由如下： ∵点D在的延长线上， ∴当时，四边形正方形， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：四边形是矩形， ∴矩形是正方形； 过点A作于点H，如图所示： ∴， 设， 在中，， ∴，则， 在中，由勾股定理得：， ∵当时，四边形正方形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 58．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，四边形的四个顶点都是格点（正方形的顶点） (1)四边形的形状是______； (2)四边形的周长为______； (3)如图，点E是边上任意一点，请用无刻度直尺在边上作点F，使保留作图痕迹 【答案】(1)矩形 (2)； (3)见解析． 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，则可证明四边形是平行四边形，再证明，得到，则平行四边形是矩形； （2）根据矩形周长计算公式求解即可； （3）连接交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可得， ∴四边形的周长为； （3）解：连接交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求． 可利用证明，则． 59．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)四边形中，， (1)如图1，求证：四边形为矩形． (2)如图1，为延长线上一点，连分别为的中点，，求． (3)如图2，点为中点，将沿折叠到，点落点在，射线交边于，则________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【来源】湖北省武汉市武珞路中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角是的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）如图：延长至E，使得，连接，则，易证可得，再证明是的中位线，最后根据中位线的性质即可解答． （3）如图：连接，由矩形的性质、中点的定义、折叠的性质可得、，易证可得，进而得到；设，则、、、，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）解：如图：延长至E，使得，连接，则， ∵ ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴，即， ∵P为的中点， ∴是的中位线， ∴． （3）解：如图：连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵将沿折叠到，点落点在， ∴，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴，解得：． ∴． 60．(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，． (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点下降的高度（结果保留两位小数，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省宜昌市金东方教育集团2024—2025学年下学期八年级数学期中考试 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练应用锐角三角函数是解本题的关键． （1）根据对称性得出，再根据锐角三角函数求出，即可求出答案 （2）过点E作于H，得出，再分别求出和时，的值，即可求出答案． 【详解】（1）解：由对称知，，，． 在中，， ． 答：遮阳宽度为； （2）解：过点E作于H， ． ，， ． ． 四边形为矩形． ． ．在中， ． ． 当时，． 当时， ． 从减少到，求点下降的高度约为． 61．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． (1)求，的值； (2)求线段的长度； (3)如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；6 (2) (3)或 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】（1）根据两个非负数的和等于0，则每个都是0，即可求出a，b的值； （2）连接，先证明四边形为菱形，再利用勾股定理求出的长，即可利用等面积法得到的长； （3）分P在线段上或射线上两种情况，取的中点M，过点P作于点N，分别构造全等三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ∴， ，； 故答案为：8，6； （2）解：如图1，连接， ，， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ， ， ， 四边形是菱形， 由（1）得， ∴， 在中，， ， 设，， 在中，，， ， 解得， ， ， ， ． （3）解：存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形； 分两种情况，①当P在线段上时，取的中点M，连接并延长，过点P作于点N，如图4， 由题可得：，，为的中位线， ∴，， ∴， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； ②当P在射线上时，当P在线段延长线上时，取的中点M，连接，过点P作于点N，如图5， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，坐标与图形，非负数的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 62．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点，分别在矩形的边，上，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合，连接 (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析； (2) 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合矩形的性质、全等三角形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，再由翻折得，则四边形是菱形； （2）根据矩形的性质、勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：连接、，相交于点， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 由翻折得，， ∴四边形是菱形； （2）解：， ， 四边形是矩形， ， 在中，，，， ， ， 63．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)5． 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线性质，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，再根据矩形性质和平行线性质即可证明结论； （2）由勾股定理求AC的长，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点， ，，， ， ； （2）解：， ， 四边形是矩形， ，， ， 又点O是的中点， ． 64．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图1，若，，求折痕的长； (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． （1）由勾股定理求出，的长，设，则，得出，解方程即可得解； （2）设，则，得出，设，则，在中，得出，则，根据勾股定理列方程解出的值，求出和的长，再利用勾股定理求出，则答案可求出． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； （2）解：， 设，则， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 在中，， ， ， ，， ， ． 65．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，点坐标为，且，满足．为边上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． (1)填空：点的坐标为___________，四边形的形状为___________； (2)如图，点是上一点，且，连接，，．为坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)平分，交于．求的长． 【答案】(1)，正方形 (2)或或 (3) 【来源】湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】（）利用非负数的性质求出，的值，可得点的坐标，根据折叠的性质可得，，进而可判断四边形的形状； （）利用矩形和正方形的性质可得，，设，再根据平行四边形的性质分与为对角线、与为对角线和与为对角线三种情况，利用中点坐标公式解答即可求解； （）延长，交于点，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，由勾股定理得，利用三角形面积可得，设，则，由可得，即得，再根据等腰直角三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， 故答案为：，正方形； （2）解：∵，四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ①当与为对角线时， 则，， 解得，， ∴； ②当与为对角线时，则，， 解得，， ∴； ③当与为对角线时，则，， 解得，， ∴； 综上，点的坐标为或或； （3）解：如图，延长，交于点，过点作于点，过点作于点， 则，， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质判断和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点04 菱形的性质与判定 66．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在菱形中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则菱形的周长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，根据菱形对角线互相垂直，四条边相等得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，据此根据菱形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点， ∴，， ∵是的中点，， ∴， ∴菱形的周长是． 故选：A． 67．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，菱形中，，点在边上，点在边上，，，，连接，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【来源】湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年下学期八年级期中数学试题 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键：将绕点A顺时针旋转得到，连接，过M作，交的延长线于N，过E作于H，证明，得到，证明，得到，设，则：，，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，连接，过M作，交的延长线于N，过E作于H， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴，， 设，则：，， 由勾股定理，得：，， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴； 故选B． 68．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（   ） A．8 B． C． D．16 【答案】A 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质可得、互相垂直平分，，根据中位线性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 69．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 【答案】A 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的面积求出，再由菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的周长公式计算周长即可． 【详解】解：如下图菱形，假设对角线， 则， ∴， 由菱形的性质可知：，，，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A 70．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的边长为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，，， ， 在中， ， 菱形的边长为5， 故选：C ． 71．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)命题“有两边相等的平行四边形是菱形”是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了菱形的判定，命题真假的判定，根据菱形的判定方法，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【详解】解：因为有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有两边相等的平行四边形不一定是菱形， 因此原命题是假命题． 故答案为：假命题． 72．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段沿x轴向右平移至的位置，若四边形恰好是菱形，则点C的坐标为______． 【答案】 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】由勾股定理求出，再由菱形的性质得，然后求出，即可得出结论． 本题考查了菱形的性质．坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 点C的坐标为， 故答案为：． 73．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为______． 【答案】 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质． 根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，可得，根据，求出，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案． 【详解】解：菱形沿折叠，落在边上的点处， ，，， ， 在菱形中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 74．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)在菱形中，，，则的长是______． 【答案】 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求得的长，在中利用勾股定理求得的长，则即可求得．本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分，因而边长、对角线的计算一般转化为直角三角形的边的计算． 【详解】解：设菱形对角线，相交于点，如图， 四边形是菱形， ，， 在中，， . 故答案为：. 75．(24-25八下·湖北天门·期中)如图，四边形为菱形，已知，，则点的坐标为_______． 【答案】 【来源】湖北省天门市2024—2025学年八年级下学期期中学业水平监测数学试卷 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由题意得出，，，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，，即可得出答案， 【详解】解： ∵，， ∴，， 由题意得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 76．(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)如图，在中，，是的中点，四边形为平行四边形，相交于，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【来源】湖北省宜昌市金东方教育集团2024—2025学年下学期八年级数学期中考试 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边中线的性质求得，先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质求得，再利用菱形的面积公式求出的面积，再求出的面积，然后详解即可求解． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的面积是， ∵的面积是， 又∵为的中点， ∴的面积是， ∴四边形的面积是． 77．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，平分交于点，过作，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再等量代换得到即可得到四边形为菱形； （2）连接CF，由菱形性质得到，由勾股定理逆定理验证，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）连接，如下图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上运算法则． 78．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)四边形为菱形，，点E、G在边上，点F在边上． (1)如图1，若， ①求证：； ②若为等边三角形，求四边形的面积； (2)如图2，若，，点H为的中点，求的长． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）①证，得出； ②连接，在上截取，证明，得出，则四边形的面积的面积，则作于H，则，，则可得出答案； （2）连接并延长交的延长线于E，延长交于点Q，作于P，证明，得出，，证明，得出，即，则可得出答案． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：连接，在上截取，如图2所示： 同（1）得：， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 作于H，则，， ∴四边形的面积的面积=； （2）解：连接并延长交的延长线于E，延长交于点Q，作于P，如图3所示： ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得： ， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的与性质等知识，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 79．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)如图，在菱形中，对角线，交于点O． (1)若，，直接写出菱形的面积为 ； (2)点F在上，交于点E，若，求证：； (3)点P在射线上，且，若，，直接写出的长为 ． 【答案】(1)24 (2)见解析 (3)或 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，可得的长，进而可得菱形的面积； （2）取的中点M，连接，根据菱形的性质证明是的中位线，然后证明，进而可得结论； （3）根据四边形是菱形，，，可得，，，，①当点P在线段上，作于点E，证明，可得，再根据勾股定理即可求出的长；②当点P在线段上，作于点F，证明，可得，再根据勾股定理即可求出的长；③当点P在线段的延长线上，证明，可得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积； 故答案为：24； （2）证明：如图，取的中点M，连接， ∵四边形是菱形，对角线，交于点O． ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ①当点P在线段上，作于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上，作于点F， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点P在线段的延长线上， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 80．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 【答案】(1)=，116 (2) (3)75； 【来源】湖北省武汉市武珞路中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，构造得到是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出和关于对称，便可得出两个三角形的面积关系；根据三角形外角的性质得到，进而得到，然后由通过等量代换即可解答． （2）先通过勾股定理求出的长，连接，对称性得到，设设，则：，在中，由勾股定理求出的长度，进而求出，再根据对称性得出，即可解答． （3）通过构造得到，再由B、E、G三点共线时确定最小时点E的位置，然后由为等腰直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴和关于对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∴． 故答案为：=；116． （2）解：在中，， 如图：连接， 由对称性可知：， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 由（1）可知，． ∴． （3）解：如图：过点D作，截取，连接． ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，即， ∵菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小． ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当最小时，． 故答案为：75；． 81．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)已知，四边形为菱形，，分别为直线，上一点，且． (1)如图1，点在的延长线上，点在边上，求证：； (2)若 ①如图2，点在的延长线上，点在边上，求证：； ②若且，请直接写出菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后结合求解即可； （2）①如图所示，延长到点G使，证明出是等边三角形，得到，，然后结合菱形的性质证明出，得到，然后等量代换证明即可； ②如图所示，过点F作于点H，连接，求出，勾股定理得到，然后利用得到，然后由得到，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内角和是， ∴； （2）解：①如图所示，延长到点G使， ∵菱形中，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点F作于点H，连接， ∵，四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴菱形的周长． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 82．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年下学期八年级期中数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）由菱形的性质得到，进而由等边对等角即可得到的度数； （2）由勾股定理得到，进而由等面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴ ∴； （2）解：∵四边形是菱形 ∴，， ∴在中， ∵， ∴， ∴． 83．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图1，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于F，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)①如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，请直接写出线段和的数量关系，并说明理由； ②如图3，把正方形改为菱形，其他条件不变点E在边上，当时，直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)①；理由见解析；②． 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】（1）证明得，结合已知即可求证； （2）利用三角形外角的性质及三角形内角和即可求解； （3）①证明得，结合可得；利用三角形外角的性质及三角形内角和即可求得，则得为等边三角形，即可得．②由等腰三角形的性质同①可得出． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ； ， ； （2）解：设； ， ， ； ，， ， ， ； （3）解：①四边形是菱形，， ，， ， ， ； ， ； 设； ， ， ； ， ， ， ； ， 为等边三角形， ， ； ②同①可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形与菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和及外角的性质等知识，证明全等是解题的关键． 84．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接，交的延长线于点F，连接. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长. 【答案】(1)见解析 (2)28 【来源】湖北省孝感市应城市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，是的中位线，得，再证明四边形是平行四边形，得，进而证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，再由菱形的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， 由（1）可知，，四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长． 地 城 考点05 正方形的性质与判定 85．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【来源】湖北省武汉市武珞路中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 故选：B． 86．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)如图，在正方形中，O是坐标原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据正方形的性质证明即可得点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D，过点A作轴于点E， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 87．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交于点，连接．过点作，交射线于点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】过A作于H，连接，设与相交于N，根据轴对称的性质得出，，，，设，则，结合正方形的性质求出，，根据等边对等角求出，进而求出，根据平行线的性质求出，根据余角的性质求出，则可求，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，证明，得出，然后代入求解即可． 【详解】解∶过A作于H，连接，设与相交于N， ∵D、F关于对称， ∴，，，， ∴ 设，则， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 88．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 【答案】D 【来源】湖北省孝感市应城市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．先由证得，推出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 由正方形的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ∴ ∵两边的两个正方形的面积为2和3， ∴ 在中，由勾股定理得：， 即中间的一个大正方形的面积为， 故选：D． 89．(24-25八下·湖北宜昌二十五中教联体·期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则b的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【来源】 湖北省宜昌二十五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等来求解b的值． 【详解】解：过点D作轴于点E 四边形是正方形， ，， 又，，， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， ， ， ，即 在第二象限， ， 故选：C 90．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【来源】湖北省武汉市武珞路中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的构造，以及用垂线段最短解决几何最值问题．利用三垂直全等模型构造全等三角形，利用轴对称及等腰三角形三线合一得比值，利用垂线段最短解决最小值问题． 【详解】解：如图： ∵正方形， ∴，， 分别作于E，于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，根据垂线段最短可得：， ∴， 故的最小值为， 故选：A． 91．(24-25八下·湖北十堰实验中学·期中)如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是    A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【来源】湖北省十堰市实验中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．可根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质判定①，再根据直角三角形斜边的中线性质可判断④，连接，交于，利用①中证明方法可证明，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可判断②，可证得，再证明得，再利用三角形的外角性质可证明，可判断③． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点、、分别是、、的中点， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在中，是边的中点， ，故④不正确； 连接，交于， 同理可得：， ， ， 垂直平分， ，故②正确； ， 同理：， ， ， ， ， ．故③正确． 正确的结论有：①②③． 故选：B． 92．(23-24八下·湖北荆门外语学校·期中)如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【来源】湖北省荆门市外语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作 ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 93．(24-25八下·湖北黄石下陆区黄石实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是 __． 【答案】 【来源】湖北省黄石市下陆区黄石市实验中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：正方形边长为，即， ， ， 故答案为：． 94．(24-25八下·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)如图，点在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点．若，，则下列结论： ①； ②； ③点B到直线的距离为； ④． 其中正确的结论是 __．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②/②① 【来源】湖北省宜昌市当阳市实验初级中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】由正方形的性质可知，，得出，结合题意可得出，即证明，从而可用“”证明，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出，结合全等的性质可得，进而即可求出，故②正确；过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．根据勾股定理可求出，从而可求出．又易证为等腰直角三角形，即得出，故③正确；由全等的性质可得，结合三角形的面积公式即可求出，故④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故④错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的运算等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键． 95．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)如图，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且，现准备修建两条观光小路和，若小路长20米，则小路的长度为___________米． 【答案】20 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形性质和判定，根据正方形性质证明，再利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 小路长20米， ， 故答案为：20． 96．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，已知正方形，点为上的点（不与点重合），，且，连接，则与的数量关系为______． 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 在上取一点G，使，先根据正方形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据“边角边”证明，可得，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，在上取一点G，使， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴. 在中，， ∴， 即． 故答案为：． 97．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)已知正方形中，对角线交于点O，E、F分别在线段上． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，若于M，求证：； (3)如图3，连接，过点F作的垂线交于G，连接，若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键。 （1）只需要证明，即可证明； （2）由正方形的性质得到，；则，证明；进而证明，则可证明； （3）连接，过点F作，，垂足分别为P，Q，证明，得到，则， 导角证明，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵在正方形中，对角线交于点O， ∴，； ∴， ∵于M， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； （3）解：连接，过点F作，，垂足分别为P，Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在正方形中，， ∵，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 98．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)已知正方形，点，分别为边，上两点． 【建立模型】 （）如图，连接，，如果，求证：； 【变式应用】 （）如图，点为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，与是否相等？说明理由； 【模型迁移】 （）如图，将沿折叠，使点落在上的点处，与交于点，若，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；（） 【来源】湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】（）证明即可求证； （）过点作于，可得四边形是矩形，即得，再证明即可求证； （）由折叠可得，，同理（）可证，得到，，，由勾股定理得 ，再根据三角形面积可得，进而根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）解：，理由如下： 如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （）解：如图， 由折叠可得，，， 同理（）可证， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 99．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)M为正方形内一点， (1)如图1，若点M在对角线上，，则________，________． (2)如图2，点M在对角线上，延长交于Q，，，求的长． (3)如图3，若，，， 的长为________． 求三角形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【来源】湖北省武汉市武珞路中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质求得，然后利用三角形的外角的性质求出； （2）过点作于点，易得是等腰直角三角形，求出的长，等边对等角，结合三角形的外角推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可； （3）①过点M作直线于F，交于E，过点M作于H，易得四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，得到，，，，再利用勾股定理进行求解即可； ②将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作直线与N，旋转的性质结合勾股定理逆定理推出，证明是等腰直角三角形，进而求出的长，分割法求出求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）过点作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）知：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）①过点M作直线于F，交于E，过点M作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：； ②如图，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作直线与N， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，添加恰当辅助线构造构造直角三角形是解题的关键． 100．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)6，6；3，0 (2)①详见解析；②详见解析；③； (3)6 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）由算术平方根的意义可得出，则可得出答案； （2）①取的中点K，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出； ②延长，并在延长线上截取，连接，证明（），由全等三角形的性质得出，证明（），可得，即可得到平分； ③由全等三角形的性质可得，同理可得，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案； （3）由可证，可得，则，即当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数a，b使式子， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6，6，3，0； （2）①证明：取的中点K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，K为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②证明：延长，并在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴（）， ∴， 由①知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴， ∴平分； ③∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03平行四边形 ☆5大高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判定 考点03矩形的性质与判定 考点04菱形的性质与判定 考点05正方形的性质与判定 目目 考点01 平行四边形的性质 1.(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)在☐ABCD中，∠A+∠C=130°，则∠B的大小是() A.50° B.65 C.115 D.125° 2.(24-25八下·湖北武汉青山区·期中如图，在口ABCD中，AB=AC,∠D=40°，则∠ACB的度数为() D B A.55° B.50° C.45 D.40° 3.(24-25八湖北荆州公安县期中)如图，P,Q分别为口ABCD的边AB,CD的中点，0为PQ与AC的交 点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图 聪聪： 明明： 以点O为圆心，OP的长为半径作弧， 分别过点P,Q作PM⊥AC于点 交AC于点M,N. M,ON⊥AC于点N. D 下列关于以M,P,N,Q为顶点的四边形的说法正确的是() A.聪聪作的四边形MPWQ是菱形 B.明明作的四边形MPNQ是菱形 C.聪聪作的四边形MPNQ是矩形 D.明明作的四边形MPNQ是矩形 4.(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状， 在这个变化过程中，关于木框的周长和面积，下列说法正确的是() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.周长和面积都不变 B.周长和面积都变小 C.周长不变，面积变小 D.周长不变，面积变大 5.(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)已知直线EF与平行四边形▣ABCD的一组对边分别相交于E、F 两点，以下命题及逆命题都正确的有() BF ①当直线EF平分口ABCD的面积时，那么直线EF必过对角线的交点； ②当直线EF平分口ABCD的周长时，那么直线EF必过对角线的交点； ③当直线EF平分口ABCD的周长时，那么直线EF必平分ABCD的面积； ④当直线EF平分口ABCD的面积时，那么直线EF必平分口ABCD的周长. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(24-25八下·湖北武汉武路路中学·期中)如图，在口ABCD中，对角线AD,BC交于点O,若BD=8,且 △BOD的周长比△ABO的周长多2，则AB的长为() A.4 B.6 C.8 D.2 7.(24-25八下·湖北武汉南湖中学期中)在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O.E为AB的中点，OE=5, 则AD的长为() E A.9 B.10 C.11 D.12 8.(24-25八下·湖北宜城五校期中)如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 于点F,若AB=3,AD=4,OF=1.3,则四边形EFCD的周长为() B A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 9.(24-25八下·湖北武汉东西湖区期中)如图，在口ABCD中，AB=3,BC=4.以点C为圆心，适当长为 半径画弧，交BC于点P,交CD于点Q,再分别以点P,Q为圆心，大于PO的长为半径画弧，两弧相交 于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是() B A.1 B.2 3-2 D. 10.(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，∠C的度数是() A.70° B.1109 C.40° D.140° 11.(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中若平行四边形中两个内角的度数比为2：1，则其中较大的内角是() A.60° B.90° C.120° D.135° 12.(2425八下·湖北孝感应城期中)在口ABCD中，∠A:LB:∠C:∠D的值可以是() A.1:2:3:4 B.1:3:4:2 C.1:2:1:2 D.1:1:22 13.(24-25八下·湖北武汉洪山区期中)在平行四边形ABCD中，AB=5,BE平分∠ABC交AD于点E, CF平分∠DCB交AD于点F,且EF=2,则AD的长为() A.8或12 B.8 C.10或14 D.10 14.(24-25八下·湖北孝感云梦县期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的 直线分别交AD和BC于点F,E,若设该平行四边形的面积为12，则图中阴影部分的面积为() 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 F B E A.无法确定 B.4 C.6 D.8 15.(24-25八下·湖北荆州荆州经济技术开发区·期中如图，已知∠CBE=35°，若四边形ABCD为平行四边 形，则∠D的度数为() O B E A.145 B.35° C.55° D.125° 16.(24-25八下.湖北孝感安陆期中)口ABCD的顶点坐标分别是为A(2,8),B(5,2),C10,4),则点D的坐 标是() A.(10,7) B.(10,6 C.(6,10 D.（7,10) 17.(24-25八下·湖北宜昌二十五中教联体·期中)如图，在口ABCD中，如果∠A+∠C=100°，则∠B的度数 是() D B A.50° B.80° C.100° D.130° 18.(24-25八下·湖北孝感汉川期中)如图，在▣ABCD中，若LA+LC=160°，则∠A的度数为() D A.160° B.100° C.80° D.60° 19.(24-25八下湖北黄冈蕲春县期中)如图，在▣ABCD中，AB=2,BF、CE分别是∠ABC与∠BCD的角 平分线，交点为点0，EF=1,则OB2+OC2=() D 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.10 C.9 D.12 20.(2425八下·湖北宜昌长江中学.期中)在平行四边形ABCD中，∠B=100°，则∠D的度数为() A.50 B.80° C.1009 D.130° 21.(24-25八下湖北荆州沙区·期中)平面直角坐标系中，O为原点，A(-1,2),B3,2),若四边形0ABC是 平行四边形，则点C的坐标为· 22.(24-25八下·湖北武汉青山区期中)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=32, AOB的周长为27.则CD=· B 23.(24-25八下·湖北武汉南湖中学.期中)在口ABCD中，BC=2AB,E为BC的中点，若BC=8, AE+ED=I0,则S.ABcD= D 24.(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县期中)如图，过平行四边形ABCD的对角线AC的中点0作两条 互相垂直的直线，分别交BC,AD所在的直线于E,F,G,H四点，连接FG,HE,试判断四边形EFGH的形状， 并说明理由 25.(24-25八下·湖北孝感云梦县期中)如图，点A的坐标为16,0)，点B的坐标为12,8)，点C的坐标为 (0,8),点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个 单位长度的速度沿线段BC向左运动，P,Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P,Q两点停止运动， 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 设运动时间为t(秒)· O B C B 0 o A 备用图 (1)当t= 秒时，四边形OPQC为矩形； (2)在整个运动过程中，t为何值时，P2垂直平分线段AC?判断此时四边形AQCP的形状，并说明理由： (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 目目 考点02 平行四边形的判定 26.(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)在四边形ABCD中，AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形，则 需添加一个条件，其中错误的是() A.∠C+∠D=180° B.AD=BC C.AB=CD D.AD∥BC 27.(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)如图，在一次综合与实践课上，小勤将两张宽度都为1的长方形纸 条重叠在一起，并测得∠BAD=45°，则四边形ABCD的面积是() B A.√2 B.2 2 C.2 2 D.2√2 28.(2425八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的 是() A.AB∥BC,AD=BC B.AB∥DC,AB=DC C.AB∥DC,AD∥BC D.AB=DC,AD=BC 29.(24-25八下湖北荆州沙区·期中下列命题中，假命题是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边 形 C.两组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 30.(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)如图，在ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,△ABD, △ACE,BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC;②四边形AEFD是平行四边形；③ LDFE=110°；④S四边形AEFD=3.正确的是() B A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①② 31.(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，线段AB,CD相交于点0，且图上各点把线段 AB,CD四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是个. C。 A B D 32.(24-25八下湖北荆州沙区·期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,AC平分∠BAD, 过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E. ▣ ED (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=√万，AC=4,求AE的长 33.(24-25八下·湖北宜昌五中教联体期中)已知，ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D为边AB的中点， 若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE,交BC于F点.G为EF的中点，连接CG并延长交AB于点H. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G HD (1I)试猜想四边形CEHF一定是什么特殊的四边形，并加以证明： (2)若AE=6,CH=10,求AB的长 34.(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)如图，在四边形ABCD中，点E、F在BD上，且AE∥FC, AB∥CD,BE=DF. B (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若BH⊥CD,∠DBC=90°，AD=3,AB=5,求BH的长. 35.(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在口ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)连接AC.请添加一个与线段相关的条件，使四边形AECF是矩形.（无需说明理由） 36.(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点 O,点M,N是BD上的两点且BM=DN.求证：四边形AMCN是平行四边形. O 37.(24-25八下·湖北宜昌二十五中教联体·期中)如图1，在ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的中线， BD与CE相交于点O,点F是BO的中点，点G是CO的中点. 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 图1 图2 (1)求证：四边形DEFG是平行四边形： (2)如图2，当AB=AC时，求证：四边形DEFG是矩形. 38.(24-25八下，湖北武汉武昌区武珞路·期中)如图，在口ABCD中，对角线DB上有两点E,F,且DF=BE ,求证：四边形AFCE是平行四边形. E B 39.(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E,F分别是边 AB,AC,BC的中点，连接CD,EF,求证：CD=EF; (2)如图2，在梯形ABCD中，AB∥DC,若AD=BC,求证：∠A=∠B. D D B B 图1 图2 40.(24-25八下·湖北武汉南湖中学.期中)如图，在口ABCD中，E,F是对角线BD上的点，且DE=BF. D E O F B (I)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若CF=AD,∠BFC=80°，∠DCF=30°，直按写出∠DAB的度数为_ 41.(24-25八下·湖北孝感汉川期中)如图是由7×6的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的项 点叫做格点，图中ABC的三个顶点都在格点上，E是BC上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下 列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)边AB的长= (2)在图中画格点D,使四边形ABCD是平行四边形；再在线段AD上画点F,使AF=CE. 42.(2425八下·湖北荆州荆州经济技术开发区·期中)如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图， 工人在绘制时会保证四边形停车位ABCD的边AD=BC=12m,边AB=CD=3.5m,且∠A=60°.判断四 边形ABCD的形状，并求这个停车位的面积. D 43.(24-25八下·江苏南通海陵中学集团)如图，在四边形ABCD中， AD=12,DO=OB=5,AC=26,∠ADB=90° D A 的 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)求四边形ABCD的面积. 44.(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F 为BD上的两点且BE=DF. D (1)求证：四边形AECF为平行四边形 (2)当AC、BD满足 时，四边形AECF是菱形 45.(2425八下湖北黄冈蕲春县期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为-30W3,0,点B在y轴 上，∠AB0=60°.动点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，同时点E从