热点02 方程与不等式以及一次、二次、反比例函数实际应用14类专练（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点02 实际应用五大题型专练 （上海选填题+解答题） 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型1 方程组中实际应用题 专练01 一元一次方程实际应用 专练02 二元一次方程组实际应用 专练03 分式方程的实际应用 专练04 一元二次方程的实际应用 题型2 不等式（组）的实际应用 专练01 一元一次不等式实际应用 专练02 一元一次不等式组的实际应用 题型03 一次函数的实际应用 专练01 一次函数的实际应用之行程问题 专练02 一次函数的实际应用与统计图结合 专练03 一次函数的实际应用其他问题 题型04 反比例函数的实际应用 题型05 二次函数的实际应问题 专练01 二次函数实际应用之图形问题 专练02 二次函数实际应用之拱桥问题 专练03 二次函数实际应用之投球问题 专练04 二次函数实际应用之其他问题 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：上海中考方程（组）、不等式（组）与函数的实际应用，主要考察一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数、二次函数在生活场景中的综合建模应用，核心围绕行程、工程、销售利润、方案选择、资源分配、最值优化等经典模型；而这类题目中，对等量 / 不等关系的提取、函数解析式的构建、方程（组）与不等式（组）的规范求解、实际意义下解的取舍考察占了绝大多数，试题难度设置梯度明显，基础题、中档题、压轴题分层清晰，题目多以解答题的形式稳定出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，会结合图表信息、多方案对比、整数解限制、分段函数、动点问题等进行灵活变形。 预测2026年：2026年将继续保持稳定，更突出核心素养，情境化试题增多，聚焦生活、科技、传统文化背景，所以在复习时，需要考生对这类题涉及的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，规范建模步骤、规避易错细节，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，稳稳拿下这部分的满分基础分与中档分，冲刺压轴题高分。 题型01 方程（组）中实际应用 解｜题｜策｜略 通用解题四步走（按顺序） 步骤 1：审题建模，抓准等量关系 通读题目，圈画核心关键词（共、和、差、倍、比… 多/少、配套、提前/延迟、总利润、总路程等），明确已知量、未知量，梳理出1组（一元方程）/2组（二元方程组）独立的等量关系，这是列方程的核心。 步骤 2：规范设元，列对应方程（组） ① 设元原则：优先直接设元（设所求量为x、y），若直接设元复杂，用间接设元（设中间量简化计算），设元必须带单位； ② 用含未知数的代数式，完整表示题目中所有相关量； ③ 严格根据等量关系，列出一元一次方程/二元一次方程组，确保方程左右两边单位统一、意义一致。 步骤 3：规范求解，规避计算失误 ① 一元一次方程：按「去分母→去括号→移项变号→合并同类项→系数化为 1」步骤求解； ② 二元一次方程组：优先用代入消元法（系数为 1 时）、加减消元法（系数成倍数时），消元降次为一元一次方程求解，回代后写出完整解； ③ 计算全程注意符号、漏乘、移项变号等细节，避免低级错误。 步骤 4：双重检验，规范作答 ① 方程检验：将解代入原方程（组），验证等式成立，确保计算无误； ② 实际检验：检查解是否符合生活实际（如人数、件数、时间必须为正整数，长度、金额为正数），不符合的解必须舍去； ③ 完整书写答语，明确对应所求量，带单位作答。 专练01 .一元一次方程实际应用 例1（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A．B． C． D． 例2（2025·上海闵行·二模）如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是______． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【变式2】（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有____人． 【变式3】（2025·上海·二模）截止到2023年底，我国汽车产销辆达3000万辆．新能源车占其中，预计2024年新能源车产销量达1152万辆，那么2024年新能源汽车产销量将是2023年的___________倍． 【变式4】（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为_______厘米． 专练02 二元一次方程组实际应用 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【变式1】（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ___________． 【变式2】（2024·上海闵行·二模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两，2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为______． 【变式3】（2025·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 专练03 分式方程的实际应用 例1（2025·上海徐汇·二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（   ） A．2千米／小时 B．3千米／小时 C．4千米／小时 D．5千米／小时 例2（2025·上海·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是______． 【变式1】（2025·上海·二模）某个车间批量生产零件，图纸如下所示．印有图案外轮廓的钢板在流水线上等待激光机处理．对于一个零件，激光机会沿外轮廓切割一圈，切割的时间不低于安全时间，否则有可能会由于激光切割不充分而出现品控问题．以下是零件的示意图，虚线部分是设计师在设计时的辅助线．根据设计参数，四边形为菱形，四边形为正方形，毫米，毫米． 操作批次 切割长度 操作内容 单次切割时间 1 原零件切割长度 调至最大速度 安全时间2倍 2 550毫米 速度下调50毫米每秒 安全时间+5秒 (1)请求出单个该零件的切割长度． (2)上表为在两个批次的零件生产的生产记录．在第2批生产时，设计人员简化了零件模型，切割长度下降．求安全时间． 专练04 一元二次方程的实际应用 例1（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ） A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系 【变式1】（2025·上海青浦·二模）一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为__________． 【变式2】（2025·上海青浦·二模）某工厂今年三月份的产值是90万元，调整生产线后，计划五月份的产值要达到120万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么依题意可列方程为__________． 题型02 不等式（组）的实际应用 解｜题｜策｜略 一、通用解题步骤(按顺序) 步骤 1：审题建模，抓关键词定不等关系 通读题目，圈画不等关系关键词：至少、至多、不少于、不超过、不低于、不足、超过、最多、最少等，明确已知量与未知量，找出题目中的不等关系。 步骤 2：设未知数列不等式（组） ① 设未知数：一般设所求量为x；② 用含x的代数式表示相关量；③ 根据不等关系，列出一元一次不等式或不等式组。 步骤 3：解不等式（组），规范步骤 ① 解不等式：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；② 注意：两边同乘（除）负数时，不等号方向必须改变；③ 不等式组：分别解每个不等式，再利用数轴确定公共解集。 步骤 4：取符合实际的解，完整作答 ① 确定解集后，根据题意取整数解 / 正整数解（人数、件数、次数必须为整数）； ② 检验解是否符合实际意义，不符合的舍去； ③ 写出规范答语。 专练01 一元一次不等式实际应用 例1（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【变式1】（2025·上海静安·三模）足球是世界第一运动． (1)在上海市高中足球联赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求：该队获胜的场数几种可能； (2)在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多为多少元？ 【变式2】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 专练02 一元一次不等式组的实际应用 例1（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【变式1】（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 题型03 一次函数的实际应用 解｜题｜策｜略 通用解题步骤(按顺序) 步骤1：审题建模，梳理变量关系 通读题目，圈画核心关键词（如“单价、数量、总费用、速度、时间、路程、分段、优惠、最值”等），明确自变量（通常设为x）、因变量（通常设为y），梳理出两个变量之间的函数关系，判断是否为分段函数。 步骤 2：规范设元，求函数解析式 ① 设元：设自变量为x，因变量为y，注明单位； ② 求解析式： · 普通一次函数：用待定系数法，代入两组对应(x,y)数据，列二元一次方程组求解k、b，得到y=kx+b； · 分段函数：分区间讨论，分别求出每一段的解析式，标注每一段的自变量取值范围； · ③ 明确自变量的实际取值范围（如人数、数量为正整数，时间非负等）。 步骤 3：结合问题，分析函数性质 ① 若求最值/方案选择：根据k的正负判断函数增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小），结合自变量范围求最值； ② 若求交点/临界点：联立两个一次函数解析式，求解方程组，得到方案优劣的分界点； ③ 若求对应值：代入自变量求函数值，或代入函数值求自变量。 步骤 4：检验作答，规范书写 ① 实际检验：验证结果是否符合实际意义（如人数为正整数、费用非负等）； ② 完整书写答语，明确对应所求结论，带单位作答。 专练01 一次函数的实际应用之行程问题 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）五一期间，小海与小华两家人相约到乙城市某景区游玩，小海家驾驶私家车从甲城市直接前往乙城市该景区，已知小海家出发40分钟后，途经服务区休息了20分钟，继续出发，此时小华家乘高铁从甲城市出发，先到乙城市的火车站．图中的折线和线段分别反映了小海、小华两家人所行路程（千米）与时间（小时）的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题： (1)线段反映了小华家乘坐高铁所行的路程（千米）与时间（小时）的函数关系．请求出线段的表达式，不用写出定义域； (2)当小华家追上小海家时，距离乙城市的火车站还有_________千米； (3)当小华家到达乙城市的火车站，小海家还需_________小时到达景区． 【变式1】（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【变式2】（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 【变式3】（2025·上海·二模）甲、乙两人在同一起点出发，乙比甲晚5秒，图中分别表示甲、乙两人在赛跑中的路程s（米）与时间t（秒）的关系（图像不完整），已知的表达式为，如果在秒时乙追上甲，那么的表达式为______．（不要求写定义域） 专练02 一次函数的实际应用与统计图结合 例1（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【变式1】（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 专练03 一次函数的实际应用其他问题 例（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【变式1】（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 题型04 反比例函数的实际应用 解｜题｜策｜略 一、通用解题四步走(按顺序) 步骤1：审题建模，判断函数类型 通读题目，抓住乘积为定值的特征：路程一定时速度与时间成反比、面积一定时长与宽成反比、总金额一定时单价与数量成反比、压力一定时压强与受力面积成反比等，确定为反比例函数模型。 步骤2：设解析式，用待定系数法求解 ①设反比例函数解析式为： ②从题目中找出一组对应值(x,y),代入求出比例系数k; ③写出完整解析式，并注明自变量取值范围(一般为正数)。 步骤3：代入计算，结合图像分析性质 ①已知x求y,或已知y求x,直接代入解析式计算； ②利用性质：时，在同一象限内，y随x增大而减小； ③结合实际意义，判断取值是否合理。 步骤4：检验结果，规范完整作答 ①检验解是否符合实际(如长度、时间、数量均为正数); ②按题目要求写出结论，带单位、表述完整。 ①先算乘方、开方、绝对值、三角函数；②再算乘除；③最后算加减（有括号先算括号里的） 步骤5：合并结果，写出最终答案 将所有项的结果相加减，得到最简结果。 例（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【变式1】（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【变式2】（2025·上海普陀·二模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 题型05 二次函数的实际应用 解｜题｜策｜略 一、通用解题四步走(按顺序) 步骤1：审题建模，确定函数关系 通读题目，抓住“最大、最小、最值、抛物线、拱桥、投篮、利润最高”等关键词，判断属于二次函数实际应用；明确自变量x(通常是数量、长度、时间、价格)和因变量y(利润、面积、高度、路程等)。 步骤2：设解析式，用待定系数法求解 ①根据题目条件选择合适形式： 已知顶点(最值)：设顶点式 已知与x轴两交点：设交点式 已知一般三点：设一般式 ②代入已知点坐标，求出a,b,c或a,h,k; ③写出解析式，并确定自变量实际取值范围。 步骤3：利用性质求最值与范围 ①配方或用公式求顶点： ②由开口方向(有最小值，有最大值)确定最值； ③若自变量有范围，最值可能在顶点或端点处取得，需比较判断。 步骤4:检验取舍，规范完整作答 ①检验解是否符合实际意义(长度、数量、价格为正，人数为整数等);②舍去不合理解，写出明确答语，注明单位与结论。 专练01 二次函数实际应用之图形问题 例（2025·上海徐汇·一模）已知菱形的周长为C，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S，那么S关于C的函数解析式是______． 【变式1】（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是________． 【变式2】（2025·上海宝山·一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 _____．（不要求写出定义域） 专练02 二次函数实际应用之拱桥问题 例（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号） 【变式1】（2023·上海静安·一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为_________． 【变式2】（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 专练03 二次函数实际应用之投球问题 例（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 【变式1】（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 专练04 二次函数实际应用之其他问题 例（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【变式1】（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【变式2】（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     【变式3】（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． （20分钟限时练） 1．（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示） 2．（2024·上海·模拟预测）环境保护局统计了2013年世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A，B，C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得数据整理后绘成如下条形统计图． (1)在A出口被调查游客中，购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的_____，请绘制扇形图，表示A出口被调查游客购买饮料数量以及对应的人数比例．扇形图的优势是_________． (2)小敏认为，由（1）可知，在A出口购买不少于2瓶饮料的游客的质量占全部A出口被调查游客质量的质量分数，也约为购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的百分比，你认为她的说法对吗，请说明理由． (3)已知B，C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示，若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B，C两个出口的被调查游客在园区内公购买了49万瓶饮料，B出口的被调查游客人数是多少？ 出口 B C 人均购买饮料数量/瓶 3 2 (4)为给配合，参与调查的游客给予一定奖励，环境保护局决定给从B，C出口离开的游客发放可乐和冰红茶，已知可乐的单价为2元，冰红茶的价格为3元，选择要可乐的人比选择冰红茶的人数少1万人，那么环境保护局准备了多少资金来购买可乐和冰红茶？ 3．（2025·上海·模拟预测）小明所在的数学学习小组对“分割等腰三角形”产生兴趣，并设计了如下问题，请你帮助他们完成： 探究过等腰三角形顶点的直线对该等腰三角形的分割 任务一 对于一个锐角等腰三角形，若分割得的两个三角形都是直角三角形，那么该等腰三角形的_____（选填“高”“中线”“角平分线”）一定在该直线上． 任务二 若分割得的两个三角形中，有一个三角形是直角三角形，另一个三角形是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为60°的等腰三角形； （2）顶角为90°的等腰三角形； （3）顶角为120°的等腰三角形． 任务三 若分割得的两个三角形都是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为36°的等腰三角形； （2）顶角为90°的等腰三角形； （3）顶角为108°的等腰三角形． 若还有其他三角形符合上述条件，请直接写出该三角形的顶角． 4．（2025·上海·模拟预测）超能果，网球大小，色紫，叶大而色浅绿，食用时可以给超能市居民健体．一家超能果批发商正在开展日常工作，请你帮助工作人员完成两个工作任务． 【任务一】已知员工已任职月数m（月）关于当月工资（元）的函数解析式是．五名员工A、B、C、D、E的已任职月数m和当月工资y见下表． 填写表格空格，并且用函数的增减性，得出领中位数工资的员工名称． 名称 A B C D E m 5 6 0 11 ________ y ？ ？ ________ ？ 1200 【任务二】批发市场在2133年共售出1000吨超能果，年间对比前一年总销售量的增长率如下方折线图所示（）．若2136年总共售出1320吨超能果，求a的值． 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 6．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 7．（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点02 实际应用五大题型专练 （上海选填题+解答题） 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型1 方程组中实际应用题 专练01 一元一次方程实际应用 专练02 二元一次方程组实际应用 专练03 分式方程的实际应用 专练04 一元二次方程的实际应用 题型2 不等式（组）的实际应用 专练01 一元一次不等式实际应用 专练02 一元一次不等式组的实际应用 题型03 一次函数的实际应用 专练01 一次函数的实际应用之行程问题 专练02 一次函数的实际应用与统计图结合 专练03 一次函数的实际应用其他问题 题型04 反比例函数的实际应用 题型05 二次函数的实际应问题 专练01 二次函数实际应用之图形问题 专练02 二次函数实际应用之拱桥问题 专练03 二次函数实际应用之投球问题 专练04 二次函数实际应用之其他问题 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：上海中考方程（组）、不等式（组）与函数的实际应用，主要考察一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数、二次函数在生活场景中的综合建模应用，核心围绕行程、工程、销售利润、方案选择、资源分配、最值优化等经典模型；而这类题目中，对等量 / 不等关系的提取、函数解析式的构建、方程（组）与不等式（组）的规范求解、实际意义下解的取舍考察占了绝大多数，试题难度设置梯度明显，基础题、中档题、压轴题分层清晰，题目多以解答题的形式稳定出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，会结合图表信息、多方案对比、整数解限制、分段函数、动点问题等进行灵活变形。 预测2026年：2026年将继续保持稳定，更突出核心素养，情境化试题增多，聚焦生活、科技、传统文化背景，所以在复习时，需要考生对这类题涉及的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，规范建模步骤、规避易错细节，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，稳稳拿下这部分的满分基础分与中档分，冲刺压轴题高分。 题型01 方程（组）中实际应用 解｜题｜策｜略 通用解题四步走（按顺序） 步骤 1：审题建模，抓准等量关系 通读题目，圈画核心关键词（共、和、差、倍、比… 多/少、配套、提前/延迟、总利润、总路程等），明确已知量、未知量，梳理出1组（一元方程）/2组（二元方程组）独立的等量关系，这是列方程的核心。 步骤 2：规范设元，列对应方程（组） ① 设元原则：优先直接设元（设所求量为x、y），若直接设元复杂，用间接设元（设中间量简化计算），设元必须带单位； ② 用含未知数的代数式，完整表示题目中所有相关量； ③ 严格根据等量关系，列出一元一次方程/二元一次方程组，确保方程左右两边单位统一、意义一致。 步骤 3：规范求解，规避计算失误 ① 一元一次方程：按「去分母→去括号→移项变号→合并同类项→系数化为 1」步骤求解； ② 二元一次方程组：优先用代入消元法（系数为 1 时）、加减消元法（系数成倍数时），消元降次为一元一次方程求解，回代后写出完整解； ③ 计算全程注意符号、漏乘、移项变号等细节，避免低级错误。 步骤 4：双重检验，规范作答 ① 方程检验：将解代入原方程（组），验证等式成立，确保计算无误； ② 实际检验：检查解是否符合生活实际（如人数、件数、时间必须为正整数，长度、金额为正数），不符合的解必须舍去； ③ 完整书写答语，明确对应所求量，带单位作答。 专练01 .一元一次方程实际应用 例1（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 例2（2025·上海闵行·二模）如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是能够将移动的过程中两圆的位置关系全部考虑到． 在移动过程中有两次内切，两次外切，根据两圆的各种位置关系中圆心距和两圆的半径之间的关系列出有关时间t的方程求解即可． 【详解】解：设点运动到点时两圆相切， 两圆第一次外切时，， 有， 得， 两圆第一次内切时，， 有， 得， 两圆第二次内切时，， 有， 得， 两圆第二次外切时，， 有， 得， 故答案为：或或或． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 【变式2】（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有____人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据总竿数相等列出方程，求出解即可. 【详解】解：设有牧童人，根据题意，得 ， 解得， 答：牧童有人． 故答案为：． 【变式3】（2025·上海·二模）截止到2023年底，我国汽车产销辆达3000万辆．新能源车占其中，预计2024年新能源车产销量达1152万辆，那么2024年新能源汽车产销量将是2023年的___________倍． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设2024年新能源汽车产销量将是2023年的倍，根据2023年底新能源车占有率达年新能源车产销量达 1152 万辆，建立方程求解即可． 【详解】解：设2024年新能源汽车产销量将是2023年的倍， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式4】（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为_______厘米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质：熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的高线比等于相似比，设未知数，列出一元一次方程，进行求解即可 【详解】解：由题意得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的高线比为， 设较大三角形的高为（厘米），较小三角形的高为（厘米）， ∴， 解得：， ∴两个三角形的高的长度和为（厘米）， 故答案为：． 专练02 二元一次方程组实际应用 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平均数的定义，根据总人数为40和平均分为2.5，列出关于x和y的方程组，并求解． 【详解】解：根据题意，得 解得， 故答案为：， ． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个； ∵有个和尚， ∴； ∵有个馒头， ∴； 故答案为：； 【变式2】（2024·上海闵行·二模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两，2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组.根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两， 由题意可得，， 故答案为：． 【变式3】（2025·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元 专练03 分式方程的实际应用 例1（2025·上海徐汇·二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（   ） A．2千米／小时 B．3千米／小时 C．4千米／小时 D．5千米／小时 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为千米/小时， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，是原方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：学生返回时步行的速度为3千米/小时． 故选：B． 例2（2025·上海·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据像距减小，得到物距增加，根据焦距是个定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为，物距变为， 由题意，得：， 解得或（舍去）； ∴； ∴； 故答案为： 【变式1】（2025·上海·二模）某个车间批量生产零件，图纸如下所示．印有图案外轮廓的钢板在流水线上等待激光机处理．对于一个零件，激光机会沿外轮廓切割一圈，切割的时间不低于安全时间，否则有可能会由于激光切割不充分而出现品控问题．以下是零件的示意图，虚线部分是设计师在设计时的辅助线．根据设计参数，四边形为菱形，四边形为正方形，毫米，毫米． 操作批次 切割长度 操作内容 单次切割时间 1 原零件切割长度 调至最大速度 安全时间2倍 2 550毫米 速度下调50毫米每秒 安全时间+5秒 (1)请求出单个该零件的切割长度． (2)上表为在两个批次的零件生产的生产记录．在第2批生产时，设计人员简化了零件模型，切割长度下降．求安全时间． 【答案】(1) (2)安全时间为秒 【分析】本题主要考查了正方形，菱形的性质，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据正方形和菱形的性质得到毫米，毫米，，由勾股定理得到毫米，由此即可求解； （2）假设安全时间为秒，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形菱形， ∴， 设交于点， ∴毫米，毫米，， 在直角中，毫米， ∴切线长度为； （2）解：假设安全时间为秒， ∴， 解得，或， 经检验，或，原分式方程有意义， 但不符合实际意义，舍去， ∴， 答：安全时间为秒． 专练04 一元二次方程的实际应用 例1（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ） A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，理解题意并画出相应的图形是解题的关键．设秒后他们再次取得联系，依题意，，然后用含的代数式表示出和，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，设秒后他们再次取得联系，此时嘉琪运动到点，李明运动到点， 依题意：， 则，， 由勾股定理有， 即， 解得或（不合题意 ，舍去）， 60秒后他们再次取得联系． 故选：B． 【变式1】（2025·上海青浦·二模）一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海青浦·二模）某工厂今年三月份的产值是90万元，调整生产线后，计划五月份的产值要达到120万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么依题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设这个增长率为，那么四月份产值为，五月份产值为，然后根据五月份的产值要达到120万元，列出方程即可． 【详解】解：设这个增长率为，那么有 故答案为：． 题型02 不等式（组）的实际应用 解｜题｜策｜略 一、通用解题步骤(按顺序) 步骤 1：审题建模，抓关键词定不等关系 通读题目，圈画不等关系关键词：至少、至多、不少于、不超过、不低于、不足、超过、最多、最少等，明确已知量与未知量，找出题目中的不等关系。 步骤 2：设未知数列不等式（组） ① 设未知数：一般设所求量为x；② 用含x的代数式表示相关量；③ 根据不等关系，列出一元一次不等式或不等式组。 步骤 3：解不等式（组），规范步骤 ① 解不等式：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；② 注意：两边同乘（除）负数时，不等号方向必须改变；③ 不等式组：分别解每个不等式，再利用数轴确定公共解集。 步骤 4：取符合实际的解，完整作答 ① 确定解集后，根据题意取整数解 / 正整数解（人数、件数、次数必须为整数）； ② 检验解是否符合实际意义，不符合的舍去； ③ 写出规范答语。 专练01 一元一次不等式实际应用 例1（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【答案】(1)A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元． (2)，；或，． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组，代数式求值，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）当，时的实际支付额，依据方案中满减、折扣的规则进行计算即可； （2）分情况讨论t的取值范围：①当时，②当时，根据“选A、B方案没有实际区别”这一条件，建立等式，将n用t表示出来，再根据t的范围确定n的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴A方案的实际支付额为（元）； ∵， ∴B方案的实际支付额为（元）． 答：A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元； （2）①当时，， 解得，， 即， ∴，； ②当时，， 解得，． 综上所述，，；或，． 【变式1】（2025·上海静安·三模）足球是世界第一运动． (1)在上海市高中足球联赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求：该队获胜的场数几种可能； (2)在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多为多少元？ 【答案】(1)3 (2)2000 【分析】本题考查了二元一次方程，三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组和不等式解答． （1）设胜x场，平y场，则，，分别写出x和y的值即可解答． （2）设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为，列出不等式，求出x的取值范围为，设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n，根据题意列出方程组，得出，则，进而推出，根据题意得出，则，，，，即可解答． 【详解】（1）解：设胜x场，平y场， ∵共进行了8场比赛， ∴， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上：该队获胜的场数有3种可能； （2）解：设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为， ， 解得：， ∵三种纪念品售价均为整数， ∴， 设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n； ， 整理得：， ∵a、b、c、m、n均为整数，且1200和1440在x的取值范围内只有一个公因数40， ∴， ∴， 整理得：， ∵每种纪念品每人购买不超过6件， ∴，，， ∴，或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴，； ∴，，，， ∴两人购买手办的费用之和最多是（元）， 【变式2】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装 (2)每件服装的标价至少是150元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商店第一次购进100件该款服装； （2）解：设每件服装的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150. 答：每件服装的标价至少是150元． 专练02 一元一次不等式组的实际应用 例1（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，；数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： ． 【变式1】（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 题型03 一次函数的实际应用 解｜题｜策｜略 通用解题步骤(按顺序) 步骤1：审题建模，梳理变量关系 通读题目，圈画核心关键词（如“单价、数量、总费用、速度、时间、路程、分段、优惠、最值”等），明确自变量（通常设为x）、因变量（通常设为y），梳理出两个变量之间的函数关系，判断是否为分段函数。 步骤 2：规范设元，求函数解析式 ① 设元：设自变量为x，因变量为y，注明单位； ② 求解析式： · 普通一次函数：用待定系数法，代入两组对应(x,y)数据，列二元一次方程组求解k、b，得到y=kx+b； · 分段函数：分区间讨论，分别求出每一段的解析式，标注每一段的自变量取值范围； · ③ 明确自变量的实际取值范围（如人数、数量为正整数，时间非负等）。 步骤 3：结合问题，分析函数性质 ① 若求最值/方案选择：根据k的正负判断函数增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小），结合自变量范围求最值； ② 若求交点/临界点：联立两个一次函数解析式，求解方程组，得到方案优劣的分界点； ③ 若求对应值：代入自变量求函数值，或代入函数值求自变量。 步骤 4：检验作答，规范书写 ① 实际检验：验证结果是否符合实际意义（如人数为正整数、费用非负等）； ② 完整书写答语，明确对应所求结论，带单位作答。 专练01 一次函数的实际应用之行程问题 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）五一期间，小海与小华两家人相约到乙城市某景区游玩，小海家驾驶私家车从甲城市直接前往乙城市该景区，已知小海家出发40分钟后，途经服务区休息了20分钟，继续出发，此时小华家乘高铁从甲城市出发，先到乙城市的火车站．图中的折线和线段分别反映了小海、小华两家人所行路程（千米）与时间（小时）的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题： (1)线段反映了小华家乘坐高铁所行的路程（千米）与时间（小时）的函数关系．请求出线段的表达式，不用写出定义域； (2)当小华家追上小海家时，距离乙城市的火车站还有_________千米； (3)当小华家到达乙城市的火车站，小海家还需_________小时到达景区． 【答案】(1) (2)60 (3)0.25 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入，求解即可； （3）根据题意求得当小华家到达火车站时，小海家已经行驶了1.75小时，据此即可求解． 【详解】（1）解：设线段的表达式为， 由题知：，， ， 解得：， 所以线段的表达式为； （2）解：由题意得，将代入， 得， 小华家到达火车站时，所以距离乙城市火车站还有（千米）； 故答案为：60； （3）解：小华家到达乙城市火车站用时（小时）， 小海家到达景区用时2小时， 当小华家到达火车站时，小海家已经行驶了1.75小时， 所以还需（小时）． 故答案为：． 【变式1】（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1)，，且x为整数； (2)①25辆；②20分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 在中，当时，， ∴，且x为整数； （2）解：①在中，当时，， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②由题意得，， 解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【变式2】（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【详解】解：由图象可知： 设的解析式为：， ∵经过点， ∴，得， ∴函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）． 故答案为：12． 【变式3】（2025·上海·二模）甲、乙两人在同一起点出发，乙比甲晚5秒，图中分别表示甲、乙两人在赛跑中的路程s（米）与时间t（秒）的关系（图像不完整），已知的表达式为，如果在秒时乙追上甲，那么的表达式为______．（不要求写定义域） 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象和性质．根据题意求出交点的坐标，再利用待定系数法即可求出的表达式． 【详解】解：由题意可得，当时，， 即的交点坐标为， 设直线的解析式为，把代入得到， ，解得， ∴的表达式为， 故答案为： 专练02 一次函数的实际应用与统计图结合 例1（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【答案】(1)3月份各种型号计算器的销售总量为300个 (2)A型计算器销售量为120个，图形见解析 (3)y关于x的函数关系式为 【分析】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题． （1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号计算器的销售总量； （2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图； （3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到，整理即可． 【详解】（1）解：（个）， ∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个； （2）解：A型计算器销售量为：（个）， 条形统计图如图： （3）解：∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只， ∴C型计算器为只， 根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元， ∴， 整理得：， ∴y关于x的函数关系式为． 【变式1】（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 专练03 一次函数的实际应用其他问题 例（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【答案】(1)C (2)（D）处应填充： (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式． （1）依据题意，该函数可能是一次函数，即可得解； （2）依据题意，结合（1）可设所求函数为一次函数即可判断得解； （3）依据题意，设y关于x的解析式是，则，从而可得解析式，然后结合弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过，故，可得x的范围，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，该函数可能是一次函数， 故选：C． （2）解：结合（1）可设所求函数解析式为， 故（D）处应填充：． （3）解：设y关于x的解析式是， 由题意得：， ∴ ∴y关于x的解析式是； 又∵， ∴． ∴， 答：所挂重物的重量最多为． 【变式1】（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 题型04 反比例函数的实际应用 解｜题｜策｜略 一、通用解题四步走(按顺序) 步骤1：审题建模，判断函数类型 通读题目，抓住乘积为定值的特征：路程一定时速度与时间成反比、面积一定时长与宽成反比、总金额一定时单价与数量成反比、压力一定时压强与受力面积成反比等，确定为反比例函数模型。 步骤2：设解析式，用待定系数法求解 ①设反比例函数解析式为： ②从题目中找出一组对应值(x,y),代入求出比例系数k; ③写出完整解析式，并注明自变量取值范围(一般为正数)。 步骤3：代入计算，结合图像分析性质 ①已知x求y,或已知y求x,直接代入解析式计算； ②利用性质：时，在同一象限内，y随x增大而减小； ③结合实际意义，判断取值是否合理。 步骤4：检验结果，规范完整作答 ①检验解是否符合实际(如长度、时间、数量均为正数); ②按题目要求写出结论，带单位、表述完整。 ①先算乘方、开方、绝对值、三角函数；②再算乘除；③最后算加减（有括号先算括号里的） 步骤5：合并结果，写出最终答案 将所有项的结果相加减，得到最简结果。 例（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 【变式1】（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数关系， (3)12千克 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意， 8分钟内将货物运送至2400米，从而（米/秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， ∴可设， 又∵图象过， ∴． ∴， 代入上式，均符合． ∴函数关系式为． （3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米， ∴（米/秒）． ∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）． 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 【变式2】（2025·上海普陀·二模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的应用，根据题意及反比例函数图象上点的坐标特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、某位成年人身高为1.6米，数值随着体重m的值的增加而增加，原说法错误，不符合题意； B、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间成正比例关系，原说法正确，符合题意； C、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间的函数图象为第一象限内的直线，原说法错误，不符合题意； D、某位成年人身高为1.6米，这位成年人的体重为64公斤，则数值是25，属于偏胖，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 题型05 二次函数的实际应用 解｜题｜策｜略 一、通用解题四步走(按顺序) 步骤1：审题建模，确定函数关系 通读题目，抓住“最大、最小、最值、抛物线、拱桥、投篮、利润最高”等关键词，判断属于二次函数实际应用；明确自变量x(通常是数量、长度、时间、价格)和因变量y(利润、面积、高度、路程等)。 步骤2：设解析式，用待定系数法求解 ①根据题目条件选择合适形式： 已知顶点(最值)：设顶点式 已知与x轴两交点：设交点式 已知一般三点：设一般式 ②代入已知点坐标，求出a,b,c或a,h,k; ③写出解析式，并确定自变量实际取值范围。 步骤3：利用性质求最值与范围 ①配方或用公式求顶点： ②由开口方向(有最小值，有最大值)确定最值； ③若自变量有范围，最值可能在顶点或端点处取得，需比较判断。 步骤4:检验取舍，规范完整作答 ①检验解是否符合实际意义(长度、数量、价格为正，人数为整数等);②舍去不合理解，写出明确答语，注明单位与结论。 专练01 二次函数实际应用之图形问题 例（2025·上海徐汇·一模）已知菱形的周长为C，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S，那么S关于C的函数解析式是______． 【答案】 【分析】本题考查正切的定义，菱形的性质和面积以及勾股定理．根据菱形的性质得出菱形的边长，由正切的定义得出，再由勾股定理得出的长，由菱形的面积等于底乘以高即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形，是边上的高， ∵菱形的周长为C， ∴， ∵的正切值为2， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， 菱形面积为， 故答案为：． 【变式1】（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 【变式2】（2025·上海宝山·一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 _____．（不要求写出定义域） 【答案】 【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式． 【详解】解：篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为米， 花圃平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键． 专练02 二次函数实际应用之拱桥问题 例（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 【变式1】（2023·上海静安·一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为_________． 【答案】/ 【分析】设抛物线解析式为，由图象可知，点的坐标，利用待定系数法求解即可． 【详解】设抛物线解析式为， 由图象可知，点的坐标为， 代入解析式得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【变式2】（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①；② 【分析】（1）运用待定系数法可得解析式，将一般式化为顶点式可得对称轴； （2）①根据题意设，可得直线，由点在直线上，得到，即可求解； ②求出第一条彩虹的解析式为：，对称轴为直线，得到投影的解析式为：，，求出，，证明出，得到，代数求出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点分别代入中， 当时，，当时，， 解得，，， ， 对称轴为直线； （2）解：①∵投影可由第一条彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，右端点为点，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上， ∴设，设直线， ∵， ，解得 ∴直线， ∵点在直线上， ， ∴； ②第一条彩虹的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴投影的解析式为：， 把无人机（看做一点），无人机在原彩虹的对称轴上， ∴， 在直线上取点，作直线，令直线平行于轴，过点作于， ∴， ∵ ∴ ∵平行于， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴投影的解析式为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 专练03 二次函数实际应用之投球问题 例（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 【变式1】（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，投球问题(实际问题与二次函数)，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先根据题意得出函数过，，从而可求得待定系数，求得函数表达式，代入求得函数值即可． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 专练04 二次函数实际应用之其他问题 例（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 【变式1】（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 【变式2】（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     【答案】（1）、；（2） 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）水平飞行时的距离为：， ， ，， 分别代入，直线， 得：，， 解得：，． （2）， ， ． ∴抛物线， 令， ． 解得：，， ， 将代入直线．得：， 即， ， 即， ． 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． （20分钟限时练） 1．（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示） 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这件商品的盈利率为x，根据“售价成本成本盈利率”，再根据“商品成本价元，商家以元价格售出”列出关于的一元一次方程，求解即可．正确理解题意，根据数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这件商品的盈利率为， 依题意，得：， 解得：， ∴这件商品的盈利率为． 故答案为：． 2．（2024·上海·模拟预测）环境保护局统计了2013年世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A，B，C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得数据整理后绘成如下条形统计图． (1)在A出口被调查游客中，购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的_____，请绘制扇形图，表示A出口被调查游客购买饮料数量以及对应的人数比例．扇形图的优势是_________． (2)小敏认为，由（1）可知，在A出口购买不少于2瓶饮料的游客的质量占全部A出口被调查游客质量的质量分数，也约为购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的百分比，你认为她的说法对吗，请说明理由． (3)已知B，C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示，若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B，C两个出口的被调查游客在园区内公购买了49万瓶饮料，B出口的被调查游客人数是多少？ 出口 B C 人均购买饮料数量/瓶 3 2 (4)为给配合，参与调查的游客给予一定奖励，环境保护局决定给从B，C出口离开的游客发放可乐和冰红茶，已知可乐的单价为2元，冰红茶的价格为3元，选择要可乐的人比选择冰红茶的人数少1万人，那么环境保护局准备了多少资金来购买可乐和冰红茶？ 【答案】(1)扇形统计图见解析， 60，可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系． (2)她的说法不对，理由见解析 (3)B出口游客人数为9万人． (4)环境保护局准备的资金为万元 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、一元一次方程的应用等知识点，理解条形统计图以及根据题意列出一元一次方程成为解题的关键． （1）先根据条形统计图求得购买不少于2瓶饮料的游客人数的人数，然后画出扇形统计图并标记各个数量所对应的百分比，再根据扇形统计图的特点即可解答； （2）根据游客质量和购买饮料状况是否有关联即可解答； （3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为万人．根据B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料列方程求解即可； （4）设选择冰红茶的人数为y万人，则选择可乐的人数为万人，然后列一元一次方程求得人数，最后求出费用即可． 【详解】（1）解：由图可知，购买不少于2瓶饮料的游客人数为（万人）， 而总人数为：（万人）， 所以购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的． 根据题意画出扇形统计图如下： 因此，扇形统计图的优势：可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系 故答案为：60，可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系． （2）解：她的说法不对，理由如下：游客的质量与饮料购买没有必然联系． （3）解：设B出口人数为x万人，则C出口人数为万人． 则有，解得． 答：B出口游客人数为9万人． （4）解：由（3）易得：B出口游客人数为9万人，C出口游客11万人，共20万人． 设选择冰红茶的人数为y万人，则选择可乐的人数为万人． 则有，解得， 所以选择冰红茶的人数为万人，则选择可乐的人数为万人， 所以环境保护局准备的资金为万． 答：环境保护局准备的资金为万元． 3．（2025·上海·模拟预测）小明所在的数学学习小组对“分割等腰三角形”产生兴趣，并设计了如下问题，请你帮助他们完成： 探究过等腰三角形顶点的直线对该等腰三角形的分割 任务一 对于一个锐角等腰三角形，若分割得的两个三角形都是直角三角形，那么该等腰三角形的_____（选填“高”“中线”“角平分线”）一定在该直线上． 任务二 若分割得的两个三角形中，有一个三角形是直角三角形，另一个三角形是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为60°的等腰三角形； （2）顶角为90°的等腰三角形； （3）顶角为120°的等腰三角形． 任务三 若分割得的两个三角形都是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比． （1）顶角为36°的等腰三角形； （2）顶角为90°的等腰三角形； （3）顶角为108°的等腰三角形． 若还有其他三角形符合上述条件，请直接写出该三角形的顶角． 【答案】任务一：高；任务二：（1）不可以；（2）可以，面积比为；（3）可以，面积比为或；任务三：（1）可以，面积比为或；（2）可以，面积比为；（3）可以，面积比为或；其他三角形的顶角：． 【分析】任务一：过等腰三角形顶点的直线将等腰三角形分割成两个三角形，分割成的两个三角形均为直角三角形，则三角形的一条高一定在这条直线上； 任务二：（1）根据等边 三角形的性质即可判断求解；（2）根据等腰直角三角形的性质即可判断求解；（3）将顶角分为90°和30°的直线即为所求，根据边长关系可求面积比； 任务三：（1）底角角平分线所在直线即为所求，利用三角形相似即可求出边长关系，从而得到面积比；（2）根据等腰直角三角形的性质即可判断求解；（3）将顶角平分为36°角和72°角的直线即为所求，根据（2）中所求三角形边长关系即可求面积比；其他满足条件的三角形可设角，根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形、黄金分割、三角形的内角和定理等． 【详解】解：①任务一 过等腰三角形顶点的直线将等腰三角形分割成两个三角形，分割成的两个三角形均为直角三角形，则三角形的一条高一定在这条直线上， 故答案为：高； ②任务二 （1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，过等边三角形的顶点分割等边三角形，分割成的两个三角形若其中一个为直角三角形，则另外一个也是和它全等的直角三角形，这两个直角三角形的内角从小到大为30°、60°、90°，如图： 故（1）中三角形不符合条件； （2）可以，两小三角形面积比为．如图虚线（顶角角平分线所在直线）可将等腰直角三角形分为两个全等的小等腰直角三角形： （3）可以，面积比为或，如图中直线（将顶角分为90°和30°的直线）即为所求直线： 设，则， 过A作于E，则， ∴． ③任务三 （1）可以，面积比为或，如图中（底角角平分线所在直线）即为所求直线： 设， ∵， ∴， ∴，即，即，解得， ∵，∴， ∴，或； （2）可以，面积比为，如图中虚线（等腰直角三角形斜边上的高所在直线）即为所求直线： （3）可以，面积比为或，如图中（将顶角平分为36°角和72°角的直线即为所求： 由任务三（1）解答过程可知顶角为的等腰三角形的底和腰的比，即本题的为， 故可设， ∴，或； 其他三角形的顶角：，如图： 由图得，即． 则顶角为 4．（2025·上海·模拟预测）超能果，网球大小，色紫，叶大而色浅绿，食用时可以给超能市居民健体．一家超能果批发商正在开展日常工作，请你帮助工作人员完成两个工作任务． 【任务一】已知员工已任职月数m（月）关于当月工资（元）的函数解析式是．五名员工A、B、C、D、E的已任职月数m和当月工资y见下表． 填写表格空格，并且用函数的增减性，得出领中位数工资的员工名称． 名称 A B C D E m 5 6 0 11 ________ y ？ ？ ________ ？ 1200 【任务二】批发市场在2133年共售出1000吨超能果，年间对比前一年总销售量的增长率如下方折线图所示（）．若2136年总共售出1320吨超能果，求a的值． 【答案】【任务一】：表格见解析，领中位数工资的员工为A；【任务二】： 【分析】本题考查了一元一次函数的图象性质，一元二次方程的实际应用： （1）令和求解即可补全表格；根据一次函数的图象性质即可得到领中位数工资的员工名称； （2）根据折线图可知2134年售出1000吨超能果，然后根据2136年总共售出1320吨超能果及折线图给的增长率即可列出方程并求解得出答案． 【详解】（1）【任务一】对于， 当时，， 当时，， 故表格补全为： 名称 A B C D E m 5 6 0 11 3 y ？ ？ 600 ？ 1200 根据一次函数的图象性质，∵， ∴y随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴领中位数工资的员工为的员工A； (2)【任务二】根据折线图，可得2134年对比2133年增长率为0%，即2134年售出1000吨超能果． 可列方程， 解得， ∵， ∴． 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 (3)或，示意图见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． （1）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的底面积为，可得方程求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的侧面积等于，可得方程，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为，分成两种情况，根据侧面积为列方程讨论求解． 【详解】（1）设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 即， 解得：（不合题意，舍去），． ∴剪去的正方形的边长为． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下： 设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解． 即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于． （3）设剪去的正方形边长为， 若按图1所示的方法剪折， 有：， 整理得：， ， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：， 解得：，， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到． 6．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题为函数图象和实际结合的题型，考查由图象写出函数的能力． （1）设出一次函数的一般表达式，将，代代入即可求出； （2）由销售的利润和销售价格得出函数关系式，由函数性质判断出随销售价格增大利润增大的范围． 【详解】（1）解：设一次函数的一般表达式，将，代入得： ， 解得：，， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：． （2）解：每件商品的利润为：， 所以每天的利润为：， ∵， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 7．（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 【答案】(1)①见解析②3.6米；③擦网而过 (2)2.075 【分析】本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式． （1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象； ②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为，然后由待定系数法求出函数解析式； ③当时求出y的值与3.05比较即可； （2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把代入解析式求出m即可． 【详解】（1）解：①描点，连线，作出函数图象， ②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米， 由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴y与x满足的函数解析式为； ③当时，， 又 而， ∴小石第一次投篮练习擦网而过； 故答案为：擦网而过； （2）解：根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位， 则第二次篮球运行的抛物线解析式为， ∵第二次篮球运行的抛物线经过， ∴， 解得， ∴米， 答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高2.075米． 故答案为：2.075． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $