期中真题必刷常考150题（31大考点专练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期中真题必刷常考150题（31大考点专练） 【考点一】向量的线性运算的几何应用 【考点十七】复数范围内方程的根 【考点二】平面向量数量积的几何意义 【考点十八】复数的除法运算 【考点三】数量积的运算律 【考点十九】共轭复数的概念及计算 【考点四】 向量夹角的计算 【考点二十】由直观图还原几何体 【考点五】平面向量基本定理的应用 【考点二十一】斜二测画法中有关量的计算 【考点六】平面向量线性运算的坐标表示 【考点二十二】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点七】由向量共线（平行）求参数 【考点二十三】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点八】数量积的坐标表示 【考点二十四】平面的基本性质及辨析 【考点九】向量夹角的坐标表示 【考点二十五】异面直线的判定 【考点十】向量在物理中的应用举例 【考点二十六】证明线面平行 【考点十一】余弦定理解三角形 【考点二十七】证明面面平行 【考点十二】正弦定理边角互化应用 【考点二十八】证明线面垂直 【考点十三】余弦定理、正弦定理的应用 【考点二十九】求线面角 【考点十四】复数的坐标表示 【考点三十】证明面面垂直 【考点十五】求复数的模 【考点三十一】求二面角 【考点十六】复数代数形式的乘法运算 【考点一】向量的线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一下·广东汕头·期中）在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【考点二】平面向量数量积的几何意义 6．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知向量，满足，，，则在方向上的投影数量为_____． 9．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知点是边长为3的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是__________. 【考点三】数量积的运算律 10．（24-25高一下·云南文山·期中）以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 12．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，，在边上运动，则的最小值为________. 13．（24-25高一下·河北石家庄·期中）在梯形中，，，，梯形的外接圆圆心为O，圆O上有一个动点P，则的取值范围为________． 14．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【考点四】向量夹角的计算 15．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 17．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 18.（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知向量满足，，，且，则________. 19.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知，，. (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值. 【考点五】平面向量基本定理的应用 20．（24-25高一下·湖北·期中）在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 22.（23-24高一下·河南·期中）在平行四边形中，与交于点为的中点，与交于点，延长交于，则 （   ） A．为三角形的外心 B． C． D． 23.（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______． 24.（24-25高一下·广东·期中）已知在正方形ABCD中，，． (1)设，，用，表示； (2)若AC上一点R满足，求的值． 【考点六】平面向量线性运算的坐标表示 25．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27.（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·云南昆明·期中）设点为的外心，，，．若，则________． 29.（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【考点七】由向量共线（平行）求参数 30．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．4 D．2 31．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（   ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 32.（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________． 33．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为__________. 34.（24-25高一下·山东济宁·期中）已知.，为单位向量，且与的夹角为. (1)求的值； (2)若，且，求向量的坐标. 【考点八】数量积的坐标表示 35.（24-25高一下·天津河西·期中）已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 36.（多选）（24-25高一下·江西南昌·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，是正八边形内的动点（含边界），则的取值可能是（    ）       A．-10 B．10 C．30 D．50 37.（24-25高一下·河北·期中）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 38．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意一点（包含端点），则的取值范围为________.    39.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知、是单位圆上相异的两个定点（为此单位圆圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)若，求的值； (2)设， ①用表示； ②求的取值范围. 【考点九】向量夹角的坐标表示 40.（23-24高一下·浙江·期中）已知向量，，则向量和向量夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 42.（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量，，记向量，的夹角为，则（   ） A．若为钝角，则 B．若为锐角，则 C．当时，为直角 D．当时，为平角 43.（23-24高一下·四川绵阳·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝______. 44.（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值. 【考点十】向量在物理中的应用举例 45.（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 46.（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为_____焦耳． 47．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______． 48.（23-24高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【考点十一】余弦定理解三角形 49.（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 50.（24-25高一下·天津·期中）在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________. 51．（24-25高一下·天津南开·期中）在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 52.（24-25高一下·福建漳州·期中）已知向量与向量共线，B为的内角． (1)求B； (2)若为钝角，且，求周长的最大值． 【考点十二】正弦定理边角互化应用 53.（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（   ） A．在 中，若 ，则 B．若 ，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若 ，则角 54．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（    ） A． B． C．3 D． 55.（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______. 56.（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，求证：； (2)若，求的最大值． 【考点十三】余弦定理、正弦定理应用举例 57.（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 58．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 59．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    60．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【考点十四】复数的坐标表示 61．（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高一下·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 63.（多选）（23-24高一下·江苏南通·期中）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（    ） A． B． C． D． 64.（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________． 65.（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【考点十五】求复数的模 66．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 67．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 68.（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 69.（24-25高一下·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 70.（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知复数. (1)若m = 0，求|z|； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围. 【考点十六】复数代数形式的乘法运算 71.（24-25高一下·甘肃金昌·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 72．（24-25高一下·广东深圳·期中）（    ） A． B． C． D． 73.（24-25高一下·广东湛江·期中）若是纯虚数，则______． 74．（24-25高一下·吉林·期中）已知复数（其中，i是虚数单位），则的值为______． 75.（24-25高一下·山东青岛·期中）已知，. (1)求； (2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 【考点十七】复数范围内方程的根 76.（24-25高一下·山西·期中）已知复数是关于x的方程（）的一个根，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 77．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 78.（24-25高一下·广东·期中）一元二次方程的两个虚根为______. 79．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知是关于x的方程的一个根．则实数______． 80.（24-25高一下·贵州毕节·期中）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【考点十八】复数的除法运算 81.（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 82．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 83.（23-24高一下·云南丽江·期中）若复数为纯虚数，则实数_______. 84．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数z满足，则的值为________． 85.（24-25高一下·广东揭阳·期中）（1）已知，，且，求； （2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【考点十九】共轭复数的概念及计算 86.（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 87．（24-25高一下·广东·期中）设（i为虚数单位），则的虚部是（    ） A．3 B． C．4 D． 88.（多选）（24-25高一下·山西吕梁·期中）设，为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 89.（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为__________. 90.（24-25高一下·安徽池州·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； 【考点二十】由直观图还原几何体 91．（24-25高一下·浙江·期中）如图，正方形边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）    A．8cm B． C．4cm D． 92．（24-25高一下·湖南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 93．（24-25高一下·广东·期中）利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，是线段的中点，则的面积为（   ）    A．2 B．4 C． D． 94．（24-25高一下·浙江·期中）如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点二十一】斜二测画法中有关量的计算 95.（24-25高一下·广东东莞·期中）已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 96．（24-25高一下·广东·期中）用斜二测画法画出的直观图如图所示，在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则中AB边上的高为（   ） A． B． C． D． 97．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 98.（多选）（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 99.（24-25高一下·山西·期中）若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 100．（24-25高一下·福建·期中）如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中为平行四边形，则原的周长是___________. 【考点二十二】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 101.（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 102．（24-25高一下·山东泰安·期中）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 103.（多选）（24-25高一下·四川德阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．棱锥的侧面一定都是三角形 C．棱台各侧棱的长都相等 D．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是 104.（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    105.（24-25高一下·广东湛江·期中）石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米． (1)求该石凳的体积； (2)求该石凳的表面积（不包含底面）． 【考点二十三】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 106.（24-25高一下·广东惠州·期中）一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 107．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 108.（多选）（24-25高一下·浙江·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 109.（24-25高一下·四川成都·期中）三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为__________. 110.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【考点二十四】平面的基本性质及辨析 111.（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 112．（23-24高一下·广东佛山·期中）下列条件不能确定一个平面的有（   ） A．一条直线和直线外一点 B．对边相等的四边形 C．两条相交直线 D．两条平行直线 113．（24-25高一下·陕西榆林·期中）若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 114.（多选-25高一下·广东湛江·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 115．（多选）（高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【考点二十五】异面直线的判定 116.（24-25高一下·山东泰安·期中）长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，三点确定一个平面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 117．（24-25高一下·湖南·期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 118．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 119.（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 120（24-25高一下·山西·期中）在正方体中，与异面的棱有________条. 【考点二十六】证明线面平行 121.（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 122．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（    ）    A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图所示时，是定值 123.（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 124.（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 125.（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【考点二十七】证明面面平行 126.（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 127．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C．2 D．1 128.（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为______． 129．（23-24高一下·山西·月考）如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 130.（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【考点二十八】证明线面垂直 131.（24-25高一下·浙江·期中）在正四棱锥中，，球与四棱锥的所有侧棱相切，并与底面也相切，则球的半径为（   ） A． B．1 C． D． 132.（24-25高一下·宁夏银川·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截得的面积为________． 133．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，已知正四面体中，侧棱长为2，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则最小值是______. 134．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 135.（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【考点二十九】求线面角 136.（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 137．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 138.（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 139．（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为__________. 140.（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点. (1)若点F满足，求证：四点共面； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 【考点三十】证明面面垂直 141.（24-25高一下·云南昭通·期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 142.（23-24高一下·福建龙岩·期中）在四面体中，，，平面，分别为线段的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是_____________. 143.（23-24高一下·福建泉州·期中）在三棱锥中，为的中点. (1)证明：平面⊥平面. (2)过O点作一个平面，使得平面平面，请画出这个平面，并说明理由. (3)若，平面平面，求点到平面的距离. 144．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，点在上且，过的截面平行于交于．求： ①截面分三棱锥得到的两个几何体的体积比的值 ②直线与平面所成角的大小． 145．（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【考点三十一】求二面角 146.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 147．（23-24高一下·重庆渝中·期中）在直三棱柱中，所有棱长均相等，则二面角的正切值为______． 148.（24-25高一下·山西忻州·期中）如图，在三棱锥D-ABC中，底面ABC为正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 149．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 150．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在三棱锥中，． (1)平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷常考150题（31大考点专练） 【考点一】向量的线性运算的几何应用 【考点十七】复数范围内方程的根 【考点二】平面向量数量积的几何意义 【考点十八】复数的除法运算 【考点三】数量积的运算律 【考点十九】共轭复数的概念及计算 【考点四】 向量夹角的计算 【考点二十】由直观图还原几何体 【考点五】平面向量基本定理的应用 【考点二十一】斜二测画法中有关量的计算 【考点六】平面向量线性运算的坐标表示 【考点二十二】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点七】由向量共线（平行）求参数 【考点二十三】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点八】数量积的坐标表示 【考点二十四】平面的基本性质及辨析 【考点九】向量夹角的坐标表示 【考点二十五】异面直线的判定 【考点十】向量在物理中的应用举例 【考点二十六】证明线面平行 【考点十一】余弦定理解三角形 【考点二十七】证明面面平行 【考点十二】正弦定理边角互化应用 【考点二十八】证明线面垂直 【考点十三】余弦定理、正弦定理的应用 【考点二十九】求线面角 【考点十四】复数的坐标表示 【考点三十】证明面面垂直 【考点十五】求复数的模 【考点三十一】求二面角 【考点十六】复数代数形式的乘法运算 【考点一】向量的线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】作出草图，过作，又，可得四边形是平行四边形． ，根据．可得 ，又，可得，据此即可得出结果． 【详解】如图所示，过作，又． ∴四边形是平行四边形． ， 又， ， 又，则. 故选：B．    2．（24-25高一下·广东汕头·期中）在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 4．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和向量加法得到可解. 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 5．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【详解】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 【考点二】平面向量数量积的几何意义 6．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义即可求解。 【详解】如图：取弦的中点为, , 故选:D 7．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 8．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知向量，满足，，，则在方向上的投影数量为_____． 【答案】3 【分析】利用投影数量的定义代入计算可得结果. 【详解】根据题意可得在方向上的投影数量为． 故答案为：3 9．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知点是边长为3的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】画出图形,结合图形，利用平面向量的几何意义判断求解即可. 【详解】画出图形如图，， 它的几何意义是的长度与在向量上的投影的乘积， 由图可知，在处时，取得最大值，， 此时，可得，即最大值为. 在处取得最小值， 此时， 最小值为， 因为是边长为3的正六边形内的一点，取不到临界值， 所以的取值范围是. 故答案为：.    【考点三】数量积的运算律 10．（24-25高一下·云南文山·期中）以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D. 【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A不符合题意； 对于B，当时，则不一定成立，故B不符合题意； 对于C，，两边平方可得，则与的夹角为0，则，故C正确； 对于D，若，则与不一定相等，例如，故D不符合题意. 故选：C． 11．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】根据题意，求得为等腰直角三角形，且，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以为的中点， 所以为的直径，可得， 又因为，所以为等腰直角三角形，且， 所以. 故选：A. 12．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，，在边上运动，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据题意分析可知：，设，化简可得，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，所以. 设，已知在边上运动，，则. 且，， 所以，. 所以，对称轴为， 当时，取得最小值为. 故答案为： 13．（24-25高一下·河北石家庄·期中）在梯形中，，，，梯形的外接圆圆心为O，圆O上有一个动点P，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由向量的单位化以及数量积可求得梯形的内角，根据外接圆的性质确定圆心，结合数量积的定义，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由梯形存在外接圆，则， 由，则， 所从，即梯形为等腰梯形， 易知的中点为外接圆圆心，则，， 所以， 由，则. 故答案为：. 14．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 同理可得，所以点是的外心． 因为且， 化简得， 所以． （2）由（1）知，点是的外心．设， ． 因为，所以 所以． （3）设，则， 因为，所以， 所以， 两边同时平方得，，所以， 令，当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值为． 【考点四】向量夹角的计算 15．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出、的值，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为向量、满足，，， 所以，， ， 所以，. 故选：A. 16．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量夹角公式及数量积的运算律求夹角即可. 【详解】由题设， 由， 所以，而，则. 故选：A 17．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C. 【详解】由题意可知，，且， 则， ， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误； 因， 则， 因，则，故D正确. 故选：ABD 18.（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知向量满足，，，且，则________. 【答案】/ 【分析】根据已知条件依次求出，接着求出、即可结合向量夹角余弦公式 【详解】， 所以， ， 所以， ， 所以， 所以， ， ， 所以， 故答案为： 19.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）已知，，. (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义，即可求得向量与的夹角； （2）根据向量垂直的充要条件，即可求得的值； 【详解】（1）设向量与的夹角为 ， ， ， . （2） ， ， ， ，. 【考点五】平面向量基本定理的应用 20．（24-25高一下·湖北·期中）在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算得，结合已知利用平面向量基本定理列式得，即可求解. 【详解】由题意， 又，所以，所以. 故选：B 21．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理，由点的位置关系可得出向量的比例关系，再根据平面向量的三角形法则和平行四边形法则运算，对选项逐一验证即可求得结果. 【详解】根据题意可知，且，所以； 对于A，易知， 因此可得，可得A错误； 对于B，点E为线段上的中点，由平行四边形法则可得， 而； 联立，解得，即B错误； 对于C，易知，所以，因此可得， 所以 ，即可得C正确； 对于D，， 因此可得，即D错误. 故选：C 22.（23-24高一下·河南·期中）在平行四边形中，与交于点为的中点，与交于点，延长交于，则 （   ） A．为三角形的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由与相似，为的中点，可知，所以点为三角形的重心，判断出A错误；由重心得到为的中点，所以，判断出B正确；由平面向量的基本定理判断出C，D正确. 【详解】在三角形中，为的中点，又与相似， 可得：，故点为三角形的重心，故A错误； 由于点为三角形的重心，延长交于，则为的中点， 所以，故B正确； ，，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 23.（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______． 【答案】5 【分析】根据向量的加减运算表示出，利用三点共线可得即可求得答案. 【详解】由题意知， 由于M、O、N三点共线，可知， 所以， 故答案为：5. 24.（24-25高一下·广东·期中）已知在正方形ABCD中，，． (1)设，，用，表示； (2)若AC上一点R满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由向量的线性运算即可分解向量； （2）由题意得，且可设，结合不共线，即可求解. 【详解】（1） ， （2） 由题意， 设， 因为不共线， 从而，解得. 【考点六】平面向量线性运算的坐标表示 25．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由已知条件求出和的坐标，根据和是相反向量即可求解. 【详解】设，∵， ∴，. ∵和是相反向量， ∴，即，解得. 故选：A. 26．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在直角梯形中，，，，，点E为边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，过点C作，垂足为F，因为， 所以有, 设，， 因此有 因为，所以有, 而，所以， 当时，有最大值，当有最小值0， 所以的取值范围为， 故选：A 27.（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 28．（24-25高一下·云南昆明·期中）设点为的外心，，，．若，则________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，结合三角函数的定义写出点的坐标，利用向量线性运算的坐标表示得到，再根据三角形外心的性质得到，建立方程，结合条件求解即可. 【详解】 如图，以点为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，设，则由可得， 所以，则. 点为的外心，点在线段的垂直平分线上，故点的横坐标， 设，则， 所以，即， 因为，即，所以， 又因为，所以，解得. 故答案为：. 29.（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，. (3)答案见解析 【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【详解】（1）依题意，， ， ； （2）   以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 【考点七】由向量共线（平行）求参数 30．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题可先求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】已知，， 可得. 已知，且，所以， 即，解得. 故选：C. 31．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（   ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【答案】B 【分析】应用向量共线定理表达条件，结合数乘运算法则及向量相等条件列方程组求解即可. 【详解】因为与，则存在唯一的实数t，满足， 即， 整理可得， 已知向量，不共线，等式成立等价于， 解方程组，可得. 故选：B. 32.（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________． 【答案】 【分析】由，且与不共线,即可求解. 【详解】由题意有，又与不共线，所以， 所以， 故答案为：. 33．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为__________. 【答案】3 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 34.（24-25高一下·山东济宁·期中）已知.，为单位向量，且与的夹角为. (1)求的值； (2)若，且，求向量的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据数量积和模的公式，计算，即可求解； （2）首先设向量，再根据条件转化为方程组，即可求解. 【详解】（1）因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以，∴， 则； （2）设，， ∵，∴， 又，， ∴， ∴或 ∴或. 【考点八】数量积的坐标表示 35.（24-25高一下·天津河西·期中）已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求出，再由即可判断. 【详解】由可得，， ， 因在上的投影向量为，故，则， 因，则， 即与的夹角为. 故选：C. 36.（多选）（24-25高一下·江西南昌·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，是正八边形内的动点（含边界），则的取值可能是（    ）       A．-10 B．10 C．30 D．50 【答案】AB 【分析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，则，故只需求的范围即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设， 过作的垂线，垂足为，正八边形中，边长为4， 所以，所以， 所以，所以， 设，则，，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为，所以， 故选：AB.    37.（24-25高一下·河北·期中）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，则且与不共线， 则且，解得且， 故答案为：. 38．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意一点（包含端点），则的取值范围为________.    【答案】 【分析】建系，由平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】以点为坐标原点，，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，    则，，， 设，所以，， 则， 因为，所以. 故答案为： 39.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知、是单位圆上相异的两个定点（为此单位圆圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)若，求的值； (2)设， ①用表示； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）通过对的表达式进行平方运算，结合单位圆上点对应的向量模长为，再利用三角函数的性质来求解的值. （2）根据已知条件求出相关向量的坐标，再利用向量共线得到关于的表达式，然后根据三角形面积公式求出关于的表达式，最后通过换元法将其转化为关于的函数，利用函数单调性求出取值范围. 【详解】（1）因为，且，，都是单位圆上的点， 所以 ， 又，，所以. （2）①由（1）有，则以为原点，分别以，的正方向为，轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，. ②依题意在第二象限，在线段上， 如图有， 所以， 令，则， 所以，，所以， 所以，在上单调递增， 所以，即的取值范围为. 【考点九】向量夹角的坐标表示 40.（23-24高一下·浙江·期中）已知向量，，则向量和向量夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的夹角公式求出，再根据平方关系求出正弦值. 【详解】因为向量，， 所以， 因为， 所以， 所以向量和向量夹角的正弦值为， 故选：D. 41．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 42.（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量，，记向量，的夹角为，则（   ） A．若为钝角，则 B．若为锐角，则 C．当时，为直角 D．当时，为平角 【答案】BD 【分析】对于A，由题意得且向量，不共线，从而可求出，对于B，由题意得且向量，不共线，从而可求出，对于C，通过计算进行判断，对于D，利用夹角公式求解即可. 【详解】对于A，因为为钝角，所以且向量，不共线， 由，得，得，由，不共线，得，得， 所以，且，所以A错误， 对于B，因为为锐角，所以且向量，不共线， 由，得，得，由，不共线，得，得， 所以，所以B正确， 对于C，当时，，所以，所以与不垂直，即不是直角，所以C错误， 对于D，当时，，所以， 因为，所以，即为平角，所以D正确. 故选：BD 43.（23-24高一下·四川绵阳·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝______. 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求. 【详解】    设正方形的边长为2，以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 所以，，故， 所以， 又， 所以. 故答案为： 44.（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得； （2）建立以点为原点的平面直角坐标系，由坐标计算向量的夹角可得. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系. 则. 由于就是的夹角. 的余弦值为. 【考点十】向量在物理中的应用举例 45.（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 46.（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为_____焦耳． 【答案】21 【分析】利用定义根据向量数量积的坐标运算公式计算即得. 【详解】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 47．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______． 【答案】6 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积的坐标公式进行计算. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：6. 48.（23-24高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【分析】（1）利用向量的加法法则和三角函数的定义求解即可； （2）利用向量的减法法则和三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 【考点十一】余弦定理解三角形 49.（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意在直角中，可得BC的值，再在中，由余弦定理可得BD的大小． 【详解】在中，， 可得， 在中，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得（负值已舍）． 即BD的长度为1． 故选：A． 50.（24-25高一下·天津·期中）在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________. 【答案】 【分析】设，将把和用来表示，由题意可知,进而利用平面向量的数量积即可求解. 【详解】    因为，由余弦定理知： ， 所以. 设， 因为分别为的中点， 所以. 因为， 所以， . 又，. 所以. 故答案为： 51．（24-25高一下·天津南开·期中）在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出，利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得． 【详解】因为是中点，，，得， 在四边形中，令，，由，得，， 由，得， 在中，由余弦定理得，， 即，当且仅当时取等号， 由，得，， 因此 ， 当且仅当时，两个等号同时成立， 所以的最大值为． 故答案为：. 52.（24-25高一下·福建漳州·期中）已知向量与向量共线，B为的内角． (1)求B； (2)若为钝角，且，求周长的最大值． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）由得出，得到或.再结合角范围，确定的值. （2）因为是钝角，确定.用余弦定理得到.利用均值不等式，得出.已知的值，解不等式得到范围，进而得到周长最大值. 【详解】（1）已知，根据向量平行性质得到. 移项可得，提取公因式得. 那么或者即. 因为，当时，；当时，或. 则或或. （2）因为为钝角，所以. 由余弦定理，把代入可得. 根据均值不等式，所以. 已知，则，解得. 所以，当且仅当时取等号，此时周长取得最大值. 【考点十二】正弦定理边角互化应用 53.（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（   ） A．在 中，若 ，则 B．若 ，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若 ，则角 【答案】D 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故命题错误，D符合题意. 故选：D. 54．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理化简，可设，再根据化简求解即可. 【详解】∵， ∴由正弦定理得， 即， 令，，，显然， ∵， ∴，即， 故，由，解得， ∴. 故选：D 55.（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______. 【答案】 【分析】由正弦定理角化边，可得，进而利用余弦定理可求. 【详解】由，结合正弦定理可得，又， 所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故答案为：. 56.（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，求证：； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，进而由面积公式求解， （2）根据向量的线性运算，结合模长公式，即可得，利用换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由可得，， 故，即， 由正弦定理得，故， ，所以，，所以． （2），， 故， 所以， 令，所以． 当且仅当取等号，所以的最大值为． 【考点十三】余弦定理、正弦定理应用举例 57.