精品解析：江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期3月月考高一数学试卷

江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期3月月考 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 对应的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值． 【详解】解：由于角的终边经过点， 则， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3. 已知，若函数对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得，将原不等式化为，等价于，进而可得答案. 【详解】设，， 所以是偶函数，则恒成立， 即对任意恒成立， 所以， 因为， 所以即为， ， 因为为增函数， 所以可得，则或， 解得或， 即不等式的解集是， 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 4. 要得到函数的图像，只需将函数的图像 A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减得到结果. 【详解】因为 故只需要将 的图像向左平移个单位， 故答案为D. 【点睛】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减. 5. 已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为 A. 2a＋3 B. 2a＋6 C. 6－2a D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6，故选D. 考点：奇函数的性质及最值 6. 如图，假定、两点以相同的初速度（单位：单位/秒），分别同时从、出发，点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离，那么定义为的纳皮尔对数，函数表达式为（其中为自然对数的底数，），则从靠近的第一个五等分点移动到靠近的四等分点经过的时间约为（ ） （参考数据：，，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】设点运动到靠近点的第一个五等分点时，，设点运动到靠近点的四等分点时，，计算出、，可求得的值，即为所求. 【详解】由题意可知，、两点的初速度为单位/秒， 设点运动到靠近点的第一个五等分点时，，则， 可得， 设点运动到靠近点的四等分点时，，则， 可得， 故所求时间为（秒）， 故选：C. 7. 已知logax＞logay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（　　） A. y2＜x2 B. tanx＜tany C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B，根据对数函数的单调性以及不等式性质判断C. 【详解】∵logax＞logay（0＜a＜1）， ∴0＜x＜y，∴y2＞x2，，故A和D错误； 选项B，当,取x，y时，,但；显然有tanx＞tany，故B错误； 选项C，由0＜x＜y可得，故C正确； 故选：C． 8. 可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆，在圆内作互相垂直的直径和.取线段的中点，以为圆心，以为半径作弧，交于.以为圆心，以为半径在圆上依次截取相等的圆弧，连接，，，，，得到如图所示的正五角星，则图中扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接OG，OM，OH，则，由得，结合扇形的面积公式计算即可求解. 【详解】如图，连接OG，OM，OH，则， 又，所以，化为弧度为， 所以扇形的面积为. 故选：A. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（ ） A. 与相等 B. 如果与平行，那么与相等 C. 与共线 D. 如果与平行，那么或 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断. 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 即或，D选项正确. 故选：ABC. 10. 下列函数中，是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性及奇函数的定义判断. 【详解】是奇函数，是奇函数，是偶函数，不是奇函数，故AB正确，C错误； 令，其定义域为，∵， ∴是奇函数，即是奇函数，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的有 A. 函数的最大值为2； B. 函数的图象关于点对称； C. 函数的图象左移个单位可得函数的图象； D. 函数的图象与函数的图象关于轴对称； E. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则一定有. 【答案】ACDE 【解析】 【分析】由正弦函数的最值可判断A；由对称中心解方程可判断B； 运用图象平移规律和函数奇偶性的性质，可判断C；运用函数图像的对称性，可判断D；运用图像可判断E. 【详解】由数可得最大值为2，故A对； 可令kπ，可得x＝kπ，k∈Z， 即有对称中心为（kπ，0），故B错； f（x）的图象向左平移个单位可得y＝2sin（x），即y＝2sin（x），故C对； 与函数的图象关于x轴对称的函数为y=，故D对；又f（x）的对称轴为kπ，可得x＝kπ，k∈Z， 函数在上的大致图像： 若使得方程在上恰好有三个实数解，，，则=0，+， 所以，故E对， 故选ACDE． 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及函数的对称性、图象平移及图像的应用，考查利用诱导公式化简运算的能力，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 如图所示，D是边的一个四等分点，用基底，表示___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减法及数乘运算即可求得. 【详解】如图示：因为是边的四等分点， 所以， 所以 即. 故答案为： 13. 直线（为参数）的倾斜角是______． 【答案】 【解析】 【分析】 化参数方程为普通方程，求出斜率，再根据诱导公式即可求得倾斜角． 【详解】解：根据直线（为参数），得， ，该直线的斜率， 该直线的倾斜角为， 故答案为： 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是化参数方程为普通方程，属于基础题． 14. 已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有______．（填序号） ①方程所有根的和为； ②不等式的解集为， ③函数与函数图象关于对称． 【答案】③ 【解析】 【详解】由图象可知，，； 又，由五点法可知，解得； ， 可得 对于①， ， 由，得，因为，所以， 所以或或或，所以在给定范围内方程根的和为，故①错误； 对于②，， 所以，，解得，，故②错误； 对于③，因为， 所以与图象关于对称，故③正确． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系列方程求出，再由两角和的余弦公式求解即可； （2）根据二倍角的正切公式求解即可. 【小问1详解】 ， 且，为锐角， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，可得 ， 所以， 所以. 16. 已知函数. （1）证明：函数在上为增函数； （2）求使成立的的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则将函数化简之后得出的表达式，再利用单调性的定义即可得出证明；（2）结合（1）的结论和复合函数单调性得出函数在上为增函数，再利用函数奇偶性解带绝对值不等式即可得出的取值范围. 【小问1详解】 由函数可得 所以 取任意，且， 则 易知，所以，而； 所以，即 所以函数在上为增函数. 【小问2详解】 由题意可知，函数的定义域为 由可得， 所以函数为偶函数； 根据（1）可知，在上为增函数； 根据复合函数单调性可知，在上为单调递增； 又函数为偶函数，所以在上为单调递减， 由可得 只需满足即可， 易知，所以 即，解得； 根据三角函数单调性可知 17. 已知为正实数，且满足. （1）若恒成立，求的最小值； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用基本不等式的变形形式（时取等号)求得的最大值，即得的最小值； (2) 先利用“乘1法”转化，使用基本不等式证得，在利用基本不等式的变形形式证得. 【详解】解：（1）因为，，， 由基本不等式得，当且仅当时取等号. 因为恒成立，所以，的最小值为. （2）因为， 所以 当且仅当时取等号，得证. 【点睛】关键点点睛：（1）基本不等式的变形形式要熟练掌握和运用；（2）先利用“乘1法”转化，使用基本不等式求最值更是已知和为定值求倒数和最值的有利方法. 18. 已知，最小正周期为，且对任意的，都有． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值与最小值 （3）设函数，若存在，使得方程有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；， （2）函数在上的最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的周期性与对称性，建立方程，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案； （2）利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案； （3）利用整体思想，结合正弦函数的单调性，再利用二次函数在某个区间上存在零点，可得答案. 【小问1详解】 由函数的最小正周期，则， 由函数满足，则直线是函数图象的对称轴， 可得，，解得，，所以， 函数的解析式是， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由，则， 当时，； 当时，. 所以函数在上的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 由题意可得， 由，则， 当时，；当时，， 令，令， 由题意等价于函数在上存在零点， 由二次函数开口向上，且，则， 整理可得，解得， 所以的取值范围为. 19. 如图，单位圆上有一点，点P以点为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，点的纵坐标y是关于时间x的函数，记作. （1）当时，求； （2）若将函数向左平移个单位长度后，得到的曲线关于y轴对称，求的最小正值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义求得初相，再根据正弦函数的周期性，可得，代入，即可求出结果； （2）根据图象平移可知，又是偶函数，所以，，由此可得最小值为3. 【小问1详解】 点是单位圆上一点，它从初始位置开始，按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，设初相为， ∴，∴． 所以， 当时， 【小问2详解】 图象关于轴对称， 则是偶函数，则，， 得，，最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期3月月考 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 对应的角度是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若函数对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图像，只需将函数的图像 A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为 A. 2a＋3 B. 2a＋6 C. 6－2a D. 6 6. 如图，假定、两点以相同的初速度（单位：单位/秒），分别同时从、出发，点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离，那么定义为的纳皮尔对数，函数表达式为（其中为自然对数的底数，），则从靠近的第一个五等分点移动到靠近的四等分点经过的时间约为（ ） （参考数据：，，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 7. 已知logax＞logay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（　　） A. y2＜x2 B. tanx＜tany C. D. 8. 可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆，在圆内作互相垂直的直径和.取线段的中点，以为圆心，以为半径作弧，交于.以为圆心，以为半径在圆上依次截取相等的圆弧，连接，，，，，得到如图所示的正五角星，则图中扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（ ） A. 与相等 B. 如果与平行，那么与相等 C. 与共线 D. 如果与平行，那么或 10. 下列函数中，是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的有 A. 函数的最大值为2； B. 函数的图象关于点对称； C. 函数的图象左移个单位可得函数的图象； D. 函数的图象与函数的图象关于轴对称； E. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则一定有. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 如图所示，D是边的一个四等分点，用基底，表示___________． 13. 直线（为参数）的倾斜角是______． 14. 已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有______．（填序号） ①方程所有根的和为； ②不等式的解集为， ③函数与函数图象关于对称． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求值． 16. 已知函数. （1）证明：函数在上为增函数； （2）求使成立的的取值范围. 17. 已知为正实数，且满足. （1）若恒成立，求的最小值； （2）证明：. 18. 已知，最小正周期为，且对任意的，都有． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值与最小值 （3）设函数，若存在，使得方程有解，求实数的取值范围． 19. 如图，单位圆上有一点，点P以点为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，点的纵坐标y是关于时间x的函数，记作. （1）当时，求； （2）若将函数向左平移个单位长度后，得到的曲线关于y轴对称，求的最小正值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $