专题06 平面直角坐标系的压轴题（6大压轴题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

专题06 平面直角坐标系的压轴题（6大压轴题型） 题型1 坐标系中的动点问题(不含函数） 题型4 根据点坐标特征规律 题型2 根据规律正确找到周期 题型5 点的坐标，观察出点与横坐标存在平方关系 题型3 规律型中点的坐标以及长方形的性质 题型6 根据横纵坐标特征找出规律 题型一 坐标系中的动点问题(不含函数） 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)填空： ______， ______，点坐标为______． (2)如图，若点在第四象限内，请用含的式子表示四边形的面积； (3)如图，点是线段上一个动点． ①连接，求、满足的关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若三角形的面积为，求点的坐标． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)填空：______，______； (2)如图（1），平移线段至的位置，使A点的对应点是点C，B点的对应点是点D，连接，，直线交x轴于点P，求点D与点P的坐标； (3)如图（2），连接，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求的长． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在x轴上，将线段平移，得到线段（点D与点A对应）．其中，，，，，，四边形的面积是． (1)求点D的坐标； (2)连接与y轴交于点E，若，求m的值； (3)点P从O点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，同时点Q从B点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，当点P到达点D后停止运动，若射线交y轴于点F，设运动时间为，，求（可以用m表示）． 5．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 6．（24-25七年级下·广东云浮·期中）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且． (1) ______，________； (2)如图，若点E是第一象限内一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标？ 7．（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． (1)已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； (3)已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴子点C，y轴于点B，动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)用含t的式子表示线段的长，并写出t的取值范围； (3)已知点，连接，，在（2）条件下是否存在t值，使四边形的面积是三角形的面积的5倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二 根据规律正确找到周期 9．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线．若点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则经过时，点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的纵坐标是（　　） A． B．0 C．1 D．2 13．（24-25七年级下·重庆南川·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·山东·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第2025次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·广东广州·一模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A．2698 B．2699 C．2700 D．2702 题型三 规律型中点的坐标以及长方形的性质 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A、B、C、D点的坐标分别为，当蚂蚁爬了2025个单位时，它所处位置的坐标为（    ）． A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿四边形按逆时针方向运动，与此同时，点Q从C出发以每秒3个单位的速度沿四边形按顺时针方向运动.则P与Q第2025次相遇时点的坐标时（   ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知点，点．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记，在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，…，则的坐标为是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·河南商丘·期末）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的每个边都相等，每个角都是直角．点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 的路线运动，当运动2024秒时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四 根据点坐标特征规律 20．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·山西忻州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点；按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个点P从出发，运动到，运动到，运动到，运动到，运动到，......，按照上述规律运动下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 25．（22-23七年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，第1个正方形的边上有4个格点（小方格的顶点），第2个正方形的边上有8个格点，第3个正方形的边上有12个格点……，若第m个正方形有36个格点，则第m个正方形的一个顶点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 题型五 点的坐标，观察出点与横坐标存在平方关系 26．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横、纵坐标均为整数的点称为整数点），其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 27．（22-23七年级下·广东中山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为根据这个规律，第2023个点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为______． 29．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，一个动点在第一象限及轴、轴上运动，在第秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第秒时动点所在位置的坐标是______． 30．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒时，它从原点运动到，接着它按如图所示的横轴、纵轴的平行方向来回运动，即，且每秒移动一个单位，那么粒子运动到点时经过了______秒；2025秒时这个粒子所在的位置的坐标为______． 题型六 根据横纵坐标特征找出规律 31．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……，依次规律跳动下去，点A第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第30个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，将点向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点；将点向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点；将点向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点；⋯⋯按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…则第120秒时点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，……，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 39．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴有一点，点A先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点A平移至点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 40．（22-23八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即→→→→→→，……，则按此规律排列下去第23个点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·北京·期中）如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时就反弹，反弹后路径与长方形的边所夹锐角为，已知第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第5次碰到长方形边上的点的坐标为_____；第2025次碰到长方形边上的点的坐标为_____． 1．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系内，一点第1次从原点跳动到点，第2次从点跳动到点，第3次从点跳动到点，第4次从点跳动到点，第5次从点跳动到点，第6次从点跳动到点，…，按此规律下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，则依据图中所示的规律，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，动点在由边长为1的小正方形组成的8×4的长方形网格中，按照图中所示方向一直作直线运动：点P第一次运动到点位置后，依次反弹到点……，若，反弹后的运动路径与前一次的运动路径的夹角为，即，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，点、的坐标分别为，且满足，现同时将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点，连接． (1)求点、的坐标； (2)如图1，点是轴负半轴上一动点，连接，其中直线交轴于点，若，求的值； (3)如图2，连接，在直线上取一点，使，求点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，是第四象限内一点，轴交轴负半轴于，且，． (1)求点的坐标； (2)如图，设为线段上一动点，连接，，若，求此时点的坐标； (3)如图，当点在线段上运动时，作交于点，，的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)如图，直线轴，点M在直线l上．直线与y轴相交于点C，直线交l于点P，已知三角形的面积为6． ①求点M到x轴的距离； ②若三角形的面积是三角形的面积的4倍，且，求点C的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面直角坐标系的压轴题（6大压轴题型） 题型1 坐标系中的动点问题(不含函数） 题型4 根据点坐标特征规律 题型2 根据规律正确找到周期 题型5 点的坐标，观察出点与横坐标存在平方关系 题型3 规律型中点的坐标以及长方形的性质 题型6 根据横纵坐标特征找出规律 题型一 坐标系中的动点问题(不含函数） 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)填空： ______， ______，点坐标为______． (2)如图，若点在第四象限内，请用含的式子表示四边形的面积； (3)如图，点是线段上一个动点． ①连接，求、满足的关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若三角形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟练掌握割补法求解不规则图形面积是本题解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解，，然后根据平移与坐标的变化求解点坐标即可； （2）采用割补法，根据三角形面积公式求解四边形的面积； （3）①根据的面积等于的面积加的面积求解，的关系式即可； ②根据与的位置分类讨论，采用割补法求解的面积，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 轴， ， 当和原点重合时，向下平移两个单位，向左平移个单位， ； 故答案为：，，； （2）解：； （3）解：①在线段上， ，， ， ， ； ②过作轴于，令直线交轴于，如图： 当在点左侧时， ，轴， ， ， ， ， ，， ； 当在点右侧时， ， ， ， ，， ； 综上所述，或． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)填空：______，______； (2)如图（1），平移线段至的位置，使A点的对应点是点C，B点的对应点是点D，连接，，直线交x轴于点P，求点D与点P的坐标； (3)如图（2），连接，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求的长． 【答案】(1)5， (2)， (3)的长为或16 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了坐标系中的平移、算术平方根非负数的性质、三角形的面积． （1）先根据算术平方根的非负性，得到关于m，n的方程，解方程即可求得m，n； （2）先根据（1）求出，，，再根据“平移线段至，使A点的对应点是点C”，得出平移的方向与距离，由此求得，设，利用三角形面积，得出关于a的方程求解即可求得点P的坐标； （3）先求出四边形的面积分，再分“”、“”两种情况，分别求出的长． 【详解】（1）解：∵， 由题意得：， 解得：， 故答案为：5，； （2）解：在平面直角坐标系中，，，，且，， ∴，，， ∵平移线段至，使A点的对应点是点C，点，， ∴点A向右移动5个单位，向上移动1个单位， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； （3）解：设， ∵，，， ∴ ， 分以下两种情况： 当时，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 综上所述，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，的长为或16． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在x轴上，将线段平移，得到线段（点D与点A对应）．其中，，，，，，四边形的面积是． (1)求点D的坐标； (2)连接与y轴交于点E，若，求m的值； (3)点P从O点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，同时点Q从B点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，当点P到达点D后停止运动，若射线交y轴于点F，设运动时间为，，求（可以用m表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质，三角形面积，一元一次方程的应用等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平移可得，进而根据四边形的面积是8，得出，即可求解； （2）由，得出，即可求解； （3）分当点Q在线段上时，当点Q在上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 将线段平移，得到线段， ， ， ， 四边形的面积是， ， 解得：， ； （2）解：，，， ，即， ， ，， ； （3）解：①如图1，当点Q在线段上时，连接， 由题意：，， ，， ， ， ； ②如图2，当点Q在上时，连接， 由①可知， ， 综上所述，． 5．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）根据点A、的坐标，求出，根据坐标与图形，得出的边上的高，根据三角形的面积公式，得出答案即可； （3）根据坐标与图形，结合三角形的面积公式，由的面积是的面积的2倍，得出，分“当点在点的左侧时”和“当点在点的右侧时”两种情况，根据坐标与图形，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：由（1）得，， ，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴的边上的高， ∴； （3）解：∵，，点是轴上的动点， ∴的边上的高和的边上的高相等， 又∵三角形的面积底高，的面积是的面积的2倍， ∴， ∴当点在点的左侧时， ，则点的坐标为， 当点在点的右侧时， ，则点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 6．（24-25七年级下·广东云浮·期中）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且． (1) ______，________； (2)如图，若点E是第一象限内一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标？ 【答案】(1)4；6； (2)①2秒或6秒；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，非负性的应用，平行线的判定与性质，梯形的面积，运用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用平方和绝对值的非负性，即可求出答案； （2）①先求出点E的坐标为，设运动时间为t秒，然后分两种情况：当点P在y轴的右侧时，当点P在y轴的左侧时，根据列出方程，即可求解； ②设运动时间为t秒，然后分两种情况∶当点P在y轴的右侧时，当点P在y轴的左侧时，根据以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4；6； （2）解：①由（1）得：， ∵轴，轴， ∴点E的坐标为， 设运动时间为t秒， 根据题意得：， 当点P在y轴的右侧时，， ∵， ∴， 解得：； 当点P在y轴的左侧时，， ∴， 解得：； 综上所述，经过2秒或6秒，； ②设运动时间为t秒， 根据题意得：， 当点P在y轴的右侧时，，， ∵以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在y轴的左侧时，，， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 7．（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． (1)已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； (3)已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 【答案】(1) (2)①满足等式的值即可，答案不唯一，② (3)① ②左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度 【分析】本题考查新的定义，线段的平移，正确理解轴距等点是解题的关键． （1）正确理解轴距等点，逐个计算，即可解答； （2）①根据轴距等点即可列出等式，再找一组满足等式的值，即可解答；②求出平移后的的坐标，再轴距等点即可列出等式，即可解答； （3）①设，可得，且，再根据轴距等点即可列出等式，即可判断出的最小值；②依据数形结合，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解∶ 到两条坐标轴的距离之和为，点到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为， 故点的轴距等点是． 答案为C． （2）①设点的坐标为， ∵点 在第三象限，点与点为轴距等点， ∴，，， 即，满足该等式的值不唯一， 如，． ②由①得，， ∴， ∵点与点仍为轴距等点， ∴，即， ∴， 即， ∴或（不合题意，舍去） 解得， ∴ ∴E， 故答案为． （3）①设， 由，可得，且， ∵，两点为轴距等点， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时为最小值． 故答案． ②如图所示，点，，设线段与交点为E， ∵线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，且 ∴ 当 时，点E在左侧，有 ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在右侧，有 ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在、之间（不包括A、B）， ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在与点A重合，有 ，此时符合条件． 故线段向左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度得到线段． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴子点C，y轴于点B，动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)用含t的式子表示线段的长，并写出t的取值范围； (3)已知点，连接，，在（2）条件下是否存在t值，使四边形的面积是三角形的面积的5倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，，当时，； (3)存在；，点P的坐标为；，点P的坐标为． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，算术平方根的非负性，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键； （1）根据求出a、b，及点A坐标，根据矩形特征即可得到结论； （2）根据，，可得：，，分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段上时，用用含t的式子表示即可； （3）当点P在线段上时，当点P在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，， 点，即，， 作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C，交y轴于点B， ，； （2）解：由，，可得：，， 点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动， 当点P在线段上时， ， 即当时，， 当点P在线段上时， ， 即；当时，； （3）解：存在，理由如下： 点， ，， ， ， 当点P在线段上时， ，， 解得：， ， 点P的坐标为； 当点P在线段上时， 解得：； ， 点P的坐标为 综上所述：，点P的坐标为；，点P的坐标为． 题型二 根据规律正确找到周期 9．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线．若点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则经过时，点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律． 根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标． 【详解】半径为1个单位长度的半圆的弧长为， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P每秒走个半圆， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为时，点P的坐标为，…， ∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1，0，，0为一个周期依次循环， ∵， ∴P的坐标是． 故选：D． 10．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点的坐标规律，正确找出题目中点的坐标之间的变化规律是解题的关键．根据题意可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，，因此第2025次运动到点． 【详解】解：根据题意可知，动点的运动规律是： 第1次从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， ， 由此可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环， ， 第2025次运动到点，即， 故选：A． 11．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，由题意出规律每四次运动，点的纵坐标依次为1，0，，0，横坐标每运动一次就加，结合，即可得出动点第2025次运动到点的横坐标为，纵坐标与第1次运动后的点的纵坐标相同，为1，从而得解． 【详解】解：∵第1次从点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， … ∴由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为1，0，，0，横坐标每运动一次就加， ∵， ∴动点第2025次运动到点的横坐标为，纵坐标与第1次运动后的点的纵坐标相同，为1， ∴动点第2025次运动到点， 故选：D． 12．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的纵坐标是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据图像可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与序号相等，纵坐标每7次运动组成一个循环，再根据规律直接求解即可． 【解答】解：观察图像点的坐标：、、、、、、、，可以发现规律：横坐标与序号相等，纵坐标每7次运动组成一个循环：依次为1、1、0、、0、2、0， ， 动点的坐标是， 动点的纵坐标是1， 故选：C． 13．（24-25七年级下·重庆南川·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，根据题意可得每6个点的坐标为一个循环，每个循环内的纵坐标依次为1，1，0，，，0，每个循环横坐标增加2，根据确定的横纵坐标即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴每6个点的坐标为一个循环，每个循环内的纵坐标依次为1，1，0，，，0，每个循环横坐标增加2， ∵， ∴的纵坐标与的相同，即为0，横坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 14．（24-25七年级下·山东·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第2025次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每5次运动组成一个循环是解题的关键．根据图可得，运动后的点的坐标特点，点P运动的横坐标每次加1，纵坐标在中依次循环出现，根据规律可得答案． 【详解】解：观察图象，动点P第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，结合运动后的点的坐标特点：点P运动的横坐标每次加1，纵坐标在中依次循环出现， ∵， ∴的纵坐标是， ∴第2025次运动后，动点的坐标是， 故选：A． 15．（2025·广东广州·一模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A．2698 B．2699 C．2700 D．2702 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，从点O到点共进行了675个循环，根据变化规律即可解答． 【详解】解：根据从原点出发，点，，，，，的运动规律， 可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动， ， ∴从点O到点共进行了675个循环运动， 的横坐标为． 故选：C． 题型三 规律型中点的坐标以及长方形的性质 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A、B、C、D点的坐标分别为，当蚂蚁爬了2025个单位时，它所处位置的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型中点的坐标以及矩形的性质，根据蚂蚁的运动规律找出蚂蚁每运动12个单位长度是一圈．由点、、的坐标可得出、的长度，从而可找出爬行一圈的长度，再根据即可得出当蚂蚁爬了2025个单位时，它所处位置的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，， 从一圈的长度为． ， 当蚂蚁爬了2025个单位时，它所处位置在点下方一个单位长度处，即． 故选：B． 17．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿四边形按逆时针方向运动，与此同时，点Q从C出发以每秒3个单位的速度沿四边形按顺时针方向运动.则P与Q第2025次相遇时点的坐标时（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用、点的坐标规律探究，通过计算发现规律就可以解决问题． 利用行程问题中的相遇问题，由于长方形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标，找出规律即可解答． 【详解】解：∵点、、、， ∴，， ∴长方形的周长为， 由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是点， 第四次相遇点是点， 第五次相遇点是点， 第六次相遇点是点，……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2025次相遇点的坐标与第五次相遇点的坐标重合，即， 故选：D． 18．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知点，点．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记，在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，…，则的坐标为是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究．根据点坐标计算长方形的周长为，设经过秒、第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过秒第一次相遇，求出相遇各点坐标，进一步求出相遇点坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的余数即可求出第次相遇点的坐标． 【详解】解：长方形的周长为， 设经过秒、第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为， 根据题意得， 解得：， ∴当时，、第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第五次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第六次相遇，此时相遇点坐标为， ∴五次相遇一循环， ∵， ∴的坐标为． 故选：D． 19．（23-24七年级下·河南商丘·期末）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的每个边都相等，每个角都是直角．点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 的路线运动，当运动2024秒时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律，先根据正方形的性质以及点的坐标得出，，结合运动时间得出走一圈花费时间（秒），然后，得出点P的坐标与重合，即可作答． 【详解】解：∵正方形，点A的坐标为，点D的坐标为， ∴，， ∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线运动， ∴走一圈花费时间（秒）， 则， ∴运动2024秒时，点P的坐标与重合， 即此时点P的坐标为， 故选：C． 题型四 根据点坐标特征规律 20．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，观察图形得到规律：当下标为偶数时的点的坐标得到规律：当下标是2，6，10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4，8，12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第个点的坐标即可，得出点的坐标变化规律是解此题的关键． 【详解】解： 观察点的坐标变化发现：当下标为偶数时的点的坐标得到规律： 当下标是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数， 当下标是4，8，12， …时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半， ，能被4整除， 的横坐标为2，纵坐标为， ， 故选：D． 21．（24-25七年级下·山西忻州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限， ，，，， ∴， 当， ∴， ∴， 故选：． 22．（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点；按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点坐标规律的探索，理解题意找到坐标变化的规律是解题的关键． 根据题意可知，，，……，由此得到,进行求解即可． 【详解】解： 由题意可得：，， …， 以此类推可知当（k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当时，在第二象限，当时，在第四象限，当时，在第三象限， ∵， ∴点在第三象限， ∵，，， ∴可以推出， ∴，即 故选：B． 23．（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变换平移，掌握平移的性质是解题的关键．本题考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形，根据题目所给点的坐标，总结出一般变化规律为每四个点为一个循环，每组第一个点坐标为，第二个点坐标为，第三个点坐标为，第四个点坐标为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：，，，， ，，，，， 每四个点为一个循环，每组第一个点坐标为，第二个点坐标为，第三个点坐标为，第四个点坐标为， ， 为第507组第1个数，则， 故选：D． 24．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个点P从出发，运动到，运动到，运动到，运动到，运动到，......，按照上述规律运动下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得P点坐标位置按4次一循环的规律排列．通过计算可得此题结果． 此题考查了解决点的坐标规律问题的能力，关键是能通过观察、归纳出该问题循环出现的规律． 【详解】解：由题意可得P点坐标位置按4次一循环的规律排列． 且， ∴点的坐标为， 故选：C． 25．（22-23七年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，第1个正方形的边上有4个格点（小方格的顶点），第2个正方形的边上有8个格点，第3个正方形的边上有12个格点……，若第m个正方形有36个格点，则第m个正方形的一个顶点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个正方向上有4个顶点，由正方向边上格点数得到规律，再判断顶点应为，根据顶点规律即可得出答案． 【详解】解：由题可知，第1个正方形的边上有4个格点；第2个正方形的边上有8个格点；第3个正方形的边上有12个格点；则第个正方形的边上有个格点，令，解得；即为第9个正方形，又点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所以第9个正方形的一个顶点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，观察图形并得出点的坐标的特点是解题关键． 题型五 点的坐标，观察出点与横坐标存在平方关系 26．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横、纵坐标均为整数的点称为整数点），其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，得到前行的总点数为，可知第2025个点在第45行，然后考虑点排列方向，则可得第2025个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个， 纵坐标是2的点有3个， 纵坐标是3的点有5个， 纵坐标是4的点有7个，……， 一般地，纵坐标为n的点有个， 且这些点的横坐标从左往右依次是； 前行的总点数为； 考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向， 纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ， ∴第2025个点在第45行， ∴当纵坐标是45的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第2025个点的坐标， 第2025个点的坐标为． 故选：D． 27．（22-23七年级下·广东中山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为根据这个规律，第2023个点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先考虑正方形上的点的特点，点的总个数等于最右边下角的点的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个在x轴上，横坐标为偶数时，从x轴上的点开始排列，然后求出与2023最接近的平方数是2025，然后写出第2023个点的坐标即可． 【详解】由图形可知，图中各点分别组成了正方形的点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看做按照运动方向到达x轴，当正方形最右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看做按照运动方向离开x轴． ∵， ∴第2025个点在x轴上坐标，则第2023个点是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的规律探究问题，解题时注意点的坐标变化及点的运动方向． 28．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出第个点的坐标是是解题的关键，根据所给排列方式，发现第个点的坐标是，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个点的坐标为， 第9个点的坐标为， 第25个点的坐标为， …， 所以第个点的坐标为， 因为， 所以第2025个点的坐标为， 所以第2026个点的坐标为 故答案为： 29．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，一个动点在第一象限及轴、轴上运动，在第秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第秒时动点所在位置的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型——点的坐标，依次计算动点运动后的点的坐标，发现在第一象限角平分线上的规律，按规律计算即可，读懂题意找到规律是解题的关键． 【详解】解：观察发现，点在第一象限角平分线上的坐标对应的移动时间如下： 点到用时秒，； 点到用时秒，； 点到用时秒，； 点到用时秒，； ； 依此规律，点到用时 秒，且为奇数时，点从轴向轴运动，为偶数时，点从轴向轴运动， 当时，，时，， 即当点到时，用时秒，为奇数，点从轴向轴运动， ，即第秒时动点所在位置是点从倒退秒的路程，到达， 即第秒时动点所在位置的坐标是， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒时，它从原点运动到，接着它按如图所示的横轴、纵轴的平行方向来回运动，即，且每秒移动一个单位，那么粒子运动到点时经过了______秒；2025秒时这个粒子所在的位置的坐标为______． 【答案】 15 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，数形结合并发现点运动的坐标规律是解题的关键． 根据图形可直接得出粒子运动到点时经过的时间； 根据现有点、、、分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，设点，当n为奇数时，运动了秒，方向向下；当n为偶数时，运动了秒，方向向左；然后利用这个结论算出2025秒的坐标． 【详解】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下： 位置运动了秒，方向向下， 位置运动了秒，方向向左， 位置运动了秒，方向向下， 位置运动了秒，方向向左； ……， ∴粒子运动到点时经过了秒 总结规律发现，设点， 当n为奇数时，运动了秒，方向向下； 当n为偶数时，运动了秒，方向向左； ∵，， ∴到处，粒子运动了秒，方向向左， 故到2025秒，须由再向左运动秒， ∵， ∴2025秒时，这个粒子所处位置为． 故答案为：15；． 题型六 根据横纵坐标特征找出规律 31．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……，依次规律跳动下去，点A第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律问题，找出规律是解题的关键． 根据点的周期性规律分别进行计算横坐标和纵坐标，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据点运动的规律可知，每运动两次点的纵坐标增加一个单位长度，的纵坐标为； 根据点运动的规律可知，每运动4次点的横坐标向左平移一个单位长度，的横坐标运动周期为， ∴的横坐标为， 则的横坐标为； ∴点的坐标为， 故选：A． 32．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的运动规律，找到规律是解题的关键．根据每次对应的对标找到规律即可． 【详解】解：由题意知， 第1次它从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 由此可见，小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是， 下一次运动对应的坐标是， 经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是， 故经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是． 故选：A． 33．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意总结出点的坐标变换规律是解题的关键． 根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【详解】解： ，，，，，，，，， ∴总结规律得：（为正整数）， ， 的坐标是， 故选：B． 34．（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第30个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知，从原点开始，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点，偶数列时，点从轴往上走，求出点30个点所在的位置，即可得出结果． 【详解】解：观察可知，从原点开始，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有4个点，偶数列时，点从轴往上走， ∴第列有个点， ∵， ∴第30个点在第8列的第2个点，即为：； 故选B． 35．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，将点向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点；将点向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点；将点向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点；⋯⋯按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的变化，根据题意得出点的横坐标的变化规律是解题的关键． 根据题意得出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，按这个规律平移得到点，则的横坐标为，即可得到答案 【详解】解：根据题意得的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 按这个规律平移得到点，则的横坐标为， 按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为， 故选：D． 36．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…则第120秒时点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解． 【详解】解：由题意分析可得， 动点P第秒运动到， 动点P第秒运动到， 动点P第秒运动到， 以此类推，动点P第秒运动到， ∴动点P第秒运动到， 故选：A． 37．（23-24七年级下·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将第个点作为第列，作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第2024个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个坐标的纵坐标为， 第2024个点的坐标是． 38．（24-25七年级下·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，……，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题主要考查点坐标规律探索；根据题意得出规律：第次跳动至点，第次跳动至点，求出点与点的坐标，再计算距离即可． 【详解】解：第1次点A跳动至点， 第2次点跳动至点， 第3次点跳动至点， 第4次点跳动至点， 第5次点跳动至点， 第6次点跳动至点， ……， 第次跳动至点， 第次跳动至点， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴点与点之间的距离是： ， 故选：C． 39．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴有一点，点A先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点A平移至点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 找到点的坐标规律，然后利用规律解决问题即可． 【详解】解：由题意可知，，，，，．．．，， ∴当时， ∴ ． 故选：C． 40．（22-23八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即→→→→→→，……，则按此规律排列下去第23个点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案． 【详解】解： →→→→→→→→→→→→…… 观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为：， ， ∴第23个点在第八组的第二个， ∵第八组的第一个点坐标为：， ∴第23个点的坐标为：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方法． 41．（24-25七年级下·北京·期中）如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时就反弹，反弹后路径与长方形的边所夹锐角为，已知第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第5次碰到长方形边上的点的坐标为_____；第2025次碰到长方形边上的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标的规律问题，根据图形得出图形变化规律：每碰撞6次回到始点，从而可以得出2025次碰到长方形边上的点的坐标． 【详解】解：根据题意，如图示： 第5次碰到长方形边上的点的坐标为， 通过图观察可知，每碰撞6次回到始点． ∵， ∴第2025次碰到长方形边上的点的坐标与第三次相同，即坐标为． 故答案为：，． 1．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …， 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数为一个循环， ∵， ∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是． 故选A． 2．如图，在平面直角坐标系内，一点第1次从原点跳动到点，第2次从点跳动到点，第3次从点跳动到点，第4次从点跳动到点，第5次从点跳动到点，第6次从点跳动到点，…，按此规律下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意总结出点的坐标变换规律是解题的关键． 根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【详解】解： ，，，，，，，，， （为正整数）， ， 的坐标是， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，则依据图中所示的规律，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．观察出一般规律：点的坐标为，且点与点关于轴对称（其中，为正整数），再根据，即可得． 【详解】解：由图可知，，即，且点与点关于轴对称， ，即，且点与点关于轴对称， ，即，且点与点关于轴对称， 归纳类推得：点的坐标为，即为，且点与点关于轴对称（其中，为正整数）， ∵，， ∴点的坐标为，即为，且点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，动点在由边长为1的小正方形组成的8×4的长方形网格中，按照图中所示方向一直作直线运动：点P第一次运动到点位置后，依次反弹到点……，若，反弹后的运动路径与前一次的运动路径的夹角为，即，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了图形坐标的规律．根据图形分析点P的运动规律：，，，，，，，每六次为一个循环，据此计算即可得到答案． 【详解】解：第1次运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， 第5次运动到点， 第6次运动到点， 第7次运动到点…， ∴每六次为一个循环，， ∴的坐标与相同，为， 故选：B． 5．如图，点、的坐标分别为，且满足，现同时将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点，连接． (1)求点、的坐标； (2)如图1，点是轴负半轴上一动点，连接，其中直线交轴于点，若，求的值； (3)如图2，连接，在直线上取一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）利用实数的非负性，得到，确定a，b的值，即可求得点、的坐标； （2）先利用平移确定C，D的坐标，再根据，利用分割法表示出面积等式，构造关于的方程，解答即可； （3）利用分类思想解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解：， 将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点， ， 点是轴负半轴上一动点， ， 整理得： ． （3）分如下两种情况进行讨论： ①当在中间，如图所示：过作于于，过点作于， ， ， ， ， ②当在延长线上，则只能在第二象限，如图所示：过作于，于，过点作于， ， ， ， ， 在第二象限 -14分 综上所述：或者． 【点睛】本题考查了非负性的应用，平移，图形面积分割法表示，线段的计算，分类思想应用，熟练掌握平移，面积表示是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，是第四象限内一点，轴交轴负半轴于，且，． (1)求点的坐标； (2)如图，设为线段上一动点，连接，，若，求此时点的坐标； (3)如图，当点在线段上运动时，作交于点，，的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，大小不会发生变化，理由见解析． 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的判定和性质，垂直的应用，角的平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （）根据绝对值和偶次幂非负性求出，所以，，故，通过，求出，即可求出点的坐标； （）通过，，即，则有，即可求出点的坐标； （）过点作，过点作，通过平行线的性质得，，所以，又平分，平分，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴，． ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵在第四象限， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， 又，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，，大小不会发生变化，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理：，， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)如图，直线轴，点M在直线l上．直线与y轴相交于点C，直线交l于点P，已知三角形的面积为6． ①求点M到x轴的距离； ②若三角形的面积是三角形的面积的4倍，且，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)①M到x轴的距离是3；②或 【分析】本题主要考查非负性和解一元一次方程、点坐标和距离的关系，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． （1）根据题意得，解得a和b即可； （2）①过点M做垂直于点N，根据点坐标求得，结合面积公式列出方程求得点M到x轴的距离即可； ②设，则，和，分情况：当M在y轴左侧和点M在y轴右侧，根据面积公式和点与线段距离列方程求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， 则，； （2）解：①过点M做垂直于点N， 因为 ， 所以， 因为三角形的面积为6， 所以， 所以， 则点M到x轴的距离是3； ②设， 所以，，， 当点M在y轴左侧时， 三角形的面积， 三角形的面积， 因为三角形的面积是三角形的面积的4倍， 所以， ， 解得， 所以， 当点M在y轴右侧时， 三角形的面积， 三角形的面积， 因为三角形的面积是三角形的面积的4倍， 所以， ， 解得， 所以， 综上所述或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $