专题7.5 一元一次不等式组的应用（举一反三讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式组的应用这一核心知识点，系统梳理经济、行程、工程等8类实际问题，通过例题与变式构建从概念理解到综合应用的学习支架，衔接不等式解法与现实问题解决。 该资料以真实生活情境为载体，如购物、阶梯收费等，引导学生用数学眼光观察问题，通过列不等式组推理求解培养数学思维，用符号语言表达数量关系发展数学语言。课中助力教师实例教学，课后变式练习帮助学生查漏补缺。

专题7.5 一元一次不等式组的应用（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 经济问题】 1 【题型2 行程问题】 6 【题型3 工程问题】 10 【题型4 分配问题】 14 【题型5 阶梯收费问题】 18 【题型6 和差倍分问题】 22 【题型7 活动素材问题】 26 【题型8 方案选择问题】 34 【题型1 经济问题】 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 (2)1390元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【变式1-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共计需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 0.2 0.5 制作一件产品所获利润（元） 60 3 20 (1)当时，设展板的数量为x个，横幅的数量为y个． ①请直接写出y与x的关系式___________；（用含x的式子表示） ②若三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，求一共有几种制作方案． (2)若制作三种产品所获利润为950元，请直接写出m的值． 【答案】(1)①，②4种 (2)或6 【分析】本题主要考查二元一次方程以及一元一次不等式的实际应用，根据数量关系，列出方程以及不等式组是解题的关键． （1）①由宣传册的数量是展板数量的m倍，可得宣传册的数量是，根据制作三种产品共计需要25小时，即可得出关系式；②结合①中结论，根据三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，建立一元一次不等式组求解即可； （2）设展板数量为a，横幅数量为b，则宣传册数量为，同理（1）得：，根据制作三种产品所获利润为950元，建立关于二元一次方程，结合a，m取正整数，即可解答． 【详解】（1）解：①设展板的数量为x个，横幅的数量为y个，则宣传册的数量是， 根据题意得：， 则； ②由①知， 根据题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴的值为， 则一共有种制作方案； （2）解：设展板数量为a，横幅数量为b，则宣传册数量为， 同理（1）得：； 根据题意：，即， ∴， ∵是正整数，且， ∴或， ∴m的值为或． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元； (2)共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆的进价为万元，B型汽车每辆的进价为万元，根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元建立方程组求解即可； （2）设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆，根据购车资金不超过380万元，购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍且销售完这两种汽车后的利润不少于83万元建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为万元，B型汽车每辆的进价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元； （2）解：设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆． 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴m的值为3或4或5； ∴共有三种购买方案，利润为万元 当时，利润为万元； 当时，利润为万元； 当时，利润为万元； 答：共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高． 【题型2 行程问题】 【例2】甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时 (2) (3)当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是 【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度； （2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围； （3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解． 【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米， ∴甲行驶的速度是（千米/时）．                     ∵乙的速度是甲的3倍， ∴乙行驶的速度是（千米/时）． 答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时． （2）由题意，得， 解之，得． 答：所求的取值范围是． （3）∵， ∴由（2）可知，当时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．                                         若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中， 则，即，此不等式组无解．         若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中， 则有， 解之，得． 答：当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，题中条件较多，要仔细理解题干，抽象出不等式组． 【变式2-1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【题型3 工程问题】 【例3】在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元． (1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？ (2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围． 【答案】(1)建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元； (2)A种户型至少可以建100套，最多可以建300套． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用： （1）设建成一套A种户型住房所需的资金是a元，一套B种户型住房所需的资金是b元，列出方程组即可解决问题． （2）设A种户型有x套，则B种户型有套．列出不等式组即可解决问题． 【详解】（1）解：设建成一套A种户型住房所需的资金是a万元，一套B种户型住房所需的资金是b万元， 根据题意得：， 解得：， 答：建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元； （2）解：①设A种户型可以建x套，则B种户型可以建套， 根据题意得：， 解得：， 答：A种户型至少可以建100套，最多可以建300套． 【变式3-1】某工程用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． （1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，有哪几种生产方案？ （2）若有正方形纸板40张，长方形纸板张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知．求的值． 【答案】（1）共有三种生产方案，方案一：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案二：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案三：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个（2）a＝70，65． 【分析】（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒（100−x）个．根据生产竖式纸盒用的正方形纸板＋生产横式纸盒用的正方形纸板≤162张；生产竖式纸盒用的长方形纸板＋生产横式纸盒用的长方形纸板≤340张．由此，可得出不等式组，求出自变量的取值范围，然后得出符合条件的方案． （2）设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出y的取值范围即可． 【详解】（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒（100−x）个．由题意得 ， 解得38≤x≤40． 答：共有三种生产方案，方案一：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个； 方案二：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个； 方案三：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个． （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得   解得y＝ ∵， ∴89＜160−a＜97 ∵y是整数， ∴160−a＝90或95． 此时或 ∴a＝70，65． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． 【变式3-2】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了台甲型和台乙型污水处理设备，共花费资金万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水吨，每台乙型设备每月能处理污水吨．今年该厂二期工程即将完成产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于吨污水． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元； （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． 【答案】（1）一台甲型设备的价格为万元，一台乙型设备的价格为万元；（2）所有购买方案有四种，分别为方案一：甲型台，乙型台；方案二：甲型台，乙型台；方案三：甲型台，乙型台；方案四：甲型台，乙型台． 【分析】（1）设每台甲型设备的价格为万元，则每台乙型设备的价格为万元，根据购买3台甲型和2台乙型污水处理设备共花费资金54万元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买台甲型设备，则购买（）台乙型设备，根据总价=单价×数量结合处理污水的总量=200×购买甲型设备的台数+160×购买乙型设备的台数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）设一台甲型设备的价格为万元，则每台乙型设备的价格为万元， 由题意，得：， 解得， ， 答：一台甲型设备的价格为万元，一台乙型设备的价格为万元； （2）设二期工程中，购买台甲型设备，则购买（）台乙型设备， 由题意，得： 解得． 又由题意，知为正整数，因此，，，． 答：所有购买方案有四种，分别为： 方案一：甲型台，乙型台； 方案二：甲型台，乙型台； 方案三：甲型台，乙型台； 方案四：甲型台，乙型台． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【变式3-3】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元；实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水，请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． （3）经测算：每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1．5万元．在（2）中的方案中，哪种购买方案使得设备的各种维护费和电费总费用最低？ 【答案】（1）每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为9万元；（2）共有4种购买方案．方案1：购买1台甲型设备、7台乙型设备；方案2：购买2台甲型设备、6台乙型设备；方案3：购买3台甲型设备、5台乙型设备；方案4：购买4台甲型设备、4台乙型设备；（3）购买4台甲型设备、4台乙型设备时，各种维护费和电费总费用最低，最低费用为10（万元）． 【分析】（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为75%x万元，根据购买3台甲型和2台乙型污水处理设备共花费资金54万元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买m台甲型设备，则购买（8-m）台乙型设备，根据总价=单价×数量结合处理污水的总量=200×购买甲型设备的台数+160×购买乙型设备的台数，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出各购买方案； （3）由1＜1．5可得出方案4使得设备的各种维护费和电费总费用最低． 【详解】解：（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为75%x万元， 依题意，得：3x+2×75%x=54， 解得：x=12， ∴75%x=9． 答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为9万元． （2）设购买m台甲型设备，则购买（8-m）台乙型设备， 依题意，得：， 解得：≤m≤4． ∵m为整数， ∴m=1，2，3，4． ∴共有4种购买方案．方案1：购买1台甲型设备、7台乙型设备；方案2：购买2台甲型设备、6台乙型设备；方案3：购买3台甲型设备、5台乙型设备；方案4：购买4台甲型设备、4台乙型设备． （3）∵1＜1．5， ∴购买甲型设备越多，各种维护费和电费总费用越低， ∴购买4台甲型设备、4台乙型设备时，各种维护费和电费总费用最低，最低费用为1×4+1．5×4=10（万元）． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据甲、乙两种设备每年每台的各种维护费和电费之间的关系，找出使得设备的各种维护费和电费总费用最低的购买方案． 【题型4 分配问题】 【例4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理若小组中每人分配件工具，则剩余件；若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件这批工具共有 件 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设该小组共有名学生，则这批工具共有件，根据“若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设该小组共有名学生，则这批工具共有件， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ， （件）， 这批工具共有件． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 【变式4-2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： (1)求出长方体收纳盒的高度． (2)若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 【答案】(1)长方体的高度为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． （1）根据“底面长与宽之比为”列方程求解； （2）根据“按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解． 【详解】（1）解：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； （2）设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：，，，， ∴共有4种方案： ①图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ②图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ③图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ④图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 【变式4-3】生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息． 信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车 60座客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配． 信息3 八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满． 任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有______人； 任务2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人； 任务3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案． 【答案】（1）420；（2） 480人；（3）共有三种租车方案：方案一：租用45座客车12辆，60座客车6辆；方案二：租用45座客车8辆，60座客车9辆；方案三：租用45座客车4辆，60座客车12辆 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设老师一共有x人，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据题意，列出方程，即可求解； （3）设租用60座客车a辆，则45座客车辆，根据题意，列出不等式组，再由a为整数，且为整数，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：（1）设老师一共有x人，根据题意得： ， 解得：， ， 答：参加此次活动的七年级师生共有420人； 故答案为：420 （2）根据题意得：， 解得：， ， 答：参加此次活动的八年级师生共有480人； （3）设租用60座客车a辆，则45座客车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵a为整数，且为整数， ∴a取6，9，12， ∴共有三种租车方案： 方案一：租用45座客车12辆，60座客车6辆； 方案二：租用45座客车8辆，60座客车9辆； 方案三：租用45座客车4辆，60座客车12辆． 【题型5 阶梯收费问题】 【例5】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【变式5-1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过160千瓦时的部分 x 超过160千瓦时的部分 某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元． (1)求x和超出部分电费单价； (2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围． 【答案】(1)，超出部分电费单价是元/千瓦时； (2)165度到180度． 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先找出关键描述语，根据某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元，等量关系为：不超过160千瓦时电费+超过160千瓦时电费，据此进行列式计算，即可作答． （2）先确定不等量关系，结合六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，列出不等式组进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． ∴超出部分的电费单价是（元/千瓦时）． 答：超出部分电费单价是元/千瓦时； （2）解：设该户居民六月份的用电量是a千瓦时． 则， 解得， 答：该户居民六月份的用电量范围是165度到180度． 【题型6 和差倍分问题】 【例6】鲜花市场销售康乃馨，郁金香，玫瑰，红掌四个品种的鲜花，四个品种的鲜花每支的售价均为整数，若每支郁金香的售价比每只康乃馨的售价多3元，每支玫瑰的售价比每支康乃馨的售价高50%，每支红掌的售价是每支郁金香售价的4倍与每支玫瑰售价的差，某日康乃馨和郁金香一共销售了120支，康乃馨的销售量大于35支，红掌与康乃馨的销量之和不超过390支，而玫瑰的销量为60支，当日这四种花卉的平均售价是每只郁金香价格的倍，则当日四种花卉的销售总量的值是 ． 【答案】532支 【分析】设康乃馨单价为元，则郁金香为元，玫瑰为元，红掌为元，当日四种食物的平均售价为元．设总销售量为支，其中康乃馨支，可得∶，由不等式，及，得，进而由，得为，，，从而即可求解． 【详解】解：设康乃馨单价为元，则郁金香为元，玫瑰为元，红掌为元，当日四种食物的平均售价为元．设总销售量为支，其中康乃馨支>，可得∶ 得， ∴， ∵红掌与康乃馨的销量之和不超过支， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为或， ∵当时，不符合题意， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴为，，， 当时，不符合题意， 当时，不符合题意， 当时，支， 故答案为：532支． 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【变式6-1】小康放学回家后，问爸爸、妈妈火箭队与太阳队篮球比赛的结果，爸爸说：“本场比赛太阳队的奥尼尔比火箭队的姚明多得了12分”，妈妈说：“姚明得分的两倍与奥尼尔得分的差大于10；奥尼尔得分的两倍比姚明得分的3倍还多”，爸爸又说：“姚明得分超过20分，则火箭队赢，否则太阳队赢”．请你帮小康分析一下，究竟是哪个队赢了，本场比赛姚明、奥尼尔各得了多少分？ 【答案】火箭队赢了，姚明得了23分，奥尼尔得了35分 【详解】试题分析：设本场比赛姚明得了分，则奥尼尔得分为 找出题目中的不等关系列出不等式,求解即可. 试题解析：设本场比赛姚明得了分，则奥尼尔得分为 根据题意得： 解得： ∵是整数， ∴火箭队赢了，姚明得了23分，奥尼尔得了35分. 【变式6-2】吃粽子是端午节的习俗，某糕点店推出的“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”深受顾客喜欢．“海鸭蛋蛋黄棕”每个售价是“红豆鲜肉粽”的倍，去年端午节期间，“海鸭蛋蛋黄粽”销量为3500个，“红豆鲜肉粽”销量为2500个，两款粽子销售额共为50000元． (1)求“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的售价各是多少元？ (2)糕点店在今年端午节前夕，“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的进货量均为去年端午节期间两种粽子销售量的两倍，计划利用店庆活动让利于新老顾客，对两种粽子都开展降价的促销活动；其中，“海鸭蛋蛋黄棕”每个让利0.5a元销售（a为整数），“红豆鲜肉粽”则按原售价打（5+a）折出售，并且降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，最终两种粽子全部都销售了出去，且总销售额不超过84000元，求出a的值． 【答案】(1)“海鸭蛋蛋黄粽”的售价为10元，“红豆鲜肉粽”的售价是6元； (2)a的值为2． 【分析】（1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是元，利用总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出“红豆鲜肉粽”的售价，再将其代入中即可求出“海鸭蛋蛋黄粽”的售价； （2）根据降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，且两种粽子全部售出后的总销售额不超过84000元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出结论． 【详解】（1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是元， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：“海鸭蛋蛋黄粽”的售价为10元，“红豆鲜肉粽”的售价是6元． （2）依题意得：， 解得：， 又∵a为整数， ∴， 答：a的值为2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【变式6-3】随着中秋节的逐渐临近，红梅超市计划购进甜味型、咸味型、麻辣味型三种共50盒月饼，其中咸味型月饼数量不超过甜味型月饼数量，且咸味型月饼数量不少于麻辣味型月饼数量的一半．已知甜味型月饼每盒60元，咸味型月饼每盒80元，麻辣味型月饼每盒100元．在价格不变的条件下，小王实际购进甜味型月饼是计划的倍，麻辣味型月饼购进了12盒，结果小王实际购进三种月饼共35盒，且比原计划少支付1240元，则小王原计划购进甜味型月饼 盒． 【答案】18 【分析】设小王原计划购进甜味型月饼x盒，咸味型月饼y盒，则麻辣味型月饼（50－x－y）盒，根据题意，列出二元一次方程，然后根据x、y均为正整数，求出方程的解，再根据题意列出不等式组即可求出x的取值范围，从而求出结论． 【详解】解：设小王原计划购进甜味型月饼x盒，咸味型月饼y盒，则麻辣味型月饼（50－x－y）盒 根据题意可得 整理可得： ∴ ∵x、y均为正整数 ∴x为6的倍数 ∴，，，， 由题意可得 ∴ 解①，得 解②，得 ∴ ∴ 故答案为：18． 【点睛】此题考查的是二元一次方程的应用和不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解题关键． 【题型7 活动素材问题】 【例7】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】任务1：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；任务2：有三种销售方案：方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件； 任务3：销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是关键． 任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．据此列出方程组并解方程组即可； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．据此列出不等式组，并解不等式组即可； 任务3：分别求出各方案的获利，比较后即可得到答案． 【详解】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元， 由题意得， 解得 答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 由题意得， 解得． 因为为整数，所以．故有三种销售方案： 方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件； 方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件； 方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件． 任务3：方案1获利：（元）； 方案2获利：（元）； 方案3获利：（元）． 因为，所以销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为元． 【变式7-1】（24-25七年级下·四川南充·期末）根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． 任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元，列二元一次方程组求解即可； 任务2：设购买甲类diy材料包z套，则购买乙类diy材料包套，根据题意列一元一次不等式组计算即可； 任务3：先求出A、B两种装饰摆件的单件利润，再根据利润高的越多获利越大结合任务2作答即可． 【详解】解：任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元， ∵购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元， ∴， 解得：， ∴甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：设购买甲类diy材料包z套， ∵制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包， ∴制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件共需diy材料包50套， ∴购买乙类diy材料包套， ∵共筹集到资金310元，B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍 ∴， 解得：， 即共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：∵A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件， ∴A种装饰摆件利润为元/件，B种装饰摆件元/件， 可知A种装饰摆件利润更大，即A种装饰越多利润越大， ∴制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是（元）． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； 任务3：根据题意列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 任务3：由题意，根据任务2中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为（元）． 【变式7-3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 获胜场数多的球队排名靠前； 如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： 净胜分大的球队排名靠前； 净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 九仙队 石牛队 注：戴云队与九仙队的比赛得分是，则九仙队与戴云队的比赛得分是 净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分. 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名 【答案】任务一：九仙队的净胜分是，石牛队的净胜分是； 任务二：当时，九仙队为第三名； 任务三：当且时，石牛队得第一名；当时，九仙队得第一名 【分析】任务一：根据净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分进而计算可以得解； 任务二：依据题意，当时，三支篮球队均1胜1负，故需比较三支篮球队的净胜分，又戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为，，8，故石牛队得第一名，又戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队：47，进而可以判断得解； 任务三：依据题意，分、且分别进行分析计算即可判断得解． 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出不等式组是关键． 【详解】任务一：（1）由题意得，九仙队的净胜分是； 石牛队的净胜分是 答：九仙队的净胜分是，石牛队的净胜分是 任务二：由题意，当时，三支篮球队均1胜1负， 需比较三支篮球队的净胜分． 戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为，，8， 石牛队得第一名． 戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队：47 戴云队为第二名． 九仙队为第三名． 任务三：①当时，石牛队两场都胜，石牛队得第一名． ②当时，每队各胜1场， 若戴云队得第一名，则需 此时，这个不等式组无解， 戴云队不可能得第一名； 若九仙队得第一名， ， 又， ； 若石牛队得第一名， 综上所述：当且时，石牛队得第一名；当时，九仙队得第一名． 【题型8 方案选择问题】 【例8】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台．已知：从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元． (1)如果从A市运往C市机器x台，则： ①从A市运往D市机器______台； ②从B市运往C市机器______台； ③从B市运往D市机器______台． (2)如果从A市运往C市机器x台，总运费为y元，求y关于x的函数解析式； (3)若总运费不超过2650元，问总共有几种不同的调运方案？ 【答案】(1)，， (2)； (3)3种 【分析】（1）设从A市运往C市机器x台，根据A市和B市分别库存某种机器12台和6台，支援C市10台，D市8台即可列得各地的台数． （2）总运费为y元，根据各处数量及运费求出相应的数量及列出关系式， （3）根据每次运出台数为非负数及运费不超过2650元，列不等式组求x的范围，从而确定方案数量． 【详解】（1）解：∵A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台， 若从A市运往C市机器x台， 则①从A市运往D市机器台； ②从B市运往C市机器台； ③从B市运往D市机器台； （2）总运费y关于x的函数关系式为： ∴； （3）由题意可得：， 解得 又∵x须为非负整数， ∴x可取8，9，10，即共3种方案． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用问题，要根据题目所设自变量及机器台数的数量关系，表示其它三种调出台数，同时要注意自变量的取值范围必须使实际问题有意义． 【变式8-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．本甲种图书和2本乙种图书共70元． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲、乙两种图书每本分别为30元和20元 (2)6种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意并进一步列出方程组及不等式组求解是关键． （1）设甲、乙两种图书每本分别为x元和y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本，根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种图书每本分别为x元和y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种图书每本分别为30元和20元． （2）解：设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本， 根据题意，得， 化简，得， ， 为正整数， ，21，22，23，24，25， 共有6种购买方案． 【变式8-2】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元 (2)能，共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数即可解答． 【详解】（1）解：设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则， 答：采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元． （2）解：设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支， 由题意得， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴该公司能实现利润不少于1540元的目标，共有3种采购方案： 方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支； 方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支； 方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 【变式8-3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆（两款都要），若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值； (2)若某旅游公司需购买款和款新能源汽车共14辆，且总付款不超过150万元也不少于144万，请求出所有的购买方案； (3)根据最新汽车国家补贴政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总付款336万元，款中没有享受国家补贴的数量是所购车辆总数的，且两款汽车均有部分享受国家补贴，求款中享受国家补贴的有多少辆． 【答案】(1)， (2)①购买A款新能源汽车9辆，B款新能源汽车5辆；②购买A款新能源汽车10辆，B款新能源汽车4辆；③购买A款新能源汽车11辆，B款新能源汽车3辆；④购买A款新能源汽车12辆，B款新能源汽车2辆； (3)A款中享受国家补贴的有8辆 【分析】（1）根据“买10辆A款和5辆B款需付款160万元，买5辆A款和10辆B款需付款170万元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A款新能源汽车a辆，则购买B款新能源汽车辆，根据总付款不超过150万元也不少于144万，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论； （3）设A款中享受国家补贴的有m辆，A款中没有享受国家补贴的和B款中享受国家补贴的共n辆，则B款中没有享受国家补贴的有，利用总价单价数量，列出关于m、n的二元一次方程，求出符合题意的正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 即，； （2）设购买A款新能源汽车a辆，则购买B款新能源汽车辆， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，10，11，12， ∴有4种购买方案： ①购买A款新能源汽车9辆，B款新能源汽车5辆； ②购买A款新能源汽车10辆，B款新能源汽车4辆； ③购买A款新能源汽车11辆，B款新能源汽车3辆； ④购买A款新能源汽车12辆，B款新能源汽车2辆； （3）∵（万元）， ∴A款中没有享受国家补贴的单价与B款中享受国补的单价相同， 设A款中享受国家补贴的有m辆，A款中没有享受国家补贴的和B款中享受国家补贴的共有n辆， 则B款中没有享受国家补贴的有辆， 根据题意得：， 整理得：， 又∵m、n、均为正整数， ∴， ∴A款中享受国家补贴的有8辆， 答：A款中享受国家补贴的有8辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 一元一次不等式组的应用（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 经济问题】 1 【题型2 行程问题】 2 【题型3 工程问题】 3 【题型4 分配问题】 5 【题型5 阶梯收费问题】 6 【题型6 和差倍分问题】 8 【题型7 活动素材问题】 9 【题型8 方案选择问题】 13 【题型1 经济问题】 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【变式1-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共计需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 0.2 0.5 制作一件产品所获利润（元） 60 3 20 (1)当时，设展板的数量为x个，横幅的数量为y个． ①请直接写出y与x的关系式___________；（用含x的式子表示） ②若三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，求一共有几种制作方案． (2)若制作三种产品所获利润为950元，请直接写出m的值． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 【题型2 行程问题】 【例2】甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 【变式2-1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【变式2-2】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【变式2-3】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【题型3 工程问题】 【例3】在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元． (1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？ (2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围． 【变式3-1】某工程用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． （1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，有哪几种生产方案？ （2）若有正方形纸板40张，长方形纸板张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知．求的值． 【变式3-2】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了台甲型和台乙型污水处理设备，共花费资金万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水吨，每台乙型设备每月能处理污水吨．今年该厂二期工程即将完成产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于吨污水． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元； （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． 【变式3-3】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元；实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水，请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． （3）经测算：每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1．5万元．在（2）中的方案中，哪种购买方案使得设备的各种维护费和电费总费用最低？ 【题型4 分配问题】 【例4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理若小组中每人分配件工具，则剩余件；若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件这批工具共有 件 【变式4-1】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【变式4-2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： (1)求出长方体收纳盒的高度． (2)若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 【变式4-3】生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息． 信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车 60座客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配． 信息3 八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满． 任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有______人； 任务2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人； 任务3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案． 【题型5 阶梯收费问题】 【例5】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【变式5-1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 【变式5-3】为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过160千瓦时的部分 x 超过160千瓦时的部分 某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元． (1)求x和超出部分电费单价； (2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围． 【题型6 和差倍分问题】 【例6】鲜花市场销售康乃馨，郁金香，玫瑰，红掌四个品种的鲜花，四个品种的鲜花每支的售价均为整数，若每支郁金香的售价比每只康乃馨的售价多3元，每支玫瑰的售价比每支康乃馨的售价高50%，每支红掌的售价是每支郁金香售价的4倍与每支玫瑰售价的差，某日康乃馨和郁金香一共销售了120支，康乃馨的销售量大于35支，红掌与康乃馨的销量之和不超过390支，而玫瑰的销量为60支，当日这四种花卉的平均售价是每只郁金香价格的倍，则当日四种花卉的销售总量的值是 ． 【变式6-1】小康放学回家后，问爸爸、妈妈火箭队与太阳队篮球比赛的结果，爸爸说：“本场比赛太阳队的奥尼尔比火箭队的姚明多得了12分”，妈妈说：“姚明得分的两倍与奥尼尔得分的差大于10；奥尼尔得分的两倍比姚明得分的3倍还多”，爸爸又说：“姚明得分超过20分，则火箭队赢，否则太阳队赢”．请你帮小康分析一下，究竟是哪个队赢了，本场比赛姚明、奥尼尔各得了多少分？ 【变式6-2】吃粽子是端午节的习俗，某糕点店推出的“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”深受顾客喜欢．“海鸭蛋蛋黄棕”每个售价是“红豆鲜肉粽”的倍，去年端午节期间，“海鸭蛋蛋黄粽”销量为3500个，“红豆鲜肉粽”销量为2500个，两款粽子销售额共为50000元． (1)求“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的售价各是多少元？ (2)糕点店在今年端午节前夕，“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的进货量均为去年端午节期间两种粽子销售量的两倍，计划利用店庆活动让利于新老顾客，对两种粽子都开展降价的促销活动；其中，“海鸭蛋蛋黄棕”每个让利0.5a元销售（a为整数），“红豆鲜肉粽”则按原售价打（5+a）折出售，并且降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，最终两种粽子全部都销售了出去，且总销售额不超过84000元，求出a的值． 【变式6-3】随着中秋节的逐渐临近，红梅超市计划购进甜味型、咸味型、麻辣味型三种共50盒月饼，其中咸味型月饼数量不超过甜味型月饼数量，且咸味型月饼数量不少于麻辣味型月饼数量的一半．已知甜味型月饼每盒60元，咸味型月饼每盒80元，麻辣味型月饼每盒100元．在价格不变的条件下，小王实际购进甜味型月饼是计划的倍，麻辣味型月饼购进了12盒，结果小王实际购进三种月饼共35盒，且比原计划少支付1240元，则小王原计划购进甜味型月饼 盒． 【题型7 活动素材问题】 【例7】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【变式7-1】（24-25七年级下·四川南充·期末）根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【变式7-3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 获胜场数多的球队排名靠前； 如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： 净胜分大的球队排名靠前； 净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 九仙队 石牛队 注：戴云队与九仙队的比赛得分是，则九仙队与戴云队的比赛得分是 净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分. 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名 【题型8 方案选择问题】 【例8】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台．已知：从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元． (1)如果从A市运往C市机器x台，则： ①从A市运往D市机器______台； ②从B市运往C市机器______台； ③从B市运往D市机器______台． (2)如果从A市运往C市机器x台，总运费为y元，求y关于x的函数解析式； (3)若总运费不超过2650元，问总共有几种不同的调运方案？ 【变式8-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．本甲种图书和2本乙种图书共70元． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【变式8-2】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式8-3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆（两款都要），若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值； (2)若某旅游公司需购买款和款新能源汽车共14辆，且总付款不超过150万元也不少于144万，请求出所有的购买方案； (3)根据最新汽车国家补贴政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总付款336万元，款中没有享受国家补贴的数量是所购车辆总数的，且两款汽车均有部分享受国家补贴，求款中享受国家补贴的有多少辆． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $