专题15 空间中线、面的垂直问题全归纳（压轴题5大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题15 空间中线、面的垂直问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 4 类型一、常见线面垂直的储备（利用三线合一、勾股定理逆定理等） 4 类型二、通过线面垂直证明线线垂直 10 类型三、利用相似、全等证明线面垂直 17 类型四、证明面面垂直 21 类型五、面面垂直的性质定理 29 压轴专练 34 1、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 2、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 3、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 4、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 5、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 类型一、常见线面垂直的储备（利用三线合一、勾股定理逆定理等） 证明垂直的常见方法 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 ②勾股定理的逆定理 如图：如果，则 ③正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 ④直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， ⑤通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 ⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 1．（2024高一下·全国·专题练习）在三棱锥中，为的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】根据直线与平面垂直的判定定理证明即可. 【详解】因为，为的中点， 所以， 又因为平面， 所以平面. 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. 3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理进行证明； 【详解】（1）如图，连，，， 平面平面，平面    （2）平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 5．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由余弦定理求出，，由勾股定理逆定理可得，故，从而证明出平面. 【详解】，∴，， 由余弦定理得， 故， ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. 6．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 7．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； 【详解】（1）点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； 类型二、通过线面垂直证明线线垂直 证明线线垂直的思路 1．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）取中点，连由中点性质知垂直垂直，根据线面垂直判定得垂直平面，进而得． （2）利用三棱锥体积公式算出体积. 【详解】（1）取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 故，又因则，， 因，平面， 故平面，因为平面，所以； （2）因，，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 2．（23-24高一下·江苏镇江·期末）如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证. 【详解】（1）在正方体中， 又平面，平面，所以平面； （2）连接、，在正方体中为正方形， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）只需分别求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式求解即可； 【详解】（1）折叠前，，折叠后，， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故． （2）由（1）问可知，平面，所以三棱锥的高， 又因为折叠前为，点，分别为，的中点， 所以， 所以； 4．如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由为矩形及线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判断和性质有，最后应用线面垂直的判定证平面. 【详解】为矩形， 平面平面 ， 又，平面， 平面，又平面， ， 又，平面， 平面. 5．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 6．（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， 7．如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，结合等边三角形性质和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可； 【详解】（1）在图（1）中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以. 又，所以. 在图（2）中，，所以，即. 因为，所以. 又平面.所以平面. 因为平面，所以. 8．（24-25高一·全国·假期作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【分析】先得到平面，，由余弦定理和勾股定理逆定理可得，从而得到平面，，结合，可得平面，故. 【详解】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 类型三、利用相似、全等证明线面垂直 1．（24-25高一下·河南许昌·期末）如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过证明、，证得平面BED，进而证得. 【详解】（1）因为，E是AC的中点，所以． 因为，所以， 所以，所以， 因为，DE，平面BED， 所以平面BED， 因为平面BED，所以． 2．如图所示四棱锥，其中交于点.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形全等和线面垂直的判定定理来证明线面垂直. 【详解】因为，所以均在的垂直平分线上，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据异面直线所成角定义结合余弦定理计算求解； （2）先根据边长关系得出，进而应用线面垂直判定定理得出平面，即可证明线线垂直； 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 在中，由余弦定理，. （2）连结，交于，连结， 因为，且，所以， 所以，即，所以，， 又平面，所以平面，平面，所以. 类型四、证明面面垂直 面面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 1．（2024高一下·全国·专题练习）在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过证明平面即可证得. 【详解】因为是的中点，所以. 又是的中点，所以. 因为，所以. 又，平面. 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 2．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 3．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行； （2）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可. 【详解】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 连接，由正四棱柱可知，平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 4．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 5．（24-25高一·全国·假期作业）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】记为中点，由题意可证，结合，可证平面，进而利用面面垂直的判定定理可证平面平面. 【详解】四边形为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，记为中点，所以. 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，所以，， 因为，所以. 又，平面， 所以平面． 平面，所以平面平面. 6．如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求该几何体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直判断面面垂直； （2）将几何体分成两个三棱锥进行计算体积. 【详解】（1）取的中点，连接，因为是的中点， 所以，且， 因为和都垂直平面，所以， 所以，且，所以为平行四边形， 所以， 因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为,面,面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面； （2）连接，设该几何体的体积为，则， ，所以， ， 所以. 7．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 又，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 8．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    类型五、面面垂直的性质定理 面面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 1．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】易得，根据面面垂直的性质可得侧面，再根据线面垂直的性质即可得证． 【详解】证明：∵，D是BC中点，∴， ∵底面侧面，交线为BC，平面， ∴侧面， 又∵侧面， ∴． 2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质证明线面垂直，然后根据线面垂直的判定定理可得平面CDP． 【详解】因为侧面ADP为正三角形，且M是DP的中点，所以， 又底面ABCD为正方形，所以． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面ADP， 又平面ADP，所以， 因为，且CD，平面CDP， 所以平面CDP． 3．如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，由线面垂直可得线线垂直，结合勾股定理即可得证； （2）根据三棱柱体积计算公式计算即可. 【详解】（1）连接，因为，是中点，所以，， 因为平面平面，平面平面， 且面，， 所以面，又因为面，所以， 由，， 因为，，，所以； （2）因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面， 即三棱锥的高为， 而， 所以. 4．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）如图：    取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，，， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理，求出几何体的各线段的长度，再根据勾股定理的逆定理，证明，根据面面垂直的性质定理，证明线面垂直即可. 【详解】设，则，如图，过作于， ，， 又，， 四边形是正方形，， 在中，，同理在中， ，， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面. 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知三棱台中，平面平面，是以B为直角顶点的直角三角形，且． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过余弦定理求出边长，根据勾股定理的逆定理证明线线的垂直关系，通过面面垂直的性质定理，说明线面垂直. 【详解】（1）由余弦定理和，可得， 由，可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因是以B为直角顶点的直角三角形，则， 又平面， 所以平面； 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，又结合线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以， 又平面， 所以平面. 2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直得出线线垂直，即证明平面. 【详解】证明：如图，记与交于点，连接． 因为是平行四边形对角线的交点，所以为的中点． 因为，所以． 因为为中点，所以，又，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以． 3．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； 【答案】(1)证明见详解 【分析】（1）由题可求的余弦值，根据余弦定理可求，利用勾股定理可得，翻折后，由此即可证明平面； 【详解】（1）,,, , ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知为矩形所在平面外一点，平面，过点作于点，过点作于点，平面平面．    求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明平面，然利用线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）先利用线面垂直的判定定理得平面，进而有，结合根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理证明即可． 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以． 因为平面，平面，所以． 又因为平面，平面，，所以平面， 又平面，从而． 因为，平面，平面，且， 所以平面，平面，从而． 因为，平面，平面，且， 所以平面． （2）由四边形为矩形得． 由平面，平面，得． 又因为平面，平面，， 所以平面，平面，从而． 由（1）知平面，平面，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面，平面，所以． 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证平面，再利用线面平行的性质定理证明，进而得证； （2）过点作于点，利用面面垂直的性质定理即证平面，再利用线面垂直的判定定理得平面，进而得证. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，； （2）如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. 6．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：平面平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据线面垂直的性质得，结合，最后利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）得，根据得，最后利用线面垂直的判定与性质即可证明. 【详解】（1）在直三棱柱中， 因为平面平面，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）可知平面， 因为平面，所以. 因为，所以. 又因为在正方形中， 平面，， 所以平面. 又因为平面，所以，即. 7．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再由正三棱柱的性质证明，进而由线面垂直的判定定理证得平面，即得； （2）由（1）的结论可得，通过计算边长，利用勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得平面． 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 8．（24-25高一下·湖南郴州·期末）如图，和都垂直于平面，且，是的中点.为等边三角形. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由中位线定理与平行四边形性质，可得线线平行，再根据面面垂直的判定与性质，可得线面平行，从而可得答案； 【详解】（1）证明：取的中点，连接，. 因为为中点，所以， 平面，平面，故 又，故且. 所以四边形是平行四边形，所以 因为是等边三角形，是中点，所以 因为平面，平面，所以平面平面 又平面平面，平面，所以平面， 所以平面. 9．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）由正方形得，根据线面平行的判定得到平面，再根据线面平行的性质即可得到； （2）先面面垂直的性质证得，结合，可得,,即可证得平面； （3）取的中点，通过证是平行四边形得到，证得； 再由勾股定理逆定理得到，证得平面，得，即可得，进而证得平面，即可证得. 【详解】（1）由正方形，得， 又∵平面，平面，∴∥平面， ∵平面，平面平面， ∴ （2）由正方形，得, ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， 又∵平面，∴， 由（1）知，∴，， 又，平面， ∴平面； （3）取的中点，连接，则， 又，所以四边形是平行四边形. ∴，∴. 由，得，，∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面，∴. 由正方形，得∥，∴, ∵，平面，∴平面, ∵平面，∴ 10．（24-25高一下·海南·月考）如图，在四棱锥中，底面，四边形ABCD是平行四边形且，M，N分别是AB，PC的中点， (1)求证：平面; (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，再结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，进而根据线面垂直的判定求证平面得解. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为分别为，，的中点， 所以，， 又因为，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）由于底面，底面，则， 又四边形ABCD是平行四边形且，故, 平面， 故平面，平面， 故. 11．在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【分析】通过题干条件证明四边形DPBC为平行四边形，从而证明O为AC的中点，再利用线线垂直推出线面垂直，从而推出面面垂直. 【详解】因为在梯形ABCD中，， ，，P为AB的中点， 所以是正三角形，且，，则四边形DPBC为平行四边形， 所以，所以，所以，所以O为AC的中点， 又因为，所以，又，，平面ABC，平面，所以平面ABC， 又因为平面，所以平面平面ABC． 12．如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先利用全等三角形的判定与性质得出，取的中点，作出的平面角后利用条件及勾股定理，逆定理判定即可. 【详解】由题意知，所以可得,从而， 又为直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，， 又由于是正三角形， 故，所以为二面角的平面角． 在中，， 又，所以， 故，所以平面平面． 14．如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见详解 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明； 【详解】（1） 连接，取的中点，连接，， ，， 在直三棱柱中，平面平面， 平面平面，平面， 平面， 分别为，的中点，且， 点D是棱的中点，且， 且，四边形是平行四边形， ，平面， 平面，平面平面； 15．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 16．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，在七面体中，底面是菱形，四边形是矩形． (1)证明：平面平面． (2)若，平面平面，求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件先证平面，平面，再利用面面平行的判定定理，即可求解； （2）根据题设条件得，利用面面垂直的性质可得，从而有，再利用，即可求解. 【详解】（1）平面是菱形，则， 又平面，平面，所以平面， 因为四边形是矩形，则， 又平面，平面，则平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. （2）如图，设，取的中，连接， 因为，，又，面，所以面， 又面，所以， 又，则面，又面，则， 在和中，， 所以，则，∵是的中点，所以， 平面平面，平面平面，平面， 因为平面，∴， 又是的中点，∴， 又易知，，所以. 17．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件先证，再由平面平面证明平面，可得，再由平面几何知识证明，进而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】因为四边形是菱形，，且，则可得. 在直四棱柱中，平面平面， 且平面平面，平面，故平面. 又因平面，所以. 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以，故，即， 因为，且平面，所以平面. 18．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：直线平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用正三棱柱的性质得，，则证得线面垂直； （2）设，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行． 【详解】（1）取与的交点为， 由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为D，E分别为线段，的中点， 所以， 所以， 又因为， 所以 所以， 所以 又因为平面， 所以平面. （2）连接，且，连接 在中，O为中点，为中点，所以 因为平面平面 所以平面． 19．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，又平面平面，可得平面，从而，同理，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）取为的中点，由平面得，则，可证得，所以，进而可得，证得平面，所以，从而平面，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，      由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 20．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，为线段上一点． (1)当平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当时， 【分析】（1）由题意可知为的中点，由线面平行的性质定理可得，即可得证； （2）由面面垂直的性质定理可得，只需满足，即可得平面，从而有平面平面，故只需找出成立时，求出点的位置即可. 【详解】（1）证明：因为为正方形，， 所以为的中点， 又因为平面，平面平面，平面， 所以， 又因为为的中点，所以为的中点； （2）存在，当时，平面平面， 理由如下： 设， 因为为正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在矩形中，设， 因为，，设， 在矩形中，因为，， 当时，即，此时 因此，又因为， 所以，在中，，故， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 在线段上是存在点，当为的一个三等分点（靠近A点）时， 平面平面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15空间中线、面的垂直问题全归纳 目录(Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 典例详解… 4 类型一、常见线面垂直的储备（利用三线合一、勾股定理逆定理等） 类型二、通过线面垂直证明线线垂直 .7 类型三、利用相似、全等证明线面垂直 10 类型四、证明面面垂直… 11 类型五、面面垂直的性质定理… g 压轴专练 17 1、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 条直线与一个平 a.bca 面内的两条相交直 a a⊥l 判断定理 →1⊥a 线都垂直，则该直 P b⊥1 anb=P 线与此平面垂直 两个平面垂直，则 b a⊥B 在一个平面内垂直 anB=a 面⊥面=线⊥面 三b⊥a 于交线的直线与另 bcB b⊥a 一个平面垂直 条直线与两平行 平面中的一个平面 平行与垂直的关系 a//B =a⊥B 垂直，则该直线与 a⊥a 另一个平面也垂直 两平行直线中有一 a/1b1 平行与垂直的关系 条与平面垂直，则 →b⊥a a⊥a 另一条直线与该平 1/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 面也垂直 2、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 垂直于同一平面的 a⊥a 性质定理 三a/b 两条直线平行 b⊥a 垂直于同一直线的 a⊥a 垂直与平行的关系 →a/1B 两个平面平行 a⊥β /a 如果一条直线垂直 于一个平面，则该直 线垂直于面的性质 1⊥a,ac→l⊥a 线与平面内所有直 线都垂直 3、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直. (如图所示，若a∩B=CD,CD⊥Y,且a∩y=AB,BAY=BE,AB⊥BE,则a⊥B) A 般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一 b⊥ →a⊥B 个平面的垂线，则 bCB 这两个平面垂直 5、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一 B a⊥B 个平面内垂直于交 b anβ=a →b⊥0 bCB 线的直线与另一个 b⊥a Q 平面垂直 典例详解 类型一、常见线面垂直的储备（利用三线合一、勾股定理逆定理等) 证明垂直的常见方法 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则AD⊥BC ②勾股定理的逆定理 如图：如果a2+b2=c2,则AC⊥BC 3/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD ④直径所对的圆周角是90 如图：AB是圆的直径，∠ACB=90 ⑤通过证线面垂直证线线垂直 1⊥a }→1⊥m mca 注：若题目要证l⊥，己知mco且m,1是异面直线，要证l⊥m,一般是证m⊥1所在的平面。 ⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 1.(2024高一下·全国.专题练习)在三棱锥A-BCD中，AB=AD,CB=CD,O为BD的中点.证明：BD⊥平 面OAC. 4/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 2.(24-25高一下，贵州六盘水期末)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不 同于A,B的任意一点 D B C (1I)证明：BC⊥平面PAC: 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PA⊥底面ABCD,E是PD的中点，F是AC的 中点. C (I)证明：EF1/平面PAB; (2)证明：BD⊥平面PAC, 4.(25-26高一·全国·假期作业)如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C,D为圆O上不与A,B 重合的点，且PO=AB=2,BD=V3,AB⊥CD.求证：BD⊥平面POC: 5/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、O D 5.(24-25高一全国假期作业)如图，在ABC中，AB=√5，AC=2√2，CD=2BD=2.将△ACD沿AD翻 折至△AED,求证：AD⊥平面BDE; D 6.(25-26高一.全国假期作业)如图1，等腰梯形ABCD中，ADIIBC,E为AD边上一点，且 AB=AE=BE=CD=2,BC=ED=4,O为BE中点，F为BC中点将△ABE沿BE折起到AA'BE的位置， 如图2.证明：CD⊥平面AOF; A(A) D E 图1 图2 7.(24-25高一下·湖南期中)如图，在四面体ABCD中，∠BDC=90°，AB=BC=2,CD=1,AD=√7，点 M为线段AC的中点，且MD=24C. 6/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)证明：直线AB⊥平面BCD; 类型二、通过线面垂直证明线线垂直 证明线线垂直的思路 三线合一有等腰三角形就必用) 证明上糕芮监雀关第 共面→ 勾股定理（题目中线段数据多）》 其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法） 异面一考虑用线面垂直推导异面垂直找重垂线在重垂线对应平面内找垂直 1.(24-25高一下·吉林长春·期末)如图，在直三棱柱ABC-A,BC,中，AB1AC,D,E分别为BC,AB 的中点 B B 0 (I)求证：AB⊥DE (2)若AA,=3,AB=AC=2,求三棱锥A-BCE的体积 2.(23-24高一下·江苏镇江·期末)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中， 7/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B D B (I)求证：AB∥平面A,B,CD; (2)求证：AC,⊥BC 3.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的 中点，将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点. D E B (I)求证AD⊥EF; (2)求三棱锥A'-EFD的体积. 4.如图，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E,求证：AE⊥平面PBC; G E D 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=2,AB⊥BC,AC⊥CD,CD=√2，PB=PC，平面PBC⊥ 平面ABCD.求证：AB⊥PC. 8/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26高一下·浙江·开学考试)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA1底面 ABCD,PA=AB=2过点A作AE⊥PB于E,作AF⊥PC于F,连EF F E C (I)证明：EF⊥PC; 7.知图O,在菱形A8CD中，乙A-=号且B=-2E为4D的中点，将a48E沿E折起使D=2,得到如 图②所示的四棱锥A-BCDE,在四棱锥A-BCDE中，求解下列问题： B 图① 图② (I)求证：BC⊥AB; 8.(24-25高一.全国假期作业)如图，梯形BCDP中，BC1PD,BA⊥PD于点A,PA=√2，且 AB=BC=1号AD.沿AB把aPA8折志到△PMB的位置，使PD=6,若E为PC的中点，F为PD上 一点，证明CF⊥AE. 9/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 牙类型三、利用相似、全等证明线面垂直 1.(24-25高一下·河南许昌·期末)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD=√2，AB=BD=√5， ∠ADB=LBDC,E为AC的中点，点F在BD上. B (1)证明：AC⊥BD; 2.如图所示四棱锥P-ABCD,其中AB=AD=AP=√5，CB=CD=CP=2√5，AC交BD于点O.求证： AC⊥平面PBD; B.2425高一下江苏南京期末)如图，在四棱锥P-A6CD中，底面BCD是菱形，∠ABC红，E为 棱PA的中点，PA=PB=4,PD=25,直线PA与BC所成的角的大小为写 10/23