精品解析：湖南衡阳市耒阳市第一中学等校2025-2026学年高一下学期3月联考数学试题

高一数学 202603 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列物理量不能用向量表示的是（ ） A. 质量 B. 位移 C. 速度 D. 加速度 【答案】A 【解析】 【详解】向量是既有大小又有方向的量， 而质量只有大小没有方向，不能用向量表示， 位移､速度､加速度是既有大小又有方向的量，都是向量. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先应用复数的乘法及减法化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】， 故. 3. 如图，已知网格纸中每个小正方形的边长为1，向量的位置如图所示，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当平面直角坐标系后可用坐标表示各个向量，再利用向量坐标运算及模长公式计算即可得. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，可得， 所以，则. 4. 已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 5. 在平行四边形中，是上靠近点的三等分点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意知，所以，所以， 又， 所以. 6. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式与模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由已知得， 所以 ， 当时，取得最小值48， 所以的取值范围是. 7. 在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理、余弦定理和基本不等式计算即可得. 【详解】因为， 所以，即， 所以，又，所以， 由的面积为，得，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 8. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，令，可得或. 作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围. 【详解】设，令，得， 即，解得或. 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. 当取最大值时，三点共线 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由外接圆直径为的最大值可判断；对于B，由向量投影与数量积的关系可判断； 对于C，由等边三角形重心的向量性质可判断；对于D，由的几何意义与点的位置可判断. 【详解】对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确； 对于B，由题意知，所以，故B正确； 对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以，所以，故C正确； 对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点，即过点O的水平线与圆在右侧的交点， 此时在上的投影向量的模最大，显然不满足，三点共线，故D错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 不等式的解集是 C. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数 D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，当时，， 因为在上没有单调性，所以在上不单调递减，故A错误； 对于B，由，得， 解得，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为 ，是奇函数，故C正确； 对于D，将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到的图象，故D错误. 11. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为1 C. 为周期函数 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，根据定义，是不超过的最大整数，因此，即的值域是，B错误； 对于C，对任意实数，有，因此是周期函数且周期为．C正确； 对于D，因为，即，解得，所以， 当时，，当时，，所以原不等式的解集为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助复数的几何意义计算即可得. 【详解】由题意知，则， 所以，故. 13. 已知且，则__________. 【答案】29 【解析】 【分析】由条件结合指数与对数关系可得，结合指数幂运算性质和对数运算性质求结论. 【详解】因为，所以， 所以， . 14. 如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意可得，则可利用余弦定理求得，则可得，再设，利用正弦定理可表示出，最后利用辅助角公式及范围即可得解. 【详解】如图，连接，在中，，则， 所以， 则， 所以， 设，则， 于是在中，由正弦定理，得， 所以， 所以， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，且. （1）若向量，求的夹角的大小； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出的值，进而可以直接用坐标表示，再计算即可 （2）用关于的函数表示，求出该函数的值域即可 【小问1详解】 由，可得，解得， ， . 设的夹角为，则， 又，故的夹角为. 【小问2详解】 ， 令， 则时有时有， 的取值范围为. 16. 已知函数. （1）用“五点法”作出在区间上的图象，并求的单调递减区间； （2）若在上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）图象如下： 单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据五点作图法的规则列表描点连线作出图象，整体代入法或图象法求单调递减区间； （2）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【小问1详解】 由已知可得 列表： 0 0 1 0 -1 0 描点､连线，得到在区间上的图象如图所示： 方法一：由图象可知，在上单调递减，又的最小正周期为， 所以的单调递减区间为. 方法二：令，解得， 故的单调递减区间为. 【小问2详解】 结合图象可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 在上有两个不等实根， 则或， 所以实数的取值范围为. 17. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积. （2）先利用正弦定理结合所给条件求角和角，再分情况确定三角形的形状求周长. 【小问1详解】 由余弦定理得， 将代入，得， 化简得，所以，所以. 又，所以， 故. 【小问2详解】 由正弦定理得，又，可得. 因为，即， 所以，因为，所以一定是锐角，故. 同时，，故或. ①若，则，此时为直角三角形，为斜边. ， 所以周长. ②若，则，此时为等腰三角形， 所以， 周长. 综上所述，的周长为或. 18. 已知函数. （1）若的定义域为，求实数的取值范围. （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）设函数.若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用对数函数定义域结合二次函数恒成立计算求解参数； （2）应用对数复合函数单调性列式计算求解参数； （3）先应用指数函数单调性把恒成立及存在问题转化为最值问题，方法一：分类讨论对称轴求解参数范围；方法二：先参数分离，再应用函数单调性结合基本不等式计算求解最值得出参数范围. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 所以恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，. 令，得或， 又，当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，使得成立，所以. 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立. 方法一：设，其图象的对称轴为直线. 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解. 综上，得，即实数的取值范围为. 方法二：成立，等价于成立， 所以. 记，则在上单调递增，所以，所以. 成立，等价于成立， 所以. 记，则（当且仅当时取等号），所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为. 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. （1）若在中，，求常数的值； （2）求证：； （3）若，试判断的形状，并说明理由. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，点到三边的距离分别为， 则. 如图，延长交于点，根据面积法可知， 所以. 另一方面，因为与同底，所以到的距离之比等于三角形面积之比， 即，所以. 所以. （3） 为等腰三角形或直角三角形，理由如下： 由可知， 由（2）知，所以， 展开得， 又因为，所以. 因为，所以有以下两种情况： 当时，即，此时为等腰三角形； 当时，即，此时为直角三角形. 综上所述，为等腰三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据题设数据先得到，再结合“莱莫恩点”的定义求解即可； （2）结合（1）可得，延长交于点，进而得到，，进而求证即可； （3）由结合（2）可得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 连接，将分割为， 根据“莱莫恩点”的定义，点到三边的距离分别为. 所以 . 代入已知数据，得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 202603 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列物理量不能用向量表示的是（ ） A. 质量 B. 位移 C. 速度 D. 加速度 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 如图，已知网格纸中每个小正方形的边长为1，向量的位置如图所示，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 4. 已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，是上靠近点的三等分点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. 当取最大值时，三点共线 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 不等式的解集是 C. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数 D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象 11. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为1 C. 为周期函数 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是__________. 13. 已知且，则__________. 14. 如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，且. （1）若向量，求的夹角的大小； （2）当时，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）用“五点法”作出在区间上的图象，并求的单调递减区间； （2）若在上有两个不等实根，求实数的取值范围. 17. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 18. 已知函数. （1）若的定义域为，求实数的取值范围. （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）设函数.若，使得成立，求实数的取值范围. 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. （1）若在中，，求常数的值； （2）求证：； （3）若，试判断的形状，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $