专题02 平面向量的运算（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题02 平面向量的运算 考点01向量加法法则的几何应用 考点02向量减法的运算律 考点03向量减法法则的几何应用 考点04平面向量的混合运算 考点05向量的线性运算的几何应用 考点06根据向量关系判断三角形的心 考点07三角形的心的向量表示 考点01 向量加法法则的几何应用 1．已知，，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. 2．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以, 所以 取的中点,则, . ，即为中线的中点,如图所示， 则的面积为，的面积为， . 所以. 故选：A 3．若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】                   （2） 由非零向量，满足 当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得. 故选：C 4．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心， 因为，故A错误； 由, 故B错误； 因为, 故C正确； 因为 , 故D正确. 故选：CD 5．在矩形中，，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：， 延长至，使，连接， 由于，∴， 四边形是平行四边形， ， ， . 故选:C 6．在平行四边形中，，若，则=（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】，则平分，则四边形为菱形. 且，由，则, 故选：B. 7．在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＝ A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， ∴； 故选A． 8．已知向量、满足，，，则 A．3 B． C． D．9 【答案】A 【详解】分析：根据向量，解得结果. 详解：因为，所以 所以 因此选A. 考点02向量减法的运算律 9．化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 10．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 11．化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【详解】（1）. （2） . （3） . 12．若，，则_________. 【答案】/ 【详解】 故答案为： 13．化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）法一：原式； 法二：原式； （2）法一：原式 法二：原式 （3）方法一：； 方法二：； （4） （5） 考点03向量减法法则的几何应用 14．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 15．在中，化简________ 【答案】 【详解】. 故答案为： 16．已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】如图所示： 因为AB是的中位线，所以，因为， 所以． 故答案为：2. 17．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 18．在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 19．已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】的几何意义如图所示， 因为的最小值为3， 所以在中，，所以， 所以， 因为与的夹角有两种情况，即或， 所以或， 故选：D． 20．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 21．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得． 故选：C 考点04平面向量的混合运算 22．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 故选：D 23．已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【答案】， 【详解】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 24．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ． 故选：C． 25．如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：B. 26．已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ． 故选：C 27．在中，为边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 28．化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2）. 29．下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：D. 考点05向量的线性运算的几何应用 30．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 31．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 依题意，. 答案：B. 32．若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由化简得， 而，所以可得， 即以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形， 即是直角三角形. 故选：C． 33．在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 34．若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 35．在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________ 【答案】13 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. 36．已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意作出图形，如图所示， 所以， 故选：A. 37．如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 考点06根据向量关系判断三角形的心 38．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 39．已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 40．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】满足，∴为的重心， ∴＝＝， 又∵， ∴ ． 故选：A． 41．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心. 故选：C. 42．设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________． 【答案】 【详解】若，， ∴，即为△的重心， 令，，则，， ∴，由， 故答案为： 43．在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【详解】因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中,     故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D. 44．设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则正确的（    ） A．O为的外心 B．O为的重心 C．O为的垂心 D．O为的内心 【答案】BCD 【详解】A.当O为三角形的外心，由正弦定理可得：，故A错误； B.当O为三角形的重心，O为中线的交点，延长AO交BC于点M，可得，所以. 反之，取BC中点M，若，则，则可得A,O,M三点共线且，即A为三角形的重心.故B正确； C.当O为三角形的垂心，，同理可证，即，反之也成立，故C正确； D. 当O为三角形的内心，O为三角形的角平分线，则，如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，则四边形AMON为平行四边形 所以，反之也成立，故D正确； 故选：BCD 45．已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为__________. 【答案】3 【详解】，即，表示在的角平分线上，故是内心. 如图所示：；，故. 故答案为：.    46．在中，若，则点G是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【详解】因为， 所以， 化简得， 故点G为三角形ABC的重心 故选：D 考点07三角形的心的向量表示 47．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 48．点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. 49．在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 50．已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 故选：C. 51．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 52．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 53．的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 【答案】AC 【详解】 ， 因为点为的重心， 所以，所以， 所以三点共线，故A正确，B错误； ， 因为， 所以，即，故C正确； 因为， 所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误； 故选：AC． 54．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 【答案】ACD 【详解】对于A，，为等边三角形，故A正确； 对于B，，，、、三点不共线，故B错误； 对于C，设，，分别为，，的中点，则， ，， ，即，故C正确； 对于D，，，，，在的角平分线上，的轨迹一定通过的内心，故D正确． 故选：ACD． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量的运算 考点01向量加法法则的几何应用 考点02向量减法的运算律 考点03向量减法法则的几何应用 考点04平面向量的混合运算 考点05向量的线性运算的几何应用 考点06根据向量关系判断三角形的心 考点07三角形的心的向量表示 考点01 向量加法法则的几何应用 1．已知，，则的取值范围为______. 2．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 3．若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 4．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在矩形中，，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在平行四边形中，，若，则=（    ） A． B． C． D．3 7．在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＝ A． B． C． D． 8．已知向量、满足，，，则 A．3 B． C． D．9 考点02向量减法的运算律 9．化简： (1)； (2). 10．化简：（    ） A． B． C． D． 11．化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 12．若，，则_________. 13．化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 考点03向量减法法则的几何应用 14．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 15．在中，化简________ 16．已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________． 17．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   19．已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 20．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 21．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点04平面向量的混合运算 22．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 23．已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 24．（    ） A． B． C． D． 25．如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 26．已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 27．在中，为边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 28．化简：（1）； （2）. 29．下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 考点05向量的线性运算的几何应用 30．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 31．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 32．若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 33．在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 34．若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 35．在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________ 36．已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 37．如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 考点06根据向量关系判断三角形的心 38．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 39．已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 40．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 41．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 42．设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________． 43．在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 44．设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则正确的（    ） A．O为的外心 B．O为的重心 C．O为的垂心 D．O为的内心 45．已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为__________. 46．在中，若，则点G是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 考点07三角形的心的向量表示 47．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 48．点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 49．在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 50．已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 51．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 52．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 53．的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 54．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $