专题02 勾股定理6大考点（期中真题汇编，湖北专用）八年级数学下学期新教材人教版

专题02 勾股定理 6大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02 勾股数（树）与距离问题 考点03 网格问题 考点04 折叠问题与弦图问题 考点05 勾股定理与实际问题 考点06 勾股定理的逆定理 地 城 考点01 用勾股定理解三角形 1．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·湖北咸宁赤壁、嘉鱼县·期中)在中，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D． 3．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，菱形中，，点在边上，点在边上，，，，连接，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 4．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交于点，连接．过点作，交射线于点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 5．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（   ） A．8 B． C． D．16 6．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的边长为（   ） A． B． C．5 D．10 7．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)已知直角三角形的两条直角边的长分别为1，，则斜边的长是（    ） A．2 B． C． D．4 8．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 9．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 10．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 11．(24-25八下·湖北黄冈蕲春县·期中)如图，在中，，分别是与的角平分线，交点为点，，则（   ） A．5 B．10 C．9 D．12 12．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，一个圆锥的高，底面半径，则______． 13．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为______． 14．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段沿x轴向右平移至的位置，若四边形恰好是菱形，则点C的坐标为______． 15．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)在中，，为的中点，若，，则__________. 16．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在边长为的正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点．若，则______． 17．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，在中，，以的三条边为边在上方作正方形，正方形，正方形，且恰好经过点，、交于点，若，则的面积是________． 18．(24-25八下·湖北宜城五校·期中)等边三角形的边长是，这个三角形的面积为______． 19．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)在中，，，，的对边分别为，，．若，，则______． 20．(24-25八下·湖北武汉武昌区武珞路·期中)平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P到原点的距离是________． 21．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)矩形纸片如图折叠，D点落在B点，，，则的面积为___________． 22．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)在菱形中，，，则的长是______． 23．(24-25八下·湖北荆州荆州经济技术开发区·期中)如图1，中，，，，在上截取，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为______；如图2，在菱形中，与交于点，，．线段在对角线上运动，点在点上方，，连接和．当的值最小时，的长为______． 24．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，已知正方形，点为上的点（不与点重合），，且，连接，则与的数量关系为______． 25．(24-25八下·湖北武汉武昌区武珞路·期中)如图，中，，交于点O，，，，则的长为________． 26．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)如图，中，，Q为直线上一动点，连，当，时，________． 27．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，在边长为9的正方形中，动点，分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点落在边上的点处（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②的周长为定值；③；④如果，那么四边形的面积为． 上述结论中，正确结论的序号有________．     28．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)如图，在直角中，，分别是其角平分线和中线，过点C作，垂足为点交于G，连接，若，，则线段的长为___________． 29．(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)如果直角三角形两条边长分别为3和4，那么第三条边长为_____． 30．(24-25八下·湖北黄冈蕲春县·期中)如图，在四边形中，，，若，则的度数是______，的长为______． 31．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)已知，中，，，为边的中点，若是线段上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点H． (1)试猜想四边形一定是什么特殊的四边形，并加以证明； (2)若，，求的长． 32．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)四边形为菱形，，点E、G在边上，点F在边上． (1)如图1，若， ①求证：； ②若为等边三角形，求四边形的面积； (2)如图2，若，，点H为的中点，求的长． 33．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 34．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图1，若，，求折痕的长； (2)如图2，若，求的值． 35．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)如图，在中，D为的中点，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 36．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 37．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点E，F分别在正方形的边上，且，连接交于点 (1)求证：； (2)若，，求的长． 38．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 39．(24-25八下·湖北宜城五校·期中)在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒． (1)①如图1，当点运动到O处时，线段长为____________； ②如图2，当点P在边上运动时，点P的坐标为___________（用含t的式子表示），若点Q与点B重合时，线段长为____________． (2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形， (3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围． 40．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)已知正方形，点，分别为边，上两点． 【建立模型】 （）如图，连接，，如果，求证：； 【变式应用】 （）如图，点为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，与是否相等？说明理由； 【模型迁移】 （）如图，将沿折叠，使点落在上的点处，与交于点，若，，求的长． 地 城 考点02 勾股数（树）与距离问题 41．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)观察下列勾股数的规律： 第1组：，其中； 第2组：，其中； 第3组：，其中； 第4组：，其中；…… 则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（    ） A． B． C． D． 42．(24-25八下·湖北荆州松滋·期中)下列各组数据不是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10 43．(24-25八下·湖北孝感安陆·期中)勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为___________． 44．(24-25八下·湖北宜昌十六中教联体·期中)在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 地 城 考点03 网格问题 45．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，四边形的顶点均在格点上． (1)求线段的长； (2)请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得，并简单说明理由． 46．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知、、均为格点，仅用无刻度的直尺作出符合下列问题的图形．    (1)在图1中，线段___________，___________度； (2)在图1中，在线段上作出点，使得； (3)在图2中，线段交其中一条网格线于点，在线段上作一个点，使得； (4)在图3中，点是格点，点在网格线上，将线段向右平移三个单位再向下平移1个单位得线段，且与对应． 47．(24-25八下·湖北黄石有色中学·期中)在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在图1中先画出一个以为边的正方形，再画出一个以为边的菱形（菱形不是正方形），并直接写出__________． (2)如图2，点M在格点上，先过点A作交于点G，再在上画点H，使． 48．(24-25八下·湖北荆州沙区·期中)在图1中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形．    (1)在图1中，每个小正方形的边长为a，求出的长度； (2)在图2中，每个小正方形的边长为a，请在此网格上画出一个三边长分别为、、的格点三角形． 49．(24-25八下·湖北宜昌十六中教联体·期中)（1）如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点以及点O均在格点上．（要求用无刻度的直尺画图，不准用圆规，不写作法，保留画图痕迹） ①直接写出的长为______； ②画出以为边，O为对角线交点的平行四边形； （2）如图2，画出一个以为对角线，面积为6的矩形，且D和E均在格点上； （3）如图3，正方形中，E为上一点，在线段上找一点F，使得． 50．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，先在射线上画点D，使，再在上画点E，使； (2)在图2中，点P在线段上，先画线段的中点O，再将线段沿射线方向平移至，使四边形是菱形； (3)在（2）的基础上，先画，再在上画点Q，使 51．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点均为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)画，使，； (2)在上画点，使； (3)在上画点，使； (4)作点关于的对称点． 52．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，四边形的四个顶点都是格点（正方形的顶点） (1)四边形的形状是______； (2)四边形的周长为______； (3)如图，点E是边上任意一点，请用无刻度直尺在边上作点F，使保留作图痕迹 53．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图是由7×6的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都在格点上，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)边的长＝______； (2)在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 54．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)如图，在矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求四边形的周长； (2)求证：； (3)若点P为直线上任意一点，请直接写出线段的最小值． 地 城 考点04 折叠问题与弦图问题 55．(24-25八下·湖北荆州松滋·期中)如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为________． 56．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 57．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 58．(24-25八下·湖北宜城五校·期中)勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b表示直角三角形的两直角边，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 59．(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为36．则小正方形的边长为_______． 60．(24-25八下·湖北黄石下陆区黄石实验中学·期中)第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是______． 61．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为a宽为b的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 地 城 考点05 勾股定理与实际问题 62．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设牙刷露在杯子外面的长为，则的值不可能是（   ） A．5 B． C． D． 63．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为（   ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 64．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 65．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 地 城 考点06 勾股定理的逆定理 66．(24-25八下·湖北武汉江汉区学区四校联盟·)综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 67．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 68．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．三角形的三个内角之比为 B．三角形的三边长之比为 C．三角形的三个角满足 D．三角形的三边长分别为 69．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①② 70．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)已知在中，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 71．(24-25八下·湖北武汉武昌区拼搏联盟·期中)如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（   ） A．点A、点B、点D B．点A、点C、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E 72．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（   ） A．2，4，6 B．1，2， C．4，5，6 D．1，1， 73．(24-25八下·湖北荆州荆州经济技术开发区·期中)由线段a，b，c组成的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 74．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)中，，，的对边分别是，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 75．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)由下列线段a，b，c首尾相连组成三角形，其中能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 76．(24-25八下·湖北荆州沙区·期中)的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 77．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，在四边形中，，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 6大高频考点概览 考点01 用勾股定理解三角形 考点02 勾股数（树）与距离问题 考点03 网格问题 考点04 折叠问题与弦图问题 考点05 勾股定理与实际问题 考点06 勾股定理的逆定理 地 城 考点01 用勾股定理解三角形 1．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了矩形的性质，作角平分线，全等三角形的性质和判定，勾股定理；根据作图过程可得是的平分线，然后证明，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接EG， 根据作图过程可知：是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， 解得． 故选：B． 2．(24-25八下·湖北咸宁赤壁、嘉鱼县·期中)在中，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D． 【答案】A 【来源】湖北省咸宁市赤壁市、嘉鱼县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理，求一个数的算术平方根．直接根据勾股定理计算即可． 【详解】∵在中，， ∴， 故选：A． 3．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，菱形中，，点在边上，点在边上，，，，连接，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【来源】湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年下学期八年级期中数学试题 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键：将绕点A顺时针旋转得到，连接，过M作，交的延长线于N，过E作于H，证明，得到，证明，得到，设，则：，，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，连接，过M作，交的延长线于N，过E作于H， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴，， 设，则：，， 由勾股定理，得：，， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴； 故选B． 4．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交于点，连接．过点作，交射线于点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】过A作于H，连接，设与相交于N，根据轴对称的性质得出，，，，设，则，结合正方形的性质求出，，根据等边对等角求出，进而求出，根据平行线的性质求出，根据余角的性质求出，则可求，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，证明，得出，然后代入求解即可． 【详解】解∶过A作于H，连接，设与相交于N， ∵D、F关于对称， ∴，，，， ∴ 设，则， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 5．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（   ） A．8 B． C． D．16 【答案】A 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质可得、互相垂直平分，，根据中位线性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 6．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的边长为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，，， ， 在中， ， 菱形的边长为5， 故选：C ． 7．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)已知直角三角形的两条直角边的长分别为1，，则斜边的长是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为1，， ∴斜边长为， 故选；A． 8．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 9．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 【答案】D 【来源】湖北省孝感市应城市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．先由证得，推出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 由正方形的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ∴ ∵两边的两个正方形的面积为2和3， ∴ 在中，由勾股定理得：， 即中间的一个大正方形的面积为， 故选：D． 10．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 【答案】A 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的面积求出，再由菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的周长公式计算周长即可． 【详解】解：如下图菱形，假设对角线， 则， ∴， 由菱形的性质可知：，，，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A 11．(24-25八下·湖北黄冈蕲春县·期中)如图，在中，，分别是与的角平分线，交点为点，，则（   ） A．5 B．10 C．9 D．12 【答案】C 【来源】湖北省黄冈市蕲春县2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，得到是解答的关键．先根据平行四边形的性质得到，，，，结合角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，，根据等角对等边求得，，则，然后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵分别是与的角平分线， ∴，， ∴，， ， ∴，，又， ∴， 在中，， 故选：C． 12．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，一个圆锥的高，底面半径，则______． 【答案】// 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理列式计算，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 在中，． 故答案为：． 13．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】18 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接证明，再计算周长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接 ，， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为， 的周长最小值为． 14．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段沿x轴向右平移至的位置，若四边形恰好是菱形，则点C的坐标为______． 【答案】 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】由勾股定理求出，再由菱形的性质得，然后求出，即可得出结论． 本题考查了菱形的性质．坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 点C的坐标为， 故答案为：． 15．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)在中，，为的中点，若，，则__________. 【答案】18 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理． 根据平行四边形的性质， ，，得出，，根据，，推出，，根据，得出，即，设，，根据勾股定理列式，从而求出，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴设，， 故， ∴ 解得，， 当时，， 当时，， ， ， 则的面积为． 故答案为：． 16．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，在边长为的正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点．若，则______． 【答案】/ 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵边长为的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 17．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，在中，，以的三条边为边在上方作正方形，正方形，正方形，且恰好经过点，、交于点，若，则的面积是________． 【答案】5.5 【来源】湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年下学期八年级期中数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于面积的转化．可证明，则，证明，则，那么，由勾股定理得，则，再代入化简得到． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵ ． 故答案为：． 18．(24-25八下·湖北宜城五校·期中)等边三角形的边长是，这个三角形的面积为______． 【答案】 【来源】湖北省宜城市五校2024-2025学年八年级下学期期中学业质量监测数学试卷 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用二次根式的化简．根据题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键．根据等边三角形三线合一和勾股定理即可求出该等边三角形的高，即可求出其面积． 【详解】如图，过点作垂足为点， 等边三角形高线即中线，且边长为4， ， 在中， 故答案为：． 19．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)在中，，，，的对边分别为，，．若，，则______． 【答案】13 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理得：． 故答案为：13． 20．(24-25八下·湖北武汉武昌区武珞路·期中)平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P到原点的距离是________． 【答案】 【来源】湖北武汉武昌区武珞路2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，勾股定理，根据点P的坐标为，得到点到轴的距离为1，到轴的距离为2，勾股定理求出点P到原点的距离即可． 【详解】解：由题意，点P到原点的距离是； 故答案为：． 21．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)矩形纸片如图折叠，D点落在B点，，，则的面积为___________． 【答案】30 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用矩形的性质得到，，，利用折叠的性质得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用三角形的面积公式求出的面积，再通过证明，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ，，， ， ． 故答案为：30． 22．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)在菱形中，，，则的长是______． 【答案】 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求得的长，在中利用勾股定理求得的长，则即可求得．本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分，因而边长、对角线的计算一般转化为直角三角形的边的计算． 【详解】解：设菱形对角线，相交于点，如图， 四边形是菱形， ，， 在中，， . 故答案为：. 23．(24-25八下·湖北荆州荆州经济技术开发区·期中)如图1，中，，，，在上截取，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为______；如图2，在菱形中，与交于点，，．线段在对角线上运动，点在点上方，，连接和．当的值最小时，的长为______． 【答案】 / 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】如图1，根据，，得到，，结合，得到，于是得到，根据求解 ．图2，在上截取点，使，连接，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，，转化为，根据，当，，三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值，连接交于点，解答即可． 【详解】解：如图1，∵，， ， ∴， ， ， ， ， 如图2，在上截取点，使，连接， 在菱形中，与交于点，，， ，，，，， ∴ ，， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 过点A作，且， 连接， 则四边形是平行四边形， ， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值， 连接交于点， 当与点重合时，取得最小值， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线定理，平行线分线段成比例定理，两点之间线段最短，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 24．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，已知正方形，点为上的点（不与点重合），，且，连接，则与的数量关系为______． 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 在上取一点G，使，先根据正方形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据“边角边”证明，可得，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，在上取一点G，使， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴. 在中，， ∴， 即． 故答案为：． 25．(24-25八下·湖北武汉武昌区武珞路·期中)如图，中，，交于点O，，，，则的长为________． 【答案】 【来源】湖北武汉武昌区武珞路2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于正确添加辅助线． 过点A作，过点B作，连接，过点E作，交的延长线于点G，可得四边形是平行四边形，那么，可证明是等边三角形，则，而是等腰直角三角形，由勾股定理求解，最后由勾股定理得到，即可求解． 【详解】如图，过点A作，过点B作，连接，过点E作，交的延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 26．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)如图，中，，Q为直线上一动点，连，当，时，________． 【答案】5或 【来源】湖北省武汉市武珞路中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨论等知识，过点A作于点D，设，当点Q在线段上时，点Q在之间时，先求出，再由勾股定理求出，然后由勾股定理即可得出答案；点Q在之间时，同理可得；当点Q在线段的延长线上时，先求出，再由勾股定理求出，然后由勾股定理即可得出答案；当点Q在线段的延长线上时，同理可得． 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， 设 如图1，当点Q在线段上时， 点Q在之间时， ∵， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）； 点Q在之间时，同理可得：； 如图2，当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）； 当点Q在线段的延长线上时，同理可得：； 综上所述，或， 故答案为：5或． 27．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，在边长为9的正方形中，动点，分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点落在边上的点处（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②的周长为定值；③；④如果，那么四边形的面积为． 上述结论中，正确结论的序号有________．     【答案】①②③ 【来源】湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年下学期八年级期中数学试题 【分析】此题考查了正方形的折叠、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的折叠、全等三角形的判定和性质是关键．证明，，即可判断①；过B作于Q，证明，，根据全等三角形的性质即可得到答案，判断②即可；过作于，证明．，．即可判断③；，由③知，，即可判断④． 【详解】解：①由翻折可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①对； ②过B作于Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ，故②对； ③过作于， ∵ ∴四边形为矩形， ． 由翻折可知，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ． ，故③正确； ④且， ，． 设，则， 在直角三角形中，由，解得， ，由③知， ， ，故④错误． 故答案为：①②③ 28．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)如图，在直角中，，分别是其角平分线和中线，过点C作，垂足为点交于G，连接，若，，则线段的长为___________． 【答案】 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，可证明得到，再由可得，点G为中点，由勾股定理可得，则，证明是的中位线，得到，则，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，点G为中点， ∵， ∴， ∵是的中线，点G为中点， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)如果直角三角形两条边长分别为3和4，那么第三条边长为_____． 【答案】或5 【来源】湖北省宜昌市金东方教育集团2024—2025学年下学期八年级数学期中考试 【分析】本题考查勾股定理，分边长为4的边为直角边和斜边，两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当边长为4的边为直角边时，第三边的边长为； 当边长为4的边为斜边时，第三边的边长为； 故答案为：或5． 30．(24-25八下·湖北黄冈蕲春县·期中)如图，在四边形中，，，若，则的度数是______，的长为______． 【答案】 /度 【来源】湖北省黄冈市蕲春县2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 过点作，交于点，根据题意求出，得到，勾股定理求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，，即可证明是等腰三角形，即可得到的度数，在由线段的和差求出的长． 【详解】解：过点作，交于点， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， 故答案为：，． 31．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)已知，中，，，为边的中点，若是线段上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点H． (1)试猜想四边形一定是什么特殊的四边形，并加以证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形一定是矩形，证明见解析 (2) 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边中线性质得，进而得，根据得，则，由此可判定四边形是平行四边形，再根据即可得出四边形的形状； （2）根据矩形性质得，进而得是等腰直角三角形，则，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：（1）四边形一定是矩形，证明如下： 连接，，如图所示： ，， 和都是直角三角形， 点为的中点， 根据直角三角形斜边中线性质得：，， ， ， 在中，，，为边的中点， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形， 故四边形一定是矩形； （2）四边形是矩形，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定，三角形中位线的性质，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，理解等腰直角三角形性质，熟练掌握矩形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 32．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)四边形为菱形，，点E、G在边上，点F在边上． (1)如图1，若， ①求证：； ②若为等边三角形，求四边形的面积； (2)如图2，若，，点H为的中点，求的长． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）①证，得出； ②连接，在上截取，证明，得出，则四边形的面积的面积，则作于H，则，，则可得出答案； （2）连接并延长交的延长线于E，延长交于点Q，作于P，证明，得出，，证明，得出，即，则可得出答案． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：连接，在上截取，如图2所示： 同（1）得：， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 作于H，则，， ∴四边形的面积的面积=； （2）解：连接并延长交的延长线于E，延长交于点Q，作于P，如图3所示： ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得： ， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的与性质等知识，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 33．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 34．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图1，若，，求折痕的长； (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． （1）由勾股定理求出，的长，设，则，得出，解方程即可得解； （2）设，则，得出，设，则，在中，得出，则，根据勾股定理列方程解出的值，求出和的长，再利用勾股定理求出，则答案可求出． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； （2）解：， 设，则， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 在中，， ， ， ，， ， ． 35．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)如图，在中，D为的中点，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质． （1）直接根据勾股定理的逆定理计算即可； （2）连接，设，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等边对等角得到，由三角形外角的性质可知，由等角对等边得，再根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴ ∴； （2）解：连接，设，则 ∵在中，D为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 36．(24-25八下·湖北宜昌五中教联体·期中)将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)6，6；3，0 (2)①详见解析；②详见解析；③； (3)6 【来源】 湖北省宜昌五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】（1）由算术平方根的意义可得出，则可得出答案； （2）①取的中点K，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出； ②延长，并在延长线上截取，连接，证明（），由全等三角形的性质得出，证明（），可得，即可得到平分； ③由全等三角形的性质可得，同理可得，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案； （3）由可证，可得，则，即当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数a，b使式子， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6，6，3，0； （2）①证明：取的中点K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，K为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②证明：延长，并在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴（）， ∴， 由①知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴， ∴平分； ③∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 37．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点E，F分别在正方形的边上，且，连接交于点 (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程； (2) 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键． （1）证明和全等得，再根据得，进而得，由此即可得出结论； （2）依题意得，进而由勾股定理得，在由三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， ； （2）解：，， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， 由三角形的面积公式得：， 38．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)5． 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线性质，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，再根据矩形性质和平行线性质即可证明结论； （2）由勾股定理求AC的长，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点， ，，， ， ； （2）解：， ， 四边形是矩形， ，， ， 又点O是的中点， ． 39．(24-25八下·湖北宜城五校·期中)在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒． (1)①如图1，当点运动到O处时，线段长为____________； ②如图2，当点P在边上运动时，点P的坐标为___________（用含t的式子表示），若点Q与点B重合时，线段长为____________． (2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形， (3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2)见解析 (3)或或 【来源】湖北省宜城市五校2024-2025学年八年级下学期期中学业质量监测数学试卷 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和矩形相结合，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，轴对称的性质，列一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）①利用矩形的性质和点的坐标求出相关线段的长度，然后利用勾股定理即可求解； ②先判定出和为等腰直角三角形，求出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可； （2）过作于，证明，对应边相等，然后可得结论； （3）分三种情况进行讨论，利用轴对称的性质得出相等的线段，利用勾股定理和一元二次方程等进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点D为， ∴， 当点运动到O处时，由勾股定理得， ； 当点P在边上运动时，， ∴点P的坐标为； 当点Q与点B重合时，此时由点的坐标可知，， ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴由勾股定理得； 故答案为：①；②，； （2）证明：过作于， 则四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：①当在上时，当的对应点在上， ∵四边形与矩形重叠部分是轴对称图形， ∴， 又，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得， 当时，在矩形内部，符合题意， ∴当时，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形； ②当在上，当F、A重合时，符合题意，如图 则，， 在中，， ∴， 解得； ③当在上，F、B重合时，此时Q与C重合，符合题意，如图， 则四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 综上，当或或． 40．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)已知正方形，点，分别为边，上两点． 【建立模型】 （）如图，连接，，如果，求证：； 【变式应用】 （）如图，点为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，与是否相等？说明理由； 【模型迁移】 （）如图，将沿折叠，使点落在上的点处，与交于点，若，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；（） 【来源】湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】（）证明即可求证； （）过点作于，可得四边形是矩形，即得，再证明即可求证； （）由折叠可得，，同理（）可证，得到，，，由勾股定理得 ，再根据三角形面积可得，进而根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）解：，理由如下： 如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （）解：如图， 由折叠可得，，， 同理（）可证， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 地 城 考点02 勾股数（树）与距离问题 41．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)观察下列勾股数的规律： 第1组：，其中； 第2组：，其中； 第3组：，其中； 第4组：，其中；…… 则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键． 观察各组勾股数的规律，发现每组第一个数为奇数，第二个数与第一个数存在特定关系，进而推导斜边的表达式． 【详解】解：第1组到第4组的第一个数依次为3，5，7，9，均为奇数且公差为2，故第组的第一个数为． 第二个数依次为4，12，24，40，可表示为，展开后为． ∴斜边为前两个数的平方和的平方根， 即：， ∴ ∴ ∴斜边， 故选：B． 42．(24-25八下·湖北荆州松滋·期中)下列各组数据不是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】A 【来源】湖北省荆州市松滋市2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试卷 【分析】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项符合题意； B、，是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项不符合题意； D、，是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：A． 43．(24-25八下·湖北孝感安陆·期中)勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为___________． 【答案】（19，180，181） 【来源】湖北省孝感市安陆市2024-2025学年八年级下学期期中质量调研数学试卷 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 44．(24-25八下·湖北宜昌十六中教联体·期中)在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 【答案】 【来源】 湖北省宜昌十六中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离计算以及勾股定理的运用，直接根据两点坐标距离公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 地 城 考点03 网格问题 45．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，四边形的顶点均在格点上． (1)求线段的长； (2)请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，熟练运用股沟定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）取格点，则点即为所作，利用勾股定理逆定理说明即可． 【详解】（1）解：如图，取格点 则， 在中：； （2）解：如图， 取格点，则在中：， 在中：， ， 又， ， ， 同理可得：． 46．(24-25八下·湖北武汉武珞路中学·期中)如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知、、均为格点，仅用无刻度的直尺作出符合下列问题的图形．    (1)在图1中，线段___________，___________度； (2)在图1中，在线段上作出点，使得； (3)在图2中，线段交其中一条网格线于点，在线段上作一个点，使得； (4)在图3中，点是格点，点在网格线上，将线段向右平移三个单位再向下平移1个单位得线段，且与对应． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【来源】湖北省武汉市武珞路中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据勾股定理，得线段，利用勾股定理逆定理计算解得即可； （2）根据正方形的性质，线段的垂直平分线的判定，画图即可； （3）根据网格特点，将平移，使得点C与点E重合，交于点Q，即可解答； （4）根据平移的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得线段，，， 故， 故， 故答案为：；． （2）解：根据正方形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，画图如下：    则点G即为所求． （3）解：如图，点Q为所求． 如图，取格点M，N，作线段，交网格线于点F，取格点K，H， 则，，， ∴， ∴， 取格点H，N， ∵，， ∴， ∴， 连接，交于点Q， ∵， ∴平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴，即点Q为所求． （4）解：先将点M向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点D， 连接，与交于点O，根据格点特点，得到点O是得中点； 作，连接交横格线于点P，得到点P是得中点； 作直线与经过点M的横格线交于点G，根据中位线定理，得，于是得到了， 作直线与经过点P的横格线交于点F， 连接，，由题意得，    故， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则点F即为所求， 连接即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，学会运用勾股定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 47．(24-25八下·湖北黄石有色中学·期中)在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在图1中先画出一个以为边的正方形，再画出一个以为边的菱形（菱形不是正方形），并直接写出__________． (2)如图2，点M在格点上，先过点A作交于点G，再在上画点H，使． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析 【来源】湖北省黄石市有色中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试卷 【分析】（1）由勾股定理可得，若连接，则由勾股定理逆定理可证明，则正方形即为所求；可得，故菱形即为所求； （2）取格点，连接并延长交即为点，可得，则，可得，再根据全等三角形对应角相等以及互余关系可证明； 取格点，连接并延长与交点即为点，可得平行四边形，则，得到，由为中点得到，而，则，故是的垂直平分线，则． 【详解】（1）解：如图，正方形，菱形即为所求； ∵， ， ． （2）解：如图，点，即为所求： 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及正方形和菱形的判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于找准格点． 48．(24-25八下·湖北荆州沙区·期中)在图1中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形．    (1)在图1中，每个小正方形的边长为a，求出的长度； (2)在图2中，每个小正方形的边长为a，请在此网格上画出一个三边长分别为、、的格点三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）取格点，由勾股定理可得、、，故即为所求； 本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：，； （2）解：如图，即为所求．    49．(24-25八下·湖北宜昌十六中教联体·期中)（1）如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点以及点O均在格点上．（要求用无刻度的直尺画图，不准用圆规，不写作法，保留画图痕迹） ①直接写出的长为______； ②画出以为边，O为对角线交点的平行四边形； （2）如图2，画出一个以为对角线，面积为6的矩形，且D和E均在格点上； （3）如图3，正方形中，E为上一点，在线段上找一点F，使得． 【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【来源】 湖北省宜昌十六中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查刻度尺作图、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）①直接用勾股定理求解即可；②根据平行四边形的判定以及题目要求画出图形即可； （2）作一个边长分别为、的矩形即可； （3）如图：连接相交于点J，连接，延长交于点F，点F即为所求． 【详解】解：① 故答案为：； ②如图1中，四边形；即为所求． （2）矩形即为所求． （3）如图3中，点F即为所求． 50．(24-25八下·湖北武汉硚口区·期中)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，先在射线上画点D，使，再在上画点E，使； (2)在图2中，点P在线段上，先画线段的中点O，再将线段沿射线方向平移至，使四边形是菱形； (3)在（2）的基础上，先画，再在上画点Q，使 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了格点作图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形，矩形，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）在射线上截取，连接格点交于点E，连接，即为所求； （2）设交网格线于点O，取格点，则K为中点，易证，得到，再根据直角三角形的性质可得，易得，进而推出，即可得到点O是的中点；由勾股定理求出，则作即可； （3）连接并延长交延长线于点G，则四边形是平行四边形，连接交于点H，连接并延长交于点Q，则． 【详解】（1）解：如图，点D和点E即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； 由网格线的性质得，即， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）解：如图，四边形即为所求， 设交网格线于点O， 由网格线的性质得点是的中点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点O是的中点； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：如图，点G和Q即为所求． 由（2）知点是的中点，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 51．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点均为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)画，使，； (2)在上画点，使； (3)在上画点，使； (4)作点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理、平移的性质、平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识； （1）根据勾股定理结合网格特点即可解答； （2）取格点M，连接交于Q，根据平移的性质可知点Q即为所求； （3）取的中点D，连接，则即为所求； （4）如图，取格点N、F、L，连接，连接，交网格线于K、G、H，连接并延长交于点E，则点E即为所求作. 【详解】（1）解：如图所示： 由勾股定理可得：，； 故符合要求； （2）解：取格点M，连接交于Q，则点Q即为所求； （3）解：取的中点D，连接，则即为所作； 理由：∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴是的垂直平分线， 连接，则； （4）解：如图，取格点N、F、L，连接，则四边形是平行四边形， 连接，交网格线于K、G、H，连接并延长交于点E，则点E即为所求作；    理由：由网格的特点可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由网格的特点可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是三角形的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行线与间的距离相等， ∴D、E关于对称. 52．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，四边形的四个顶点都是格点（正方形的顶点） (1)四边形的形状是______； (2)四边形的周长为______； (3)如图，点E是边上任意一点，请用无刻度直尺在边上作点F，使保留作图痕迹 【答案】(1)矩形 (2)； (3)见解析． 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，则可证明四边形是平行四边形，再证明，得到，则平行四边形是矩形； （2）根据矩形周长计算公式求解即可； （3）连接交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可得， ∴四边形的周长为； （3）解：连接交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求． 可利用证明，则． 53．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图是由7×6的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都在格点上，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)边的长＝______； (2)在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质． （1）过点作于点，构造直角，利用勾股定理可以求出； （2）作格点使且，连接，四边形是平行四边形；连接、交于点，连接并延长，交于点，则有． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 由网格图可知，，， ， 故答案为：； （2）解：如图，作格点使且，连接，四边形是平行四边形，连接、交于点，连接并延长，交于点，则有； 理由如下： 四边形是平行四边形， ∴，， ， 在和中，， ， ． 54．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)如图，在矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求四边形的周长； (2)求证：； (3)若点P为直线上任意一点，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3)2 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，垂线段最短，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出四边形的四边长即可得到答案； （2）求出的长，证明，即可得到； （3）由垂线段最短，可知当时，有最小值，据此利用等面积法求出此时的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由网格的特点和勾股定理得， ，，， ∴四边形的周长； （2）解；∵，，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时有， ∴， ∴的最小值为． 地 城 考点04 折叠问题与弦图问题 55．(24-25八下·湖北荆州松滋·期中)如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为________． 【答案】 【来源】湖北省荆州市松滋市2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试卷 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 56．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， 即， ， 故选：C． 57．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，由全等三角形的性质可得，，， 即得，，进而得四边形是正方形，再利用勾股定理解答即可求解，掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 58．(24-25八下·湖北宜城五校·期中)勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b表示直角三角形的两直角边，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省宜城市五校2024-2025学年八年级下学期期中学业质量监测数学试卷 【分析】本题主要考查勾股定理，完全平方公式；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，得出关于的等式，再结合完全平方公式即可得出结论． 【详解】解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故D错误，A，B，C正确， 故选：D． 59．(24-25八下·湖北宜昌金东方教育集团·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为36．则小正方形的边长为_______． 【答案】 【来源】湖北省宜昌市金东方教育集团2024—2025学年下学期八年级数学期中考试 【分析】本题考查与弦图为背景的问题，数形结合，表示出小正方形的边长为，再由完全平方差及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为36，设大正方形边长为，则在“赵爽弦图”的直角三角形中，， 小正方形的边长为，则， ， ， 又小正方形的边长为，则小正方形的边长为， 故答案为：． 60．(24-25八下·湖北黄石下陆区黄石实验中学·期中)第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是______． 【答案】 【来源】湖北省黄石市下陆区黄石市实验中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，正确的根据图形关系求得和的值是解题的关键． 根据题意可知，，然后将所求式子展开，将和的值代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∵大正方形的面积是， ∴， ∴ ， ∴的值是（负值舍去）， 故答案为：． 61．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期中)学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为a宽为b的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 【答案】 【来源】　湖北省咸宁市通城县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷　 【分析】此题考查了勾股定理，根据大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，得到，，求得，根据勾股定理得到结论． 【详解】解：大正方形的面积为32，小正方形的面积为8， ∴，， ∴， ， 每个小长方形纸片的对角线长． 地 城 考点05 勾股定理与实际问题 62．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)如图，将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设牙刷露在杯子外面的长为，则的值不可能是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短时等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短时等于杯子的高时，， 当杯子中牙刷最长时，， ∴h的取值范围是：， ∵， ∴，即， ∴的值不可能是， 故选：D． 63．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为（   ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 【答案】C 【来源】湖北省武汉市南湖中学2024-2025学年下学期期中八年级数学试题 【分析】本题考查勾股定理的应用、解一元一次方程，过点B作，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点B作， 由题意得，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 故选：C． 64．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【来源】湖北省孝感市应城市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，得到，根据勾股定理结合C、D两村到点E的距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 65．(24-25八下·湖北孝感汉川·期中)如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1) (2)游人在小时内撤离才可脱离危险 【来源】湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】（1）解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； （2）解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 地 城 考点06 勾股定理的逆定理 66．(24-25八下·湖北武汉江汉区学区四校联盟·)综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【来源】湖北省武汉市江汉区学区四校联盟2024-2025学年八年级下学期3月联考数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 67．(24-25八下·湖北孝感应城·期中)如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【来源】湖北省孝感市应城市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 68．(24-25八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．三角形的三个内角之比为 B．三角形的三边长之比为 C．三角形的三个角满足 D．三角形的三边长分别为 【答案】D 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、最大的内角的度数为，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、设三角形的三边长为，则，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为，，则，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、设三角形的三边长为，则，不能构成三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 69．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①② 【答案】D 【来源】湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 同理可证： 四边形是平行四边形，故②正确； ，故③错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故④错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 70．(24-25八下·湖北孝感云梦县·期中)已知在中，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年下学期期中学情调研八年级数学试题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，由三角形内角和定理可判断A、D，由勾股定理的逆定理可判断B、C． 【详解】解：A、由条件，且，可求得，故是直角三角形； B、设，则，故可得，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C、由可得，即，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形； D、因为，且，可求得最大角，故不是直角三角形． 故选：D． 71．(24-25八下·湖北武汉武昌区拼搏联盟·期中)如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（   ） A．点A、点B、点D B．点A、点C、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E 【答案】C 【来源】 湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，不可以构成直角三角形，不符合题意； C、，可以构成直角三角形，符合题意； D、，不可以构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 72．(24-25八下·湖北武汉青山区·期中)下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（   ） A．2，4，6 B．1，2， C．4，5，6 D．1，1， 【答案】B 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，4，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵， ∴1，2，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、∵， ∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴1，1，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：B． 73．(24-25八下·湖北荆州荆州经济技术开发区·期中)由线段a，b，c组成的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，解题关键是熟记勾股定理逆定理，准确进行计算． 【详解】解：A．因为，所以是直角三角形，不符合题意； B．因为，所以是直角三角形，不符合题意； C．因为，所以不是直角三角形，符合题意； D．因为，所以是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 74．(24-25八下·湖北黄石阳新县部分学校·期中)中，，，的对边分别是，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角度比例、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据三角形内角和定理、角度比例、勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A：设，，，由内角和得， 解得，则，，，无直角，不能判定为直角三角形，符合题意； B：设三边为，，，验证勾股定理，满足勾股定理，是直角三角形，不符合题意； C：由，结合内角和得，即，是直角三角形，不符合题意； D：展开得，即，满足勾股定理，是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 75．(24-25八下·湖北武汉洪山区·期中)由下列线段a，b，c首尾相连组成三角形，其中能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：．，是直角三角形，故此选项符合题意； ．，不是直角三角形，故此选项不符合题意； ．，不是直角三角形，故此选项不符合题意； ．，不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 76．(24-25八下·湖北荆州沙区·期中)的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】①③④ 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理判断即可． ①根据三角形内角和定理可解得；②根据三角形内角和定理可解得，，，即可判断；③把右边括号乘开，根据勾股定理逆定理判断即可；④直根据勾股定理逆定理即可判断． 【详解】解：①∵，， 则 解得，所以是直角三角形； ②，， 设，，， 则， 解得：， 则，，，故不是直角三角形； ③∵，∴，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形； ④∵，∴设，，， ∵∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形． ∴其中能判断是直角三角形的个数有3个， 故答案为①③④ 77．(24-25八下·湖北武汉东西湖区·期中)如图，在四边形中，，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)36 【来源】湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年下学期八年级期中数学试题 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出直角三角形的斜边，再用勾股定理的逆定理判断另一个三角形是否为直角三角形，进而解决角度和面积问题． （1）先在中用勾股定理求出的长，再在中通过勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，从而得出的度数； （2）把四边形的面积拆分为和的面积之和，分别计算两个直角三角形的面积后相加得到四边形面积． 【详解】（1）解：，，， ，， 是直角三角形， ； （2）解：， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $