第8单元 数学广角——找次品 A卷 母子题培优专项卷-【王朝霞培优100分】2025-2026学年五年级数学下册同步单元卷（人教版2012）

所以乌龟爬行的路程随着时间的变化一直在增加， 二、1.262.13.55 因此S,的倾斜度不变。兔子所行的路程分为三个阶段： 三、1. 晶晶和乐乐一分钟踢毽子情况统计图 第一阶段：领先阶段。开始时，S,比S,陡。 成绩/下 ◆一晶晶◆乐乐 46 第二阶段：睡觉阶段。兔子所行的路程不 44 45 42 变，图示为平行于横轴的线段。 40 40 38 第三阶段：急追阶段。兔子醒来后急忙追 3 赶，但到达终点的时间晚于鸟龟。 30 5 三重难点4 0 第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天训练天数 母题 (1)3(2)BC (3)135 2.338 【解析】 (1)通过观察统计图，结合三角形的面积=底 3.晶晶的成绩几乎一直呈上升趋势，乐乐的成绩 ×高÷2可知，从0至3秒，三角形ADE的面积 有下降的时候，并且晶晶的成绩大多数高于乐 逐渐增加，当三角形ADE面积达到最大时，对 乐的成绩，所以晶晶的进步更大。 应的时间是第3秒，此时三角形ADE的高是 (答案合理即可) AB,因此，点E从点A开始，3秒后到达，点B。 (2)从统计图中可以看出，从3秒到8秒三角形 4.两个人的比赛成绩均可能大于40下，晶晶的 ADE面积保持不变，也就是三角形ADE的高不 成绩好于乐乐的成绩。因为晶晶和乐乐的训 变，此时表示点E在长方形的边BC上移动，移 练成绩总体呈上升趋势，但晶晶的成绩更稳 动时间为(8-3)秒。 定。（答案合理即可） (3)从图中可知，点E从点A移动到点B,移动 四、1、2如下图所示。 了3秒，则AB的长为3×3=9(cm),点E在边 实验小学五(1)班、五(2)班收集白色垃圾情况统计图 BC上移动的时间为8-3=5（秒），则BC的长 一五(2)班 为3×5=15(cm),长方形ABCD的面积为15× 质量kg .-。-.五（1)班 9=135(cm2). 40 35 30 子题1 (1)6 (2)1814 30 25 27 25 农2双6空关与 、20 子题2 (1)2417(2)60 20 15 18820 № ◆ 10 第七单元B卷培优验收综合卷 2 3 4 6 > 9 101112月份 -、1.B2.D3.B4.B 3.8月份五(2)班收集白色垃圾的数量是五(1)班 5.D【解析】由图可知，实线代表甲，虚线代表乙。 A选项中乙的第2次和第5次测试成绩都是14 的几分之几？（答案不唯一） 分，两次成绩相同，结论正确； 4.五(1)班收集白色垃圾的数量1月到2月下降， B选项中甲和乙第3次测试成绩都是12分，结 2月到7月趋于稳定，7月到8月上升，8月到11 论正确； 月下降，11月到12月上升。五(2)班收集白色 C选项中甲第4次测试成绩是14分，乙第4次 垃圾的数量1月到2月下降，2月到5月趋于稳 测试成绩是12分，14-12=2（分），即甲比乙 定，5月到7月上升，7月到9月下降，9月到10 高2分，结论正确； 月上升，10月到12月下降。 D选项中5次测试总成绩甲是10+13+12十 建议：大家购物时自带可重复使用的购物袋或 14+16=65(分)，乙是13+14+12+12+14 菜篮子，少吃外卖。（答案不唯一） 65(分)，两个机器人的测试总成绩相同，所以 五、1.12.4 D选项的结论错误。 3.解：设x小时后能和A相遇。 (7.5÷0.5)x=4x+10 第八单元A卷母子题培优专项卷 .10 三重难点1 母题 至少称2次就一定能找到质量不足的那袋盐。 谷：兴小时后能和A相遇。 【解析】 六、1. A、B两市一周空气质量指数统计图 把8袋盐分成(3,3,2)三份，将两份3袋的分别 空气质量指数 ◆-A市◆-B市 放在天平的两边。 80 76 7 64 天平平衡，质量不足的 天平不平衡，那么质量 盐在剩下一份的2袋 不足的那袋盐在较高 8 中。把剩下的2袋盐 的一边的3袋盐中，从 分别放在天平的两边， 这3袋中选出2袋，分 六 日星期 较高的那边就是质量 别放在天平的两边。 2.5 不足的那袋盐。 3.A、B两市从星期六到星期日，空气质量指数呈 天平平衡，剩下的1袋 天平不平衡，较高的 下降趋势，所以到下周有可能也是下降趋势， 就是质量不足的那袋盐。 那边就是质量不足的 下周的星期一比这周的星期日空气质量好。 那袋盐。 建议：出行时多选择步行或骑自行车等低碳 子题1 至少称3次就一定能找出这瓶盐水。 出行方式。（答案合理即可） 子题2 至少称4次就一定能找出被吃了两个的那 附加题 箱桃子。 1.C 重难点2 2.(1)3224(2)72 母题 用天平至少称2次就一定能找出这袋洗衣粉。 大人辅导延展 【解析】 (1)根据图可知，a对应的是第8秒的时候，由于当点 把3袋洗衣粉分成(1,1,1)三份，任意选2袋分 P在AB段上移动时，P、A、B不能构成三角形，所以没 别放在天平的两边。 有面积，即在第4秒的时候，开始有面积，说明第4秒 走到了B点，那么AB的长度是2×4=8(cm)。当点 天平平衡，剩下的1袋就 天平不平衡，将这2袋 是要找的这袋洗衣粉。 中的任意1袋和剩下 P走到C点的时候，三角形的面积是最大的，则此时 的1袋分别放在天平 走了10秒，当第8秒时，即在BC段走了4秒，那么此 的两边。 时的PB长是2×4=8(cm),高是AB的长度，根据三 角形的面积公式：底×高÷2，即8X8÷2,可求出a 天平平衡，不在天平 天平不平衡，从上一步 的值；从第10秒开始，三角形的面积变小，此时点P 上的1袋就是要找的 的2袋中留下的那1 在CD段上，由于在第15秒时，变小趋势变化，说明 这袋洗衣粉。 袋就是要找的这袋洗 衣粉。 在第15秒时走到了D点，从D点到A点总共走了3 秒，即AD的长度是2X3=6(cm),高是AB的长度， 子题1 至少称2次就一定能找出这个不合格零件。 即此时的c表示的数是6×8÷2，据此可进行求解。 子题2 用天平至少称3次就一定能找出这袋糖。 (2)由于AD是6cm,AB是8cm,在BC边上总共走了 ≈重难点3 10-4=6(秒)，即BC的长度是2×6=12(cm),根据 母题 若用没有砝码的天平只称3次，不能保证找 梯形的面积公式：（上底十下底）×高÷2，把数代入 出这个次品。 即可求解。 【解析】第一步找出次品在哪一个筒里。 培优100分数学五年级下册RJ版 65 根据在3个物品中找出1个次品的方法，称1次可以 子题1 ④号和⑤号 找出次品。方法是： 子题2 ②号和④号（或⑥号和⑦号） 不平衡：较重一侧的那筒网球里有次品。 ≈重难点5 平衡：次品在没有称量的那筒网球里。 母题 把4盒零件依次编号①④，然后按编号数 第二步找出次品是哪个。 分别对应地取零件个数，也就是①号盒取1 根据在12个物品中找出1个次品的方法，至少称3次 个，②号盒取2个，③号盒取3个，④号盒取4 可以保证找出次品。方法是： 个，一共取出10个零件。把取出的10个零件 不平衡：次 不平衡：次 一起放在天平左端，在天平右端放10×10 品在较重 品在较重的 的一侧。 (4,4,4) (1,1,2) 一侧。 100(g)砝码，天平放砝码的一端低，在有次品 平衡：次品 平衡：次品 的一端一个一个地放1g的砝码，直到天平平 在天平外。 在天平外。 衡，放几个1g砝码，那么几号盒中的零件就 是次品。 (1,1)→ 次品在较重的一侧。 【解析】 所以，至少需要称1十3=4（次）才能保证找出次品。 子题1至少称5次才能保证找出这包质量较轻的 把4盒零 按编号 一起放 件依次编 数取零 ◆ 在天平 用解决和差 茶叶。 号①④ 件个数 左端 问题的思路 【解析】第一步，找出次品在哪一盒里。根据在6个 列式求解 物品中找出1个较轻次品的方法，至少称2次才可以 天平右端放100g砝码 找出次品；第二步，找出次品是哪一包。根据在15个 物品中找出1个较轻次品的方法，至少称3次才可以 子题1 把8筒羽毛球依次编号①⑧，然后按编号 找出次品。所以至少称2十3=5（次）才能保证找出 数分别对应地取羽毛球个数，也就是①号 这包质量较轻的茶叶。 筒取1个，②号筒取2个…⑧号筒取8 子题2至少称5次才能保证找出这个质量较重的 个，一共取出36个羽毛球。把取出的36个 塑料小球。 羽毛球一起放在天平左端，在天平右端放 ≈重难点4 36×5=180(g)砝码，天平放砝码的一端 母题 ④号和⑧号 高，在有砝码的一端一个一个地放0.5g的 【解析】 砝码，直到天平平衡，放几个0.5g砝码，那 第一次：③十④比①十②重， 第二次：⑦+⑧比 么几号筒中的羽毛球就是次品。 所以③、④中有一个重一些 ⑤+⑥重，⑦、⑧ 的小球。（不能都是重的小 中有一个重一些 子题2 把10盒乒乓球依次编号①⑩，然后按编 球，因为如果都是重的，就不 的小球。（同理不 号数分别对应地取乒乓球个数，也就是① 会出现⑦+⑧比⑤十⑥重) 能都是重的) 号盒取1个，②号盒取2个…①号盒取10 个，一共取出55个乒乓球。把取出的55个 综合以上两点会出现 第三次：①十④十⑦ 乒乓球一起放在天平左端，在天平右端放 以下四种情况： 与②+⑥十⑧一样 55×2.5=137.5(g)砝码，天平放物品的 A.③和⑦是重的小球 重，所以A、B、C都不 B.③和⑧是重的小球 符合要求，只有D符 端低，在有砝码的一端一个一个地放0.1g C.④和⑦是重的小球 合要求，即重一些的 的砝码，直到天平平衡，放几个0.1g砝码， D.④和⑧是重的小球 小球分别是④和⑧。 那么几号盒中的乒乓球就是次品。 00 培优100分 数学 五年级下册RJ版 第八单元B卷培优验收综合卷 (2)明明的方案，首次称重结果平衡时，剩下的 一、1.⑤⑥下沉下沉2 1件就是尺寸偏小的那件衣服，所以用明明的 2.3233平均分1个 方案可能只称一次就能找出尺寸偏小的那件 3.223334444(答案不唯一) 衣服。（答案合理即可） 4.3 2.至少称3次能保证找出这件棉裤。 三大人辅导延展 3.至少称4次能保证找出这枚扣子。 用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次 4.至少称3次能保证找出这件衣服。 品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次 5.能。第一步，将任意2包放在天平上称1次，若 品，已知次品比合格品重或轻。) 平衡，则剩下的那包有次品；若不平衡，则轻的 那包有次品。第二步，将有次品的那包分成3 要辨别的物品 保证能找出次品至少需 数目 要称的次数 组(3,3,4)，3件的两份放在天平上，若平衡，则 2-3 1 次品在4件的那份中；若不平衡，则轻的那份 4-9 2 有次品。第三步，①次品在4件的那份中，分 10-27 3 成3组(2,1,1)，将单独的2件衣服放在天平的 28~81 x 两端，若平衡，次品在另外2件中，需要再称1 82-243 5 次，轻的是次品；若不平衡，轻的那件是次品。 … … ②次品在3件的那份，分成3组(1,1,1)，将其 记住上面的表格对做题很有帮助哟！ 中两组放在天平两端，若平衡，另一件是次品； 5.④ 若不平衡，轻的一端是次品。所以只称4次能 6.2881 保证找出这件次品。 7.231 6.把4个包裹依次编号①④，然后①号包裹取 二、3.V4.√ 1件，②号包裹取2件，③号包裹取3件，④号包 三、1.C2.B3.B 裹取4件，一共取出10件衣服。把取出的10 4.D【解析】第一次天平两边各放两个零件，如 件衣服一起放在天平左端，在天平右端放10× 果两边平衡，如图①，那么没放上去的那个零 400=4000(g)砝码，天平放物品的一端高，在有 件是次品，不用称2次；如果两边不平衡，如图 衣服的一端一个一个地放400一350=50(g)的 ②，次品在较轻的一边的2个零件中，第二次 砝码，直到天平平衡，放几个50g砝码，那么几 把这2个零件分别放在天平的两边，天平一定 号包裹中的衣服就是单的。 不平衡，如图④，于是找出了较轻的次品。所 附加题 以称2次找出次品，表示乐乐称的过程与结果 1.第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 的是图②和图④。 【解析】因为已知次品比正品重，所以需要称 5.BC【解析】因为第一次和第三次天平平 量几次，待测物品的数量就在(n一1)个3相乘 衡，说明①②③④⑤号零件的质量相同，不是 的积（不包含）与几个3相乘的积（包含）之间，即 次品；第二次天平不平衡，从而可推出⑥号是 第一堆零件需要称5次，则第一堆零件的个数 次品，比合格品轻。 在82个与243个之间；第二堆零件需要称4 四、1.(1) 4 6 次，则第二堆零件的个数在28个与81个之间， (2,2,1)21 剩下的1件 又知第一堆比第二堆多1个零件，所以第一堆 (1,1,2)1 1 （2,2,2)2 1 有82个零件，第二堆有81个零件。培优100分数学五年级下册RJ版 【答案见P65】 第八单元 数学广角 找次品 玉朝 A卷 母子题培优专项卷 拍照批改+错题本 本单元数学广角一一找次品在小学数学试卷占2分左右，常考考点中，一般的找次品问题、不知次品轻 重的找次品问题、两轮多次的找次品问题、有两个次品的找次品问题、用砝码解决只能称一次的找次品问题 是试卷中的重难点，也是最容易失分的地方。在日常学习中，紧抓重难失分，点，是期末冲满分、进阶培优的 关键。请同学们先做母题，学习答题方法或策略，再完成对应的子题。加油吧！ 麻 之重难点1一般的找次品问题 套 母题〔西安市期末〕学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同， 另有1袋质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少称几次就一定 弥 母题视频讲解 封 能找到质量不足的那袋盐？ 线 “培优攻略 内 不 找次品的最优策略有两 要答 点：一是把物品分成3份； 二是要尽量平均分，不能 平均分的也应该使分得的 喻 最多的1份的数量与最少 子题1有15瓶水，其中14瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他 的1份的数量只相差1。 的水略重一些。如果用天平称，至少称几次就一定能找出这瓶盐水？ 子题2〔秦皇岛市期末〕有35箱桃子，其中34箱质量相同，有1箱被 图 吃了两个桃子。如果用天平称，至少称几次就一定能找出被吃了两 个的那箱桃子？ ≈重难点2不知次品轻重的找次品问题 母题有3袋洗衣粉，其中两袋质量都是500g,另1袋不是500g, 但不知比500g重还是轻。用天平至少称几次就一定能找出这袋洗 衣粉？ 母题视频讲解 “培优攻略 找不知道比合格产品轻还 是重的次品的一般做法： 先尽可能地将待测物品平 均分成3份进行称量。当 出现不平衡的情况，取下 子题1有4个零件，其中3个质量都是60g,另1个质量不是60g, 一端的物品，放上未称量 物品，对比称量结果，找出 但不知道比60g重还是轻。如果用天平称，至少称几次就一定能找 次品。 出这个不合格零件？ 子题2有8袋糖，其中7袋每袋400g,另外有1袋不是400g,但不 知道比400g重还是轻。用天平至少称几次就一定能找出这袋糖？ ≈重难点3两轮多次的找次品问题 母题有3筒网球，每筒有12个，其中有1个网球（次品）比正品 重一些。若用没有砝码的天平只称3次，能保证找出这个次品吗？ 母题视频讲解 培优100分数学五年级下册RJ版 37 子题1我国是世界上最早发现和利用茶作为饮料和药用的国家， 培优小贴士 是名副其实的茶的故乡。某茶厂进行质量抽检，在抽检的6盒茶叶 解答本题需要逐步缩小次 品所在的范围，先确定次 (每盒15包)中，有1包茶叶质量较轻一些，如果用没有砝码的天平 品在哪个盒里，再确定次 称，至少称几次才能保证找出这包质量较轻的茶叶？ 品是哪包。 子题2有个制造塑料小球的工厂，生产了6箱塑料小球，每个箱 子里有22个塑料小球。合格品塑料小球每个重10g,次品塑料小 球每个重11g。只有一个箱子里有一个次品，如果用没有砝码的天 平称，至少称几次才能保证找出这个质量较重的塑料小球？ 之重难点4有两个次品的找次品问题 母题有8个小球编号为①⑧，其中有2个小球比别的重3g,其 他小球一样重。为了找出这两个重一些的小球，用天平称了三次， 结果如下： 母题视频讲解 L①②」 L③④ L⑤⑥ 培优攻略一 L⑦⑧ L①④⑦ L②⑥⑧ 解答本题的关键是根据题 中前两次的称量结果，找 重一些的两个小球分别是几号？ 出所有出现次品的可能 性，进而根据第三次称量 结果得出结论。解决问题 要综合运用排除、推理等 方法。 子题1有8瓶矿泉水，编号是①~⑧，其中有6瓶一样重，是合格 产品，另外2瓶都比合格产品轻5g,是不合格产品，用天平称了3 次，结果如下： 38 培优100分 数学 五年级下册RJ版 第一次：①+②比③+④重；第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次： ①+③+⑤与②+④+⑧一样重。那么这两瓶不合格产品分别是 几号？ 弥 子题2有8瓶冰糖雪梨，编号是①~⑧，其中有6瓶是合格产品， 另外2瓶都比合格产品轻4g,是次品，用天平称了3次，第一次：①十 ⑤比④+⑦重；第二次：②+⑥比③+⑧轻；第三次：①+②+③与 ④+⑤+⑧一样重，那么这两瓶次品分别是几号？ 封 线 ≈重难点5用砝码解决只能称一次的找次品问题 母题有4盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比 内 标准质量(10g)轻1g。由于管理员粗心，没记住是哪一盒，一时难 母题视频讲解 辨。你能用天平称一次，就把那盒次品零件找出来吗？ “培优攻略 啤 (简单说明操作过程) 解答本题的关键是取零件 不 时，按照编号数取，即几号 盒就取几个零件。 子题1有8筒羽毛球，其中1筒是次品，次品那筒中的每个羽毛球 要 都比标准质量(5g)重0.5g。由于工人操作失误，弄混了这几筒羽 毛球。你能用天平称一次，就把那筒羽毛球找出来吗？ (简单说明操作过程) 答 子题2有10盒乒乓球，其中1盒是次品，次品那盒中的每个乒乓 题 球都比标准质量(2.5g)重0.1g。由于质检员操作失误，弄混了这 几盒乒乓球。你能用天平称一次，就把那盒乒乓球找出来吗？ (简单说明操作过程)》