精品解析：河北廊坊市第七中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题

数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章第5节至第7节占20，必修第二册第六章第1节至第3节占80． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量的坐标为，若表示的有向线段的起点的坐标为，则终点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 方向相反的两个向量是相反向量 D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量 3. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的（横坐标不变） 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 8. 已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为3 C. 的最小值为1 D. 的最小值为2 10. 关于向量，下列命题正确的是（ ） A. B. 存在向量，使得 C. D. 若，则或 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是两个不共线的单位向量，向量，若与共线，则__________． 13. 函数的部分图象如图所示，则__________． 14. 如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若三点共线，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 16. 已知非零向量满足． （1）求的夹角； （2）若，求． 17. 如图，在中，是的中点，．设． （1）用表示； （2）若，，求． 18. 已知正六边形的边长为2，点在线段上． （1）设分别为线段的中点． （i）求； （ii）求向量夹角的余弦值． （2）若，求． 19. 如图，在矩形中，点分别在边上运动，且． （1）若，求． （2）记，阴影部分的面积为． （i）将阴影部分的面积表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （ii）求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章第5节至第7节占20，必修第二册第六章第1节至第3节占80． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量的坐标为，若表示的有向线段的起点的坐标为，则终点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设终点的坐标为，因为点的坐标为，所以， 又，所以，解得，所以终点的坐标为. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 方向相反的两个向量是相反向量 D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，根据定义，平行向量就是共线向量，二者是同一概念的不同叫法，故A错误； 对于B，单位向量仅要求模长为1，但方向可以完全不同，如x轴正方向和y轴正方向的单位向量，故B错误； 对于C，相反向量的定义是模长相等且方向相反，仅方向相反但模长不等的向量不是相反向量，故C错误； 对于D，设两个单位向量、，夹角为， 则，因此， 即和向量仍为单位向量，故D正确． 3. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的（横坐标不变） 【答案】A 【解析】 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），即. 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合数量积的坐标运算公式和模的坐标公式求，，再由投影向量定义求结论. 【详解】因为， 向量，， 所以向量在上的投影向量为. 5. 如图，在矩形中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在已知矩形中，设为原点，，已知是的中点， 则①，②， 联立①②得，则． 6. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量夹角是钝角，得到且与不反向共线，结合向量数量积列出不等式求解即可． 【详解】，，. 由题意知，且与不反向共线， 当时，即，整理得，解得. 当与反向共线时，令，即，解得. 综上，的取值范围是. 7. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A． 8. 已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合向量共线定理证明三点共线，建立平面直角坐标系，求表达式，再求其最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 根据向量共线定理，三点共线， 设的中点为，以为坐标原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为， 因此的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为3 C. 的最小值为1 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量模长的三角不等式计算即可得解. 【详解】已知，由向量模长的三角不等式可知， 当与反向时，取到最大值为，故B正确； 当与同向时，取到最小值为，故C正确. 10. 关于向量，下列命题正确的是（ ） A. B. 存在向量，使得 C. D. 若，则或 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量及其数量积的性质判断即可. 【详解】对于，向量的数量积是实数，根据绝对值的基本性质：对任意实数，都有，因此恒成立，故正确； 对于，该命题是存在向量满足等式，若取， 任意，左边，右边，等式成立， 因此存在满足条件的向量，故正确； 对于，对不等式两边平方得：， ，原不等式等价于，不是恒成立.故错误； 对于， 两个非零向量垂直时，点积也为. 若，满足，但，不满足题意，故错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据奇偶性的定义判断；B举反例；C化简，结合正弦函数的性质判断；D先求证时，再求时的值域即可. 【详解】定义域为，关于原点对称， ，故是偶函数，故A正确； ，则，故不是的最小正周期，故B错误； 若，则， 因为，且正弦函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 若，则， 则， 只需讨论即可， 若，则， 因为，则； 若，则， 因为，则， 故当时，， 又是偶函数，故，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是两个不共线的单位向量，向量，若与共线，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】与共线，则存在唯一实数，使得. . 由于是两个不共线的单位向量. ，解得. 13. 函数的部分图象如图所示，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据图象可知为函数最低点，代入即可求解. 【详解】如图可知，将代入函数中为：. 解得:，即. 因为图象显示第一个最低点，所以且.故. 14. 如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】延长交于点，则是等边三角形，． 四边形是平行四边形，，所以． 在线段上取点，使得，所以． 过点作，分别交于点,， 则,分别为的中点． 因为，所以， ．因为为内一点， 所以，即，所以，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若三点共线，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三点共线对应向量共线的坐标关系建立方程，求解得到的值； （2）通过向量加法运算得到的坐标，再由向量垂直的数量积为0的性质列方程，求解得到的值； （3）先计算的模长，再根据题中给定的模长关系建立方程，求解得到的两个取值. 【小问1详解】 由三点共线，与共线，故，解得. 【小问2详解】 ，由， 得，解得. 【小问3详解】 ，，， 由，得， 两边平方得，即， 解得或. 16. 已知非零向量满足． （1）求的夹角； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)对已知模长等式两边平方，利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合的条件求出两向量的数量积，再通过向量夹角公式计算余弦值，结合夹角的取值范围得到最终角度； (2)对给定的模长等式两边平方，展开后代入第一问得到的数量积与模长的关系，求解得到的值. 【小问1详解】 由得， 因，代入得，整理得， 设的夹角为，则， 又，故. 【小问2详解】 由，两边平方得. 代入，，得， 即，解得. 17. 如图，在中，是的中点，．设． （1）用表示； （2）若，，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】根据向量基本定理运算即可；利用（1）中的结论和向量数量积及其定义求角. 【小问1详解】 由题意可得 ； 【小问2详解】 因为，所以，将（1）中结论代入得 ，整理得， 则，又因为，所以可得， 因为不为零，所以， 又因为，所以. 18. 已知正六边形的边长为2，点在线段上． （1）设分别为线段的中点． （i）求； （ii）求向量夹角的余弦值． （2）若，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）以正六边形的中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，求得向量和的坐标，利用向量模的公式，求得的值，再利用向量的夹角公式，求得向量夹角的余弦值； （2）设，根据题意，得到，结合，列出方程，求得点的坐标，进而取得的值. 【小问1详解】 解：以正六边形的中心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设分别交轴于点，则， （i）点，可得， 所以； （ii）由，可得， 所以， 所以， 所以向量夹角的余弦值为. 【小问2详解】 解：设，可得， 则， 由，所以直线的方程为，即， 则， 因为，即，即， 解得或（舍去），所以，即， 所以，可得， 所以. 19. 如图，在矩形中，点分别在边上运动，且． （1）若，求． （2）记，阴影部分的面积为． （i）将阴影部分的面积表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （ii）求出的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题中边角关系求得，利用向量加法的三角形法则(中，)得到,，即可计算得解； （2）（i）采用割补法,分别求得、及矩形面积即可求得阴影面积表达式,根据、分别建立不等式即可求得定义域； （ii）令，则，再化简，结合基本不等式求函数最值即可． 【小问1详解】 矩形中，， 所以， 在中，， 在中，， ， 所以； 【小问2详解】 （i），则， 在中，， ， 在中，， ， 矩形面积， 阴影面积， 由得，故， 由得，故，故， 故定义域为； 综上，阴影面积； （ii）令，则，且， 所以 ， ， 当且仅当即时取等， ， 在处取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $