精品解析：湖南衡阳市第五中学等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测l数学试题

高二阶段检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 2. 计算的值为（ ） A. 114 B. 99 C. 142 D. 198 【答案】A 【解析】 【分析】由排列数和组合数的计算公式可得结果. 【详解】．故选：A． 3. 下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数的正负决定原函数的增减性，从而可判断出函数图象 【详解】解：导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知， 原函数的单调性是递减、递增、递减，符合此规律的只有 A， 故选：A 4. 已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得双曲线的标准方程，通过标准方程即可求得实轴长和虚轴长，进而可求虚轴长与实轴长之比. 【详解】由题意得双曲线的标准方程为， 则虚轴长为，实轴长为， 所以其虚轴长与实轴长之比为， 故选：A. 5. 正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 9 B. C. 9或 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】运用等比数列性质解题即可. 【详解】正项等比数列的前项和为， 若，则，则. 又，则，即，即， 则，化简，解得都满足题意. 则或. 故选：C. 6. 由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ） A. 300 B. 360 C. 420 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】由最后一位数是0和最后一位不是0，两类情况讨论求解即可. 【详解】最后一位数是0，偶数的个数是； 最后一位不是0，偶数的个数是， 所以一共有种. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和与等差数列的性质求，由求公差，再应用性质转化为代入求解可得. 【详解】由， 有， 可得 ． 故选：A． 8. 在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的数量积判断和向量的关系，进而求出的面积，再求出点到平面的距离，最后根据三棱锥体积公式求解即可. 【详解】，，， ， ，， 根据三角形面积公式， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故平面的法向量为， 又，则， 故点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式，则其展开式中（ ） A. 的系数为84 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数之和为 D. 二项式系数最大项是第4或5项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式计算后可判断ACD的正误，利用赋值法可求各项系数之和，故可判断B的正误. 【详解】的展开式的通项为， 对于A，取，则，故的系数为，故A正确； 对于B，因为，令，则各项系数之和为，故B正确； 对于C，二项式系数之和为，故C错误； 对于D，二项式展开后共有8项，所以二项式系数最大项是是第4或5项，D正确； 故选：ABD. 10. 在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项． 【详解】设等比数列的公比为， ，，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC． 11. 已知抛物线C：，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A､B两点，抛物线C在点A，B处的切线交于点P，点M为线段AB的中点，点A在抛物线C的准线上的投影为，则（ ） A. B. 轴 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得抛物线焦点为，准线为.对于A，设直线的方程为：，将直线方程与抛物线联立，由韦达定理可判断选项正误；对于B，由导数知识可得曲线在A，B两点处的切线方程，联立切线方程可得，据此可判断选项正误；对于C，由B分析可得，然后由题可得，然后由等面积法可判断选项正误；对于D，由抛物线定义可得是的角平分线，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，因为点，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为：， 与抛物线：联立得：，所以，所以A错误； 对于B，因为，则， 因为，所以，则， 所以曲线在点处的切线为：，即， 同理，曲线在点处的切线为：， 联立，解得，因为， 所以，点与点的横坐标相同，所以轴，所以选项B正确； 对于由B分析可得，所以， 因为， 当时，， 所以，即； 当时，点关于轴对称， 即直线的斜率为0，此时，所以直线的斜率不存在，所以， 综上，. 所以，即，所以选项C正确； 对于D，由C知，，又因为，由抛物线定义知，， 即点到直线的距离等于到直线的距离，所以点在的角平分线上， 即是的角平分线，所以，所以选项D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 13. 已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 14. 直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】如图所示，过点作垂直于直线，垂足为， 因为直线与的斜率均为定值，所以为定值， 设，则，当曲线在点处的切线平行于直线时， 取得最小值，所以当取最小值时，取得最小值， 令，则，所以，解得，即， 所以当直线过点时，取得最小值，此时， 联立，得，此时， 所以的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 解：且，有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，适合， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 16. 已知在处取得极值. （1）求实数a的值； （2）求在上的最值. 【答案】（1）1 （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由求得，并验证即可； （2）由（1）求导，确定函数单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为在处取得极值， 所以，即，解得. 当时，， 令，解得或， 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 所以1符合题意； 【小问2详解】 由（1）可知，， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以函数的最小值为，最大值为. 17. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． （1）高二年级一共有多少不同的分组方案？ （2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】（1）120种； （2）36种. 【解析】 【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算. （2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【小问1详解】 两组都是3女2男的情况有（种）： 一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种）， 所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案. 【小问2详解】 视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种， 再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种， 所以不同排列方式的种数是. 18. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值； （2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围； （3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围. 【小问1详解】 ，定义域为，， 令，得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 由（1）可知，的最大值为1，所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 若函数在上恒成立，即在成立， 所以在上恒成立， 令， 则， 因为，所以当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意； 当时，令， ①当时，即时，则恒成立， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以时符合题意； ②当时，即时，令， 则， 因为，所以， 所以当时，，所以在上恒成立， 即函数在上单调递增，所以当时，， 所以时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 19. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴顶点的动点，且面积的最大值为.直线，分别交于点，，的周长为8. （1）求的方程； （2）证明：以，为焦点且经过点的双曲线也经过点； （3）设，当时，求的最大值. 【答案】（1）或 （2） 由椭圆的定义知. 所以. 由双曲线的定义知，以，为焦点且经过点的双曲线也经过点； （3） 【解析】 【分析】（1）设，由的面积.得到，再结合的周长，即可求解； （2）由椭圆的定义得到.进而得到.结合双曲线定义即可求解； （3）设点，记，得到的方程为，联立椭圆方程求得，同理求得，进而可求解. 【小问1详解】 设，则的面积. 当时，取最大值，所以. 的周长，故. 因此，或，， 所以的方程为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1），当时，的方程为，，，设点， 记，则直线的方程为. 由得，故. 同理，记，可得. 所以 . 故当，即时，取到最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二阶段检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值为（ ） A. 114 B. 99 C. 142 D. 198 3. 下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 9 B. C. 9或 D. 18 6. 由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ） A. 300 B. 360 C. 420 D. 480 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式，则其展开式中（ ） A. 的系数为84 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数之和为 D. 二项式系数最大项是第4或5项 10. 在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线C：，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A､B两点，抛物线C在点A，B处的切线交于点P，点M为线段AB的中点，点A在抛物线C的准线上的投影为，则（ ） A. B. 轴 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 13. 已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 14. 直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知在处取得极值. （1）求实数a的值； （2）求在上的最值. 17. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． （1）高二年级一共有多少不同的分组方案？ （2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 18. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴顶点的动点，且面积的最大值为.直线，分别交于点，，的周长为8. （1）求的方程； （2）证明：以，为焦点且经过点的双曲线也经过点； （3）设，当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $