专题07 期中真题百练通关（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

专题07 期中真题百练通关（100题7大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 角度问题 题型5 几何证明与计算大综合 题型2 多解问题 题型6 坐标系中的综合题 题型3 最值问题 题型7 方程的综合应用 题型4 多结论问题 题型一 角度问题 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建，已知的方向与的方向一致，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．，，．点在的平分线上，连接，且，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，直线 ，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，于点E，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺的边与平行时，运动时间为（    ）秒． A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，的平分线的反向延长线交的平分线于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·山西太原·月考）将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·陕西西安·月考）如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，若，则________． 15．（23-24七年级下·陕西商洛·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为______． 16．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二 多解问题 17．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，三根木棒钉在一起，，．现将木棒同时沿顺时针方向转动一周，木棒a每秒转动，木棒b每秒转动，当两根木棒都停止转动时，运动结束．在同时转动的过程中，转动______秒后，． 18．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，在整个运动过程中，当，中有一个角是另一个角的倍时，的度数是___________． 19．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动____秒时，． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点从点出发沿方向向点运动，过点作于点，过点作交于点，若为直角三角形，则的度数为_________． 21．（23-24七年级下·浙江金华·月考）如图，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．点N为直线上的一个动点，连接．在整个运动过程中，使得，请求出的度数____________． 22．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，，，固定的位置不变，将沿方向平移至点F正好落在直线上，再将绕点F顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过t秒时，线段与的一条边平行，则t的值______．    23．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 24．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足．点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______； (2)在点运动过程中，当三角形的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在运动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点运动的时间； (4)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 25．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标． 26．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数满足，过点作轴交轴于点．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向轴负方向运动．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴正方向运动． (1)直接写出点的坐标______；点的坐标______； (2)动点、分别在射线、上运动，连接、，当时，求点的坐标． 27．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）校团委为奖励在演讲比赛活动中表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要买）作为奖品，则购买方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 28．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）小美把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数．例如：把放入其中，就会得到．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的正整数对为_________． 29．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是__________． 30．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上方，到轴的距离是2个单位长度．到轴的距离是4个单位长度，则点的坐标是______． 【答案】或 31．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是___________； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是___________． 32．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）已知点，点A在轴上，且，求点A的坐标为____． 33．（24-25七年级下·西藏·期中）在平面直角坐标系中，点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为．若点的“3阶和谐点”为点，且点到的距离为2025，则_________． 34．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的两点即为“等距点”． (1)①已知点的坐标为，在点 中，为点的“等距点”的是___________； ②若点B的坐标为，，且两点为“等距点”，则点的坐标为___________； (2) ，两点为“等距点”，求的值． 题型三 最值问题 35．（24-25七年级下·福建福州·期中）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为____________． 36．（24-25七年级下·江西上饶·月考）如图，直线与直线交于点，与直线交于点，，若使直线与直线平行，则可将直线绕点逆时针旋转的最小度数为___________． 37．（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 38．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 39．（25-26七年级上·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 40．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 41．（24-25七年级下·福建莆田·期末）【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 题型四 多结论问题 42．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，，平分，平分，，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 43．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 45．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，过点作交的延长线于点，交于点，延长至点，连接并延长交于点，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，四边形中，，平分交于点E，F为线段延长线上一点，且．现以下四个结论中正确的是（    ） ①；②；③④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 48．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：①；②；③；④图中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②④ 49．（24-25七年级下·广西贺州·期中）下列说法：①是的平方根；②的算术平方根是；③的立方根是；④的平方根是，其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 51．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作： 这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对130进行两次操作后的结果为3； ②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1； ③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 52．（24-25七年级下·天津南开·期中）在平面直角坐标系中有A，B，C三点，且点，点，点，若的立方根是2，的算术平方根为3，c是比小的最大整数，则下列结论： ①； ②的平方根为； ③； ④c是关于x的方程的解； ⑤若线段，且，则点E的坐标为或． 其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 53．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ④当时，方程组的解也是方程的解： ③无论取什么实数，的值始终不变； ④当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为0： A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 54．（24-25七年级下·山东日照·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 其中结论正确的序号是（   ） A．①②③ B．①④ C．①③④ D．③④ 56．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（    ） 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型五 几何证明与计算大综合 57．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 58．（16-17七年级下·江苏扬州·月考）问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 59．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 60．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 61．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）如图1，，点E，F在上，点G在上，点P在，之间，连接，，，． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点N，，平分，，求的度数； (3)如图3，平分交于点N，，平分，平分，，交于点M，，，直接写出的值． 62．（24-25七年级下·福建福州·月考）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 63．（24-25七年级下·吉林·期中）已知点A、B、C不在同一条直线上，． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点Q． ①若，，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 64．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题探究】 （1）如图1，已知，点在直线上，连接并延长至点，连接，若，，则的度数为； （2）如图2，已知，点在直线上，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值． 65．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，， 求证：． 证明：如图②，过点作 ， 即． 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，则______°． 66．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图1，分别是直线上的点，为直线与之间的任意一点． (1)小明探究发现，请你说明理由． (2)如图2，若，请你利用小明发现的结论，求的度数． (3)已知，而点运动到如图3所示的位置，此时和之间有什么关系？请说明理由． 67．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 68．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 【问题感知】 （1）如图1，已知，，若，求的度数． 【问题解决】 （2）如图2，若，试说明：． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，，，若，，求的度数． 69．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图①，，，，求的度数； （2）如图②，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 70．（24-25七年级下·山东德州·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． (1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； (3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示． 71．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点． (1)如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由． (2)把如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，是否为一个定值？若是求出定值，若不是说明理由． (3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 72．（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 73．（24-25七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 74．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 75．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则_____； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值． 76．（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 题型六 坐标系中的综合题 77．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 78．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，其中满足． (1)求的点坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 79．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________，点C的坐标是________． (2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 80．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 81．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，有点，，且，满足，将线段向上平移个单位得到线段． (1)点坐标_________，点坐标________； (2)如图1，若，过点作直线轴，点为直线上一点，且在轴右侧，若的面积为6，求点的坐标； (3)如图2，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，，求的值． 82．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 83．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． (1)填空：点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，直接写出答案； (3)如图2，点在轴上，且，连接，，，当的面积等于的面积时，请求出点的坐标． 84．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点，的对应点，．连接、、． (1)直接写出，两点的坐标； (2)如图2，是线段的中点，是线段上的一个动点，连接，．当点在线段上移动时（点不与点、重合），请猜想，，三个角之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)若点为坐标轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，请直接写出符合条件的点的坐标． 85．（24-25七年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，其中，满足，，． (1)如图1，求点A与点C的坐标． (2)在（1）的条件下，点M是y轴上一点．且，求点M的坐标； (3)如图2，点P是x轴上点A左边的一点，点Q是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点E，求的值． 86．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 87．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，点，，且满足． (1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 题型七 方程的综合应用 88．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 89．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 90．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 91．（22-23七年级下·福建福州·期中）当，都是实数，且满足时，我们称为巧妙点． (1)若是巧妙点，则______，巧妙点； (2)判断点是否为巧妙点，并说明理由． (3)已知关于，的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？ 92．（21-22七年级下·重庆潼南·期中）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为______； (2)如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： (3)若关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 93．（24-25七年级下·山东泰安·期中）已知关于，的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解（，都是正整数的解）； (2)若方程组的解也是方程的解，求的值； (3)如果方程组的解是，当点到轴的距离等于时，求的值． 94．（24-25七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，存在一个点，若点的坐标为，则称点是点的“级关联点”（其中为常数，且）．例如，点的“级关联点”为，即． (1)若点的坐标为，则它的“2级关联点”的坐标为__________； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点，它的坐标满足，点的“级关联点”的坐标为，求的值． 95．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 96．（2025七年级下·全国·专题练习）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 97．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 98．（24-25七年级下·全国·课后作业）在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 99．（2024七年级下·全国·专题练习）某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 100．（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 1．解答题，在学习第八章《估算》后，某 数学爱好小组探索的近似值的过程如下：    ∵＜＜， ∴＜＜， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 2．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　，x＋y＝　 　； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值． 3．【问题情境】 在数学课上，老师组织七年级（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． 【探索发现】 第一小组经过探索后发现： （1）当时，可求的度数为________，请说明理由； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示为__________； 【操作探究】 （3）第二小组利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在射线上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点继续在射线上运动，当运动到使时，若，请直接写出的度数． 4．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图②，若过点作交轴于点，且，分别平分，求的度数； (3)如图1，若点，在轴上是否存在点，使得的面积是面积一半，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作，交直线AB于点F，CG平分． （1）若点P，F，G都在点E的右侧，求的度数； （2）若点P，F，G都在点E的右侧，，求的度数； （3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中真题百练通关（100题7大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 角度问题 题型5 几何证明与计算大综合 题型2 多解问题 题型6 坐标系中的综合题 题型3 最值问题 题型7 方程的综合应用 题型4 多结论问题 题型一 角度问题 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建，已知的方向与的方向一致，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角、平行线的性质等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由题可知、，从而得到即可解答． 【详解】解：如图：由题可知：， ∴， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．，，．点在的平分线上，连接，且，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要查了平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解决本题的关键．过点作，根据平行线的性质得，设，用含有的式子表示角，根据的大小列出关于的方程，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作，则， ，， ， 设，则， ， ， 点在的平分线上，且， ， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，直线 ，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握知识点及准确添加辅助线是解题的关键． 分别过点作的平行线，根据平行线的性质可得，根据即可求得． 【详解】解：分别过点作的平行线，如图， ， ∴ ∴， ， ， ， ． 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，于点E，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，垂线以及三角形的内角和定理，过点作，延长交于点，由平行线的性质可得，则可求，，可得，再利用三角形的内角和定理即可求的度数．解答的关键是作出正确的辅助线． 【详解】解：如图，过作，延长交于点， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 即． 故选：C． 7．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺的边与平行时，运动时间为（    ）秒． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，平行线的性质，由题意知只有能与平行，设运动时间为秒，可得，，由平行线的性质得，进而可得，解方程即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵与有公共点， ∴只有能与平行，如图， 设运动时间为秒， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵三角尺的边与刻度线重合时，， ∴符合题意， 故选：． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，的平分线的反向延长线交的平分线于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过点E作，过点F作，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可设，则，再证明得到，，再由角平分线的定义得到，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∴， ∵平分， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（24-25七年级下·山西太原·月考）将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作，利用两直线平行内错角相等，可推出，同理，然后利用角平分线的定义可推出，同理可求得，，……，进而得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，过作， ， ， ，， ， ； 同理， 和的平分线，交点为， ，， ， 同理， ， …… ， 度， 度． 故选：A． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 13．（2024·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：D． 14．（23-24七年级下·陕西西安·月考）如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，若，则________． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，，根据已知条件得出，进而得出． 【详解】解：如图所示，    根据折叠可得，， 设 ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 又∵，即 解得：， ∴ 故答案为：． 15．（23-24七年级下·陕西商洛·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和角的和差，根据平行线的性质、折叠的性质和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 16．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，再根据平行线性质定理求出，再根据折叠的性质及平角定义求解即可． 【详解】解：如图，延长，由折叠的性质，可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据折叠的性质得，． 故选：C． 题型二 多解问题 17．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，三根木棒钉在一起，，．现将木棒同时沿顺时针方向转动一周，木棒a每秒转动，木棒b每秒转动，当两根木棒都停止转动时，运动结束．在同时转动的过程中，转动______秒后，． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，一元一次方程与角度的关系，掌握平行线的判定方法是关键． 根据题意，设旋转时间为，表示出旋转角，结合平行线的判定方法列方程求解即可． 【详解】解：已知，．木棒a每秒转动，木棒b每秒转动， 如图所示，设旋转时间为， ∴顺时针旋转到直线的时间为，顺时针旋转到直线的时间为， 旋转一周的时间为，旋转一周的时间为， ∵在同时转动的过程中，要使， ∴， 当时，， ∴， 解得，； 当时，，， ∴， 解得，； 综上，转动或时，， 故答案为：或． 18．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，在整个运动过程中，当，中有一个角是另一个角的倍时，的度数是___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平移的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在射线上时，根据平行线的性质并结合题意即可求解． 【详解】解：①如图，当点在线段上时，过点作， ， 由平移可得：， ， ， ， ，中有一个角是另一个角的倍， 或， 或； ②如图，当点在射线上时，过点作， ， 由平移可得：， ， ， ， ，中有一个角是另一个角的倍， ， ， ； 综上所述，的度数是或或， 故答案为：或或． 19．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动____秒时，． 【答案】或20 【分析】本题考查平行线的性质，分未到达和从返回两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设当射线转动时，，则： ①当未到达时，，， ∴，解得：； ②当从返回时，则：，， ∴， 解得：； 故答案为：或20． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点从点出发沿方向向点运动，过点作于点，过点作交于点，若为直角三角形，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质及判定，垂线，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．证明，得，进而得，为直角三角形时，只能或，分当时，和当时，两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形时，只能或， 当时， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， 故答案为：或． 21．（23-24七年级下·浙江金华·月考）如图，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．点N为直线上的一个动点，连接．在整个运动过程中，使得，请求出的度数____________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 当点在点A的左侧时．当点在点A的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【详解】解：Ⅰ．如图，当点在点A的左侧时． ， ． ， ． ， ， ； Ⅱ．如图，当点在点A的右侧时． ， ． ， ． ， ， ． 故答案为：或. 22．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，，，固定的位置不变，将沿方向平移至点F正好落在直线上，再将绕点F顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过t秒时，线段与的一条边平行，则t的值______．    【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论、、三种情况，根据平行线的性质确定旋转角的大小即可求解． 【详解】解：①当时，如图所示：    ∴秒 ②当时，如图所示：    ∵， ∴ ∴秒 ③当时，如图所示：    ∴秒 综上所述：t的值为或或 23．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 【答案】(1)3，5 (2)， (3)存在，见解析 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； （2）解： ， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； （3）解：分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 24．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足．点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______； (2)在点运动过程中，当三角形的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在运动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点运动的时间； (4)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)秒或秒 (4)秒或秒 【分析】本题考查了非负数的性质，长方形的性质，动点问题． （1）先根据非负数的性质求出a、b的值，进而得，，再根据长方形的性质得，，即可得点B的坐标，当点运动5秒时，，即此时点P与点B重合，； （2）由图可知，当点P在上运动时，三角形的面积为一个定值，求出点运动到点所用的时间，结合（1）可得结论； （3）分两种情况：当点P在上时，；当点P在上时，；分别求出对应的时间即可； （4）设点P的运动时间为t，三角形的面积是10，分两种情况：当点P在上时，；当点P在上时，，则；分别根据面积求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵、满足， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴点的坐标为； 当点运动5秒时，， 即此时点P与点B重合，， 故答案为：；； （2）解：由图可知，当点P在上运动时，三角形的面积为一个定值， （秒）， 由（1）知，运动到点B需要5秒， ∴的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图， 分两种情况： 当点P在上时，， （秒）； 当点P在上时，，则， ∴， （秒）． 综上，当点到轴的距离为4个单位长度时，点运动的时间为秒或秒； （4）解：设点P的运动时间为t，三角形的面积是10， 分以下两种情况： 当点P在上时，， ∴， ∴， 解得； 当点P在上时，，则， ∴， ∴， 解得； 综上，当点P的运动时间为秒或秒时，三角形的面积是10． 25．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，20 (2)秒 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，一元一次方程的结几何应用，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴， ， ，； ∴ 连接记与轴的交点为点，如图所示： ∴， ∴四边形的面积为． （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 26．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数满足，过点作轴交轴于点．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向轴负方向运动．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴正方向运动． (1)直接写出点的坐标______；点的坐标______； (2)动点、分别在射线、上运动，连接、，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要非负数的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据算术平方根和偶次方的非负性求出的值，从而得到点的坐标； （2）表示出秒时点和点的坐标，用含的式子表示出和的面积，根据题意列出关于的方程，求出的值即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴的坐标，的坐标． 故答案为：，； （2）解：∵轴交轴于点，， ∴，， 设运动时间为秒，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 27．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）校团委为奖励在演讲比赛活动中表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要买）作为奖品，则购买方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个，根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解． 【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个， 依题意， ∴ ∵，为正整数， ∴当时，， 当时， 当时， 当时， ∴购买方案有4种， 故选：C． 28．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）小美把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数．例如：把放入其中，就会得到．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的正整数对为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了方程的正整数解，熟练掌握魔术盒的运算规则并结合正整数的限制条件分析是解题的关键． 根据魔术盒的运算规则，输出值为 ，结合 、 为正整数的条件，列出方程 ，通过枚举 的可能值求解对应的 ，即可得到所有正整数对． 【详解】解：由魔术盒规则，得：，即． 因为、是正整数， 当时，，对应正整数对； 当时，，对应正整数对； 当时，，，不符合正整数条件． 故满足条件的正整数对为或． 故答案为：或 29．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是__________． 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍， ∴， 解得或， 故答案为：3或7． 30．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上方，到轴的距离是2个单位长度．到轴的距离是4个单位长度，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标系中，一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为高点横坐标的绝对值，根据点A在x轴上方确定出点A的横纵坐标即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上方，到轴的距离是2个单位长度， ∴点A的纵坐标为2， ∵点A到轴的距离是4个单位长度， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为或， 故答案为：或． 31．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是___________； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是___________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与坐标的关系，正确理解已知条件中的新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的新定义求出点的“级关联点”C的坐标，再根据点C到x轴、y轴的距离相等，列出关于b的方程，解方程求出b，从而求出点C的坐标即可． 【详解】解：点， 点的“2级关联点”的坐标是，即点的“2级关联点”的坐标是， 故答案为：； 点的“级关联点”C的坐标为，即， 点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等， ， ， 解得：或， 当时， ， 当时， 点C坐标为或． 故答案为：或． 32．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）已知点，点A在轴上，且，求点A的坐标为____． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵点在轴上， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 33．（24-25七年级下·西藏·期中）在平面直角坐标系中，点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为．若点的“3阶和谐点”为点，且点到的距离为2025，则_________． 【答案】2022或/或2022 【分析】本题考查新定义，点的坐标等知识点，解题的关键是理解“阶和谐点”的定义．依据“阶和谐点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论． 【详解】解：根据题意，点的“3阶和谐点”的坐标为： ， ∵点到的距离为2025， ∴， 解得：或． 故答案为：2022或． 34．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的两点即为“等距点”． (1)①已知点的坐标为，在点 中，为点的“等距点”的是___________； ②若点B的坐标为，，且两点为“等距点”，则点的坐标为___________； (2) ，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①E；② (2)1或2 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）①找到、轴距离最大为的点即可； ②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）①点到x、y轴的距离中最大值为3， 点到x、y轴的距离中最大值为3， 点到x、y轴的距离中最大值为4， 点到x、y轴的距离中最大值为5， 与A点是“等距点”的点是E． ②点B的坐标为，，且两点为“等距点”， 当时，，点B的坐标为，不合题意， 当时，，点B的坐标为， 当时，即，点B的坐标为，不符合题意， 这些点中与A符合“等距点”的是． 故答案为①E；②； （2）两点为“等距点”， ①若时，则或 解得（舍去）或． ②若时，则 解得或（舍去）． 根据“等距点”的定义知，或符合题意． 即k的值是1或2． 题型三 最值问题 35．（24-25七年级下·福建福州·期中）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为____________． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相等是解题的关键．先根据轴得出的值，再由垂线段最短即可得出的值，进而得出结论． 【详解】解： 轴，点，， ， 当时，线段最短， ， ∴时，线段的长度最小为， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·江西上饶·月考）如图，直线与直线交于点，与直线交于点，，若使直线与直线平行，则可将直线绕点逆时针旋转的最小度数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，将直线b旋转到直线的位置时，满足，根据平行线的性质求出，再由平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将直线b旋转到直线的位置时，满足， ∴， ∴， ∴可将直线绕点逆时针旋转的最小度数为， 故答案为：． 37．（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解： ， ， 比较接近整数5， 故选：C． 38．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 39．（25-26七年级上·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 40．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 41．（24-25七年级下·福建莆田·期末）【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)21， (2)A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，掌握知识点是解题的关键． （1）根据，即可解答； （2）设纸的宽为，根据面积求出的值，继而确定在两个相邻的整数之间，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是21，小数部分是． （2）法1：纸的面积为， 纸的面积为． 设纸的宽为，长为， ， 由边长的实际意义，得， ，且，， 答：A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间． 法2：由题意得，纸的宽为，且 ， 纸的宽介于84与85两个相邻的整数之间． 题型四 多结论问题 42．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，，平分，平分，，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，所以①正确；由角平分线的定义以及根据垂直的定义得到，所以②正确，根据垂直的定义得到，求得，根据角的和差得到，等量代换得到，所以③正确；根据平行线的性质得到，求得∠BOP=50°，根据角平分线的定义得到，求得，所以④错误． 【详解】解：， ， ， 平分， ，所以①正确； 平分，平分， ， ， ， ，所以②正确； ， ， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ， ， ， 平分， ， ， ，所以④错误． 故选：D． 43．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，根据平行线的判定与性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴不一定正确，故①不符合题意； 如图，延长与的延长线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不能得到，不能得到，故③不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不能得到，故④不符合题意； 故选：A． 44．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 由题意可得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；由题意可得，利用邻补角即可求；过点作，可得，从而得，可求得再利用平行线的性质即可求得；利用角的计算可求得，，即可得出答案． 【详解】解：由题意， ∴， ∴，故正确； 由题意得， ∴，故正确； 过点作，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故正确， 综上所述，正确， 故选：D． 45．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线，关键是相关性质的熟练掌握．延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ； ①错误；②正确； ，， ，③正确； 平分， ， ， ， ， ④平分不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：B． 46．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，过点作交的延长线于点，交于点，延长至点，连接并延长交于点，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定条件“同位角相等，两直线平行”，由可证明，故①正确；由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及平行线的判定条件“内错角相等，两直线平行”，由可证明，再借助，可知，即有，进而证明，故④正确；然后证明，，由于没有条件证明和相等，可判定②和③不确定． 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∵ ∴， ∵， ∴， ∵没有条件证明和相等， 故②和③不确定， 故正确答案是①④； 故选：B． 47．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，四边形中，，平分交于点E，F为线段延长线上一点，且．现以下四个结论中正确的是（    ） ①；②；③④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，先证明可判断①，再结合角平分线的性质证明，可判断②；证明，结合可判断③，进一步可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故④正确 故选：D． 48．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：①；②；③；④图中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质等；①由平移的性质得，即可判断；②由平行的性质得，与不一定相等，即可判断；③由平移的性质得，可得，即可判断；④连接，由，即可判断；掌握平移的性质，平行线的性质是题的关键． 【详解】解：①将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形， ， ； 故①正确； ②同理可得， ， 与不一定相等， 不一定成立； 故②不正确； ③将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形， ， ； 故③正确； ④连接， ， （）， 故④正确； 故选：A． 49．（24-25七年级下·广西贺州·期中）下列说法：①是的平方根；②的算术平方根是；③的立方根是；④的平方根是，其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根可以判断①④，根据立方根可以判断③，根据算术平方根可以判断②． 【详解】解：①是的平方根，说法正确，符合题意； ②的算术平方根是，说法正确，符合题意； ③的立方根是，说法错误，不符合题意； ④的平方根是，说法正确，符合题意； 说法正确的有：①②④，共个， 故选：C． 50．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 51．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作： 这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对130进行两次操作后的结果为3； ②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1； ③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力．先整理，结合新定义，再估算出，则，据此可判断①；结合正整数的概念以及新定义的运算法则，得出对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，据此可判断②；设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s，因为，故，同理得到的范围，进而得到的范围，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设n为一个正整数，则，即， ∴对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，故②正确； 设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s， ∵正整数x进行四次操作后结果不再发生变化， ∴正整数进行4次操作后变为1， ∴， ∴． ∴， ∴ ∴． ∴， 同理可得， ∴ ∵是正整数． ∴的最大值为65535．故③不正确； 故选：B。 52．（24-25七年级下·天津南开·期中）在平面直角坐标系中有A，B，C三点，且点，点，点，若的立方根是2，的算术平方根为3，c是比小的最大整数，则下列结论： ①； ②的平方根为； ③； ④c是关于x的方程的解； ⑤若线段，且，则点E的坐标为或． 其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，坐标与图形，根据题意分别求出、、的值，再逐一验证各个结论的正确性． 【详解】解：的立方根是，则，解得． 的算术平方根为，则， 代入得， 解得． 是比小的最大整数，，故． ∴ ①：，不符合题意． ②，，其平方根为，符合题意． ③∵，， ∴，，，符合题意． ④是方程的解： 方程为，解得，而，符合题意． ⑤ ∵线段，且，，， ∴点的坐标为或，不符合题意． 故选：C 53．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ④当时，方程组的解也是方程的解： ③无论取什么实数，的值始终不变； ④当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为0： A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；当时，则，解得，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；根据可得当时，，当时，，则可求出或，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ， 解得：，故①正确； 当时，则，解得，故②错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，故③正确； ， ， ∵x、y都是自然数， ∴当时，，当时，， ∴或， 解得或，故④错误 综上所述，正确的结论有①③， 故选：A． 54．（24-25七年级下·山东日照·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 55．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 其中结论正确的序号是（   ） A．①②③ B．①④ C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．根据方程组的解法可以得到，①令，即可求出a的值，验证即可；②由①得，而，将代入验证得出答案；③④根据方程组的解得到，即可判断． 【详解】解：， 得，解得， 把代入（1）得，解得， ∴原方程组的解为， 当x，y的值互为相反数时，则， 解得：，故①正确； 原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解不满足，故②错误； ∵， ∴，即的值始终不变，故③正确； ∴，故④正确； 故选：C． 56．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（    ） 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组． 【详解】解：设客房有x间，则，故甲正确，符合题意； 设客人有y人，则，故乙不正确，不符合题意； 设客房有x间，客人有y人，则，故丙正确，符合题意； 综上：正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 题型五 几何证明与计算大综合 57．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案． 【详解】（1）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （2）如图，过点F作， 由（1）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键． 58．（16-17七年级下·江苏扬州·月考）问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 【答案】(1)110 (2)，理由见解析 (3)当P在延长线上时，； 当P在延长线上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，易得，得到，进而得到； （3）分P在延长线上，和P在延长线上，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 过点作，    ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图所示，当P在延长线上时， 过点作， ∵， ∴， ∴， ，   如图所示，当P在延长线上时， 同理可得：，， ． 59．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：由（1）得：， 同理：， 平分，平分， ，， ， ； ， ； （3）解：，理由如下， ∵平分， ， 平分， ， ，即， ，即， ， ，即， ， 由（2）得：， ． 60．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质． （1）过点作，得到，推出，，得到； （2）①应用（1）的结论，求出，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到，由三角形外角的性质求出，由角平分线定义得到，因此． 【详解】（1）如图1，过点作， ， ． ，， ， ， ，，之间的数量关系为：， 故答案为：； （2）①如图2，，理由如下： ，， ， 由（1）知：， ； ②如图3，由（1）得：，     平分， ， ， ， ， 平分， ， ． 61．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）如图1，，点E，F在上，点G在上，点P在，之间，连接，，，． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点N，，平分，，求的度数； (3)如图3，平分交于点N，，平分，平分，，交于点M，，，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质、角平分线的定义等知识点，正确添加辅助线证明，是解题的关键． （1）利用平行线的性质得，进而得，即可证明结论； （2）根据平行线的性质及角平分线证明、，过点作，进而可证，再根据分别求得的度数即可解答； （3）由（2）可知、，由 角 平 分 线 可 得，过点作，可证，由，，分别表示出，的度数，再根据可得，然后整理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ． （2）解：由（1）可知， 则， ∵平分平分， ， ， ， ， ∵， 即， ， 过点作，则， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）可知：， ∵平分， ， 过点作，则， ， ， ， ， 则， 即：，整理得：， ． 62．（24-25七年级下·福建福州·月考）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；②； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分； ， ∴． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 63．（24-25七年级下·吉林·期中）已知点A、B、C不在同一条直线上，． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点Q． ①若，，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的意义，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，将其代入即可求出的度数； （2）①过点作，求出，，由四边形内角和定理可得结论； ②过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出． 【详解】（1）解：如图①，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； 故答案为：； （2）解：①过点作如图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，且， ∴， ∴； ∵ ∴； ②，理由如下： 如图②，过点Q作，则． ∵， ∴． ∵平分平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 64．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题探究】 （1）如图1，已知，点在直线上，连接并延长至点，连接，若，，则的度数为； （2）如图2，已知，点在直线上，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴，， ∵ ∴， （3）过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 65．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，， 求证：． 证明：如图②，过点作 ， 即． 【类比应用】 （1）如图③，已知，，，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，则______°． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 66．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图1，分别是直线上的点，为直线与之间的任意一点． (1)小明探究发现，请你说明理由． (2)如图2，若，请你利用小明发现的结论，求的度数． (3)已知，而点运动到如图3所示的位置，此时和之间有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等． （1）过点作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据，得出，，根据解析（1）得出，从而得出，即可得出答案； （3）根据解析（1）中结论得出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作． ， ，即， ． 而， ． （2）解：， ， ， 由（1）的结论，可知， ， 又， ， 的度数为． （3）解：． 理由：由（1），可知， ， ． 67．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质．辅助线的添加是解题的关键也是解题的难点． （1）过点C作，交于点H，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）过点C作，交于点H，设，利用平行线的判定和性质求解即可； （3）过点C作，交于点H，设，同样的方法求解即可． 【详解】解：（1）过点过点C作，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； （2）过点C作，交于点H， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点C作，交于点H，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 68．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 【问题感知】 （1）如图1，已知，，若，求的度数． 【问题解决】 （2）如图2，若，试说明：． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，，，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行的性质、平行线的判定、角的和差运算、解一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，结合已知条件可得；再根据平行四边形的性质可得，将代入计算即可； （2）如图，过点C作，过点D作．易得，再根据平行线的性质可得、、，易得，进而证明结论； （3）设，，易得、，则、．进而得到、，再进行变形求解即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴．     （2）如图，过点C作，过点D作． ∵， ∴．     ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，     ∴， ∴．     （3）设，， ∵，， ∴，， ∴，．     由（2）易得，， ∴，，     由，得，     由，得． 69．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图①，，，，求的度数； （2）如图②，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数以及探究角度之间的关系，作平行线是解题的关键． （1）过点作．根据平行线的性质得出．最后根据角的和差关系即可求解． （2）过点作．，．最后根据角的和差关系即可求解． （3）过点作．，．进一步得出，再根据角平分线的定义得出，再结合（2）中的结论进一步即可得出答案． 【详解】解：（1）如图①，过点作． 因为，， 所以，． 所以． 因为，， 所以． （2），理由如下： 如图②，过点作． 因为， 所以． 所以，． 所以． 即． 所以 （3）如图③，过点作． 因为，， 所以． 所以，． 所以． 所以． 又因为，分别是与的平分线， 所以，． 所以． 由（2）知，， 所以． 所以 ． 即． 70．（24-25七年级下·山东德州·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． (1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； (3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度以及探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由得到，再由平角的意义结合得到，再解方程即可； （2）过点F作，则，那么，，故； （3）由，则． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，， 所以，解得． （2）解： 如图，过点F作． 因为， 所以， 所以，， 所以． 因为， 所以． （3）解：．理由如下： 因为， 所以， 即， 整理可得． 71．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点． (1)如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由． (2)把如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，是否为一个定值？若是求出定值，若不是说明理由． (3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，角平分线的定义等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出； （3）由角平分线的定义可得出，．根据平行线的性质可得出，从而得出，结合（1）的结论可求得． 【详解】（1）解：． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， .∵平分，平分，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 72．（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 73．（24-25七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解： ； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 74．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒或秒或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，全面分类、熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 75．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则_____； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解； （2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解； （3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ，，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：落在射线上的时间为：， 如图，当第一次时， ， 由旋转知，， ， 解得：； 如图，当时， 由（2）知，，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当时，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当第二次时，旋转角， 又 ， ， 解得：； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了平行性的性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 76．（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 【答案】(1)64 (2) (3)18或90 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的判定与性质． （1）依据题意，过C作，又因为，从而，可得，又由，，最后可得，进而得解； （2）依据题意，平分，求出，根据角平分线的性质，平行线的性质，求解； （3）分情况讨论，列出关于t的式子，进行求解． 【详解】（1）解：过C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过D作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当位于与之间时，如图①， 由得：， ∵，经过时间t， 有， 则 而， ∴， 又∵，平分， ∴， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：； ②当位于下方时，如图②， ∵， ∴， 经过时间， 同理：， 则， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 解得， 综上：或90． 题型六 坐标系中的综合题 77．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查坐标与图形变化–平移，掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据点的坐标平移规律，即可求解； （2）设时间为t，根据轴，即M、N两点纵坐标相等，列方程，即可求解； （3）根据点P在x轴正半轴上的不同位置分为两种情况，结合三角形内角和以及四边形内角和，即可求解． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得，． （2）设秒后轴， 根据题意，可得， 解得， 经过秒后，轴． （3）①如图，当点在线段上（不与点B重合）时， ； ②如图，当点在点的右侧时，， ； 综上所述，可知与的关系为或． 78．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，其中满足． (1)求的点坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点坐标为或 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过作x轴和轴的平行线和，可得四边形是矩形，进而根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积列出方程解答即可求解； （）由，得，，，进而根据与的面积相等，可得，即得或，再分情况解答即可； 本题考查了非负数的性质，坐标图图形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过作x轴和轴的平行线和， 则四边形是矩形， ∵，，， ∴的面积矩形的面积的面积的面积的面积 ， 解得； （3）解：存在，理由如下： 如图， ∵，， ∴，，， ∵与的面积相等， ∴， ∴或， 当时，， ∵，与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∵，与的面积相等， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 79．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________，点C的坐标是________． (2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3)或，见解析 【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理． （1）根据非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标； （2）过点作于点，分两种情况讨论：①如图，当点在点上方时；②如图，当点在点下方时；分别根据三角形的面积公式求出，得到点P的坐标； （3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，，， 则，，， 故答案为：，，； （2）解：如图1，过点作于点， 设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，， 三角形PAB的面积是：， 分以下两种情况： ①如图，当点在点上方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为； ②如图，当点在点下方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：或．理由如下： 过点作， ， ，， ， 分以下两种情况讨论： ①如图，当点在点上方时， 有， ； ②如图，当点在点下方时， 有， ， ， 综上所述，或． 80．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)的值是定值，定值为 【分析】（）利用非负数的性质可得，，进而可得点的坐标，再根据平移可求出点坐标； （）①如图（），过点分别作轴于点，轴于点，根据列出关系式即可；②分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形解答即可； （）过、分别作，，可得，再根据平行线的性质解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点， ∴点坐标为，即， 故答案为：，，； （2）解：①如图（），过点分别作轴于点，轴于点， 连接，由题可知，， 轴于点，且点三点的坐标分别为，，， ，，，， ， 又， ， ， 、满足的关系式为； ②当点在点的左侧时，如图，设直线交轴于，连接，，设， ， ， ， ， 解得，     ； 当点在点的右侧时，如图，，连接、， ∵， 此时不存在符合题意的点； 综上所述，满足条件的点的坐标为； （3）解：∵线段是由线段平移得到， 过、分别作，， 则， 设，则， ， ， 同理可证，， ，， ， ∴的值是定值，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，图形的平移，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 81．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，有点，，且，满足，将线段向上平移个单位得到线段． (1)点坐标_________，点坐标________； (2)如图1，若，过点作直线轴，点为直线上一点，且在轴右侧，若的面积为6，求点的坐标； (3)如图2，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性质可求，的值，即可求解； （2）①点在点右侧，且在直线左侧时，②当点在点右侧，且在直线右侧时，进行讨论，由三角形的面积关系即可求解； （3）延长、交于点，延长、交于点，设，，由平行线的性质可得，，再由外角性质可得，，可求，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；①当点在点右侧，且在直线左侧时，连接，如图3所示：   ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， 的面积为6， ， ， 点； ②当点在点右侧，且在直线右侧时，如图4所示：    ∴ ， 的面积为6， ， ， 点； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：延长、交于点，延长、交于点，如图2所示：    设，，则， 由平移的性质可得， ，， ， ，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质、三角形的面积公式、坐标与图形性质、三角形的外角性质、算术平方根和绝对值的非负性质等知识，本题综合性强，添加恰当辅助线是解题的关键． 82．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)、； (2) (3)35 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、平行线的性质与判定，结合图形添加平行线求出角度之间的关系是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，，结合点的坐标即可得出点的坐标； （2）根据平移的性质得到，再利用三角形的面积公式求出的长，结合点的坐标即可得出点的坐标； （3）过点作，过点作，利用平行线的性质与判定得到，，根据角平分线的定义得到，，结合，即可求出的度数； （4）由（3）中的结论得，，，，再根据角度之间的等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段， ，， 又， ， 线段与之间的位置关系和数量关系分别是、，点的坐标为． 故答案为：、；． （2）解：由平移的性质得，， ， ， ， 三角形的面积为6， ， 解得：， 又，点在线段上， 点的坐标为． （3）解：如图，过点作，过点作，   ， ， ，， ， ， ， 同理可得，， 平分，平分， ，， ， 度． 故答案为：35． （4）解：，理由如下： 由（3）得，，，，， ， ． 83．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． (1)填空：点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，直接写出答案； (3)如图2，点在轴上，且，连接，，，当的面积等于的面积时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）根据点为射线上一动点，当点在点右边时，当点在点左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， 过点作 ∴ ∵平移， ∴ ∴ ∴ ， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 即 当点在点左边时，如图， 同理可得，， ∴ 即 综上所述，或 （3）解：∵，， ∴ ， ∵ ∴，， ∵ ∴ ①点在点右边，在正半轴时，如图， 可得， 设，则 可得方程， 解得， ； 在负半轴时，点在的下方时，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ∴ ④点在点右边，点在的上方时如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为或，． 84．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点，的对应点，．连接、、． (1)直接写出，两点的坐标； (2)如图2，是线段的中点，是线段上的一个动点，连接，．当点在线段上移动时（点不与点、重合），请猜想，，三个角之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)若点为坐标轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)N点坐标为或或或 【分析】（1）根据绝对值、算术平方根的非负性可得，，即可得，，根据平移的性质可作答； （2）过P点作交y轴于点M，根据平移可知：，即有，根据两直线平行，内错角相等即可证明； （3）先得出，，，根据，可得，分两种情况讨论，当点N在y轴上时，设，先表示出，即有，进而可得，解绝对值方程即可；当点N在x轴上时，设，同理可得解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将点A，B分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点A，B的对应点C，D， ∴，； （2）解：结论：，理由如下： 过P点作交y轴于点M，如图， 根据平移可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， 当点N在y轴上时，如图， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∴此时N点坐标为：或； 当点N在x轴上时，如图， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∴此时N点坐标为或； 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，线段的平移，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，平行线的性质，绝对值方程等知识，掌握平移的性质，是解答本题的关键． 85．（24-25七年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，其中，满足，，． (1)如图1，求点A与点C的坐标． (2)在（1）的条件下，点M是y轴上一点．且，求点M的坐标； (3)如图2，点P是x轴上点A左边的一点，点Q是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点E，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行公理的推论等知识，解题的关键是学会利用方程和参数解决问题． （1）直接根据二次根式的非负性和平方的非负性得到，，即可作答； （2）设，分三种情况根据三角形面积公式列方程计算即可； （3）如图过点作，设，，，则，，分别用，，的代数式表示，即可解决问题． 【详解】（1）∵， ∴， ∴，； （2）设， ∵， ∴， ∵， 当点M在线段上时， ∵， ∴ ， ∴， 当点M在点O的下方时， 则 ，方程无解， ∴点M不可在点O的下方， 当点M在点C上方时， 则，方程无解， ∴点M不可能在点C的上方， 综上所述，； （3）解：如图，过点作，设，，，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 86．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)或 (3)的度数不变， 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可； （3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解： ，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：存在， 理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴ 设点的坐标为， 由题意得，，， 的面积， 依题意， 解得： ∴或 点坐标的坐标为或． （3）解：的度数不发生变化， 理由如下：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线，坐标与图形，三角形的面积计算、非负数的性质，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键． 87．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，点，，且满足． (1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②图见解析，或 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）利用三角形的面积公式证明，再进一步可得答案； （3）先根据题意补全图形，设，设，则，再证明，，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； （2）①当时，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴ ， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴ ， ∴． 题型七 方程的综合应用 88．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 89．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)见详解 【分析】本题考查有理数的加减运算，解三元一次方程组，代数式求值，理解题意正确的列式是关键． （1）根据题中定义和题干解答即可． （2）记，，，则．由外三角形三边和为，可得，，，三式相加得，即．同理，内三角形 三边和为，可得，，，三式相加得，即，三式联立求出，即可解答． （3）若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3，根据（2）中结论求出，，求出，，，据此填图即可． 【详解】（1）解：顶点E对应的数， 顶点D对应的数， 其余两个空分别是，， 如图， （2）解：记，，， 则． 又由外三角形三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 同理，内三角形 三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 联立 解得：， 即，，． （3）解：若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3， 则，， 则，，， 可作如下“一种可行填法”（对应图 4 的各顶点及中点）： 取，，； ，，； ，，． ． 90．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 91．（22-23七年级下·福建福州·期中）当，都是实数，且满足时，我们称为巧妙点． (1)若是巧妙点，则______，巧妙点； (2)判断点是否为巧妙点，并说明理由． (3)已知关于，的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？ 【答案】(1)， (2)点不是巧妙点，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据巧妙点的定义，列出方程即可求解； （2）根据巧妙点的定义，得出，代入等式，不成立； （3）先根据加减消元法解二元一次方程组，得出，根据巧妙点的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵是巧妙点， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴巧妙点， 故答案为：，． （2）解：点不是巧妙点，理由如下， 依题意，， 解得：， ∵， ∴点不是巧妙点； （3）解：∵， 解得：， ∵点是巧妙点， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． 92．（21-22七年级下·重庆潼南·期中）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为______； (2)如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： (3)若关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由（1）可得，求解即可； （3）由题意可得和有相同的解，先求出am＝6，bn＝7，再求a、b的值即可． 【详解】（1）， ，得， 解得， 将代入得，， 方程组的解为， 故答案为：； （2）由可得， ， 故答案为：； （3）由题意可得和有相同的解， ， ，得， 将代入可得，， ， 解得， ， 解得， ，， 解得，． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并用整体思想解题是关键． 93．（24-25七年级下·山东泰安·期中）已知关于，的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解（，都是正整数的解）； (2)若方程组的解也是方程的解，求的值； (3)如果方程组的解是，当点到轴的距离等于时，求的值． 【答案】(1)，, (2) (3)或 【分析】本题考查求二元一次方程整数解，解二元一次方程组，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键． （1）由可得，令为正整数，再求出，即可求解； （2）联立方程，求出、的值，再代入求解即可； （3）根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离可得，分别将和代入方程组中求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 方程的所有正整数解为，，； （2）联立得： 得： ， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为，                       将代入得：， 解得：； （3）点到轴的距离等于， ， ， ①时，， 解得：，                      ②时，， 解得：， 的值为或． 94．（24-25七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，存在一个点，若点的坐标为，则称点是点的“级关联点”（其中为常数，且）．例如，点的“级关联点”为，即． (1)若点的坐标为，则它的“2级关联点”的坐标为__________； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点，它的坐标满足，点的“级关联点”的坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形，二元一次方程组的应用，正确理解已知定义是解题关键． （1）根据已知定义求解即可； （2）根据已知定义列二元一次方程组求解即可； （3）根据已知定义，得到，再根据，列方程组，得出，即可求得的值． 【详解】（1）解：，， 点“2级关联点”的坐标为， 故答案为：； （2）解：点的“3级关联点”的坐标为， ，解得：， 点的坐标为； （3）解：点的“级关联点”的坐标为， ， ，即 ∴原方程组为： ∴ ∴ 解得：． 95．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)103元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得 所以方程组的解为； （2）解：， ①得③， 得：， 则，即无论取何值，的值始终不变； （3）解：设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元， 根据题意得：， ①②得： ， 购买篮球、足球、排球各1个需要103元． 96．（2025七年级下·全国·专题练习）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【答案】C水果的销售额为150元 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得的值即可． 设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，根据该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元建立方程组求解． 【详解】解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由得，即， 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为（元）； 答：C水果的销售额为150元． 97．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 【答案】共需80元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 【详解】设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元． 根据题意，得 由，得③， 由，得． 所以若购甲，乙，丙货物各1件，则共需80元． 98．（24-25七年级下·全国·课后作业）在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 【答案】中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚， 根据题意，得 解得 所以中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚． 99．（2024七年级下·全国·专题练习）某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡各是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，本题还需注意去时的上坡路是回时的下坡路，去时的下坡路是回时的上坡路，平路不变．正确找到三个等量关系是解题关键设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，根据从甲地到乙地，平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；从乙地到甲地：平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；平路加上坡路加下坡路等于千米，列方程组求出、、的值即可得答案 【详解】设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，则 ∴， 解得：，，， 答：平路千米、上坡路千米、下坡路千米 100．（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 【答案】（1）2；（2）非负整数解为1、0；（3）见解析；（4）购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，解一元一次不等式； （1）由，即可求解； （2）依据题意，，得，则，又，故，进而计算即可判断得解； （3）由，得，即可求解； （4）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【详解】（1）解： ， 得，， 故答案为：2； （2）解： ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴m的非负整数解为1、0； （3）解： ， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变； （4）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴，即， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 1．解答题，在学习第八章《估算》后，某 数学爱好小组探索的近似值的过程如下：    ∵＜＜， ∴＜＜， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解一元一次方程，理解题意并作出分析是解题关键． （1）先判断，设，画出示意图，得，当时，可忽略，可得，求得，即可求解； （2）设，正方形的面积为，当较小时，省略，可得，结合题意的，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 整数部分的值为． 面积为的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示，    根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 当时，可忽略，得，解得：， ∴． （2）解：如图，设，    正方形的面积为：， ∵， 当较小时，省略，得：，则， ∴， ． 2．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　，x＋y＝　 　； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值． 【答案】（1）；5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）． 【分析】（1）利用①②可得出的值，利用①②可得出的值； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由①②可得出的值，再乘5即可求出结论； （3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由①②可得出的值，即的值． 【详解】解：（1）． 由①②可得：， 由①②可得：． 故答案为：；5． （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意，得：， 由①②可得， ． 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）依题意，得：， 由①②可得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 3．【问题情境】 在数学课上，老师组织七年级（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． 【探索发现】 第一小组经过探索后发现： （1）当时，可求的度数为________，请说明理由； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示为__________； 【操作探究】 （3）第二小组利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在射线上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点继续在射线上运动，当运动到使时，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3），见解析；（4） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可； （4）结合（2）（3）的结论可得出，根据平行线的性质以及角的和差关系可求，则，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴． ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （4）∵，， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， 解得， ∴． 4．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图②，若过点作交轴于点，且，分别平分，求的度数； (3)如图1，若点，在轴上是否存在点，使得的面积是面积一半，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质，角平分线的性质，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确的作出辅助线． （1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点B的坐标，接下来，再求得点C的坐标； （2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）根据题意得出的面积为，根据题意设，然后得出，结合面积关系得出方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ， ，，， 故答案为：； （2）解：轴，， ，，， 过作，如图所示： ， ， ∴； 、分别平分、， ，， ； （3）∵，，， ∴， ∴的面积为； 根据题意设， ∵， ∴， ∵的面积是面积一半， ∴， 解得：或， ∴或 ． 5．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作，交直线AB于点F，CG平分． （1）若点P，F，G都在点E的右侧，求的度数； （2）若点P，F，G都在点E的右侧，，求的度数； （3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20° 【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数； （2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°； （3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=4x-3x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD， ∴∠ECQ=80°， ∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF， ∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°； （2）∵AB∥CD ∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°， ∴∠EGC+∠ECG=80°， 又∵∠EGC-∠ECG=30°， ∴∠EGC=55°，∠ECG=25°， ∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=（80°-50°）=15°， ∵PQ∥CE， ∴∠CPQ=∠ECP=65°； （3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x， ①当点G、F在点E的右侧时， 则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=x， ∵∠ECD=80°， ∴x+x+x+x=80°， 解得x=16°， ∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°； ②当点G、F在点E的左侧时， 则∠ECG=∠GCF=x， ∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x， ∴180°-4x=80°+x， 解得x=20°， ∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°， ∴∠PCQ＝∠FCQ＝60°， ∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $