学易金卷：高一数学下学期期中模拟卷02【天津专用，测试范围：人教A版必修第二册第6～8章】

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第八章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．4 D．9 2．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 6．图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的底面半径为2，高为．点M是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点M出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点M，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B． C． D．6 9．为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．若复数，则___________． 12．已知的内角的对边分别为，若，，，则______． 13．与的夹角为锐角，的取值范围为______． 14．如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的取值范围为_________. 15．如图，梯形，且，，，则______，E在线段上，则的最小值为______. __ 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分） 设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标. 17．（10分） 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值． 18．（10分） 在中，内角的对边分别为，且，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 19．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 20．（15分） 已知长方体中，，.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第八章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．4 D．9 2．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 6．图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的底面半径为2，高为．点M是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点M出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点M，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B． C． D．6 9．为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（    ）    A．B． C． D． 10．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 第二部分（非选择题 共80分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 11．若复数，则___________． 12．已知的内角的对边分别为，若，，，则______． 13．与的夹角为锐角，的取值范围为______． 14．如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的取值范围为_________. 15．如图，梯形，且，，，则______，E在线段上，则的最小值为______. ． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 17．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 18．在中，内角的对边分别为，且，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 20．已知长方体中，，.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 全解析 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第八章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【详解】由题设及，则，可得. 2．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 3．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积是. 4．已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 6．图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为， 所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图， 则， 则其外接球的半径为, 解得，所以. 7．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 8．已知圆锥的底面半径为2，高为．点M是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点M出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点M，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】由题意得圆锥的母线长，即侧面展开图扇形的半径为6， 因为底面半径为2，则底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 则扇形圆心角的弧度，母线上的点展开后为扇形上的， 则为该质点运动的最短路径，， 由余弦定理得， 解得. 9．为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:    正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有， 俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形， 正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等， 设半球半径为R，已知小球半径， 所以，，，. 所以半球面形状的容器的容积是. 故选：B 10．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 11．若复数，则___________． 【答案】 【详解】由题可得， 所以． 12．已知的内角的对边分别为，若，，，则______． 【答案】 【详解】由，得，解得或（舍去）． 所以，又因为，所以． 故答案为：. 13．与的夹角为锐角，的取值范围为______． 【答案】 【详解】若向量与的夹角为锐角， 则且向量与不平行， ，得， 当向量与平行时，， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的取值范围为_________. 【答案】 8 【详解】 第一空：以A为坐标原点建立直角坐标系，则, 当点沿着边运动时,设，故; 第二个空：当点沿着边运动时，设，； 当点沿着边运动时，设，，因为； 当点沿着边运动时，设，； 综上：的取值范围为. 故答案为：8； 15．如图，梯形，且，，，则______，E在线段上，则的最小值为______. 【答案】 / 【详解】在梯形中，且，，则， 于是 ，则，又，所以； 作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，， 令，则， ，， 因此， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 17．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得. （2）（ⅰ）由（1）得，且， 所以， 因为，所以； （ⅱ）由（ⅰ）得，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得，可得，故， 因，则，，故， 所以. 18．在中，内角的对边分别为，且，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，化简可得，所以. （2）因为，且， 所以. （3）因为， 所以，， 又因为，且， 所以. 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，连接， 因为为平行四边形，是中点， 所以是平行四边形的对角线，所以是中点， 又因为是中点，所以是中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）. 20．已知长方体中，，.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 由，且平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）连接与交于点，因为，即四边形为正方形， 所以， 又由平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面, 所以为直线与平面所成角 由，可得，， 在直角中，可得， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）在正方体中，，， 所以， 连接与交于点，连接，因为，可得， 可得，则， 设点C到平面的距离为，由， 可得，解得， 即点C到平面的距离.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B D B C C B A 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11． 12． 13． 14．8 15． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分） (1) (2)①；② 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 17．（10分） (1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得. （2）（ⅰ）由（1）得，且， 所以， 因为，所以； （ⅱ）由（ⅰ）得，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得，可得，故， 因，则，，故， 所以． 18．（10分） (1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，化简可得，所以. （2）因为，且， 所以. （3）因为， 所以，， 又因为，且， 所以． 19．（15分） ．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，连接， 因为为平行四边形，是中点， 所以是平行四边形的对角线，所以是中点， 又因为是中点，所以是中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）. 20．（15分） (1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 由，且平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）连接与交于点，因为，即四边形为正方形， 所以， 又由平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面, 所以为直线与平面所成角 由，可得，， 在直角中，可得， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）在正方体中，，， 所以， 连接与交于点，连接，因为，可得， 可得，则， 设点C到平面的距离为，由， 可得，解得， 即点C到平面的距离. . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期中模拟卷 答题卡 姓 名 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 肖 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][CD] 4[A]B][C]D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][CD] 5 [A][B][C][D] 8[A]B][C[D] 7 3[A][B][CD] 6[A]B][C]D] 9[A]B][C][D] 辐 10[A][B][C]D] ! 二、填空题（每小题4分，共20分) 11 12 13 5 数学第1项（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 数学单2而（共6而） 清在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效十 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(10分) 数学第3页（共6页） 请在题锋韩材锋郸超色转挺保韩的第纪效！ 18.(10分) 数学第4页（共6页） ■ ■ 语在暮题的客题胫域肉作答：熏名是形秘是及谈的答秦无效！ 19.(15分) p M D A B 数学第5页（共6页） 请在客目的套趱股藏肉作套：磁薰绍霜形秘桂是股域的套羹无效！ 请在各题目 20.(15分) D A D 数学第6页（共6页）