精品解析：宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级3月月考数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级3月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则其导数（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的导数及导数的四则运算计算即可. 【详解】根据导数的四则运算法则可知，. 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由极限的定义可得，据此可得答案. 【详解】解：根据题意，， 故选：A. 【点睛】本题考查导数的概念，是基础题. 3. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 4. 某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）， 故选：B 5. 已知函数在（－1,1）上是单调减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导数，再根据导函数恒非正求参数取值范围. 【详解】由已知得在上恒成立， 当时，恒成立， 当有，综上 故选：D． 6. 已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，结合题意得，所以在上单调递增，，即，即，根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以在上单调递增， ，即， 又，则， 所以，即， 所以，解得. 故选：. 7. 已知，该函数在时有极值0，则（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 4或11 【答案】C 【解析】 【分析】根据和求出的值，再检验是否在处取极值即可. 【详解】容易得， 因在处取极值， 则且， 解得或， 当时，， 则在上单调递增，则无极值，不符合题意； 当时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极小值，符合题意， 故，则. 故选：C 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出函数大致图象，然后根据图象得出，再用表示出，根据所得关于的函数单调性可得结果． 【详解】函数大致图象如下： 则由图可得， 而，故． ， 令，，． 则 在，上为单调增函数． ， ． 故选：D 二、多选题：本题共18分. 9. 已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误． 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 10. 已知是自然对数的底，若，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，结合单调性可得，从而，令，利用导数求得的范围即可判断. 【详解】设，则在R上单调递增， ∵， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴，从而，故AC符合. 故选：AC. 11. 已知数列满足，，，记数列的前项和为，则对任意，下列结论正确的是（ ） A. 存在 ，使 B. 数列单调递增 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数证明，和均成立，从而可得BCD正确.假设A选项存在 ，使，则，与B选项中数列单调递增矛盾，可判断A. 【详解】对于B，要证数列单调递增，只需要证， 令，则， 在上单调递减，因为， 故在上存在唯一的零点， 当时，，当时，， 所以在为增函数，在上为减函数， 因为，所以当时，有即， 令，则有，故B正确； 对于A，假设存在，使得，则， 所以，所以， 与B选项中数列单调递增矛盾，故A错误； 对于C，要证，只需证， 令，则， 在上单调递减，因为， 故在上存在唯一的零点， 当时，，当时，， 所以在为增函数，在上为减函数， 因为，所以当时，有即， 令，则有，故C正确； 对于D，令，则， 在上单调递减，因为， 故在上为减函数， 因为，所以当时，总有即， 所以，即， 整理得到：，其中 故 ， …… 累加后可得即，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到. 三、填空题：本题共15分. 12. 写出一个满足下列条件的三次多项式函数：①上的奇函数；②在处的切线斜率为4，则可以为__________. 【答案】（答案不唯一，设只要满足即可.） 【解析】 【分析】设，利用奇函数，得到；利用在处的切线斜率为4，得到，对a、c取特殊值即可得到符合题意的函数.. 【详解】可设， 因为为上的奇函数，所以，即恒成立，解得：. 所以 由②在处的切线斜率为4，得：，不妨取，则. 故答案为：（答案不唯一，设只要满足即可.） 13. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数零点的定义，结合单调性可得，构造函数，求出直线与函数的图象有两个公共点的范围. 【详解】函数，令， 则，显然函数在R上单调递增，而， 由，得，于是，即，令， 依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根， 亦即直线与函数的图象有两个公共点，由，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，且，当时，恒成立， 从而当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可化为，设，可知当时，，由此得到，设，求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围． 【详解】解：即，即， 设，则，故函数在定义域上递增， 又，故当时，， ，即， 设，则， 当时，，递增， 当时，，递减， （1）， ，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想以及运算求解能力，属于难题． 四、解答题：本题共77分. 15. 设函数 （Ⅰ）若a=，求的单调区间； （Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 【答案】在，单调增加，在（-1，0）单调减少, 【解析】 【分析】试题分析：（I） （II） 令 若 若a>1，则当为减函数，而 从而当 综合得a的取值范围为 考点：本小题主要考查利用导数考查函数的单调性和单调性的应用. 点评：导数是研究函数性质是有力工具，利用导数研究函数单调性的前提是要注意函数的定义域，而且解决此类问题一般离不开分类讨论，讨论时要做到不重不漏. 【详解】请在此输入详解！ 16. 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数，然后根据导数的几何意义求出，再将点代入切线方程即可求出的值； （2）先求出函数的导函数，再讨论是否为零，然后求出导函数的零点，讨论零点的大小，再根据零点的存在性定理求出的取值范围. 【详解】解：（1），， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，所以， 所以， 因为直线过点， 所以，所以， 所以，； （2）， ①当时，， 所以，递减，，递增； 所以， 所以无零点，不符题意； ②当时，令，则或， （Ⅰ）当时，在递减，在递增； 所以， 若即时，，当时，， 所以有零点，符合题意； （Ⅱ）当，即时， 则，所以在上递减， ， ，， 所以函数存在零点，所以符合； （Ⅲ）当，即时， 则在和递减，在递增， ，当时，， 所以存在零点，所以符合； （Ⅳ）当，即时， 则在和递减，在递增， ，当时，， 所以存在零点，所以符合； 综上所述：. 【点睛】本题考查了含参函数的单调性，过曲线上一点的切线方程和零点问题，还考查了分类讨论思想，是一道压轴题，难度较大. 17. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若有极值，求实数的取值范围； （3）设，若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）时，可求得，配方发现其恒正，故在上单调递增，又，利用单调性即可求出的解集； （2）若有极值，则在上有变号零点，转化为二次函数在上有变号零点，发现二次函数的对称轴为，所以只需，由此可解得实数的取值范围； （3）由题干条件可得，设，利用导数找到的最小值，则，得到关于的不等式，构造新函数找到其零点范围，由此可求得的最大值. 【小问1详解】 当时，因为， 所以， 所以在上单调递增，又， 所以当时，；当时，， 故的解集为. 【小问2详解】 因为有极值， 所以在上有变号零点， 即在上有变号零点， 因为的对称轴为，所以只需， 所以. 【小问3详解】 由，得， 设， 则， 令，得（舍去），或， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 因为，所以，即， 令， 因为与在上都单调递减， 所以在上单调递减， 又， 所以在存在唯一的零点， 当时，， 所以由可得， 又，所以的最大值为2. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得，再根据的取值范围讨论导数正负.确定函数的单调区间. （2）把恒成立转化为.令，对其求导得，根据导数正负确定单调性，求出最大值，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 恒成立等价于，即． 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 所以的取值范围为． 19. 已知函数， （1）证明：； （2）若有两个不同的零点，，且，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造，对求导，根据单调性求解. （2）由（1）得，令，要证，即证，又，所以只需证明 【小问1详解】 令 ， 所以在上，在上，所以 所以． 【小问2详解】 令， ，由（1）知， 且在上单减，在上单增． 要证，即证，又，所以只需证明 令 方法一、 ∵ ∴ ∴， ∴ 所以原不等式成立． 方法二、， ∴，∴ 所以原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级3月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则其导数（ ） A. 0 B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 4. 某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在（－1,1）上是单调减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，该函数在时有极值0，则（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 4或11 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共18分. 9. 已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 曲线在处的切线斜率为2 10. 已知是自然对数的底，若，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 11. 已知数列满足，，，记数列的前项和为，则对任意，下列结论正确的是（ ） A. 存在 ，使 B. 数列单调递增 C. D. 三、填空题：本题共15分. 12. 写出一个满足下列条件的三次多项式函数：①上的奇函数；②在处的切线斜率为4，则可以为__________. 13. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 14. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共77分. 15. 设函数 （Ⅰ）若a=，求的单调区间； （Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 16. 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若函数有零点，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若有极值，求实数的取值范围； （3）设，若，求的最大值. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数， （1）证明：； （2）若有两个不同的零点，，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $