精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

重庆八中高2027级高二（下）第一次月考数学试题 一、单选题 1. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立. 【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以， 则的取值范围为. 故选：B 2. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊点的值进行验证即可得答案. 【详解】解：由题意知，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，排除A； ，排除B；，排除C. 故选：D. 4. 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数， 故得. 故选：D. 【点睛】 5. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助分层抽样的方差公式计算即可得. 【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，两个班的总的平均分为， 则 ， 故选：D. 6. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令， 因为， 所以在上单调递减， 因为，且变形为， 所以， 因为在上单调递减， 所以且， 解得，即不等式的解集为． 7. 对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意求对称中心，再利用对称性求值. 【详解】，，得， 又，所以函数关于点对称， 即，则， 且， . 故选：B 二、多选题 8. 随机事件，满足，则（ ） A. B. 、不是互斥事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法判断A；根据互斥事件的定义判断B，根据对立事件的定义判断CD. 【详解】若，则，与题干矛盾，故A错误； 因为，所以随机事件，可以同时发生，即、不是互斥事件，故B正确； 因为，所以，即，故C正确D错误； 故选：BC 9. 记数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前n项和为 D. 数列的前2023项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求出通项公式，再逐项求解判断即可. 【详解】数列的前n项和，当时，， 而满足上式，因此， 对于A，，A正确； 对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，数列的前n项和 ，C正确； 对于D，， 则数列的前2023项和为，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点为1 B. C. 若分别是曲线和上的动点.则的最小值为 D. 若对任意的恒成立，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设，求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线与曲线互为反函数，可先求点到的最小距离，然后再求的最小值；对于D，利用同构把恒成立问题转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】．所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极值点为1，故A正确； 设，则， 由单调性的性质知在上单调递增． 又，则存在．使得， 即，，所以当时．，当时．． 所以在上单调递减．在上单调递增. 所以，又，则， 所以，故B错误； 因为函数与函数互为反函数，其图象关于对称， 设点到的最小距离为，设函数上斜率为的切线为， ，由得，所以切点坐标为，即，所以， 所以的最小值为，故C正确； 若对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，则．所以在上单调递增，则， 即，令，所以， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 三、填空题 11. 函数的极小值点是________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 令，得； 令，得； 令，得， 所以，是函数的极小值点． 12. 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.如果张华在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为________cm.（结果保留一位小数） 【答案】 【解析】 【分析】先计算抽样比例，得到男生人数和女生人数，再估计总体平均身高得到答案. 【详解】高二年级男生与女生人数比为， 当样本容量为100时， 抽取男生人数为（人），抽取女生人数为（人）， 高二年级全体学生的平均身高估计为， 故答案为：. 13. 已知函数恒成立，实数的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式转化为关于的表达式，通过构造辅助函数，求其最大值，从而确定的取值范围. 【详解】由原式恒成立，等价于恒成立， 令，则的最小值为的最大值. 则， 令，得方程，解得（为唯一解），即， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 因此，是的极大值点，即最大值点， 所以的最大值为， 由，得，即， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题 14. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方体的性质得到，然后利用线面平行的判定可证结论； （2）利用垂直关系找到两平面夹角的平面角，利用直角三角形可求正弦值； （3）建立坐标系，求出平面法向量，利用点到平面的距离公式可求答案. 【小问1详解】 证明：由正方体的性质可知， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 设交于点，连接，由正方形的性质可知，且； 因为正方体的棱长为2，所以， 所以,且， 所以为平面与平面所成角的平面角， 因为底面，所以， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则， 令可得， 设到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 15. 近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （3）现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为，列方程，可解得； （2）根据频率分布直方图的平均数计算公式直接可计算； （3）根据分层抽样的定义确定得分分别在，内的人数，再用古典概型的概率公式计算. 【小问1详解】 由已知得，解得； 【小问2详解】 由已知可估计平均数为 ； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知得分在，内的频率分别为，， 即分别在两区间内的场数之比为， 根据分层抽样可知，抽取的场比赛中得分在内的有场，设为，，得分在内的有场，设为，，， 则从场中随机抽取场的情况有，，，，，，，，，，共有种情况； 其中满足两场都不低于分的情况有，，，共种情况， 则所求概率为. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由， 求得切线方程； （2），分与讨论可得函数的单调性； （3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数. 【小问1详解】 当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． 【小问2详解】 因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 17. 已知抛物线：（），过点的直线交于，两点，为坐标原点，当与轴垂直时，. （1）求抛物线的解析式； （2）若，过轴上一点作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且满足，，三点共线. （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）求点的坐标. 【答案】（1） （2）（ⅰ）或：；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性质可得到，继而得到抛物线方程； （2）设：，，，联立抛物线方程与直线方程，结合韦达定理， （ⅰ）结合题干角的余弦值即可得到直线方程； （ⅱ）结合对称性以及三点共线即可得. 【小问1详解】 当与轴垂直时，， 则，解得：，即：. 【小问2详解】 （ⅰ）由与抛物线交于，两点知直线斜率不为0， 可设：，，， 联立方程组：，得到：， 由韦达定理：，， 则，， 因为 ， 代入可知：，解得：， 即：或：； （ⅱ）由对称性，不妨取：，由于，故：， 因为，设，所以：， 联立解得：，同理有：， 所以 ， 由（2）得：，，代入可知：， 故：， 由于，故， 则， 即：，因为， 所以：，联立解得：， 因为，，三点共线，所以在直线上， 代入得：， 解得：，故的坐标为. 18. 已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】（1）① ；②证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 ①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高2027级高二（下）第一次月考数学试题 一、单选题 1. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、多选题 8. 随机事件，满足，则（ ） A. B. 、不是互斥事件 C. D. 9. 记数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前n项和为 D. 数列的前2023项和为 10. 已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点为1 B. C. 若分别是曲线和上的动点.则的最小值为 D. 若对任意的恒成立，则的最小值为 三、填空题 11. 函数的极小值点是________ 12. 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.如果张华在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为________cm.（结果保留一位小数） 13. 已知函数恒成立，实数的取值范围为____． 四、解答题 14. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 15. 近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （3）现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 17. 已知抛物线：（），过点的直线交于，两点，为坐标原点，当与轴垂直时，. （1）求抛物线的解析式； （2）若，过轴上一点作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且满足，，三点共线. （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）求点的坐标. 18. 已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $