精品解析：江苏扬州市新华中学2025-2026学年度第二学期第一阶段自主练习高二数学

2025-2026学年度第二学期第一阶段自主练习 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义及求出答案. 【详解】由导数的定义可知，又， 故选：C 2. 设直线的方向向量，平面α的法向量，若，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由法向量的概念结合向量共线定理即可求解. 【详解】由，则，则存在非零常数λ，使得，即，解得. 故选：A. 3. 已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设和之间的夹角为，根据向量在向量上的投影向量为求出即可求解. 【详解】设和之间的夹角为，因为向量在向量上的投影向量为，， 所以，所以， 所以. 故选：D. 4. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 分析】依题意可得，，共面，设，根据空间向量坐标运算得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面， 所以，，共面，设， 因为，，， 所以， 则，解得． 故选：C. 5. 若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到导函数，确定，1是的两根，解得答案. 【详解】由，由已知递减区间，则得：， 故，1是的两根，，， 故选：A 6. 三棱锥中，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量运算，表示出，根据可得，结合数量积运算，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 而，故， 即，所以， 则，解得， 即， 故选：A 7. 如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】在等边中，因为，可得的高为， 所以， 在直角中，可得， 又因为分别为的中点，可得， 在中，可得， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可. 【详解】不等式等价于， 令，根据题意对任意的， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，单调递减.所以，所以. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2或3分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是钝角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，正确； 对于B，若，则是钝角或是，错误； 对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则存在不全为零的实数使得，整理得，因为是空间中的一组基底，所以线性无关，故，解得，所以假设不成立，也是空间的一个基底，正确； 对于D，因为，且，所以P，A，B，C四点共面，正确． 10. 如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的加减法则，以为基底可得，可得A错误；由计算可得，可知B正确；分别表示出可得不为零，可得C错误；利用C中结论，分别求出，即可得，即D正确. 【详解】对于A，根据题意可得，又，， 所以可得 ， 即，可知A错误； 对于B，由（1）知，所以 ， 所以，即可知B正确； 对于C，易知， 此时 ，所以与不垂直，即C错误； 对于D，由选项C可得，且，即； ，即； 所以可得，即D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内极小值点 B. 的单调减区间是 C. 在定义域内既无最大值又无最小值 D. 若有两个不同的交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对于A，函数定义域满足，解得， 由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时. 所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确； 对B， 的单调减区间是，，故B不正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C正确； 对D，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的四则运算求导赋值求出，再代入即可得解. 【详解】由题意可得， 所以，解得， 所以， 所以. 13. 已知函数，若直线与曲线相切.则实数的值为 ____________. 【答案】3 【解析】 【分析】 设切点为，求出，求出切线方程，将代入，求出切点坐标，即可求解. 【详解】设切点为， 切线方程为， 令. 故答案为:3. 【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意切点坐标的应用，属于基础题. 14. 已知，是空间中相互垂直的两个单位向量，且，，则的最小值是___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，设，即可得到，其中，再结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】因为，是空间中相互垂直的两个单位向量，设，设， 又，所以，则， 又，所以，所以，其中， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值是3. 故答案为：3 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 16. 如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． （1）求证：； （2）取PC的中点E，求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【小问1详解】 证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． 【小问2详解】 解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 17. 已知函数存在极值，并且在时取得极大值. （1）求的解析式； （2）当时，求函数的最值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由已知列出方程组，求得a,b的值，经验证，可得答案; （2）求出函数导数，求得函数极值点，计算区间端点处的函数值，比较可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 由题意知,解得, 故， ,当时，，递增， 当时，，递减， 故在时取得极大值，故符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，令，解得或， 所以时，单调递减；时，单调递增， 则， ， 所以. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）当时，讨论函数的单调区间． （3）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，，对其求导，得到切线斜率，再结合切点坐标，即可求出切线方程； （2）对函数求导，通过对的取值范围进行讨论，从而判断导数的正负性，进而确定函数的单调区间； （3）当时，，要证明，即证明，构造函数，通过求导判断其单调性，得到其最小值，即可证明. 【小问1详解】 当时，，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程是， 即. 【小问2详解】 由题意，函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，故的递增区间为； 当时，当或时，恒成立，函数单调递增， 当时，恒成立，函数单调递减， 当时，当或时，恒成立，函数单调递增， 当时，恒成立，函数单调递减， 综上所述，当时，的递增区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 当时，， 由，只需证明． 令，则， 因为函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数， 所以在区间上为增函数， 且，， 所以存在唯一实数使成立，且，则，， 所以当时，恒成立，所以单调递减； 当时，恒成立，所以单调递增， 所以当时，取得唯一的极小值，也是最小值， 所以， 又，， 所以， 又，所以， 所以成立， 故成立． 19. 如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作 （1）求证：向量为平面OAB的法向量； （2）若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小； （3）将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明向量与垂直即可； （2）根据平行四边形的面积公式可知，即可求出四边形的面积，根据新定义求出，再根据向量的模的计算即可得出结论； （3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，在根据，可以推出结论. 【小问1详解】 证明：因为 ， 所以，即， 因为 ， 所以，即， 又因， 所以向量为平面OAB的法向量； 【小问2详解】 解：， 则， 故， 由，，得， 所以， 所以； 【小问3详解】 解：设点到平面的距离为，与平面所成的角为， 则， 由（1）得向量为平面OAB的法向量， 则， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一阶段自主练习 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 设直线方向向量，平面α的法向量，若，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 4 3. 已知向量，满足，，向量在向量上投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 5. 若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 三棱锥中，，若，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 7. 如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2或3分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是钝角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 10. 如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 在定义域内既无最大值又无最小值 D. 若有两个不同的交点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 13. 已知函数，若直线与曲线相切.则实数的值为 ____________. 14. 已知，是空间中相互垂直的两个单位向量，且，，则的最小值是___________. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 16. 如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． （1）求证：； （2）取PC的中点E，求证：平面． 17. 已知函数存在极值，并且在时取得极大值. （1）求的解析式； （2）当时，求函数的最值. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）当时，讨论函数的单调区间． （3）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 19. 如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作 （1）求证：向量为平面OAB的法向量； （2）若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小； （3）将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $