20.1 勾股定理及其应用 强化训练2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版（2024）八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 强化训练（参考答案） 【题型1】勾股定理的证明 【典例】我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 A.    B. C.    D. 【答案】D 【解析】大正方形的面积为c2， 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为ab×4+(b-a)2=a2+b2， ∴a2+b2=c2，故A选项能证明勾股定理； 大正方形的面积为(a+b)2， 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为ab×4+c2=2ab+c2， ∴(a+b)2=2ab+c2， ∴a2+b2=c2，故B选项能证明勾股定理； 梯形的面积为(a+b)(a+b)=(a2+b2)+ab， 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为ab×2+c2=ab+c2， ∴ab+c2=(a2+b2)+ab， ∴a2+b2=c2，故C选项能证明勾股定理； 大正方形的面积为(a+b)2， 也可看作是2个长方形和2个小正方形组成，则其面积为a2+b2+2ab， ∴(a+b)2=a2+b2+2ab， ∴D选项不能证明勾股定理. 【强化训练1】下列说法中，正确的是(　　) A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以BC2+AC2=AB2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以BC2+AC2=AB2 【答案】C 【强化训练2】若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为　　　　. 【答案】 74或24 【解析】 设第三边为x.①若7是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得x2=52+72=74； ②若7是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得x2=72-52=24， 故x2=74或24. 【强化训练3】[阅读理解]我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2． [尝试探究]美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理． [定理应用]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c． 求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4． 【答案】 [尝试探究] 证明：梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2）， 利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2， ∴ab+（a2+b2）＝ab+c2， ∴a2+b2＝c2； [定理应用] 证明 ∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2， ∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4． 【强化训练4】如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x． （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x． 因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝___________． （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程； （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得ad＝bc） 【答案】 解：（1）∵a﹣x+b﹣x＝c， ∴x＝， 故答案为：； （2）∵S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC， ∴， 解得x＝， 即正方形IECF的边长是； （3）由（1）和（2）可得， ＝， ∴2ab＝（a+b﹣c）（a+b+c）， ∴2ab＝[（a+b）﹣c][（a+b）+c]， ∴2ab＝（a+b）2﹣c2， ∴2ab＝a2+2ab+b2﹣c2， ∴c2＝a2+b2， ∴勾股定理成立． 【题型2】用勾股定理求边长 【典例】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝（　　） A.20    B.25    C.35    D.30 【答案】B 【解析】 解：在Rt△ADC中，AD＝16，CD＝12， ∴AC＝＝＝20， 在Rt△ACB中， AB＝＝＝25， 故选：B． 【强化训练1】在平面直角坐标系中，点A(2，-1)，B(5，3)，则AB的长为(　　) A.    B.5    C.4    D.3 【答案】B 【解析】 ∵A(2，-1)，B(5，3)， ∴AB==5. 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)，则AB长度为　　　. 【答案】 2 【解析】 ∵△ABC的各顶点坐标为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)， ∴AC⊥BC，AC=5-1=4，BC=4-2=2， 根据勾股定理得AB===2. 【强化训练3】已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a-|+(b-)2=0. ①求a，b的值； ②若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值. 【答案】 解　①∵|a-|+(b-)2=0， ∴a-=0，b-=0， 解得a==4，b==2. ②当a，b是某直角三角形的两条直角边的长，c为直角三角形斜边的长时， c===2； 当b，c是某直角三角形的两条直角边的长，a为直角三角形斜边的长时， c===6. 综上所述，c的值为2或6. 【强化训练4】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边为c. （1）已知a=12，b=5，求c； （2）已知a=3，c=4，求b； （3）已知c=10，b=9，求a. 【答案】 解：（1）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=12，b=10， ∴c==13； （2）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=3，c=4， ∴b=； （3）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中c=10，b=9， ∴a=． 【题型3】求坐标系中两点间距离或点的坐标 【典例】如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 【答案】C 【解析】 解：如图，过点A作AD⊥OB于点D， ∵OA＝AB＝5，OB＝8， ∴OD＝OB＝4． 在直角△OAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3． 故点A的坐标是（4，3）． 故选：C． 【强化训练1】等边△ABO在平面直角坐标系内的位置如图所示，已知△ABO的边长为6，则点A的坐标为 A.(-3，3) B.(3，-3) C.(-3，3) D.(-3，-3) 【答案】C 【解析】 过点A作AC⊥x轴于点C(图略)， ∵∠AOB=60°， ∴∠CAO=30°， ∴CO=AO=3， ∴由勾股定理可知AC=3， ∴A(-3，3). 【强化训练2】在平面直角坐标系中，点A坐标为，点P的坐标为，则AP最小值为        ． 【答案】 【解析】 解：∵在平面直角坐标系中，点A坐标为，点P的坐标为， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最小为， 故答案为：． 【强化训练3】如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是，B点坐标是，C点坐标是． (1)作关于y轴对称的图形，A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点E的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】 （1）解：关于轴的对称图形，如图所示，； （2）解： ； （3）解：如图，连接交轴于点，则的值最小，最小值是的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【题型4】折叠问题 【典例】如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为(　　) A.1.5    B.2.5    C.2.25    D.3 【答案】B 【解析】 ∵正方形纸片ABCD的边长为3， ∴∠C=90°，BC=CD=3， 根据折叠的性质得EG=BE=1，GF=DF， 设DF=x， 则EF=EG+GF=1+x，FC=DC-DF=3-x，EC=BC-BE=3-1=2， ∵在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，即(x+1)2=22+(3-x)2，解得x=1.5， ∴GF=1.5，∴EF=1+1.5=2.5. 【强化训练1】如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A.      B.7    C.      D. 【答案】C 【解析】 解：∵， ∴， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得∶，， 在直角三角形中，根据勾股定理可得∶， 解得， ∴； 故选C． 【强化训练2】如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ） A.       B.       C.       D. 【答案】B 【解析】 解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故选：B 【强化训练3】如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是           ． 【答案】 / 【解析】 解：由折叠的性质得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 设， 则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： 故答案为：． 【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 cm，BC=3 cm，点D为AC上的一点，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的点E处，求AD的长. 【答案】 解　由折叠的性质可知，BE=BC=3 cm，DE=DC，∠BED=∠C=90°， ∴∠AED=90°，∵AB=5 cm， ∴AE=AB-BE=2(cm)， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 cm，BC=3 cm， ∴AC==4(cm)， 设AD=x cm，则DE=DC=AC-AD=(4-x)cm， 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即22+(4-x)2=x2， 解得x=2.5， ∴AD=2.5 cm. 【题型5】线段间平方关系问题 【典例】如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于D，E为AD上任一点，则CE2﹣BE2＝（　　） A.1    B.2    C.4    D.5 【答案】D 【解析】 解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2， 在Rt△BDE和Rt△CDE中， BE2＝BD2+ED2＝AB2﹣AD2+ED2，EC2＝CD2+ED2＝AC2﹣AD2+ED2， ∴EC2﹣EB2＝（AC2﹣AD2+ED2）﹣（AB2﹣AD2+ED2） ＝AC2﹣AB2 ＝32﹣22 ＝5． 故选：D． 【强化训练1】下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（ ） A.小明对，小亮错    B.小明错，小亮对    C.两人都错    D.两人都对 【答案】D 【解析】 解：由，， ∵， ∴，故小明思路正确； 设直角三角形的两直角边为，， ∴斜边为， ∴根据三角形的三边关系得，，故小亮思路正确； 综上可得：两人都对， 故选：． 【强化训练2】如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 【答案】 7 【解析】 解：由勾股定理可知OB＝，OC＝，OD＝ ∴OD2＝7． 【强化训练3】如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则      ． 【答案】 50 【解析】 解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【强化训练4】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】 （1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 【强化训练5】如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】 （1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 【题型6】求无理数并在数轴上表示 【典例】如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A.-      B.      C.-      D. 【答案】A 【解析】 解：∵Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，AO＝2， ∴OB＝， 又∵OB＝OP， ∴OP＝， 又∵点P在原点的左边， ∴点P表示的数为-， 故选：A． 【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】A 【解析】 解：根据题意，可知AB＝＝＝，AC＝AB， ∴AC＝， 又∵点A的坐标为（﹣2，0）， ∴点C的坐标为， 故选：A． 【强化训练2】如图，把长方形ABCD放在数轴上，BC＝4，CD＝1，以点B为圆心，BD长为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为 　     　． 【答案】 ﹣3 【解析】 解：在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝1， ∴BD＝＝＝， ∵以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E， ∴BE＝BD＝， ∴E点表示的数为﹣3， 故答案为：﹣3． 【强化训练3】在数轴上画出表示的点. 【答案】 解　如图所示，点C即为表示的点. 【强化训练4】在数轴上作出表示的点. 【答案】 解：所画图形如图所示，其中点A即为所求， ． 【题型7】与赵爽弦图有关的问题 【典例】我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A.    B.8    C.    D. 【答案】D 【解析】 解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x， 则x2＝62+22＝40， 所以x＝2， 所以风车的外围周长为4（BD+AC）＝4×（2+3）＝8+12． 故选：D． 【强化训练1】如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　） A.4    B.6      C.8    D.10 【答案】B 【解析】 解：根据勾股定理可得a2+b2＝17， 四个直角三角形的面积是ab×4＝17﹣5＝12， 即ab＝6，故选：B． 【强化训练2】如图是“赵爽弦图”，其中△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝5，BH＝4，那么EF等于　      　． 【答案】 1 【解析】 解：∵AB＝5，BH＝4，∴AH＝＝3， ∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形， ∴DE＝AH＝3，BH＝DF＝4， ∴EF＝DF﹣DE＝4﹣3＝1． 【强化训练3】如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，若ab＝7，c＝4，则MN的长是　  　． 【答案】 2 【解析】 解：由图可知四边形ABCD是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为（a﹣b）， 那么对角线MN=， ∵a2+b2＝c2＝16，ab＝7，所以MN＝2， 故答案为2． 【题型8】求图形面积 【典例】如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（　　） A.15cm2    B.30cm2    C.60cm2    D.65cm2 【答案】A 【解析】 解：由勾股定理得，AC＝＝12， ∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD＝6， ∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2）， 故选：A． 【强化训练1】如图，将七个正方形依次放在直线上，已知正放置的四个正方形的面积依次是，，斜放置的正方形的面积分别是，则的值为（） A.3.5    B.4    C.4.5    D.6 【答案】B 【解析】 解： ∴ ， ∴ ． ∵， ∴， 同理，， ， 即． ， ． 故选：B． 【强化训练2】如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A，B的面积分别为9，25，则原直角三角形的面积为(　　) A.4    B.6 C.12    D.16 【答案】B 【解析】 根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为=4， 则这个直角三角形的面积为××4=6. 【强化训练3】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是　　　　　　. 【答案】 10 【解析】 根据勾股定理的几何意义， 可得正方形A，B的面积和为S1， 正方形C，D的面积和为S2，S1+S2=S3， 即正方形E的面积为S3=2+5+1+2=10. 【强化训练4】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 【答案】 解：根据勾股定理的几何意义， 可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=122+162+92+122=625． 【题型9】网格问题 【典例】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】D 【解析】 解：由题可得＝3×3－1×3×－2×3×－1×2×＝，BC＝＝， ∴AD××＝， 解得AD＝， 故选：D． 【强化训练1】如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（　　） A.线段AB      B.线段BC      C.线段AC      D.线段BD 【答案】B 【解析】 解：由图可得， AB＝＝， BC＝＝， AC＝＝， BD＝＝， 由上可得，线段长度为的是线段BC， 故选：B． 【强化训练2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【解析】 解：由勾股定理得：AC＝＝2， ∵S△ABC＝3×4﹣×1×2﹣×3×2﹣×2×4＝4， ∴AC•BD＝4， ∴2BD＝4， ∴BD＝， 故选：C． 【强化训练3】如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC=90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上.则四边形ABCD的周长为　　　　　　. 【答案】12+5 【解析】AB=4，BC=3，CD==5，AD==5， ∴C四边形ABCD=4+3+5+5=12+5. 【强化训练4】作图题：如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上． (1)画出关于x轴对称的图形； (2)的周长是 ． 【答案】 （1）解：如图，即为所求作； （2）解：，，， 所以，周长． 故答案为：． 【强化训练5】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图，所画图形的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中，画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形． (2)在图②中，画一个面积为10的等腰直角三角形． (3)在图③中，画一个底边长为，面积为6的等腰三角形． 【答案】 （1）解：∵等腰三角形的底边长为4，面积为8， ∴底边上的高为． 如图所示． （2）解：∵等腰直角三角形的面积为10， ∴等腰直角三角形的直角边长为． 如图所示． （3）解：∵等腰三角形的底边长为，面积为6， ∴底边上的高为． 如图所示． 【题型10】求旗杆的高度 【典例】如图，强强想测量旗杆AB的高度，旗杆对面有一高为18米的大楼CD，大楼与旗杆相距28米（BD＝28米），在大楼前10米的点P处，测得∠APC＝90°，且AB⊥BD，CD⊥BD，则旗杆AB的高为（　　） A.8米    B.10米    C.12米    D.18米 【答案】B 【解析】 解：由题意得，CD＝18m，BD＝28m，PD＝10m， ∴BP＝BD﹣PD＝28﹣10＝18（m）， ∴BP＝DC， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠PDC＝90°， ∴∠PAB+∠APB＝90°， ∵∠APC＝90°， ∴∠APB+∠CPD＝90°， ∴∠PAB＝∠CPD， 在△PBA和△CDP中， ， ∴△PBA≌△CDP（AAS）， ∴AB＝PD＝10m， 故选：B． 【强化训练1】如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6 cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8 cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10 cm时，钟摆AD的长度是（　　） A.17 cm    B.24 cm      C.26 cm    D.28 cm 【答案】C 【解析】 解：设AB＝AD＝x cm， 根据题意可知CE＝BF＝8 cm， ∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102， 解得x＝26． 故选：C． 【强化训练2】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（　　） A.0.5米    B.1.2米    C.1.3米    D.1.7米 【答案】C 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.2米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.2﹣1.7＝0.5（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.3（米）， 故选：C． 【强化训练3】如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 【答案】 13.6 【解析】 解：∵BD⊥CE， ∴∠BDC＝90°， 由勾股定理得， CD＝＝＝12（米）， ∵四边形BAED是矩形， ∴DE＝AB＝1.6（米）， ∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米）， 故答案为：13.6米． 【强化训练4】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米， 由勾股定理，可得AC＝＝8（米）， ∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米）， 即风筝离地面的垂直高度为9.5米． （2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米，A'C＝20米， 在Rt△A′BC中，∠A′CB＝90°，BC＝15米， 由勾股定理，可得A′B＝＝25（米）， 则应该再放出25﹣17＝8（米）， 即他应该再放出8米长的线． 【强化训练5】小丽在放风筝时，风筝不小心挂在了如图所示的树的顶端处，她想知道这棵树的高度，制定了如下方案：如图，在地面上的点处，测得点到大树底部的距离为（即），将风筝线拉直为，此时手中剩余风筝线的长度为．从点移动至地面上的点处时（即），将风筝线拉直后为，此时手中的风筝线恰好用完．已知，点、、在同一水平线上，图中所有的点在同一平面内，求这棵树的高度． 【答案】 解：， ， 由题意可得， ，点、、在同一水平线上， 和均为直角三角形， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解得， ， 这棵树的高度为． 【题型11】求梯子滑落的高度 【典例】如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（　　） A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 【答案】A 【解析】 解：在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2＝22﹣1.22＝2.56（平方米）， ∴AC＝1.6米， ∵BD＝0.4米， ∴CD＝1.6米． 在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝22﹣1.62＝1.44（平方米）， ∴EC＝1.2米， ∴AE＝AC﹣EC＝1.6﹣1.2＝0.4（米）． 故选：A． 【强化训练1】如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5m    B.3m    C.1.5m    D.3.5m 【答案】A 【解析】 解：设BO＝xm， 依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m． 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， ∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， 解得：x＝1.5， ∴AB＝＝2.5（m）， 即梯子的长度AB为2.5m， 故选：A． 【强化训练2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　    　米． 【答案】 2.7 【解析】 解：如图， 根据题意得：AE＝DE， 在Rt△ABE中，AB＝1.5米，BE＝2米， ∴AE=（米）， 在Rt△CDE中，DE＝2.5米，CD＝2.4米， ∴CE=（米）， ∴BC＝BE+CE＝2+0.7＝2.7（米）， ∴小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【强化训练3】如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米，BC为1米．则滑道BD的长度为　  　． 【答案】 5米 【解析】 解：设BD的长为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米， 由题意得∠BAD＝90°，AB＝CE＝3米， 在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＝32+（x﹣1）2， 解得x＝5，即滑道BD的长为5米． 【强化训练4】某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15 m（即AB＝CD＝15 m），消防车高3 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12 m（即BE＝12 m）高的B处救人后，还要从15 m（即DE＝15 m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3 m）． 【答案】 解：在Rt△ABO中， ∵AB＝15 m，OB＝12﹣3＝9（m）， ∴AO＝＝＝12（m）， 在Rt△COD中， ∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m）， ∴OC＝＝＝9（m）， ∴AC＝OA﹣OC＝3（m）， 即AC为3m． 【题型12】求大树折断前的高度 【典例】如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.4.5米    B.6米    C.米    D.9米 【答案】D 【解析】 解：∵AB＝3，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°， ∴AC＝6， ∴这棵树在折断前的高度为AC+AB＝6+3＝9（米）． 故选：D． 【强化训练1】如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5 m，树的顶端离树根4 m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A.16 m    B.18 m      C.22 m    D.24 m 【答案】A 【解析】 解：如图， ∵BC＝7.5 m，AC＝4 m，∠C＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， 即AB2＝42+7.52， ∴AB＝8.5 m， ∴这棵树在折断之前的高度＝8.5+7.5＝16（m）． 故选：A． 【强化训练2】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　    　尺． 【答案】 4.55 【解析】 解：设折断处离地面x尺，根据题意可得： x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 答：折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 【强化训练3】“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（AC）才露尖尖角，已知露出水面的部分AB为6 cm，突然一阵清风扶过，它随风倾斜（从CA倾斜至CD，BD为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地12 cm，即BD＝12 cm，则水深BC的长为　 　cm． 【答案】 9 【解析】 解：由题意，设水深为h cm，则荷花的高为（h+6）cm，且水平距离为12 cm， 由勾股定理，CD2＝BD2+BC2， ∴（h+6）2＝122+h2． ∴h＝9． ∴水深9 cm． 【强化训练4】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，求这棵树的高度.(结果保留根号) 【答案】 解　据题意，得AC=1米，∠CAB=90°， 据勾股定理得BC===(米)， ∴AC+BC=(1+)米， 故树高为(1+)米. 【强化训练5】在一棵树的5米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树15米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？ 【答案】 解：由题意知BC+AC＝20（米）． 设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为20米． 由勾股定理得x2+152＝[20﹣（x﹣5）]2， 解得x＝8． ∴这棵树高8米． 【题型13】求河的宽度 【典例】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A.0.7米    B.1.5米    C.2.2米    D.2.4米 【答案】C 【解析】 解：如图， ∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD＝＝＝1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 【强化训练1】如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米    B.6米    C.9米    D.10米 【答案】C 【解析】 解：由题意可知，∠ACB＝90°， ∵AB＝15米，BC＝12米， ∴AC＝（米）， 故选：C． 【强化训练2】如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，BC＝12km，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为　 　km． 【答案】 4 【解析】 解：由勾股定理得AB＝＝＝13（km）， ∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（5+12）﹣13＝4（km）． 故答案为4． 【强化训练3】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】 解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC=（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC=（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 【题型14】求台阶上毛毡的长度 【典例】如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A.      B.      C.      D. 【答案】A 【解析】 解：如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【强化训练1】如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　） A.5米    B.6米    C.7米    D.8米 【答案】C 【解析】 解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m ∴AC＝＝4（m）， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米， 故选：C． 【强化训练2】如图，一段楼梯高是，斜边长，在楼梯上铺地毯，地毯至少长      m． 【答案】 14 【解析】 解：∵是直角三角形，， ∴， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为（米）． 故答案为：14． 【强化训练3】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要      元． 【答案】 1020 【解析】 解：由勾股定理得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 铺完这个楼道至少需要（元）． 故填：． 【题型15】选址使到两地距离相等 【典例】如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（ ）． A.2    B.3.3    C.2.5    D.2.8 【答案】B 【解析】 解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【强化训练1】如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A.20千米    B.16千米    C.12千米    D.无法确定 【答案】B 【解析】 解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴， ∴ ， ∴， 解得：x＝16， 则煤栈E应距A点16km． 故选：B． 【强化训练2】如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是         ． 【答案】 【解析】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【强化训练3】如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 【答案】 解：设，则， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得：， 即； ∴市场E应建在距A的20千米处； ∵，， 在和中， ， 可得， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形． 【题型16】航海问题 【典例】已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】A 【解析】 解：如图， ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC＝90°， 两小时后，两艘船分别行驶了AB＝18×2＝36（海里），AC＝12×2＝24（海里）， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC＝＝12（海里）． 故选：A． 【强化训练1】如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ） A.海里      B.海里      C.2海里      D.2海里 【答案】D 【解析】 由题可知：， ∴海里， 故选D． 【强化训练2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（　　） A.12海里    B.16海里    C.20海里    D.24海里 【答案】C 【解析】 解：由题意得，，， ∴． ∵海里，海里， ∴海里． 故选C． 【强化训练3】一艘轮船以的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一艘轮船也从港口出发以的速度向东南方向航行，半小时后它们相距      ． 【答案】 【解析】 解：如图， 因为东北和东南的夹角为，所以为直角三角形． 在中，()， ()． 则()． 故答案为： ． 【强化训练4】如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时 千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇． (1)求的度数； (2)求乙船航行多少小时被甲船追上． 【答案】 解：（1）如图： 由题意得： ，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）过点作，垂足为， 由题意得： ， 在中，， 千米， 千米， 在中，， 千米， 小时， 乙船航行4小时被甲船追上． 【题型17】受台风影响问题 【典例】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A.秒      B.16秒    C.秒    D.24秒 【答案】B 【解析】 解：如图， 以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B. 【强化训练1】如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区 A.10    B.7    C.6    D.12 【答案】B 【解析】 解：由题意，作图如下： 设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【强化训练2】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ） A.12秒    B.16秒    C.20秒    D.30秒 【答案】B 【解析】 解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B． 【强化训练3】如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是      米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为      秒（，结果精确到秒）． 【答案】 400； 【解析】 解：如图，作交于点，则， 在中，， ， 由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 即当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响； 如图，在上取一点，使得米， 当米时，米， 米， 居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米， 72千米/小时20米/秒， 居民楼受噪音的影响时间约为（秒）． 故答案为：400；． 【强化训练4】如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时． (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【答案】 解：（1）如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∴的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离． ∵，， ∴． 答：卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为． （2）如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【强化训练5】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500 km和300 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域. (1)求BC； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为35 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】 解　(1)∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∵AB=500 km，AC=300 km， ∴BC===400(km). (2)海港C受台风影响，理由如下： 过点C作CD⊥AB，如图. ∵AC=300 km，BC=400 km，AB=500 km， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴AC·BC=CD·AB， ∴300×400=500·CD， ∴CD=240 km， ∵以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响. (3)当EC=250 km，FC=250 km时，正好影响C港口， ∵ED==70(km)， ∴EF=140 km， ∵台风的速度为35 km/h， ∴140÷35=4(h)， 故海港C受台风影响的时间会持续4 h. 【题型18】最短路径问题 【典例】有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】D 【解析】 解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度， 然后与村庄连接与河岸相交于一点， 过点作与相交于点， 连接，则即为最短路径， 如图 所示， 故选：D． 【强化训练1】如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁(杯壁厚度不计)，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为(　　) A.22 cm      B.21 cm      C.20 cm      D.27 cm 【答案】C 【解析】 如图， 将杯子侧面展开，作点A关于EH的对称点A'， 连接A'B，交EH于点F，此时点A'，F，B在同一条直线上， 则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A'B的长度，过点A'作A'D⊥BE，交BE延长线于点D， 依题意，A'D=32÷2=16(cm)，BD=3+(14-5)=12(cm)， 此时A'B===20(cm). ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm. 【强化训练2】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8    B.5    C.20    D.10 【答案】C 【解析】 解：如图，线段AB即为所需彩带最短， 由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16， ∴由勾股定理得，， 故选：C． 【强化训练3】如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为 　     　． 【答案】 26cm 【解析】 解：如图所示，将长方体的侧面展开， AC＝2（5+7）＝24（cm），BC＝＝10（cm）， 由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm）， ∴所用细线最短为26cm， 故答案为：26cm． 【强化训练4】一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干横截面的周长为20cm，A，B两点的距离为15cm．若螳螂想吃掉在点B的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 【答案】 解：把这段树干看成用纸卷成的圆柱，从AB处将它展开如下： 则AB即为所求的最短距离． 其中BC＝15cm，AC＝20cm， 在Rt△ACB中，AB＝＝＝25（cm）． 答：螳螂绕行的最短路程是25cm． 【强化训练5】如图，圆柱底面圆的半径为cm，高为9cm，将一根棉线从底面A点开始绕圆柱3圈后，挂在点A的正上方点B处，那么这根棉线的长度最短是多少？ 【答案】 解：圆柱体的展开图如图所示： 用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→C'D'→DB， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短， ∵圆柱底面半径为cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长＝2π×＝4cm， 又∵圆柱高为9cm， ∴小长方形的一条边长是3cm， 根据勾股定理求得AC＝C'D'＝DB＝5cm， ∴AC+C'D'+DB＝15cm， 答：这根棉线的长度最短是15cm． 【题型19】其他实际问题 【典例】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A.15cm    B.18cm    C.21cm    D.24cm 【答案】A 【解析】 解：依题意，AC＝24，BC＝7cm， 在Rt△ABC中，AB=cm， ∵AB＝AD＝25，DE＝20， 在Rt△ADE中，AE=cm， 故选：A． 【强化训练1】小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店（如图所示）．已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（　　） A.880米    B.1100米    C.1540米    D.1760米 【答案】B 【解析】 解：∵小明家到书店所用的时间为＝10（分钟）， 又∵小明的速度为＝110（米/分钟）， 故小明家距离书店的距离为110×10＝1100（米）． 故选：B． 【强化训练2】如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　    　cm． 【答案】 8 【解析】 解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm， ∴BD＝CD＝BC＝15cm． 在直角△ABD中，由勾股定理知：AD＝＝＝8（cm）． 故答案为：8． 【强化训练3】如图，某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB，AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B，C之间的距离为　　　　米. 【答案】 21 【解析】 ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AB，AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米， ∴BD===5(米)，DC===16(米)， ∴BC=BD+DC=5+16=21(米). 【强化训练4】已知长方形零件尺寸（单位：mm）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）. 【答案】 解：由题意得AC=40-21=19（mm），BC=60-21=39（mm）， 在△ABC中，∠ACB=90°， 由勾股定理，得AB=3.4（mm）. ∴两圆孔中心A和B的距离约为43.4 mm. 【强化训练5】如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6 m，将秋千AD往前推送3 m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态. (1)根据题意，CD=　　　m，BC=　　m，BF=　　m； (2)根据(1)中求得的数据，求秋千的长度； (3)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6 m时，需要将秋千AD往前推送　　　m. 【答案】 解　(1)由题意得BF=1.6 m，BC=3 m，DE=0.6 m， ∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是矩形， ∴CE=BF=1.6 m， ∴CD=CE-DE=1.6-0.6=1(m). (2)∵BC⊥AC， ∴∠ACB=90°. 设秋千的长度为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=(x-1)m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2， 即(x-1)2+32=x2， 解得x=5， 即秋千的长度是5 m. (3)当BF=2.6 m时，CE=2.6 m， ∵DE=0.6 m， ∴CD=CE-DE=2.6-0.6=2(m)， 由(2)可知，AD=AB=5 m， ∴AC=AD-CD=5-2=3(m)， 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC===4(m)， 即需要将秋千AD往前推送4 m. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（2024）八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 强化训练 【题型1】勾股定理的证明 【典例】我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 A.    B. C.    D. 【强化训练1】下列说法中，正确的是(　　) A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以BC2+AC2=AB2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以BC2+AC2=AB2 【强化训练2】若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为　　　　. 【强化训练3】[阅读理解]我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2． [尝试探究]美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理． [定理应用]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c． 求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4． 【强化训练4】如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x． （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x． 因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝___________． （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程； （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得ad＝bc） 【题型2】用勾股定理求边长 【典例】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝（　　） A.20    B.25    C.35    D.30 【强化训练1】在平面直角坐标系中，点A(2，-1)，B(5，3)，则AB的长为(　　) A.    B.5    C.4    D.3 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)，则AB长度为　　　. 【强化训练3】已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a-|+(b-)2=0. ①求a，b的值； ②若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值. 【强化训练4】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边为c. （1）已知a=12，b=5，求c； （2）已知a=3，c=4，求b； （3）已知c=10，b=9，求a. 【题型3】求坐标系中两点间距离或点的坐标 【典例】如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 【强化训练1】等边△ABO在平面直角坐标系内的位置如图所示，已知△ABO的边长为6，则点A的坐标为 A.(-3，3) B.(3，-3) C.(-3，3) D.(-3，-3) 【强化训练2】在平面直角坐标系中，点A坐标为，点P的坐标为，则AP最小值为        ． 【强化训练3】如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是，B点坐标是，C点坐标是． (1)作关于y轴对称的图形，A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点E的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【题型4】折叠问题 【典例】如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为(　　) A.1.5    B.2.5    C.2.25    D.3 【强化训练1】如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A.      B.7    C.      D. 【强化训练2】如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ） A.       B.       C.       D. 【强化训练3】如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是           ． 【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 cm，BC=3 cm，点D为AC上的一点，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的点E处，求AD的长. 【题型5】线段间平方关系问题 【典例】如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于D，E为AD上任一点，则CE2﹣BE2＝（　　） A.1    B.2    C.4    D.5 【强化训练1】下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（ ） A.小明对，小亮错    B.小明错，小亮对    C.两人都错    D.两人都对 【强化训练2】如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 【强化训练3】如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则      ． 【强化训练4】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【强化训练5】如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【题型6】求无理数并在数轴上表示 【典例】如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A.-      B.      C.-      D. 【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为（　　） A.    B.      C.    D. 【强化训练2】如图，把长方形ABCD放在数轴上，BC＝4，CD＝1，以点B为圆心，BD长为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为 　     　． 【强化训练3】在数轴上画出表示的点. 【强化训练4】在数轴上作出表示的点. 【题型7】与赵爽弦图有关的问题 【典例】我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A.    B.8    C.    D. 【强化训练1】如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　） A.4    B.6      C.8    D.10 【强化训练2】如图是“赵爽弦图”，其中△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝5，BH＝4，那么EF等于　      　． 【强化训练3】如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，若ab＝7，c＝4，则MN的长是　  　． 【题型8】求图形面积 【典例】如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（　　） A.15cm2    B.30cm2    C.60cm2    D.65cm2 【强化训练1】如图，将七个正方形依次放在直线上，已知正放置的四个正方形的面积依次是，，斜放置的正方形的面积分别是，则的值为（） A.3.5    B.4    C.4.5    D.6 【强化训练2】如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A，B的面积分别为9，25，则原直角三角形的面积为(　　) A.4    B.6 C.12    D.16 【强化训练3】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是　　　　　　. 【强化训练4】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 【题型9】网格问题 【典例】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（　　） A.    B.      C.    D. 【强化训练1】如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（　　） A.线段AB      B.线段BC      C.线段AC      D.线段BD 【强化训练2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A.    B.    C.    D. 【强化训练3】如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC=90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上.则四边形ABCD的周长为　　　　　　. 【强化训练4】作图题：如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上． (1)画出关于x轴对称的图形； (2)的周长是 ． 【强化训练5】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图，所画图形的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中，画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形． (2)在图②中，画一个面积为10的等腰直角三角形． (3)在图③中，画一个底边长为，面积为6的等腰三角形． 【题型10】求旗杆的高度 【典例】如图，强强想测量旗杆AB的高度，旗杆对面有一高为18米的大楼CD，大楼与旗杆相距28米（BD＝28米），在大楼前10米的点P处，测得∠APC＝90°，且AB⊥BD，CD⊥BD，则旗杆AB的高为（　　） A.8米    B.10米    C.12米    D.18米 【强化训练1】如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6 cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8 cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10 cm时，钟摆AD的长度是（　　） A.17 cm    B.24 cm      C.26 cm    D.28 cm 【强化训练2】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（　　） A.0.5米    B.1.2米    C.1.3米    D.1.7米 【强化训练3】如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 【强化训练4】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【强化训练5】小丽在放风筝时，风筝不小心挂在了如图所示的树的顶端处，她想知道这棵树的高度，制定了如下方案：如图，在地面上的点处，测得点到大树底部的距离为（即），将风筝线拉直为，此时手中剩余风筝线的长度为．从点移动至地面上的点处时（即），将风筝线拉直后为，此时手中的风筝线恰好用完．已知，点、、在同一水平线上，图中所有的点在同一平面内，求这棵树的高度． 【题型11】求梯子滑落的高度 【典例】如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，求梯子顶端A下落了（　　） A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 【强化训练1】如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5m    B.3m    C.1.5m    D.3.5m 【强化训练2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　    　米． 【强化训练3】如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米，BC为1米．则滑道BD的长度为　  　． 【强化训练4】某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15 m（即AB＝CD＝15 m），消防车高3 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12 m（即BE＝12 m）高的B处救人后，还要从15 m（即DE＝15 m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3 m）． 【题型12】求大树折断前的高度 【典例】如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.4.5米    B.6米    C.米    D.9米 【强化训练1】如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5 m，树的顶端离树根4 m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A.16 m    B.18 m      C.22 m    D.24 m 【强化训练2】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　    　尺． 【强化训练3】“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（AC）才露尖尖角，已知露出水面的部分AB为6 cm，突然一阵清风扶过，它随风倾斜（从CA倾斜至CD，BD为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地12 cm，即BD＝12 cm，则水深BC的长为　 　cm． 【强化训练4】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，求这棵树的高度.(结果保留根号) 【强化训练5】在一棵树的5米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树15米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？ 【题型13】求河的宽度 【典例】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A.0.7米    B.1.5米    C.2.2米    D.2.4米 【强化训练1】如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米    B.6米    C.9米    D.10米 【强化训练2】如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，BC＝12km，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为　 　km． 【强化训练3】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【题型14】求台阶上毛毡的长度 【典例】如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A.      B.      C.      D. 【强化训练1】如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　） A.5米    B.6米    C.7米    D.8米 【强化训练2】如图，一段楼梯高是，斜边长，在楼梯上铺地毯，地毯至少长      m． 【强化训练3】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要      元． 【题型15】选址使到两地距离相等 【典例】如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（ ）． A.2    B.3.3    C.2.5    D.2.8 【强化训练1】如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A.20千米    B.16千米    C.12千米    D.无法确定 【强化训练2】如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是         ． 【强化训练3】如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 【题型16】航海问题 【典例】已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（　　） A.    B.      C.    D. 【强化训练1】如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ） A.海里      B.海里      C.2海里      D.2海里 【强化训练2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（　　） A.12海里    B.16海里    C.20海里    D.24海里 【强化训练3】一艘轮船以的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一艘轮船也从港口出发以的速度向东南方向航行，半小时后它们相距      ． 【强化训练4】如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时 千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇． (1)求的度数； (2)求乙船航行多少小时被甲船追上． 【题型17】受台风影响问题 【典例】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A.秒      B.16秒    C.秒    D.24秒 【强化训练1】如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区 A.10    B.7    C.6    D.12 【强化训练2】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ） A.12秒    B.16秒    C.20秒    D.30秒 【强化训练3】如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是      米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为      秒（，结果精确到秒）． 【强化训练4】如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时． (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【强化训练5】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500 km和300 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域. (1)求BC； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为35 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【题型18】最短路径问题 【典例】有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ） A.    B.    C.    D. 【强化训练1】如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁(杯壁厚度不计)，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为(　　) A.22 cm      B.21 cm      C.20 cm      D.27 cm 【强化训练2】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8    B.5    C.20    D.10 【强化训练3】如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为 　     　． 【强化训练4】一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干横截面的周长为20cm，A，B两点的距离为15cm．若螳螂想吃掉在点B的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 【强化训练5】如图，圆柱底面圆的半径为cm，高为9cm，将一根棉线从底面A点开始绕圆柱3圈后，挂在点A的正上方点B处，那么这根棉线的长度最短是多少？ 【题型19】其他实际问题 【典例】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A.15cm    B.18cm    C.21cm    D.24cm 【强化训练1】小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店（如图所示）．已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（　　） A.880米    B.1100米    C.1540米    D.1760米 【强化训练2】如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　    　cm． 【强化训练3】如图，某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB，AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B，C之间的距离为　　　　米. 【强化训练4】已知长方形零件尺寸（单位：mm）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）. 【强化训练5】如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6 m，将秋千AD往前推送3 m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态. (1)根据题意，CD=　　　m，BC=　　m，BF=　　m； (2)根据(1)中求得的数据，求秋千的长度； (3)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6 m时，需要将秋千AD往前推送　　　m. 学科网（北京）股份有限公司 $