18.2.1勾股定理的逆定理（教学课件）数学新教材沪科版八年级下册

18.2.1 勾股定理的 逆定理 第十八章 勾股定理 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 了解勾股定理的逆定理的证明方法,掌握勾股定理的逆定理,并能应用其判定一个三角形是否是直角三角形. 通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识的发生、发展与形成的过程;通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用. 通过勾股定理及其逆定理,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐、辩证统一的关系;在探究勾股定理的逆定理的活动中,通过一系列富有探究性的问题,渗透与他人交流、合作的意识和探究精神. 探究新知 那么这个三角形是直角三角形. 两边的平方和 逆 命 题 它是真命题吗？你能证明吗？ 如果三角形 等于第三边的平方， 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)： 直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 探究新知 已知： 求证： C'A'=b C B A A' B' C' b a c b a 且 a2+b2=c2 在△ABC中， AB=c， BC=a， CA=b， △ABC是直角三角形 证明： 作△A'B'C'， 使 ∠C'=90°， B'C'=a， 则有 A'B'2 = a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A'B'2 =c2 ∵ 边长取正值 ∴ A'B'=c 在△ABC和△A'B'C'中 BC=B'C'=a CA=C'A'=b AB=A'B'=c ∵ ∴ △ABC ≌ △A'B'C' ∴ ∠ C= ∠ C’ ∴ ∠C= 900 （直角三角形的定义） （SSS） (全等三角形对应角相等） ∴ △ABC是直角三角形 c 探究新知 那么这个三角形是直角三角形. 那么这个三角形是直角三角形. 两边的平方和 勾股定理的逆定理 如果三角形 等于第三边的平方， a2 + b2 = c2， 即 如果三角形的三边长a、b、c 满足 C B A b c a 几何语言： ∴ △ABC 是直角三角形， ∵ 在△ABC中， a2+b2=c2 且 ∠C=90° (勾股定理的逆定理) 探究新知 例 1 根据下列三角形的三边 a，b，c 的值，判断 △ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出那条边所对的角是直角. (1) a＝25，b＝24，c＝7 解(1)：∵ ∴ b2+c2＝a2 ∴ △ABC是直角三角形， b2+c2＝ a2＝625 242+72 ＝625， 最大边a所对角是直角. 只要看两条较小边的平方和 方法规律： 由勾股定理的逆定理， 判断三角形是不是直角三角形， 最大边的平方. 是否等于 (2) a＝7，b＝8，c＝11 a2+b2＝ ∴ a2+b2≠c2 ∴ △ABC 不是直角三角形 解(2)： ∵ c2＝121 72+82 ＝113， 探究新知 能够成为 (1) a=25，b=20，c=15 (2) a=13，b=14，c=15 (4) a：b：c=3：4：5 是 是 不是 是 ∠A=90° ∠B=90° ∠C=90° (3) a=1，b=2，c= 1、下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ 三个正整数， 像上面的 25、20、15 这三个数，我们称之为 勾股数. 直角三角形 三条边长度的 称为勾股数. 知识拓展： 但直角三角形的三边长 勾股数必能成为直角三角形的三条边长， 不一定是勾股数. 探究新知 2、下列各组数据中，是勾股数的是（ ）. A. 1， ， B. 0.3，0.4，0.5 C. 4，5，6 D. 3，4，5 D (1) 勾股数必须同时满足 三个正整数， 能够成为 直角三角形 三条边长度的 称为勾股数. 注意： 两个条件： ① 三个数都是正整数. ② 两个较小数的平方和等于最大数的平方. (2) 如果 a，b，c是一组勾股数， (n是正整数) 也是一组勾股数. 那么 na，nb，nc 常见的勾股数： 3，4，5 ； 5，12，13 ；8，15，17 ；7，24，25. 探究新知 例 2 已知：在 △ABC 中，三条边长分别为 a=n2-1，b＝2n，c＝n2+1 (n＞1) . 求证： △ABC为直角三角形. ∴ △ABC是直角三角形 证明： ∵ a2+b2＝ (n2-1)2+(2n)2 ＝n4-2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝(n2+1)2 c2 (勾股定理的逆定理) ＝(n2+1)2 ∴ a2+b2＝c2 巩固练习 1、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A.三内角之比为 5：12：13 B.三边长之比为 3：4：5 C.三内角之比为 1：3：4 D.三边长的平方之比为 1：2：3 A 探究新知 2、如图，在正方形网格中，小正方形的边长为 1，A、B、C 为格点(格子线的交点) (1) 判断 △ABC 的形状，并说明理由； (2) 求 AB 边上的高. D 探究新知 A B C D 3、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积? 3 4 12 13 5 解： 连接AC ∵ ∠B＝90°，AB＝3，BC＝4 ∴ ＝5 又∵ CD＝12，AD＝13 AC2+CD2＝ ∴ AD2＝169 52+122 ＝169 ∴ AC2+CD2＝AD2 ∴ △ACD是直角三角形， 且∠ACD=90° ∴ S四边形ABCD = S△ABC ×3×4 + ×5×12 =36 ∴ 四边形ABCD的面积是36. +S△ACD 探究新知 变式 1：如图，有一块四边形空地 ABCD，现计划在该空地上种草皮，经测量 ∠A=90°，AB=3 m，BC=12 m，CD=13 m，AD=4 m，若每平方米草皮需 100 元，问需投入多少元？ A B C D 3 4 12 13 5 探究新知 变式 2 ：如图，在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°， ∠B=∠D=90°，求四边形 ABCD 的面积． E 探究新知 4、已知 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a+b=3，ab=1，c= ，试判断 △ABC 的形状，并说明理由. 探究新知 变式 2：已知 a，b，c 为 △ABC 的三边，且满足 a2c2 – b2c2=a4 – b4，试判断 △ABC 的形状. 解： ∵ a2c2 – b2c2=a4 – b4 ∴ c2(a2 – b2)=(a2+b2)(a2-b2) 即 (a2 – b2)(a2+b2-c2)=0 ∴ a2 – b2=0 或 a2+b2-c2=0 ∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 ∴ a = b 或 a2+b2=c2 变式 1：已知 a，b，c 为 △ABC 的三边长，若满足 ，则 △ABC 是 . 等腰直角三角形 感谢聆听! $