专题06不等式及解一元一次不等式 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

专题06 不等式及解一元一次不等式 （3知识点+12题型+过关检测） 【题型1 不等式的定义】 3 【题型2 不等式的解集】 3 【题型3 不等式的性质】 3 【题型4 一元一次不等式的定义】 4 【题型5 求一元一次不等式的解集】 4 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 5 【题型7 在数轴上表示不等式的解集】 5 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 5 【题型9 解|x|≥a型的不等式】 6 【题型10 列一元一次不等式】 7 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】 7 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】 8 1. 理解不等式、不等式的解集、一元一次不等式的定义，能准确区分不等式与等式、一元一次不等式与其他不等式。 2. 掌握不等式的三条基本性质，能熟练运用性质判断不等式的变形是否正确、求解简单不等式。 3. 掌握一元一次不等式的解法，能规范求出不等式的解集、整数解，会在数轴上表示不等式的解集，理解解集的几何意义。03 知识•梳理 7.1 认识不等式 核心知识点 1. 不等式的定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：不等号两边必须是整式，不含未知数的不等式也成立（如3>2）。 2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（一个不等式有无数个解）。 3. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。解集是一个范围，而不是单个或几个解。 4. 数轴表示解集的规则：① 大于向右画，小于向左画；② 不等号为≥、≤时，用实心圆点（表示包含这个点）；③ 不等号为>、<时，用空心圆圈（表示不包含这个点）。 7.2 不等式的基本性质 核心知识点 1. 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变（若a>b，则a±c>b±c）。 2. 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（若a>b，c>0，则ac>bc、）。 3. 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（若a>b，c<0，则ac<bc、）（培优易错重点）。 4. 易错提醒：① 性质3是重点易错点，乘除负数必须变号；② 不等式两边不能同时乘除0（无意义）；③ 性质仅适用于“同一个数（或式子）”。 7.3 解一元一次不等式 核心知识点 1. 一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式（核心：一个未知数、次数1、整式）。 2. 解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程类似）：① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 系数化为1（注意：乘除负数时，不等号方向改变）。 3. 整数解：在不等式的解集中，所有整数的集合（需结合解集范围，不遗漏正负整数、0）。 4. |x|≥a型不等式的解集（培优重点）：当a>0时，解集为x≥a或x≤-a；当a=0时，解集为全体实数；当a<0时，解集为空集（无解）。 5. 列一元一次不等式的关键：找准不等关系（关键词：大于、小于、不大于、不小于、至少、最多、超过、不足等），设未知数，根据不等关系列不等式。 常见易错点汇总（培优必避坑） 易错类型 易错表现 性质应用错误 乘除负数不变号；两边同时乘除0 数轴表示错误 实心/空心圆点混淆；左右方向画反 解不等式步骤错误 去分母漏乘、移项不变号、系数化为1出错 整数解遗漏 忽略负数、0；未结合解集范围筛选 实际问题列不等式错误 混淆“≥”与“≤”；找错不等关系 培优重点提醒：1. 不等式性质3是高频易错点，解方程与解不等式的核心区别的是“系数化为1时，乘除负数变号”；2. 数轴表示解集是中考、培优常考题型，务必牢记实心/空心、左右方向的规则；3. 实际问题需检验解的合理性，符合生活、几何实际意义。 04 题型•汇总 【题型1 不等式的定义】 核心：紧扣“不等号、整式”两个关键点，判断式子是否含不等号，两边是否为整式。步骤：① 看是否有不等号（>、<、≥、≤、≠）；② 检查两边是否为整式；③ 符合则为不等式，否则不是。关键提醒：不含未知数的不等式（如5≠3）也成立。 【典例1】．给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 跟随训练1．下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 不等式的解集】 核心：区分“解”与“解集”，解集是所有解的范围。步骤：① 判断单个值是否为解（代入验证）；② 明确解集的表示方法（文字、符号）；③ 结合数轴理解解集范围。关键提醒：解集是范围，不是单个值。 【典例2】．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 跟随训练2．在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有________个． 【题型3 不等式的性质】 核心：牢记三条性质，重点关注性质3（乘除负数变号）。步骤：① 判断变形的依据（哪条性质）；② 检查是否乘除负数（是则变号）；③ 验证变形前后是否成立。关键提醒：乘除负数必须变号，不可遗漏。 【典例3】．若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，a、b分别表示两个吉祥物的身高，c表示台阶的高度．下面两位小朋友的对话体现的数学原理是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 跟随训练2．下列不等式的变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型4 一元一次不等式的定义】 核心：紧扣“一个未知数、次数1、整式”三个条件，缺一不可。步骤：① 看是否只含一个未知数；② 检查未知数次数是否为1；③ 确认不等号两边是否为整式；④ 综合判断。关键提醒：未知数次数必须是1，不能是0或其他次数。 【典例4】．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练2．已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【题型5 求一元一次不等式的解集】 核心：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤，重点注意系数化为1时变号。步骤：① 按步骤规范变形；② 系数化为1时，若乘除负数，不等号变向；③ 整理解集，用符号表示。关键提醒：去分母漏乘、移项不变号是常见错误。 【典例5】．解不等式． 跟随训练1．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 跟随训练2．解不等式： (1) (2) 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 核心：先求不等式的解集，再筛选解集中的所有整数。步骤：① 解不等式，得出解集；② 列出解集中的所有整数（包括负整数、0）；③ 检验整数是否都满足不等式。关键提醒：不遗漏边界附近的整数，注意解集的包含性。 【典例6】．能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练1．不等式的所有正整数解之和为______． 跟随训练2．求不等式的正整数解． 【题型7 在数轴上表示不等式的解集】 核心：牢记“右大左小、实心含点、空心不含点”规则。步骤：① 确定解集的方向（大于向右、小于向左）；② 判断边界点（≥、≤用实心，>、<用空心）；③ 在数轴上画出对应射线。关键提醒：方向和实心/空心不能混淆。 【典例7】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．解不等式，并在数轴上表示出解集． 跟随训练2．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 核心：结合解集范围，找最大/最小整数解、正整数解等。步骤：① 解不等式，明确解集范围；② 结合题意（如正整数、非负整数）筛选；③ 找出最值（无范围则无最值）。关键提醒：最值需在解集范围内，结合实际意义判断。 【典例8】．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 跟随训练1．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 跟随训练2．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【题型9 解|x|≥a型的不等式】 核心：分情况讨论，牢记a的取值对解集的影响。步骤：① 判断a的正负（a>0、a=0、a<0）；② 按规律写解集（a>0时x≥a或x≤-a，a=0时全体实数，a<0时无解）；③ 检验解集合理性。关键提醒：不要遗漏“x≤-a”的情况。 【典例9】．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 跟随训练2．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【题型10 列一元一次不等式】 核心：找准不等关系，抓住关键词，规范设元。步骤：① 审题，圈画不等关键词（至少、最多等）；② 设未知数；③ 根据不等关系，列出一元一次不等式。关键提醒：区分“≥”与“≤”，避免不等关系混淆。 【典例10】．某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（    ）． A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线 跟随训练1．将“与3的和不小于0”用不等式表示为______． 跟随训练2．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】 核心：按“审题→找不等关系→设元→列不等式→求解→检验”步骤，重点检验解的实际意义。步骤：① 梳理已知量、未知量，找不等关系；② 设元，列不等式；③ 解不等式，筛选符合实际的解；④ 作答。关键提醒：检验解是否符合生活实际（如人数、数量为非负整数）。 【典例11】．某体育场馆为保障足球赛事顺利进行，计划采购甲、乙两类设备，助力场地修复．已知采购2台甲设备和1台乙设备需13万元，采购1台甲设备和3台乙设备需19万元． (1)求甲设备和乙设备的单价分别是多少万元？ (2)该体育场馆计划采购甲、乙两种设备共计6台，且投入资金不超过28万元，请问至少需采购甲设备多少台？ 跟随训练1．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 跟随训练2．为了更好地清洁某县城环境卫生，该县政府决定购买10辆公路清扫车．现有甲、乙两种型号的公路清扫车，其中每辆的价格，月处理垃圾量如下表；经调查，购买2辆甲型公路清扫车比购买3辆乙型公路清扫车少3万元，购买3辆甲型公路清扫车和购买4辆乙型公路清扫车的费用相同． 甲型 乙型 价格（万元/辆） 处理垃圾量（吨/月） 250 150 (1)求甲型和乙型两种公路清扫车的单价； (2)经预算，该县政府购买公路清扫车的资金不超过101万元． （i）求该县政府所有购买方案；（两种型号的车都要购买） （ii）若每月要求处理该县城的垃圾量不低于1700吨，为了节约资金，请你为县政府设计一种最省钱的购买方案． 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】 核心：结合几何公式（周长、面积等），提炼不等关系。步骤：① 明确几何图形类型，套用对应公式；② 找出不等关系（如边长为正、周长不超过某值）；③ 设元，列不等式，求解检验；④ 作答。关键提醒：几何量（边长、面积）为非负数，符合几何意义。 【典例12】．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 跟随训练1．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 跟随训练2．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 05 过关•检测 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数多个 D．不等式的负整数解是有限的 5．现用甲、乙两种运输汽车共辆，将吨抗旱物资一次性运往某地区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，则甲种运输车至少应安排（    ） A．7辆 B．6辆 C．5辆 D．4辆 6．在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，操作人员跑步的速度是．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（　　） A． B． C． D． 7．用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为__________． 8．若实数a，b同时满足，则的值为________． 9．为了迎接“母亲节”的到来，酒泉鑫利超市准备开展打折促销活动，现在有某件商品进价200元，标价320元出售，商场规定打折销售后利润率不能少于，若这种商品最低打x折．可列不等式为_______． 10．西安市春季某日的最高气温是，最低气温是，则西安当日气温的变化范围是______． 11．高速公路某收费站出城方向有编号分别为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口20分钟通过小客车的数量都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量如下表所示： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数/辆 125 150 140 170 115 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是________． 12．解不等式：． 13．按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 14．若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，求的值． 15．按要求解决问题： (1)如图，数轴上点A、B表示的数为a、b，且，化简． (2)下面是小茜同学解不等式的过程． 解：…………第一步 …………… 第二步 ……………第三步 ……………………第四步 ．………………………第五步 ①第二步的变形依据是 （填运算律）； ②小茜同学第 步开始出错，错误原因是 ； ③求出不等式正确的解集． 16．学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话： (1)根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价； (2)由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 17．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 18．学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元． (1)该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套． (2)该社团计划再次采购两种套件共套，若采购总经费不超过元，则智能传感器套件最多能采购多少套？ 19．请根据下表信息，回答下列问题： 问题背景 某汽车4S店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两种型号的新能源汽车，并将购进的两种型号的新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元，2万元作为定价售卖． 素材一 从厂家购进3辆A型新能源汽车与购进4辆B型新能源汽车的费用相同． 素材二 从厂家购进4辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车共需花费125万元． 问题解决 任务一 求两种型号的新能源汽车的进价； 任务二 要使这240万元正好用完，且将购进的两种型号的新能源汽车按照对应定价全部售出并获利最多，应如何制定购进方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 不等式及解一元一次不等式 （知识点+题型+过关检测） 【题型1 不等式的定义】 2 【题型2 不等式的解集】 4 【题型3 不等式的性质】 5 【题型4 一元一次不等式的定义】 6 【题型5 求一元一次不等式的解集】 7 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 8 【题型7 在数轴上表示不等式的解集】 9 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 11 【题型9 解|x|≥a型的不等式】 12 【题型10 列一元一次不等式】 15 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】 16 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】 19 1. 理解不等式、不等式的解集、一元一次不等式的定义，能准确区分不等式与等式、一元一次不等式与其他不等式。 2. 掌握不等式的三条基本性质，能熟练运用性质判断不等式的变形是否正确、求解简单不等式。 3. 掌握一元一次不等式的解法，能规范求出不等式的解集、整数解，会在数轴上表示不等式的解集，理解解集的几何意义。03 知识•梳理 7.1 认识不等式 核心知识点 1. 不等式的定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：不等号两边必须是整式，不含未知数的不等式也成立（如3>2）。 2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（一个不等式有无数个解）。 3. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。解集是一个范围，而不是单个或几个解。 4. 数轴表示解集的规则：① 大于向右画，小于向左画；② 不等号为≥、≤时，用实心圆点（表示包含这个点）；③ 不等号为>、<时，用空心圆圈（表示不包含这个点）。 7.2 不等式的基本性质 核心知识点 1. 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变（若a>b，则a±c>b±c）。 2. 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（若a>b，c>0，则ac>bc、）。 3. 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（若a>b，c<0，则ac<bc、）（培优易错重点）。 4. 易错提醒：① 性质3是重点易错点，乘除负数必须变号；② 不等式两边不能同时乘除0（无意义）；③ 性质仅适用于“同一个数（或式子）”。 7.3 解一元一次不等式 核心知识点 1. 一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式（核心：一个未知数、次数1、整式）。 2. 解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程类似）：① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 系数化为1（注意：乘除负数时，不等号方向改变）。 3. 整数解：在不等式的解集中，所有整数的集合（需结合解集范围，不遗漏正负整数、0）。 4. |x|≥a型不等式的解集（培优重点）：当a>0时，解集为x≥a或x≤-a；当a=0时，解集为全体实数；当a<0时，解集为空集（无解）。 5. 列一元一次不等式的关键：找准不等关系（关键词：大于、小于、不大于、不小于、至少、最多、超过、不足等），设未知数，根据不等关系列不等式。 常见易错点汇总（培优必避坑） 易错类型 易错表现 性质应用错误 乘除负数不变号；两边同时乘除0 数轴表示错误 实心/空心圆点混淆；左右方向画反 解不等式步骤错误 去分母漏乘、移项不变号、系数化为1出错 整数解遗漏 忽略负数、0；未结合解集范围筛选 实际问题列不等式错误 混淆“≥”与“≤”；找错不等关系 培优重点提醒：1. 不等式性质3是高频易错点，解方程与解不等式的核心区别的是“系数化为1时，乘除负数变号”；2. 数轴表示解集是中考、培优常考题型，务必牢记实心/空心、左右方向的规则；3. 实际问题需检验解的合理性，符合生活、几何实际意义。 04 题型•汇总 【题型1 不等式的定义】 核心：紧扣“不等号、整式”两个关键点，判断式子是否含不等号，两边是否为整式。步骤：① 看是否有不等号（>、<、≥、≤、≠）；② 检查两边是否为整式；③ 符合则为不等式，否则不是。关键提醒：不含未知数的不等式（如5≠3）也成立。 【典例1】．给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：不等式有①；②；⑤，共3个． 跟随训练1．下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 跟随训练2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【题型2 不等式的解集】 核心：区分“解”与“解集”，解集是所有解的范围。步骤：① 判断单个值是否为解（代入验证）；② 明确解集的表示方法（文字、符号）；③ 结合数轴理解解集范围。关键提醒：解集是范围，不是单个值。 【典例2】．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 跟随训练1．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 跟随训练2．在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式的解集，然后在，，，，这五个数中找出符合条件的解，即可得解． 【详解】解：∵， 解得， 在，，，，这五个数中， 是不等式解的有，，，共个． 故答案为：． 【题型3 不等式的性质】 核心：牢记三条性质，重点关注性质3（乘除负数变号）。步骤：① 判断变形的依据（哪条性质）；② 检查是否乘除负数（是则变号）；③ 验证变形前后是否成立。关键提醒：乘除负数必须变号，不可遗漏。 【典例3】．若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质，根据已知条件，判断选项中变形是否正确即可． 【详解】A项：原式，若两边加1，应为，但选项中右边为，加数不同，无法直接推导，故A错误； B项：原式，两边减1，根据不等式两边减同一数，方向不变，得，故B正确； C项：原式，两边乘2得，但选项中为，若，，则，，此时成立；但若，，则，，不成立，故C错误； D项：若，则，根据不等式两边乘正数，方向不变，得；但若，则两边均为0，不成立，题目未限定，故D错误． 跟随训练1．如图，a、b分别表示两个吉祥物的身高，c表示台阶的高度．下面两位小朋友的对话体现的数学原理是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】由题意可得，该问题是应用了不等式的性质1． 【详解】解：由题意得，两个吉祥物站在台阶上的高度分别是和， ∵， 由不等式的性质1，可得． 跟随训练2．下列不等式的变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：若，则，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项符合题意； 【题型4 一元一次不等式的定义】 核心：紧扣“一个未知数、次数1、整式”三个条件，缺一不可。步骤：① 看是否只含一个未知数；② 检查未知数次数是否为1；③ 确认不等号两边是否为整式；④ 综合判断。关键提醒：未知数次数必须是1，不能是0或其他次数。 【典例4】．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合要求； B、不是一元一次不等式，不符合要求； C、不是一元一次不等式，不符合要求； D、 不是一元一次不等式，不符合要求； 跟随训练1．下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 跟随训练2．已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ． 【题型5 求一元一次不等式的解集】 核心：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤，重点注意系数化为1时变号。步骤：① 按步骤规范变形；② 系数化为1时，若乘除负数，不等号变向；③ 整理解集，用符号表示。关键提醒：去分母漏乘、移项不变号是常见错误。 【典例5】．解不等式． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 跟随训练1．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据解不等式的基本步骤求解即可； 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得， 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 跟随训练2．解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 核心：先求不等式的解集，再筛选解集中的所有整数。步骤：① 解不等式，得出解集；② 列出解集中的所有整数（包括负整数、0）；③ 检验整数是否都满足不等式。关键提醒：不遗漏边界附近的整数，注意解集的包含性。 【典例6】．能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解： ， ， ， ， ∴ 满足条件的负整数只有，共个． 跟随训练1．不等式的所有正整数解之和为______． 【答案】 【分析】先解得不等式的解集为，则不等式的所有正整数解为，，，然后把它们相加即可． 【详解】解：解不等式， 得， 所以不等式的所有正整数解为，，， 所以所有正整数解之和． 跟随训练2．求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴正整数解为，． 【题型7 在数轴上表示不等式的解集】 核心：牢记“右大左小、实心含点、空心不含点”规则。步骤：① 确定解集的方向（大于向右、小于向左）；② 判断边界点（≥、≤用实心，>、<用空心）；③ 在数轴上画出对应射线。关键提醒：方向和实心/空心不能混淆。 【典例7】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“小于向左，大于向右”且“边界点属于解集为实心点，不属于解集即为空心圆”在数轴上表示（写出解集）即可． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： ． 跟随训练1．解不等式，并在数轴上表示出解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，再数形结合用数轴表示不等式解集即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如下． 跟随训练2．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为，得． 在数轴上表示如图所示： 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 核心：结合解集范围，找最大/最小整数解、正整数解等。步骤：① 解不等式，明确解集范围；② 结合题意（如正整数、非负整数）筛选；③ 找出最值（无范围则无最值）。关键提醒：最值需在解集范围内，结合实际意义判断。 【典例8】．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 跟随训练1．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 跟随训练2．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 【题型9 解|x|≥a型的不等式】 核心：分情况讨论，牢记a的取值对解集的影响。步骤：① 判断a的正负（a>0、a=0、a<0）；② 按规律写解集（a>0时x≥a或x≤-a，a=0时全体实数，a<0时无解）；③ 检验解集合理性。关键提醒：不要遗漏“x≤-a”的情况。 【典例9】．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 跟随训练1．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 跟随训练2．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 【题型10 列一元一次不等式】 核心：找准不等关系，抓住关键词，规范设元。步骤：① 审题，圈画不等关键词（至少、最多等）；② 设未知数；③ 根据不等关系，列出一元一次不等式。关键提醒：区分“≥”与“≤”，避免不等关系混淆。 【典例10】．某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（    ）． A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线 【答案】D 【分析】本题考查列不等式，需根据“≥”的含义结合标准线判断横线处的描述． 【详解】解：∵“≥”在实际情境中表示“不低于”（即大于或等于）， 又∵不等式为，其中是标准线， ∴横线处应填“不低于标准线”， ∴故选：． 跟随训练1．将“与3的和不小于0”用不等式表示为______． 【答案】 【分析】根据题意找准不等关系，即可列出一元一次不等式. 【详解】解：由题意得： 跟随训练2．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【详解】（1）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． （2）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】 核心：按“审题→找不等关系→设元→列不等式→求解→检验”步骤，重点检验解的实际意义。步骤：① 梳理已知量、未知量，找不等关系；② 设元，列不等式；③ 解不等式，筛选符合实际的解；④ 作答。关键提醒：检验解是否符合生活实际（如人数、数量为非负整数）。 【典例11】．某体育场馆为保障足球赛事顺利进行，计划采购甲、乙两类设备，助力场地修复．已知采购2台甲设备和1台乙设备需13万元，采购1台甲设备和3台乙设备需19万元． (1)求甲设备和乙设备的单价分别是多少万元？ (2)该体育场馆计划采购甲、乙两种设备共计6台，且投入资金不超过28万元，请问至少需采购甲设备多少台？ 【答案】(1)甲设备的单价为4万元，乙设备的单价为5万元； (2)至少需采购甲设备2台． 【分析】（1）设甲设备的单价为万元，乙设备的单价为万元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设采购甲设备台，则采购乙设备台，根据题意列出不等式即可求解 【详解】（1）解：设甲设备的单价为万元，乙设备的单价为万元．     根据题意，得 ， 解得， 答：甲设备的单价为4万元，乙设备的单价为5万元； （2）解：设采购甲设备台，则采购乙设备台，     得     解得． 答：至少需采购甲设备2台． 跟随训练1．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 【答案】(1)， (2)当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 【分析】（1）根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，列出一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； 按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； （2）解：由题意，令，解得． 又， 当时，选择甲厂家更划算． 答：当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 跟随训练2．为了更好地清洁某县城环境卫生，该县政府决定购买10辆公路清扫车．现有甲、乙两种型号的公路清扫车，其中每辆的价格，月处理垃圾量如下表；经调查，购买2辆甲型公路清扫车比购买3辆乙型公路清扫车少3万元，购买3辆甲型公路清扫车和购买4辆乙型公路清扫车的费用相同． 甲型 乙型 价格（万元/辆） 处理垃圾量（吨/月） 250 150 (1)求甲型和乙型两种公路清扫车的单价； (2)经预算，该县政府购买公路清扫车的资金不超过101万元． （i）求该县政府所有购买方案；（两种型号的车都要购买） （ii）若每月要求处理该县城的垃圾量不低于1700吨，为了节约资金，请你为县政府设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)甲型公路清扫车的单价为12万元，乙型公路清扫车的单价为9万元； (2)（i）共有三种购买方案，见解析；（ii）应购买甲型公路清扫车2辆，乙型公路清扫车8辆． 【分析】（1）根据购买2辆甲型公路清扫车比购买3辆乙型公路清扫车少3万元，购买3辆甲型公路清扫车和购买4辆乙型公路清扫车的费用相同，列出方程组，解方程组即可； （2）（i）设购买甲型公路清扫车辆，则购买乙型公路清扫车辆，根据购买公路清扫车的资金不超过101万元，列出不等式，解不等式即可； （ii）根据每月要求处理该县城的垃圾量不低于1700吨，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：甲型公路清扫车的单价为12万元，乙型公路清扫车的单价为9万元； （2）解：（i）设购买甲型公路清扫车辆，则购买乙型公路清扫车辆， 根据题意，得， 解得． 又因为取正整数，所以取1，2，3， 所以该县政府共有三种购买方案： 方案1：购买甲型公路清扫车1辆，乙型公路清扫车9辆； 方案2：购买甲型公路清扫车2辆，乙型公路清扫车8辆； 方案3：购买甲型公路清扫车3辆，乙型公路清扫车7辆； （ii）根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数，所以可以为2，3， 当时，购买资金为（万元）， 当时，购买资金为（万元）， 因为，所以为了节约资金，应购买甲型公路清扫车2辆，乙型公路清扫车8辆． 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】 核心：结合几何公式（周长、面积等），提炼不等关系。步骤：① 明确几何图形类型，套用对应公式；② 找出不等关系（如边长为正、周长不超过某值）；③ 设元，列不等式，求解检验；④ 作答。关键提醒：几何量（边长、面积）为非负数，符合几何意义。 【典例12】．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 跟随训练1．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 跟随训练2．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 05 过关•检测 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 2．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则且，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】A、∵， ∴， ∴，， ∴， ∴A正确；     B、由A知， 当时，， ∴B不正确；     C、由A知， 当时，， ∴， ∴C不正确； D、由A知， 当时，， ∴D不正确． 故选：A． 3．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，即可得解． 【详解】解：根据题意可知： ， 在数轴上表示如下： 4．下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数多个 D．不等式的负整数解是有限的 【答案】B 【分析】正确解出不等式的解集，就可以进行判断． 【详解】解：A、不等式两边同时除以，得，故选项不符合题意； B、不等式的解集为，因此不是不等式的一个解，故选项符合题意； C、不等式的整数解有无数多个正确，故选项不符合题意； D、不等式的负整数解有，，，，，，，，，共9个，故选项不符合题意． 5．现用甲、乙两种运输汽车共辆，将吨抗旱物资一次性运往某地区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，则甲种运输车至少应安排（    ） A．7辆 B．6辆 C．5辆 D．4辆 【答案】B 【分析】设甲种运输车安排x辆，则乙种运输车安排辆，根据题意找出不等关系列出不等式． 【详解】解：设甲种运输车安排x辆，则乙种运输车安排辆， 根据题意得，， 解得：， 甲种运输车至少安排6辆车． 6．在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，操作人员跑步的速度是．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据炸药爆炸前跑到以外的安全区域，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】设导火线的长度为， 由题意可得，， 解得， 导火线的长度要超过． 7．用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为__________． 【答案】 【分析】的5倍与3的差，表示为，不小于表示的意思是大于或等于，用符号“”表示，从而可得出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为． 8．若实数a，b同时满足，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据题意得出，再分四种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 解得：， 当，时，，此方程组无解； 当，时，，解得：， ∴； 当，时，，解得：，此解不符合题意舍去； 当，时，，此方程组无解； 综上，． 9．为了迎接“母亲节”的到来，酒泉鑫利超市准备开展打折促销活动，现在有某件商品进价200元，标价320元出售，商场规定打折销售后利润率不能少于，若这种商品最低打x折．可列不等式为_______． 【答案】 【分析】根据利润率不低于，即利润率大于等于，结合利润、售价、进价的关系，找到不等关系即可列出不等式． 【详解】解：已知这种商品最低打折， 商品打折销售时，实际售价为标价乘以，即， 商品的利润为实际售价减去进价，即， 根据题意，打折后利润率不低于，即利润不低于进价的， 因此可得不等式：． 10．西安市春季某日的最高气温是，最低气温是，则西安当日气温的变化范围是______． 【答案】 【分析】根据当日最高气温与最低气温的定义，确定气温的取值范围，气温不低于最低气温，不高于最高气温，据此列出不等式得到结果. 【详解】解：由题意， 即当日气温的变化范围是. 11．高速公路某收费站出城方向有编号分别为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口20分钟通过小客车的数量都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量如下表所示： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数/辆 125 150 140 170 115 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是________． 【答案】B 【分析】根据表格数据得到五个出口每20分钟通过小客车数量的关系式，通过作差比较各出口通过数量的大小，即可得到结果． 【详解】解：设编号为，，，，的五个收费出口每20分钟通过小客车的数量分别为，，，，． 根据题意得， 由，得，则． 由，得，则． 由，得，则． 由，得，则． 由，得，则． 综上可得， 因此每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是． 12．解不等式：． 【答案】 【分析】按去括号、移项、合并同类项、系数化为进行计算即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 13．按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【答案】(1) (2)，负整数解：，， 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴负整数解有：，，． 14．若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，求的值． 【答案】 【分析】分别求出两不等式的解集，再根据两不等式的解集相同，可得关于a的方程，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， ∵关于的不等式的解集与不等式的解集相同， ∴， 解得：． 15．按要求解决问题： (1)如图，数轴上点A、B表示的数为a、b，且，化简． (2)下面是小茜同学解不等式的过程． 解：…………第一步 …………… 第二步 ……………第三步 ……………………第四步 ．………………………第五步 ①第二步的变形依据是 （填运算律）； ②小茜同学第 步开始出错，错误原因是 ； ③求出不等式正确的解集． 【答案】(1) (2)①乘法分配律；②五；不等式两边除以同一个负数时不等号方向没有改变；③该不等式的解集应为 【分析】（1）根据点A、B在数轴上的位置得出的取值范围，再判断出和，从而可化简． （2）根据解不等式的步骤解答即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，， ∴，， ∴； （2）解：①第二步的变形依据是乘法分配律； ②小茜同学第五步开始出错，错误原因是不等式两边除以同一个负数时不等号方向没有改变； ③∵ ∴ 即该不等式的解集应为． 16．学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话： (1)根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价； (2)由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 【答案】(1)排球的单价为元，跳绳的单价为20元 (2)该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意可以得到，结合的取值范围和、为正整数的条件，求出和的值，从而得到购进方案． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意得： ， 解得， 答：排球的单价为元，跳绳的单价为元； （2）解：根据题意得：， 即， 由于、为正整数， 则， 解得， 由于，且是3的倍数， 则的值可以为39、42， 当时，， 当时，， 答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根． 17．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上数学书有60本，语文书有30本 (2)90 【分析】（1）利用一元一次方程进行求解； （2）利用一元一次不等式进行求解． 【详解】（1）解：设数学书有本，则语文书有本，根据题意得， ， 解得， （本）， 答：书架上数学书有60本，语文书有30本； （2）解：数学书还可以摆本，根据题意得， ， 解得， 答：数学书最多还可以摆90本． 18．学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元． (1)该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套． (2)该社团计划再次采购两种套件共套，若采购总经费不超过元，则智能传感器套件最多能采购多少套？ 【答案】(1)采购简易电路套件套，智能传感器套件套 (2)套 【分析】（1）设采购简易电路套件套，智能传感器套件套，可列关于的一元一次方程，解方程即可求出结果； （2）设智能传感器套件最多能采购套，根据采购总经费不超过元，列一元一次不等式即可求出结果． 【详解】（1）解：设采购简易电路套件套，智能传感器套件套， 根据题意可得：， 解得：， （套）， 答：采购简易电路套件套，智能传感器套件套； （2）解：设智能传感器套件最多能采购套， 根据题意可得：， 解得：， 答：智能传感器套件最多能采购套． 19．请根据下表信息，回答下列问题： 问题背景 某汽车4S店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两种型号的新能源汽车，并将购进的两种型号的新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元，2万元作为定价售卖． 素材一 从厂家购进3辆A型新能源汽车与购进4辆B型新能源汽车的费用相同． 素材二 从厂家购进4辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车共需花费125万元． 问题解决 任务一 求两种型号的新能源汽车的进价； 任务二 要使这240万元正好用完，且将购进的两种型号的新能源汽车按照对应定价全部售出并获利最多，应如何制定购进方案． 【答案】 任务一：A型新能源汽车每辆进价为20万元，B型新能源汽车每辆进价为15万元； 任务二：购进12辆型汽车时获利最多． 【分析】任务一：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，列出二元一次方程组求解即可； 任务二：设型汽车购进辆，型汽车购进辆，得到和的关系式，表示出获利的代数式，根据的范围和实际意义求解即可． 【详解】解：任务一：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，则有 ， 解得， ∴型汽车进价为万元，型汽车进价为万元； 任务二：设型汽车购进辆，型汽车购进辆，则有 ， 化简得， ∴， ∴； 所有车辆全部售出获利：， ∴越大，获利越多， ∴当时，获利最多， 此时， ∴购进12辆型汽车时获利最多． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $