21.3 特殊的平行四边形 矩形的性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

矩形的性质 学习目标 1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系， 体会特殊与一般之间的关系． 2. 探究矩形的性质和证明条件，提高学生的推理能力． 3. 利用矩形的性质定理进行证明和计算． 4. 掌握直角三角形斜边上的中线的性质，会用它求线段长 或解决线段的倍分关系问题． 在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？ 我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？ 导入新知 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形—— 矩形. 知识点 1 矩形的定义 探究新知 【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗?若是它们之间有何关系呢? 探究新知 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 探究新知 A B C D O 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的 所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般 平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边、角、对角线等方面来考虑。 材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等. 活动1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果. A B C D O 观察猜想 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 下面我们来一起验证一下： 如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形. ∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B=90°，∴∠C=90°. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB. O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°. 在△ABC和△DCB中 ∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB， ∴△ABC ≌ △DCB（SAS）， ∴AC = DB. 归纳总结 矩形除了具有平行四边形的所有性质， 特殊性质有： 性质1：矩形的四个角都是直角. 性质2：矩形的对角线相等. 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB. A B C D O 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4. 求矩形 ABCD 的对角线的长. 例 1 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC 与 BD 相等且互相平分. ∴OA = OB. 又∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴OA = AB = 4， ∴AC = BD = 2OA = 8. A B C D O 活动2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ A B C D l1 l2 2条 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ） A. AB // DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OB C 2.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C 落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则 △DFC′的周长为_______. 12 活动3 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC减去一半. A B D C O A B C O 思考：Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. A B C O D 证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD. ∵OA = OC，OD = OB， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD，∴BO= BD= AC. 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD = BD，CD = 4， 则 AB 的长为 （ ） A. 8　　　B. 6　　　　C. 4　　　　D. 2 A 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥ AB 于点 D ， E 是斜边 AB 的中点，若∠ECD =50°，则 ∠A =（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 在 Rt△CDE中， ∠ECD = 50°，∠CED = 40°. 50° 40° 在 △CEA中， CE = EA，∠ECA = ∠EAC 20° 20° B 3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， AE⊥ BD 于点 E，且 BE ∶ ED =1 ∶ 3，AD = 6 cm. 求 AE 的长. 解:∵四边形 ABCD 是矩形， ∵BE ∶ ED =1 ∶ 3，∴BE=OE． 又 AE ⊥ BD，∴AE 垂直平分 BO， ∴AB = AO = BO．∴△ABO 是等边三角形． ∴∠ABO=60°．∴∠ADE=90°– 60°=30°. 练 习 1. 一个矩形的一条对角线长为 8，两条对角线相交所成的角中 有一个为 120°. 求这个矩形相邻两边的长. 解：如图，四边形 ABCD 是矩形，AC = 8，∠AOD = 120°. 根据矩形的性质，AC 与 BD 相等且互相平分，∠ABC = 90°， ∴OA = OB = AC = 4. 又∠AOD = 120°，∴∠AOB = 60°，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB = OA = 4. 2. 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BC 的延长线上， DE // AC . △DBE 是等腰三角形吗？试说明理由. 解：△DBE 是等腰三角形. 理由： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD // BC，AC = BD . 又 DE // AC，∴四边形 ACED 是平行四边形， ∴AC = DE，∴BD = DE . ∴△DBE 是等腰三角形 . 课堂小结 矩形的相关概念及性质 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB,CD于E,F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________. 巩固练习 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， 又由折叠知,∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3.∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. ∴∠2＝∠3. 巩固练习 三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由． A B C O 答：公平.因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 巩固练习 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为_____． 2.5 如图，点E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD上的点，且DF＝BE．求证：AF＝CE． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC， ∴△ADF≌△CBE（SAS）. ∴AF＝CE． AD＝CB， ∠D＝∠B， DF＝BE， 在△ADF和△CBE中， 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 基 础 巩 固 题 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 C 课堂检测 3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 课堂检测 4.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC. A B C D E F 证明：连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, . ∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC. 课堂检测 5.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°. ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 能 力 提 升 题 ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°. 课堂检测 6.如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点， 拓 广 探 索 题 ∴GF⊥DE. 课堂检测 课后作业 能力培养与习题篇对应课时 $