（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可． 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 58．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 59．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    【答案】1 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为：1. 60．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 【考点十四】复数的坐标表示 61．（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出复数的实部、虚部可得答案. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：B. 62．（23-24高一下·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量减法法则得到，求出对应的复数. 【详解】由题意得，故对应的复数为. 故选：B 63.（多选）（23-24高一下·江苏南通·期中）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，由向量的坐标运算即可得到，结合同角的平方关系即可求得，从而得到结果. 【详解】因为，，且， 即，所以， 即，又， 则或， 所以或. 故选：AC 64.（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的坐标，进而列式求解. 【详解】复数在复平面上对应的点， 依题意，，所以. 故答案为：1 65.（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】(1)3或1 (2)5 (3)或，且. 【分析】（1）由复数为实数，则虚部为零求解； （2）由复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零求解； （3）根据题意，由，且求解. 【详解】（1）因为 是实数， 所以，解得或； （2）因为 是纯虚数， 所以，解得； （3）因为复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角， 所以，且， 解得或，且. 【考点十五】求复数的模 66．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 【答案】D 【分析】法一：设，代入原方程，根据复数相等和可得到答案；法二：解关于的方程求出对应的含参数的虚数根，再由，求出的值. 【详解】法一：设，由 则 则解得； 法二：由有虚数根，可知且， 又由，有，解得． 故选：D． 67．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值. 【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故选：A. 68.（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【分析】求出复数和的模比较即可判断选项A，利用复数的几何意义即可求解出俩个复数的距离即可判断选项B，满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，利用圆的周长公式即可求解选项C,满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以，为半径的两个圆所夹的圆环，利用圆的面积公式即可求解. 【详解】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 69.（24-25高一下·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【分析】利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 70.（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知复数. (1)若m = 0，求|z|； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据时，可求出复数，再根据复数模的概念求模； （2）根据纯虚数的概念，可求出m 的值； （2）实部大于零且虚部小于零得出m的范围. 【详解】（1）因为，所以；则； （2）若是纯虚数，则，解得或且且，即； （3）若z对应复平面上的点在第四象限，则，解得， 所以m的取值范围是. 【考点十六】复数代数形式的乘法运算 71.（24-25高一下·甘肃金昌·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据复数的乘法运算，再得出复数对应点即可求解. 【详解】因为在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选:C. 72．（24-25高一下·广东深圳·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数乘法运算律，计算结果. 【详解】. 故选：A. 73.（24-25高一下·广东湛江·期中）若是纯虚数，则______． 【答案】2 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数是纯虚数，可得，解得． 故答案为：. 74．（24-25高一下·吉林·期中）已知复数（其中，i是虚数单位），则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，求得的值，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以. 故答案为：. 75.（24-25高一下·山东青岛·期中）已知，. (1)求； (2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果； （2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以 因为，所以. （2）由（1）可知，则， ，因为，所以， 解得. 【考点十七】复数范围内方程的根 76.（24-25高一下·山西·期中）已知复数是关于x的方程（）的一个根，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的乘法、加法运算化简复数，结合复数相等列方程组得的值，确定复数，由复数的几何意义确定象限即可. 【详解】由题知， 整理得，即解得 所以在复平面内的对应点为，位于第二象限. 故选：B. 77．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 78.（24-25高一下·广东·期中）一元二次方程的两个虚根为______. 【答案】和 【分析】根据复数根的求解方法求解即可. 【详解】，所以，所以，得， 所以方程的两个虚根为和. 故答案为：和. 79．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知是关于x的方程的一个根．则实数______． 【答案】12 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求出值. 【详解】由是关于x的方程的一个根， 得该方程的另一根为，则， 所以. 故答案为：12 80.（24-25高一下·贵州毕节·期中）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）先将原方程可化为，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚部都为0得到关于的方程组，解之即得． （2）利用反证法证明方程有纯虚数根，推出矛盾即可． 【详解】（1）原方程可化为，方程有实数根，设为， ∴. 又θ是锐角，故． （2）假设方程有纯虚数根，可设根为，，， 则化为， 即，可得， 因为，所以方程无实根. 故假设不成立，所以方程无纯虚数根． 【考点十八】复数的除法运算 81.（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数的运算法则将给定的复数化简为标准形式（），再根据复数虚部的定义求出该复数的虚部. 【详解】将复数化简即：，所以复数的虚部是. 故选：A. 82．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解. 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. 83.（23-24高一下·云南丽江·期中）若复数为纯虚数，则实数_______. 【答案】5 【分析】根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】由为纯虚数， 可得且，解得. 故答案为：5 84．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数z满足，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据复数模的性质及模的公式直接求解. 【详解】根据复数模的性质，得：. 故答案为：1. 85.（24-25高一下·广东揭阳·期中）（1）已知，，且，求； （2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）把两个复数代入条件，利用复数除法化简，可得． （2）由于是方程的一个根，所以把它代入方程，整理成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得方程组，即可解得. 【详解】（1）由，得． （2）由于是方程的一根，则， 即， 所以， 解得，，． 【考点十九】共轭复数的概念及计算 86.（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则求得，进而利用共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：B. 87．（24-25高一下·广东·期中）设（i为虚数单位），则的虚部是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算结合共轭复数概念计算求解. 【详解】因为（i为虚数单位），则， 所以则的虚部是3. 故选：A. 88.（多选）（24-25高一下·山西吕梁·期中）设，为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于选项A、D找反例判断即可，对于选项B、C，根据复数模的计算即可判断. 【详解】设，，，，，， 对于选项A，例如，则，，两者不相等，故A错误； 对于选项B，因为， ， 又，，则，即，故B正确； 对于选项C，若，则，， 所以，故C正确； 对于选项D，令，，则，， 所以，此时，故D错误． 故选：BC. 89.（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为__________. 【答案】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数为. 故答案为： 90.（24-25高一下·安徽池州·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共轭复数定义可知，再由纯虚数定义可知. （2）将代入，利用复数的除法法则求得，可求. 【详解】（1）因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； （2）， 所以. 【考点二十】由直观图还原几何体 91．（24-25高一下·浙江·期中）如图，正方形边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）    A．8cm B． C．4cm D． 【答案】A 【分析】由直观图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长． 【详解】作出原图形如下图所示： 由直观图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是． 故选：A．    92．（24-25高一下·湖南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求出，在平面直角坐标系中还原，计算即可 【详解】由斜二测画法知，， 所以由余弦定理得， ，代入上式解得，， ， ,， 还原平面图如图， 即，， ， 四边形的周长为． 故选：C. 93．（24-25高一下·广东·期中）利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，是线段的中点，则的面积为（   ）    A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图的作法确定原的顶点位置，由此求其面积. 【详解】如图，是图中的阴影部分，其中， 所以的面积为.    故选：A. 94．（24-25高一下·浙江·期中）如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】画出原图可计算面积. 【详解】由已知可知，的原图如下： 其中， 所以. 故选：D 【考点二十一】斜二测画法中有关量的计算 95.（24-25高一下·广东东莞·期中）已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出的面积. 【详解】若轴，轴在直观图中的位置如图所示， 过作轴交轴于， 因为的边长为， 所以的高为， 因为，所以， 所以对应的高，底， 所以的面积. 故选：B. 96．（24-25高一下·广东·期中）用斜二测画法画出的直观图如图所示，在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则中AB边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】涉及余弦定理以及斜二测画法的相关知识.首先，根据已知条件，利用余弦定理求出角的大小.然后，由斜二测画法的性质，得到原三角形的相关信息，进而求出边上的高. 【详解】已知在中，，移项可得. 根据余弦定理，将代入可得： . 因为，所以. 已知，即，那么中边上的高. 根据斜二测画法的性质，在斜二测画法中，平行于轴的线段长度变为原来的一半， 那么原三角形中边上的高. 将代入可得. 所以中边上的高为. 故选：C. 97．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据直观图和原图形面积之间的关系求解即可. 【详解】直观图矩形的面积，则原图面积， 故选：D． 98.（多选）（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】BCD 【分析】根据斜二测画法，分析直观图、及直观图与原图形关系，逐项分析即可得解. 【详解】由余弦定理，可得， 即，解得，（舍去），故A错误； 在直角梯形中，，， 由斜二测画法知，，故B正确； 因为直角梯形的面积为， 所以四边形的面积为，故C正确； 由斜二测画法可知，原图为直角梯形，其中， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 99.（24-25高一下·山西·期中）若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 【答案】 【分析】先用斜二测画法的原理还原出原三角形的高和底边长，再由三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图，过点作轴，且交轴于点． 过点作轴，且交轴于点， 则，又， 所以，所以原三角形的高，底边长为2， 所以，则原的面积为． 故答案为：. 100．（24-25高一下·福建·期中）如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中为平行四边形，则原的周长是___________. 【答案】 【分析】根据平面图形的直观图的斜二测画法原理得到原的形状，计算即可求解. 【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，原是等腰三角形，如图： 其中，，且， 所以， 所以原的周长为. 故答案为： 【考点二十二】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 101.（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 102．（24-25高一下·山东泰安·期中）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据斜二测图形信息推出原图形的尺寸，再分析旋转后几何体的构成，最后求出体积. 【详解】已知在斜二测图形中，， 根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则，可知在原图形中，，. 又已知，由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质， 可得原图形中，且（斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为）. 如图，得到原图. 因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台. 其中圆台的底面半径，高； 根据圆台体积公式，可得. 故选：B. 103.（多选）（24-25高一下·四川德阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．棱锥的侧面一定都是三角形 C．棱台各侧棱的长都相等 D．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是 【答案】BD 【分析】对于A，根据正棱锥的性质即可求解；对于B，棱锥的侧面一定都是三角形；对于C，只有在特定的情况下，各侧棱的长度才相等；对于D，画出图形根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确； 对于C，只有在特定的情况下，如正棱台（即由正棱锥截得的棱台），各侧棱的长度才相等，对于一般的斜棱台，侧棱长度可以不等，所以C错误； 对于D， 如图，易得三棱锥的体积为，故D正确. 故选：BD. 104.（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    【答案】 【分析】根据，求得，再根据三棱锥的换底性可得，由此可得答案. 【详解】， E是的三等分点（靠近点A），是的中点， ，，， 又∵， ， . 三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 故答案为：. 105.（24-25高一下·广东湛江·期中）石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米． (1)求该石凳的体积； (2)求该石凳的表面积（不包含底面）． 【答案】(1)该石凳的体积立方厘米 (2)该石凳的表面积平方厘米 【分析】（1）由体积公式即可直接求解； （2）由表面积概念，逐个面计算即可求解. 【详解】（1）由题意可得正方体的体积立方厘米， 四面体的体积立方厘米， 则该石凳的体积立方厘米 （2）由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形， 则的面积平方厘米， 正方形的面积平方厘米， 五边形的面积平方厘米， 故该石凳的表面积平方厘米． 【考点二十三】圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 106.（24-25高一下·广东惠州·期中）一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由勾股定理求出圆台的高，然后由圆台的体积公式即可求解. 【详解】圆台的高为，所以圆台的体积为. 故选：A. 107．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作分别交于点，作交于点，可得四边形为长方形，求出、.该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体是以为下底面半径、为上底面半径、为高的圆台除去以为底面半径、高为的圆锥，求出圆台、圆锥体积可得答案. 【详解】因为圆内接四边形中，所以为外接圆的直径， ，， ，作分别交于点， 交于点，可得四边形为长方形， 因为得， 可得，因，代入解得， 由得，    该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体如下图，是以为 下底面半径、为上底面半径、为高的圆台除去 以为底面半径、高为的圆锥，且， ， ， 则旋转形成的几何体的体积为. 故选：B.    108.（多选）（24-25高一下·浙江·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 【答案】ABC 【分析】根据题意，求出圆台的上下底面圆半径、母线长和高，运用侧面积公式和体积公式，即可一一判断正误即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为， 依题意，解得，，解得， 又圆台的母线长为， 故圆台的高故A、B均正确； 圆台的侧面积为， 所以圆台的表面积为，故C正确； 圆台的体积为，故D错误. 故选：ABC. 109.（24-25高一下·四川成都·期中）三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】将三棱锥补成正方体，转化为求正方体外接球的问题，利用正方体的对角线为外接球的直径，即可求解. 【详解】由三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成正方体， 则正方体的棱长为6，且正方体的外接球即为所求，设半径为， 所以， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 110.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直角三角形面积公式得到面积，由余弦定理和三角形面积公式得到面积，相加得到表面积； （2）由两两垂直可知补成长方体，长方体体对角线即为外接球直径，再由球的体积公式得到外接球体积. 【详解】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 【考点二十四】平面的基本性质及辨析 111.（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误； 一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误； 两条异面直线不能确定平面，C错误. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确. 故选：D. 112．（23-24高一下·广东佛山·期中）下列条件不能确定一个平面的有（   ） A．一条直线和直线外一点 B．对边相等的四边形 C．两条相交直线 D．两条平行直线 【答案】B 【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解． 【详解】对选项A：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故A错误． 对选项B：对边相等的四边形，对边有可能异面，不能确定一个平面，故B正确． 对选项C：经过两条相交直线有且只有一个平面，故C错误． 对选项D：经过两条平行直线有且只有一个平面，故D错误； 故选：B. 113．（24-25高一下·陕西榆林·期中）若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点线面的关系即可求解. 【详解】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确. 故选:C. 114.（多选-25高一下·广东湛江·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【答案】ABC 【分析】根据棱台的基本概念，棱台的侧面一定是梯形，且侧棱延长交于一点判断AC正确，利用圆锥形成的概念可确定C选项，选项D当三点共线时，有无数个平面. 【详解】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确； 绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确； 因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确； 当三点共线时，有无数个平面，则D错误． 故选：ABC. 115．（多选）（高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【分析】根据平面的基本性质及推论，对四个选项逐一判断，得出正确选项. 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四过形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 【考点二十五】异面直线的判定 116.（24-25高一下·山东泰安·期中）长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，三点确定一个平面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】A 【分析】根据平面的基本性质，异面直线的定义，逐一验证各个选项. 【详解】如下图所示： 根据题意，连接，则， 所以四点共面，所以平面， 又，所以平面， 又平面，所以点在平面与平面的交线上面， 同理可得点在平面与平面的交线上面， 所以，，三点共线， 故A选项错误，B选项正确； 由异面直线定义可知C选项中为异面直线，故C选项错误； 由异面直线定义可知D选项中为异面直线，故D选项错误. 故选：A 117．（24-25高一下·湖南·期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可. 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面；    连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 118．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】连接，即可证明且，从而判断A、C，观察可判断D，根据异面直线的定义判断B. 【详解】如图，连接，则且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，故C错误； 又，，所以，所以、、、四点共线， 即直线与直线共面，故A错误； 显然直线与直线均包含于平面，故D错误； 因为，，，又平面，所以直线与直线异面，故B正确. 故选：B 119.（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 【答案】ABD 【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征逐一判断即可. 【详解】把正方体的平面展开图还原原正方体如图， 在正方体中，与平行，故A正确；由异面直线定义可得，与是异面直线，故B正确； 与是异面直线，故C错误；由异面直线定义可得，与是异面直线，故D正确； 故选：ABD. 120（24-25高一下·山西·期中）在正方体中，与异面的棱有________条. 【答案】6 【分析】结合正方体，根据异面直线的定义即可判断. 【详解】如图，正方体中，与异面的棱有，，，，，共6条. 故答案为：6.    【考点二十六】证明线面平行 121.（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，从而可以确定点位置，进而求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）.    证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， 四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，即平面. 又，， ，即的值为. 故选：A. 122．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（    ）    A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图所示时，是定值 【答案】C 【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断. 【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面， 平面，平面，平面，平面都是平行四边形， 所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：面，面， 所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确； 对于C：如下图： 水面所在四边形的面积等于长方形的面积， 如下图： 水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误； 对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱， 三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值， 可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确. 故选：C. 123.（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】AD 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；推导出，可判断D选项；结合图形可判断B选项；结合A选项可判断D选项. 【详解】对于A选项，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面，A对； 对于D选项，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故、、、共面，D对； 对于B选项，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错； 对于C选项，由A选项可知，点在平面外，C错. 故选：AD. 124.（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 【答案】①③ 【分析】结合已知条件，利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为，平面，平面， 所以平面，所以①正确， 对于②，延长到，使，连接，如图， 因为为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面不平行，所以②不正确； 对于③，连接交于，连接，如图， 因为，为的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以③正确， 故答案为：①③ 125.（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用锥体、柱体体积公式，结合割补法求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，连接，连接， 则为中点，而D为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）平面，由D为棱的中点，得，， 于是， 所以 【考点二十七】证明面面平行 126.（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案. 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 127．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】取的中点分别为，连接，则可证平面平面，故的轨迹为线段，故可求其长度. 【详解】取的中点分别为，连接， 在正方形中，因为为中点，故且， 由正方体可得且， 所以，，故四边形为平行四边形， 故，而，故， 同理，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，而平面平面， 结合平面，故的轨迹为线段，其长度为， 故选：A. 128.（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为______． 【答案】 【分析】通过作图得到截面，再利用直四棱柱的结构特征，求出截面各条边长的长度，最后求得截面面积. 【详解】取的中点记， 在上取一点，使得，连接， 作图得： 是直线的中点， ∴，又平面，平面,∴平面， 又， 则，又平面，平面,∴平面， 又且平面， ∴平面平面， 又三点都在直四棱柱表面， 平面就是所得截面， ，由勾股定理得：，， 为等腰三角形， 过点作底边的高，记为，由勾股定理得， . 故答案为： 129．（23-24高一下·山西·月考）如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】根据条件分别在棱取点，证明平面，同理平面，进而可得平面平面，从而P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为，进一步即可得解. 【详解】在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面， 平面，所以平面． 在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，， 如图所示．同理可得平面， 又，平面，所以平面平面． 所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为． 因为正方体的棱长为3，所以， ， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 130.（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    【考点二十八】证明线面垂直 131.（24-25高一下·浙江·期中）在正四棱锥中，，球与四棱锥的所有侧棱相切，并与底面也相切，则球的半径为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接、，设，连接，求出内切圆的半径，即为球的半径. 【详解】连接、，设，连接，则平面， 又，则，， 所以， 设内切圆的半径为，则，即，解得， 所以球的半径为. 故选：C 132.（24-25高一下·宁夏银川·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过点的平面与直线垂直，则截正方体所得截得的面积为________． 【答案】 【分析】根据线线垂直可证明平面，平面，平面，进而可得平面为平面，利用正方体中的边角关系求解长度，根据面积公式求解即可. 【详解】如图，设分别为棱，的中点，连接，，，，，，， ∴，又，∴， ∴A，，四点共面． 又∵平面，平面，∴， 又∵，故， 因此, ∴， 又∵，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴． 又∵平面，平面，∴， 又∵和分别为棱和的中点，,∴， 又∵，，平面，∴平面， 又∵平面，∴． 又∵，，平面， ∴平面，即平面为平面， 由，得，∴，， 得等腰梯形的高为， ∴截面的面积． 故选：B．    133．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，已知正四面体中，侧棱长为2，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则最小值是______. 【答案】/ 【分析】如图做与平面SCF垂直，且过SE的平面SEG，则在SG上存在点，使，则当A，Q，三点共线时可得最小值，据此可得答案. 【详解】由题可得，平面SCF，则平面SCF. 取BC中点为G，连接EG与CF交于H，因，则平面SCF. 设P关于平面SCF的对称点为，由对称性可知，，则. 则当A，Q，三点共线时可得最小，此时， 则当时，取最小值. 在三角形中，由题可得 则. 综上，. 故答案为： 134．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 【答案】 【分析】证明平面平面，得点的轨迹，由此可得的最大值为的长，最小值为到平面的距离，求出距离后可得． 【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 平面，则平面， 所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长， 的最小值为到平面的距离， 连接交于点，连接交于点，， 由平面，平面，得， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以，同理， 又因为，平面，所以平面， 同理可证，所以，从而， 故线段的长的取值范围是． 故答案为：． 135.（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连，可证得四边形为平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可得平面，则，再证得，从而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）证明：因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 【考点二十九】求线面角 136.（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作面于，交面于，连接，确定侧棱与底面所成的角，结合体积公式求出，再利用三棱锥为正三棱锥，求得，即可求解. 【详解】由正三棱台三侧棱的延长线交于点，得三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，得，则，又，则， 则， 解得，则，设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心，， 由平面，得为侧棱与底面所成的角，所以. 故选：D 137．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取棱的中点，证平面，得出是直线与平面所成的角，结合解三角形的知识即可得解. 【详解】 取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角. 设，则，，. 在中，由余弦定理可得， 则，所以. 故选：A 138.（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 【答案】 【分析】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心.在正三角形BCD中，根据正三角形中心的性质，可求得当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小.此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角，进而通过计算可求得结果 【详解】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心. 因为正三角形BCD的边长为，则. 当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小. 此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角， 在直角三角形ABO中，，， 由勾股定理可得 在直角三角形ADO中，，， 则直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 故答案为：. 139．（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为__________. 【答案】 【分析】根据面面平行，结合线线垂直可证明平面,即可根据线面角的定义求解为与平面所成的角，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】设过的一个平面,（不与平面重合）与正方体相交于, 取的中点，过作,过作，连接, 故平面平面， 过作于，由于平面，平面，故, 平面，故平面, 所以为与平面所成的角，故也为为与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，则， , 要使最小，则需要最大即可， 由于, 故当时，此时取最大值， 此时的最小值为， 故答案为：    140.（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点. (1)若点F满足，求证：四点共面； (2)求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，则可得四边形为平行四边形，再结合正方体的性质可得，从而可证得结论； （2）延长交与，连接，过作交与，连接，过作与，连接，则与面所成角就是与面所成角，可得就是与面所成角，在Rt中求解即可. 【详解】（1）连接，由，知，且， 因为为的中点，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为,，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，故四点共面. （2）延长交与，连接，则与面所成角就是与面所成角. 过作交与，连接，过作与，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面 所以就是与面所成角. 令，由，得， 在Rt中，由等面积法可求得， 同理在Rt中，， 在Rt中，， 故直线平面所成角的正弦值为. 【考点三十】证明面面垂直 141.（24-25高一下·云南昭通·期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B：若，，则，而，故，故B正确； 对于C，若，，，则或与是异面直线，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确； 故选：BD． 142.（23-24高一下·福建龙岩·期中）在四面体中，，，平面，分别为线段的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】首先证明，取中点为，连接、，则，，可得，在旋转过程中，与的垂直性保持不变，当与平面垂直时，在平面上的射影取得最小值为，当与平面平行时，在平面上的射影长取得最大值，则答案可求． 【详解】如图，取的中点的中点，连接， ∵分别是线段的中点，∴，， ∵，，∴，， 则，，且，平面，∴平面，又平面，∴，∴， 在中，， 当四面体绕旋转时， ∵，平面，平面， ∴平面，与的垂直性保持不变，且，长度不变. 当与平面垂直时，在平面上的投影长最短为0， 此时在平面上的投影的长取得最小值，最小值为， 当与平面平行时，在平面上的投影长最长为， 此时在平面上的投影的长取得最大值，最大值为， 线段在平面上的投影长的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据等腰三角形证明，，进而得平面，即可根据当与平面垂直时以及当与平面平行时，求解的最值. 143.（23-24高一下·福建泉州·期中）在三棱锥中，为的中点. (1)证明：平面⊥平面. (2)过O点作一个平面，使得平面平面，请画出这个平面，并说明理由. (3)若，平面平面，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，理由见解析 (3)． 【分析】（1）由三线合一得到线线垂直，进而证明⊥平面，得证； （2）取的中点E，的中点F，根据面面平行的判定定理，可得平面即为所求的平面； （3）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为，为的中点， 所以， 又因为平面， 所以平面，又平面. 所以平面⊥平面. （2）取的中点E，的中点F，连接，，，又为的中点， 则，平面平面， 所以平面， 同理可得平面，，平面， 故平面平面， 所以平面即为所求的平面. （3）因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以均为等边三角形， 故，故， 所以， 因为平面，平面， 所以，由勾股定理得， 取的中点，连接， 在中，，故⊥， 故，， 设点到平面的距离为，， 所以，解得. 所以点到平面的距离为. 144．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，点在上且，过的截面平行于交于．求： ①截面分三棱锥得到的两个几何体的体积比的值 ②直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）先证明平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）①由题意确定为二面角的平面角，即可求出相关线段长，利用棱锥的体积公式即可求得答案；②利用等体积法求出点到平面的距离，根据线面角的定义求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面，平面， 所以，因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）①由（1）可知平面，平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 所以，即为等腰直角三角形，因为，故， 又，所以， 平面，平面平面面． ，平面平面； 又，， 即得； ， ； ②由题意可得， （为点到平面的距离）， 即，即， ． 在中，， 故 设直线与平面所成角为， 则，即 直线与平面所成角的大小为. 145．（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出、的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）连接，由四边形是边长为的菱形，， 所以，，可知是正三角形. 因为是的中点，所以， 又，所以. 因为底面，平面，所以. 又、平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为底面，平面，所以. 又，，所以，. 在正三角形中，，是的中点，所以，且. 因为平面，平面，所以， 所以. 因为，底面， 设点到平面的距离为，所以. 而. 所以，即点到平面的距离为. 【考点三十一】求二面角 146.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 【答案】 【分析】由二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可得. 【详解】如图，    设，取的中点为，连接， 由，可得， 所以为二面角的平面角， 由， 所以. 故答案为： 147．（23-24高一下·重庆渝中·期中）在直三棱柱中，所有棱长均相等，则二面角的正切值为______． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】不妨设直三棱柱的所有棱长均为2，取中点，连结， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面， 所以 则为二面角的平面角，， 即二面角的正切值为． 故答案为： 148.（24-25高一下·山西忻州·期中）如图，在三棱锥D-ABC中，底面ABC为正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）证明，，可得平面，进而可得答案． （2）由（1）知为二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）如图，取AC的中点M，连接DM，BM． 在正三角形ABC中，因为M为AC的中点，所以． 因为，，， 所以，所以． 因为M为AC的中点，所以． 因为，平面，所以平面． 因为，所以． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在正三角形ABC中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 在中，，所以， 所以，所以二面角的平面角的正弦值为1． 149．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质得出平面ABC，再利用线面垂直的判定可证结论； （2）利用垂直关系找到二面角的平面角，结合余弦定理可求答案. 【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，且平面平面， 平面ACED， 故平面ABC， 因为平面ABC，所以． 又为等边三角形，为BC的中点，故， 因为， 平面BCE， 故平面BCE. （2）由于平面平面BCE，故， 因为为等边三角形，为BC的中点，故， 所以为二面角的平面角. 因为， 故， 所以， 故二面角的余弦值为. 150．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在三棱锥中，． (1)平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可证得平面； （2）由（1）可得，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理， 即，解得， 所以，即，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角， 取的中点，连接，因为，所以， 又，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $