精品解析：辽宁县级重点高中协作体2025-2026学年高三下学期4月测试数学试卷

辽宁县级重点高中协作体2025-2026学年高三下学期4月测试数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简的形式，再求出其共轭复数，最后得到它的虚部. 【详解】， 所以，其虚部为． 2. 已知集合，全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，所以，即， 或． 则. 3. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交以及点到直线的距离公式求斜率即可. 【详解】圆可化为，则圆心，半径， 由题意可知，过点的直线与圆相交， 当直线的斜率不存在时，与圆相切，不符合题意； 故直线的斜率存在，设，即， 则，即，得， 故直线斜率的取值范围是. 故选：C 4. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表： 0 1 2 3 4 2.5 4.0 4.3 4.2 且回归直线方程是，则（ ） A. 6.2 B. 6.3 C. 6.4 D. 6.5 【答案】D 【解析】 【分析】求出样本中心点，再利用回归直线过样本中心点求解. 【详解】由数据表，得， 依题意，回归直线过点，则, 所以. 故选：D 5. 一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（ ） A. 42cm B. 44cm C. 48cm D. 50cm 【答案】A 【解析】 【分析】易知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度. 【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积， 利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度， 即，故水槽中水面的高度达到了42cm. 故选：A 6. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则． 故选：C． 7. 双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，再结合双曲线的定义得，代入整理即可得答案. 【详解】由题知， 因为、、成等差数列，所以， 由双曲线的定义得：①，②， 得， 又因为， 所以 故选：B 8. 已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知，，，所以，，即，. 又，所以，，所以，. 因为，所以当时，取得最小值：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某单位有职工人，其中男职工人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为的样本，得出体重情况:男职工的平均体重为，女职工的平均体重为.则下列说法正确的是（ ） A. 抽查的样本中女职工人数为 B. 该单位男职工的体重普遍比女职工重 C. 估计该单位职工平均体重为 D. 男、女职工被抽中的可能性均为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抽样比即可求解AD，根据平均数的定义以及计算公式即可求解BC. 【详解】A选项，抽查的样本中女职工人数为，A选项错误; B选项，男职工的平均体重，女职工的平均体重为，根据样本估计可知：该单位男职工的体重普遍比女职工重，B选项正确; C选项，估计该单位职工平均体重为，C选项错误; D选项，男、女职工被抽中的可能性均为，D选项正确. 故选:BD. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据对数函数恒过定点的性质来判断；对于B，根据幂函数的定义求出的值，再判断函数的奇偶性；对于C，根据对数函数的单调性求解不等式；对于D，根据分段函数的单调性列出不等式组求解. 【详解】对于A，令，则，此时， 所以图象恒过定点，故A正确； 对于B，因为是幂函数，所以，所以， 所以幂函数，该函数为偶函数，故B错误； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且， 所以，解得，故D正确； 故选：AD 11. 已知抛物线，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】A求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，根据焦点弦长公式，得； B由抛物线焦点弦性质及基本不等式，确定最小值；C设，及圆方程，代入得，联立，解得横坐标；D当共线时，周长最小. 【详解】A，抛物线的焦点为，直线斜率为，则直线方程为， 联立抛物线方程，消去得， 设，由韦达定理得， 根据抛物线焦点弦长公式得，故正确； B，设直线的倾斜角为，由抛物线焦点弦性质， 则， 根据基本不等式，当且仅当时取等号， 所以，故正确； C，设，则的中点为， 以为直径的圆的方程为， 因为圆与轴交于，代入得， 所以，又，联立解得，故错误； D，的周长为， 等于到准线的距离，所以周长为， 当（为到准线的垂足）共线时，最小为， 则周长最小值为，故错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量垂直求出向量的坐标，再利用向量的模长公式求模长. 【详解】因为，则，解得 则 所以． 13. 计算：__________. 【答案】2 【解析】 【详解】tan， 又， 故上式可化为． 又由， 可得． 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若角是锐角，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边角关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换求出的值； （2）利用余弦定理结合完全平方式求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 由， 得， . 因为，所以， 所以，可得或． 【小问2详解】 因为角是锐角，所以，则， 由余弦定理可得， 则， 因为， 所以，得， 故的面积为． 16. 已知数列的前项和为，且长为，宽为的长方形的面积为． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）若数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求，再根据公式，，求解通项公式； （2）利用错位相减法求和； （3），再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由题意得． 当时，． 当时，，满足． 故对任意的． 【小问2详解】 由（1）得， 则， 两式相减得， 有， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以 故对任意的． 17. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； （3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 设，的交点为，连接， 因为四边形与均为菱形，且， 所以，， 又因为，且为中点，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） （3）存在，点在延长线上且满足. 【解析】 【分析】（1）设，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理得到平面，根据面面垂直的判定定理得到平面平面． （2）利用线面垂直的判定定理以及勾股定理证垂直，从而以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用向量的数量积公式求出的值. （3）设，求出的坐标，求出平面的法向量，由平面得到，计算出的值，从而得到点在延长线上，且满足. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，且，平面，所以平面， 设，因为四边形与均为菱形， 且，所以，， 又因为，在中，，所以， 因为，，，平面， 所以平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 所以，，，，， 由，得到， 所以，， 设平面的法向量，，所以， 因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，所以. 【小问3详解】 设，所以， 则，，， 设平面的法向量，，所以， 因为平面，所以，所以， 此时在平面FDM外，符合题意， 所以存在点M符合题意，且点在延长线上，满足. 18. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】（1）分布列见详解， （2）（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【解析】 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【小问1详解】 实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . 【小问2详解】 (i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 19. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【小问1详解】 由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 ①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁县级重点高中协作体2025-2026学年高三下学期4月测试数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表： 0 1 2 3 4 2.5 4.0 4.3 4.2 且回归直线方程是，则（ ） A. 6.2 B. 6.3 C. 6.4 D. 6.5 5. 一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（ ） A. 42cm B. 44cm C. 48cm D. 50cm 6. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 8. 已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某单位有职工人，其中男职工人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为的样本，得出体重情况:男职工的平均体重为，女职工的平均体重为.则下列说法正确的是（ ） A. 抽查的样本中女职工人数为 B. 该单位男职工的体重普遍比女职工重 C. 估计该单位职工平均体重为 D. 男、女职工被抽中的可能性均为 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则 11. 已知抛物线，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，若，则__________. 13. 计算：__________. 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若角是锐角，，求的面积． 16. 已知数列的前项和为，且长为，宽为的长方形的面积为． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）若数列的前项和为，证明：． 17. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； （3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 18. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 19. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $