第六章平面向量习题讲评教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

习题讲评教学设计 一.试题: 如图(1)所示,给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上变动,若,求的取值范围. 变式1:求的取值范围. 变式2:求的取值范围. 变式3:求的取值范围. 二.课堂实录: 师:上述试题及其变式可以多题归一,即给定两个长度为的平面向量和,它们的夹角为().点在以为圆心的圆弧上变动,若,求()的取值范围.对于此类试题,可否有通性通法?本节课我们一起来探究这个问题.请同学们思考原题,如何入手? 生:思考讨论,眉头紧锁…… 师:平面向量作为代数与几何的纽带,素有“与解几交汇,与立几联姻,与代数牵手”的美称.本题属于向量中的动态问题,可以考虑采用代数法或者坐标法求解.下面,请第一组和第二组的同学用代数法求解,第三组和第四组的同学采用坐标法求解.然后各请一位同学来展示解法. 图(1) 图(2) 生1:代数法. . 由,两边同时平方得. 问题转化为已知求的取值范围. 由得. 代入得. 由得. 故. 当时,. 当时,. 生2:坐标法. 建立如图(2)所示的坐标系.,. 设,.则. 由得. 故 .所以. 由,得,则. 师:两位同学的结果不一样,生1的结果是,生2的结果是.有何区别? 生:这两个结果的最大值是一样的都是2,但是最小值不一样,一个是-2,一个是1. 师:那哪位同学的答案是正确的呢? 生:陷入沉思,持续思考……… 生3:观察图(1),不难发现在表达式中,隐含了这样的条件.因此的最小值不可能取到.所以解法2才是正确的. 师:同学们观察得很仔细,观察图形结合题目条件可知,因此的最小值不可能取到.这就说明了解法1(代数法)只适用于求的最大值,因而不是求此类问题的通性通法.那么解法2是求解此类问题的通性通法吗?带着这个问题,我们用此法来求解变式3. 生:建立如图(2)所示的坐标系.,. 设,.则. 由得. 故 .所以. 其中……………(思路受阻) 师:此时,无法求出的具体值,加之不是定值,因而较难求出的范围,故较难求出的取值范围.因此可以看到解法2(坐标法)也不是求解此类问题的通性通法.那么还有什么方法可以求解此类试题呢? 生:思考讨论,跃跃欲试…… 师:认真观察题目及三个变式.题目条件为,其中的系数为,的系数为,变式1中待求表达式为,变式2中待求表达式为,变式3中待求表达式为.可以发现变式中的项是题目条件相应系数的倍数.这就启发我们借助向量共线的性质或者相关结论来进行求解.请同学们思考,我们学过的向量共线性质或者相关的结论有哪些? 生:若三点共线,则;若,不共线,且,则三点共线;若,不共线,,则…… 师:同学们回答得很好.我们不妨借助上述结论来尝试着求解这些题目.首先看原试题. 图(3) 图(4) 师生一起:如图(3)所示,连接,交于.由于三点共线,故设. 则有.由于三点共线,故有. 则.问题转化为求线段的取值范围. 当点与()重合时,的长度为1,是最大的长度. 当时,的长度为,是最小的长度. 因此,. 生:( 恍然大悟)该解法利用了向量的共线性质及相关结论,将求的取值范围问题转化为线段的取值范围,比起上述两种方法,简单多了. 师:是的,通过这样的方法,我们非常轻松地求出本道试题.那么该方法是否是解决此类问题的通性通法?同学们尝试着求解变式1. 生:如图(4)所示,取,连接,交于.由于三点共线,故设. 则有.由于三点共线,故有. 则.问题转化为求线段的取值范围. 当点与重合时,的长度为1,是最大的长度. 当时,的长度为,是最小的长度. 因此,. 师:同学们是如何想到取? 生: ( 异口同声)因为题目已知条件为,要求的是的取值范围.因此想到保持不变,而转化为,如此才能构造出. 师:回答得非常好.由此可见,我们要认真观察待求表达式的系数,进而进行恰当的转化与变形.下面请同学们完成变式3. 图(5) 生:如图(5)所示,取,,连接,交于. 由于三点共线,故设. 则有.由于三点共线,故有. 则.问题转化为求线段的取值范围. 当点与重合时,的长度为,是最大的长度. 当时,的长度为,是最小的长度. 因此,. 师:由于待求表达式是,因此必须取,,从而顺利实现转化.也就是说运用该方法我们顺利求解了原试题以及变式1,3.大家在课后还可以独立求解变式2.不难发现,此法是借助向量的线性运算以及相关结论,将求()的取值范围转化为求线段的取值范围,应该是解决此类问题的通性通法,同学们觉得呢? 生:点头示意,露出欣慰的笑容. 师:对于此类试题,可以说仁者见仁,智者见智,还有不少其余的思考途径.但是限于课堂时间,我们没有办法再继续探索更多的解法,同学们可以自行课后上网或者到图书馆查阅相关资料. 三.教学体会 1.变式训练是解题的好方法 在解题教学中,对原题进行变式训练,能够在变化中让学生体会到变和不变之间的联系,加深学生对各种解法及相关知识的深入理解,从而构建更完善的认知结构.运用变式训练,能够突破简单的题型模仿与日复一日的题海训练,从而让学生学会思考,学会迁移,学会应用.能够有意识,有目的地引导学生从特殊的情境中抽象出事物的本质属性,发现解决一般问题的通性通法,提高解题能力.在本堂课中,首先给出了原题,再给出三个变式,让学生感受到变与不变的联系,激发学习热情,探索欲望,提升思辨智慧. 2.注重引导,探究,还主动于学生 乔治波利亚说,学习东西最好的途径是亲自去发现它,最富成效的学习是自己去探索,去发现.《普通高中数学课程标准（实验）》也指出:数学探究,数学建模,数学文化是贯穿于整个高中数学课程中.因此开展解题自主探究,引导学生得出相应的方法,结论,规律,让学生体验数学发现和创造的历程,无疑是十分重要的. 本堂课以学生熟悉的向量试题为出发点,易于入手,能够让学生有所想,有所得.课堂一开始教师就讲明要探究此类试题的通性通法,让学生带着问题进行探究,使其集中注意力,明确方向.首先引导学生采用代数法和坐标法求解原题,得到两个不同答案,引起认知上的冲突,激发起探索的欲望.然后结合变式题,推翻之前的解法,探索新的解法,让学生经历一系列的观察,推理,论证,从而得到求解该类试题的通性通法.通过这样的过程,锻炼了学生的思维品质,解题毅力,让学生收获到成功的喜悦. 学科网（北京）股份有限公司 $$