高二数学下学期期中模拟卷（上海专用，沪教版选修一第1～2章+选修二第5章：坐标平面上的直线、圆锥曲线、导数及其应用）

2025-2026学年高二下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 976 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C C C B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是；……（6分） （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，．……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）设为直线上的任意一点， 而点关于点的对称点为， 则在直线上， 代入直线得，，即， 则直线关于点对称的直线的方程为.……（7分） （2）由题意，直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为， 则圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为3，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得或， 所以直线的方程为或.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）圆可化为，圆心坐标为，半径为. 直线：，斜率为. 设直线的斜率为，则，即， 解得或. 当时，直线方程为，即； 当时，直线方程为，即； 所以直线方程为或.……（7分） （2） 设，因为是弦中点，所以，所以. 又，， 所以，即， 整理得. 因为直线与圆相交于两点，所以点应在圆的内部. 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由题意得， 所以双曲线的方程为.……（4分） （2）设直线为，即. 因为直线与圆相切，切点位于轴上方，所以， 且. 联立，消去得，整理得. 设，，则，. 所以. 所以.……（10分） （3）根据双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形. 所以，所以. 因为直线的斜率不为0，所以设直线的方程为：. 代入得， 整理得. 设，，则，. 因为，均在双曲线的左支上，所以. 所以. 由. 整理得. 两边平方得： 解得或（由，故舍去），所以. 所以直线的方程为或.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）点具有性质，理由如下： 在函数上，，则， 在点处的切线方程斜率， 得切线方程为，即， 将代入，，或．． 当时，直线为，切线方程也为， 即函数的图象上存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线，点具有性质． 当时，直线为，切线方程为， 即函数的图象上存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线，点具有性质．……（6分） （2）由，得， 设， 所以函数在点处的切线方程为， 又点在切线上，所以， 整理得， 当时，，即点都为原点，不符合性质； 当时，，即存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线.……（12分） （3）设，函数的导数为， 所以在点Q处的切线方程为即． 必要性：若点具有性质，则点需要满足． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得最小值． 与是不同的点，，即． 充分性：当时，令 当时，，又，方程必然有解， 即存在使得直线是函数的图象的切线，具有性质. 综上所述，点具有性质的充要条件是．……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷 数学·考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一第1-2章+选修二第5章坐标平面上的直线、圆锥曲线、导数及其应用。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若直线与垂直，则实数_______________ 2．抛物线的准线方程_________． 3．椭圆的离心率为______. 4．设函数，则________． 5．已知函数，则的单调减区间是__________. 6．已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 7．已知倾斜角为的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为_____ 8．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为________． 9．若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 10．已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为______． 11．已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 12．已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 14．“”是直线与直线平行的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存在上的点Q（不重合），使得：（1）直线与的斜率乘积为定值；（2）线段的中点M在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（   ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 16．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 18．（14分）已知直线，点. (1)直线关于点对称的直线的方程： (2)以为圆心，3为半径作圆，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 19．（14分）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 20．（18分）在平面直角坐标系中，已知，双曲线的焦距为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线的斜率为交于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 21．（18分）已知函数，为坐标平面上一点．若函数的图象上存在与不同的一点，使得直线是函数在点处的切线，则称点具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由： (2)若，证明：除原点外函数的图象上所有的点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“” ． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一第1~2章+选修二第5章坐标平面上的直线、圆锥曲线、导数及其应用。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若直线与垂直，则实数_______________ 【答案】 【详解】因为直线与垂直， 所以，即. 2．抛物线的准线方程_________． 【答案】 【详解】由抛物线标准方程可得：准线方程为， 故答案为： 3．椭圆的离心率为______. 【答案】 【详解】由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 4．设函数，则________． 【答案】 【详解】由题意得函数，则. 5．已知函数，则的单调减区间是__________. 【答案】 【详解】定义域为，， 令，解得：， 的单调减区间是. 6．已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 【答案】976 【详解】因为向量为直线的一个法向量， 则，所以. 故答案为：976. 7．已知倾斜角为的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为_____ 【答案】 【详解】由，得. 设，则. 得，. 8．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为________． 【答案】 【详解】由双曲线C：的实轴长为4，得， 双曲线C：的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线方程为， 则，解得，所以C的方程为. 故答案为： 9．若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 【答案】 【详解】由圆的标准方程可知圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离， 直线和圆相离则有，即， 解含绝对值不等式可得或， 即. 10．已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为______． 【答案】 【详解】由题意有，，所以， 所以双曲线渐近线方程为， 设一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为，不妨， 所以，， 所以，由，解得， 即两条渐近线的夹角的余弦值为. 故答案为：. 11．已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 【答案】 【详解】设为抛物线的焦点，则， 如图，设，为到准线的距离且为垂足， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 12．已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 【答案】 【详解】 依题得，，又， 则，， 则， 则， 即， 则，则， 即. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 14．“”是直线与直线平行的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由直线与直线平行的充要条件是 ，即，即解得. 所以“”是直线与直线平行的充要条件. 15．已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存在上的点Q（不重合），使得：（1）直线与的斜率乘积为定值；（2）线段的中点M在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（   ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【详解】首先①不成立，下面说明存在椭圆不是双对称曲线. 不妨设椭圆方程为，其对称中心为原点. 取椭圆上一点，则直线不存在斜率， 故不满足条件“对于椭圆上的任意一点P，均存在椭圆上的点Q（不重合）， 使得直线与的斜率乘积为定值”， 椭圆不是双对称曲线， 故①不成立； 其次②成立，下面证明存在双曲线是双对称曲线； （i）证明：曲线是双曲线. 设曲线上任意一点，其对应复数， 绕原点顺时针旋转得动点， 则， 则有， 代入，化简得，故动点的轨迹为双曲线， 即点轨迹也为双曲线； （ii）证明双曲线是双对称曲线. 证明：首先该曲线以原点为对称中心. 设双曲线上任意一点，则，且. 则直线的斜率，取常数，定义， 当时，则存在点在双曲线上，为不重合两点， 且； 当时，则存在也双曲线上，为不重合两点， 且； 综上可知，若对于双曲线的任意一点，均存在双曲线上的点Q（不重合）， 使得直线与的斜率乘积为定值，即条件（1）满足； 当时，则中点，即， 则，故中点在直线上； 当时，则中点，即原点， 故也在直线上. 故对于双曲线的任意一点，均存在双曲线上的点Q（不重合）， 使得线段的中点M在一条固定直线上，故条件（2）也满足. 由此，条件（1）（2）都满足，故双曲线是双对称曲线. 综上所述，选项C正确，其余选项不正确. 故选：C. 16．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】对于（1），两两垂直，，平面， 平面， ，点在以为轴的圆锥面上， ，，， 设圆锥顶角为，则， 所以顶角为锐角，即点O的轨迹是椭圆的一部分，故（1）正确； 对于（2），当时，点在以为轴的圆锥面上， ，，故， 此时圆锥顶角为直角， 所以O的轨迹是抛物线的一部分，故（2）错误； 对于（3），当时，点在以为轴的圆锥面上， ，， ∴，， 所以顶角为钝角，即点O的轨迹是双曲线的一部分，故（3）错误； 综上，真命题的个数1. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是；……（6分） （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，．……（14分） 18．（14分）已知直线，点. (1)直线关于点对称的直线的方程： (2)以为圆心，3为半径作圆，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【详解】（1）设为直线上的任意一点， 而点关于点的对称点为， 则在直线上， 代入直线得，，即， 则直线关于点对称的直线的方程为.……（7分） （2）由题意，直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为， 则圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为3，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得或， 所以直线的方程为或.……（14分） 19．（14分）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 【详解】（1）圆可化为，圆心坐标为，半径为. 直线：，斜率为. 设直线的斜率为，则，即， 解得或. 当时，直线方程为，即； 当时，直线方程为，即； 所以直线方程为或.……（7分） （2） 设，因为是弦中点，所以，所以. 又，， 所以，即， 整理得. 因为直线与圆相交于两点，所以点应在圆的内部. 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分.……（14分） 20．（18分）在平面直角坐标系中，已知，双曲线的焦距为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线的斜率为交于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 【详解】（1）由题意得， 所以双曲线的方程为.……（4分） （2）设直线为，即. 因为直线与圆相切，切点位于轴上方，所以， 且. 联立，消去得，整理得. 设，，则，. 所以. 所以.……（10分） （3）根据双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形. 所以，所以. 因为直线的斜率不为0，所以设直线的方程为：. 代入得， 整理得. 设，，则，. 因为，均在双曲线的左支上，所以. 所以. 由. 整理得. 两边平方得： 解得或（由，故舍去），所以. 所以直线的方程为或.……（18分） 21．（18分）已知函数，为坐标平面上一点．若函数的图象上存在与不同的一点，使得直线是函数在点处的切线，则称点具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由： (2)若，证明：除原点外函数的图象上所有的点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“” ． 【详解】（1）点具有性质，理由如下： 在函数上，，则， 在点处的切线方程斜率， 得切线方程为，即， 将代入，，或．． 当时，直线为，切线方程也为， 即函数的图象上存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线，点具有性质． 当时，直线为，切线方程为， 即函数的图象上存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线，点具有性质．……（6分） （2）由，得， 设， 所以函数在点处的切线方程为， 又点在切线上，所以， 整理得， 当时，，即点都为原点，不符合性质； 当时，，即存在与不同的一点， 使得直线是函数在点处的切线.……（12分） （3）设，函数的导数为， 所以在点Q处的切线方程为即． 必要性：若点具有性质，则点需要满足． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得最小值． 与是不同的点，，即． 充分性：当时，令 当时，，又，方程必然有解， 即存在使得直线是函数的图象的切线，具有性质. 综上所述，点具有性质的充要条件是．……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷 数学·考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一第1-2章+选修二第5章坐标平面上的直线、圆锥曲线、导数及其应用。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若直线与垂直，则实数_______________ 2．抛物线的准线方程_________． 3．椭圆的离心率为______. 4．设函数，则________． 5．已知函数，则的单调减区间是__________. 6．已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 7．已知倾斜角为的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为_____ 8．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为________． 9．若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 10．已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为______． 11．已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 12．已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 14．“”是直线与直线平行的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存在上的点Q（不重合），使得：（1）直线与的斜率乘积为定值；（2）线段的中点M在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（   ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 16．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 18．（14分）已知直线，点. (1)直线关于点对称的直线的方程： (2)以为圆心，3为半径作圆，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 19．（14分）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 20．（18分）在平面直角坐标系中，已知，双曲线的焦距为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线的斜率为交于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 21．（18分）已知函数，为坐标平面上一点．若函数的图象上存在与不同的一点，使得直线是函数在点处的切线，则称点具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由： (2)若，证明：除原点外函数的图象上所有的点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“” ． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $