第十章 二元一次方程组【期中复习讲义】基础版-2025-2026学年数学苏科版七年级下册

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 二元一次方程组【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+28个题型讲练+能力提升训练 共56题】 （原卷版） 题型序列 题型讲练 题型讲练一 代入消元法 题型讲练二 加滅消元法 题型讲练三 二元一次方程组的特殊解法 题型讲练四 二元一次方程组的错解复原问题 题型讲练五 构造二元一次方程组求解 题型讲练六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型讲练七 方程组相同解问题 题型讲练八 三元一次方程组的定义及解 题型讲练九 三元一次方程组的应用 题型讲练十 根据实际问题列二元一次方程组 题型讲练十一 根据几何图形列二元一次方程组 题型讲练十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十四 代入消元法 题型讲练二十五 加滅消元法 题型讲练二十六 二元一次方程组的特殊解法 题型讲练二十七 二元一次方程组的错解复原问题 题型讲练二十八 构造二元一次方程组求解 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 题型讲练一 代入消元法 【例题】用代入法解关于的方程组时，代入正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 题型讲练二 加滅消元法 【例题】已知x，y满足方程组，则的值为________． 【变式】已知方程组的解是，则方程组的解是________． 题型讲练三 二元一次方程组的特殊解法 【例题】（25-26八年级上·广东梅州·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 【变式】【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 题型讲练四 二元一次方程组的错解复原问题 【例题】（23-24八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 【变式】解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 题型讲练五 构造二元一次方程组求解 【例题】（25-26七年级上·上海·假期作业）[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【变式】对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 题型讲练六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例题】若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 【变式】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 题型讲练七 方程组相同解问题 【例题】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【变式】已知方程组与有相同的解，则、的值为（    ） A． B． C． D． 题型讲练八 三元一次方程组的定义及解 【例题】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【变式】（24-25七年级下·山东烟台·月考）解方程组 (1) (2) (2) (4) 题型讲练九 三元一次方程组的应用 【例题】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【变式】（25-26七年级上·安徽亳州·月考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 题型讲练十 根据实际问题列二元一次方程组 【例题】《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期末）一列火车匀速行驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的平均速度和长度． (1)小智认为可以设火车的平均速度为x米/秒，火车的长度为y米，请你按照小智的思路，列出方程组并求出火车的平均速度和长度； (2)小慧认为可以设火车的长度为m米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为 米，所以这段时间内火车的平均速度为 米/秒；火车的平均速度还可以表示为 米/秒；由题意，可列方程 （不需化简和解方程）． 题型讲练十一 根据几何图形列二元一次方程组 【例题】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【变式】如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 题型讲练十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【变式】“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 题型讲练十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式】甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 题型讲练十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【变式】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 题型讲练十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【变式】（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 题型讲练十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在______岁时，将为奶奶贺白寿． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 题型讲练十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 【例题】25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 题型讲练十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射．某商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型共需要元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型共需要元．求两种模型的进货单价？ 【变式】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根的进价为元，则有哪几种购进方案？ (3)假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？ 题型讲练十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【变式】（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 题型讲练二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 【变式】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 题型讲练二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【例题】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）“幻方”历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行，每列，每条对角线上三个数的和都相等，如图就是一个三阶幻方的一部分，则该三阶幻方每行上三个数的和都是______． 6 7 【变式】如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 题型讲练二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 【例题】《九章算术》是中国古代数学著作之一．书中有这样一个问题：甲袋中装有金币9枚（每枚金币重量相同），乙袋中装有银币11枚（每枚银币重量相同），称重两袋重量相等；两袋互相交换1枚，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问：每枚金币、银币的重量各为多少?设一枚金币的重量为两，一枚银币的重量为两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式】我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 题型讲练二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【变式】某公司组织员工旅游，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人． (1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？ (2)若该公司有名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．现打算同时租甲、乙两种客车共辆，他们有几种租车方案？（两种客车都要租） (3)在（）的条件下，已知甲种客车每辆租金为元，乙种客车每辆租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费用． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（   ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 2．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 3．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 4．已知，满足方程组，则________． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若方程组的解为，则__． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 7．解方程组： (1) (2) 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 9．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 10．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 二元一次方程组【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+28个题型讲练+能力提升训练 共56题】 （解析版） 题型序列 题型讲练 题型讲练一 代入消元法 题型讲练二 加滅消元法 题型讲练三 二元一次方程组的特殊解法 题型讲练四 二元一次方程组的错解复原问题 题型讲练五 构造二元一次方程组求解 题型讲练六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型讲练七 方程组相同解问题 题型讲练八 三元一次方程组的定义及解 题型讲练九 三元一次方程组的应用 题型讲练十 根据实际问题列二元一次方程组 题型讲练十一 根据几何图形列二元一次方程组 题型讲练十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 题型讲练二十四 代入消元法 题型讲练二十五 加滅消元法 题型讲练二十六 二元一次方程组的特殊解法 题型讲练二十七 二元一次方程组的错解复原问题 题型讲练二十八 构造二元一次方程组求解 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 题型讲练一 代入消元法 【例题】用代入法解关于的方程组时，代入正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将第一个方程中x的表达式代入第二个方程即可得到正确结果． 【规范解答】解： 将①代入②可得 ． 【变式】（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【思路引导】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 题型讲练二 加滅消元法 【例题】已知x，y满足方程组，则的值为________． 【答案】4 【思路引导】本题考查二元一次方程组的求解，可利用整体思想计算，不需要分别求出x，y的值，将两个方程相加整理即可得到结果． 【规范解答】解：依题意，， 则，得， 等式两边同时除以，得． 【变式】已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【思路引导】题干已知的解，得到，然后将代入第二个方程组，再求解第二个方程组，解方程组即可得出结果． 【规范解答】解：∵方程组的解为， ∴， 即， 所以可变形为， 得，， 解得：， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 题型讲练三 二元一次方程组的特殊解法 【例题】（25-26八年级上·广东梅州·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出的值． 【规范解答】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 故答案为：． 【变式】【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解方程组整体换元法，熟练掌握该方法是解题的关键． （1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 题型讲练四 二元一次方程组的错解复原问题 【例题】（23-24八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)二 (3) 【思路引导】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）观察小乐同学解二元一次方程组的过程，即可解答； （2）等式③减去②得到左边为即可解答； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解：观察小乐同学解二元一次方程组的过程，可知是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质； （2）解：第二步开始出现错误，应为； （3）解： ①，得③， ③-②，得， 将代入①，得 ， 所以，原方程组的解为． 【变式】解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【思路引导】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【规范解答】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 题型讲练五 构造二元一次方程组求解 【例题】（25-26七年级上·上海·假期作业）[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查的知识点是多项式乘多项式、二元一次方程组的应用，解题关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出，的值． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出，的值； （2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得，， ， 由得，代入得， 解得， ， ． （2）解：由（1）得． 【变式】对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【思路引导】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 题型讲练六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例题】若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．两个方程相减可得，与联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案． 【规范解答】解：， 得：， ∵， ∴解方程组得：， ∴． 【变式】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【思路引导】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【规范解答】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 题型讲练七 方程组相同解问题 【例题】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】243 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组同解问题． 先联立方程组求出其解，再将解代入另外两个方程得到关于的方程组，解出的值，最后代入所求表达式计算即可． 【规范解答】解：解方程组，得， 由题意得方程组，解得， 则． 【变式】已知方程组与有相同的解，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据两个方程组的解相同，可重组一个只含、的方程组，求出它们的解，再把解代入含、的方程，得方程组并求出、的值． 【规范解答】解：方程组与有相同的解， ∴方程组与有相同的解， 解方程组， 得， 得， 得， 将代入得，，解得， 该方程组的解为， 把代入方程组， 得，解得． 题型讲练八 三元一次方程组的定义及解 【例题】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【思路引导】先设，再求出，即可得出，然后用分别减去三个方程求出方程组的解即可． 【规范解答】解：设，则， ∴． ∵， 即， ∴， 解得：， ∴， 由， ，得， ，得， ，得， ∴方程组的解为． 【变式】（24-25七年级下·山东烟台·月考）解方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解： 由得 将③代入①得， 解得： 将代入③得 ∴ （2）解： 整理得 得 解得： 将代入②得 解得： ∴ （3）解： 整理得 将①代入②得 解得： 将代入①得 解得： ∴ （4）解： 得 即， 得 解得： 将代入④得 解得： 将代入②得 解得： ∴ 题型讲练九 三元一次方程组的应用 【例题】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【规范解答】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 【变式】（25-26七年级上·安徽亳州·月考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)接收方收到的密码是，，． (2)发送方发出的密码是，，． 【思路引导】（1）根据发送方与接收方密码的约定关系，计算出，，即可； （2）根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于，，的方程组，通过解方程组求出发送方发出的密码． 本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， ， 答：接收方收到的密码是，，． （2）由题意得， 解得， 答：发送方发出的密码是，，． 题型讲练十 根据实际问题列二元一次方程组 【例题】《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，列出方程组即可． 【规范解答】解：设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意得： ． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期末）一列火车匀速行驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的平均速度和长度． (1)小智认为可以设火车的平均速度为x米/秒，火车的长度为y米，请你按照小智的思路，列出方程组并求出火车的平均速度和长度； (2)小慧认为可以设火车的长度为m米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为 米，所以这段时间内火车的平均速度为 米/秒；火车的平均速度还可以表示为 米/秒；由题意，可列方程 （不需化简和解方程）． 【答案】(1)，火车的平均速度是25米/秒，火车的长度是250米 (2)，，， 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，正确理解完全通过隧道和完全在隧道内的路程是解答本题的关键． （1）设火车的平均速度为x米/秒，火车的长度为y米，根据“火车经过隧道（从车头进入到车尾离开）的路程是隧道长度+火车长度”和“火车完全在隧道里的路程是隧道长度-火车长度”列方程组求解即可； （2）根据平均速度=总路程÷总时间可得火车的平均速度，根据平均速度相同可列方程． 【规范解答】（1）解：设火车的平均速度为x米/秒，火车的长度为y米，根据题意得： ， 解得， 答：火车的平均速度是25米/秒，火车的长度是250米 （2）设火车的长度为m米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为米，这段时间内火车的平均速度为米/秒； 火车的平均速度还可以表示为米/秒; 由题意，可列方程：； 故答案为：，，，． 题型讲练十一 根据几何图形列二元一次方程组 【例题】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【规范解答】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 【变式】如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【思路引导】本题考查二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽构造方程，并求解即可． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，大长方形的长为，大长方形的宽为， 列方程组，得，， 将，得，， 将代入①，得，， 解得，， ∴方程组的解为， 答：小长方形的长为，宽为． 题型讲练十二 方案问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【规范解答】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 【变式】“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【规范解答】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 题型讲练十三 行程问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【规范解答】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 【变式】甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 题型讲练十四 工程问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【规范解答】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 【变式】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 题型讲练十五 数字问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【规范解答】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 【变式】（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【思路引导】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【规范解答】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 题型讲练十六 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在______岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【规范解答】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【规范解答】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 题型讲练十七 分配问题（二元一次方程组的应用） 【例题】25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 【答案】60 【思路引导】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 【规范解答】解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 题型讲练十八 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射．某商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型共需要元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型共需要元．求两种模型的进货单价？ 【答案】“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是从题目中提取两个等量关系，列出方程组求解．先设两种模型的进货单价为未知数，再根据“1个‘神舟’模型和3个‘天宫’模型共元”“2个‘神舟’模型和1个‘天宫’模型共元”这两个条件列出二元一次方程组，最后通过代入消元法解方程组得到两种模型的进货单价． 【规范解答】解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 根据题意，得，解得：， 答：“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 【变式】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根的进价为元，则有哪几种购进方案？ (3)假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？ 【答案】(1)足球和跳绳的单价分别为100元、20元 (2)有两种方案：方案一，购进足球15个，跳绳20根；方案二，购进足球18个，跳绳4根 (3)选方案一，购进足球15个，跳绳20根 【思路引导】（1）设足球和跳绳的单价分别为元、元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）由题意得：，根据，且、是正整数，进而求得的值，即可求解； （3）根据（1）（2）的结论列出算式计算，即可求解． 【规范解答】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元、元， 由题意得： ， 解得： ， 答：足球和跳绳的单价分别为元、元； （2）解：由题意得：，， 当全买足球时，可买足球的数量为：， ，且、是正整数 ∴ 或 ∴有两种方案：方案一，购进足球个，跳绳根； 方案二，购进足球个，跳绳根； 答：有两种方案：方案一，购进足球个，跳绳根；方案二，购进足球个，跳绳根； （3）解：方案一利润：（元）， 方案二利润：（元）， 元元， 选方案一，购进足球个，跳绳根 题型讲练十九 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【思路引导】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 【变式】（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【答案】(1)1架A型无人机一次可配送货物100千克，1架B型无人机一次可配送货物60千克 (2)租金更少的租用方案是租用8架A型无人机和1架B型无人机，节省了50元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克，再根据题意列出关于x、y的二元一次方程组求解即可； （2）先说明选8架型无人机和1架型无人机配送运的租金更少，再求出节省的费用即可． 【规范解答】（1）解：设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克， 根据题意，得，解得：， 答：1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克． （2）解：选择方案：选8架型无人机和1架型无人机配送． 由（1）得1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克， 当按原计划租用9架A型无人机的运力为（千克），符合要求；此时，该方案的费用为（元）； 当租用8架A型无人机和1架B型无人机的运力为（千克），符合要求，此时，该方案的费用为（元）． 当租用7架A型无人机和2架B型无人机的运力为（千克），不符合要求； ∵， ∴选8架型无人机和1架型无人机配送的租金更少； ∴该方案节省的费用为（元）． 题型讲练二十 几何问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 【答案】67 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，求阴影部分的面积；设小长方形的长为a，宽为b，根据图形列出方程组，求出a，b,再用面积公式计算即可． 【规范解答】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知， 解得， ∴阴影部分面积为， 故答案为67． 【变式】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【思路引导】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【规范解答】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 题型讲练二十一 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【例题】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）“幻方”历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行，每列，每条对角线上三个数的和都相等，如图就是一个三阶幻方的一部分，则该三阶幻方每行上三个数的和都是______． 6 7 【答案】6 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”列方程（组）求解即可． 【规范解答】解：如表： 6 7 则，， 解得：，， 则，即， 解得：， 则该三阶幻方每行上三个数的和都是． 故答案为：． 【变式】如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【规范解答】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 题型讲练二十二 古代问题（二元一次方程组的应用） 【例题】《九章算术》是中国古代数学著作之一．书中有这样一个问题：甲袋中装有金币9枚（每枚金币重量相同），乙袋中装有银币11枚（每枚银币重量相同），称重两袋重量相等；两袋互相交换1枚，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问：每枚金币、银币的重量各为多少?设一枚金币的重量为两，一枚银币的重量为两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由于甲原有9枚金币，乙原有11枚银币，原两袋重量相等，设每枚金币重两，每枚银币重两，得到第一个方程；交换1枚后，甲袋有8枚金币和1枚银币，总重为，乙袋有10枚银币和1枚金币，总重为，此时甲袋比乙袋轻13两，即甲的重量等于乙的重量减13，得到第二个方程，即可得到方程组． 【规范解答】解： 设一枚金币的重量为两，一枚银币的重量为两， 则可列方程组为：． 【变式】我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【答案】甜果买了657个，苦果买了343个 【思路引导】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设甜果买x个，苦果买y个根据数量和钱数，列出方程组求解即可． 【规范解答】解：设甜果买x个，苦果买y个． 列方程组得，， 解得， 答：甜果买了657个，苦果买了343个． 题型讲练二十三 其他问题（二元一次方程组的应用） 【例题】（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 (2) (3)一摞碗的高度不能为，理由见解答 【思路引导】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【规范解答】（1）解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； （2）解：根据题意得：； （3）解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【变式】某公司组织员工旅游，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人． (1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？ (2)若该公司有名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．现打算同时租甲、乙两种客车共辆，他们有几种租车方案？（两种客车都要租） (3)在（）的条件下，已知甲种客车每辆租金为元，乙种客车每辆租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费用． 【答案】(1)甲种客车每辆能载客人，乙两种客车每辆能载客人 (2)有三种租车方案 (3)租甲种客车辆、乙种客车辆最省钱，最少的租车费用是元 【思路引导】（）设甲种客车每辆能载客人，乙两种客车每辆能载客人，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设租甲种客车辆，则租乙种客车辆，根据题意列出不等式组解答即可求解； （）求出每一组方案的费用，进而比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人， 由题意得，， 解得， 答：甲种客车每辆能载客人，乙两种客车每辆能载客人． （2）解：设租甲种客车辆，则租乙种客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为正整数， ， ∴有三种租车方案； （3）解：由（）得，有以下三种租车方案： ①租甲种客车辆，乙种客车辆； ②租甲种客车辆，乙种客车辆； ③租甲种客车辆，乙种客车辆； 若租甲种客车辆、乙种客车辆，租金为（元）， 若租甲种客车辆、乙种客车辆，租金为（元）， 若租甲种客车辆、乙种客车辆，租金为（元）， ， ∴租甲种客车辆、乙种客车辆最省钱，最少的租车费用是元． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（   ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．把代入求出值，将，代入，即可得出答案． 【规范解答】解：由题意得：将代入得：， 将，代入得：， ∴，． 2．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【规范解答】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 3．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【思路引导】设出两种导线的根数，根据总长度列出方程，结合x，y为正整数的条件找出所有符合的解即可． 【规范解答】解：设的导线有根，的导线有根，均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是正偶数，即为正偶数，且，得， 的可取的值为，共4个不同值，对应4种不同的截取方案． 4．已知，满足方程组，则________． 【答案】1 【思路引导】将方程组中两个方程作差变形，即可求出的值． 【规范解答】解： 得，， 整理得，， 等式两边同除以得，． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若方程组的解为，则__． 【答案】 【思路引导】将方程组的解代入原方程组，求出和的值，再计算的值即可． 【规范解答】解：将代入原方程组得，， 解第二个方程得，， 将代入第一个方程得，， 因此． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 【答案】 【思路引导】设大正方形和小正方形的边长分别是和，根据题意列方程组得到，，设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为，根据题意列方程得到，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 设重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， 两块阴影部分的周长和， 阴影面积 7．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先将原方程组进行化简，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】（1）消元；等式的性质 （2）二 （3） 【思路引导】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【规范解答】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 9．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【规范解答】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 10．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨 (2)共有3种租车方案，具体见详解 (3)选租车方案3最省钱，最少租车费为730元 【思路引导】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于的二元一次方程，结合均为整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆A型车的租金租用A型车的数量每辆B型车的租金租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨， 依题意得，解得， 答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨； （2）解：依题意得， ∴， 又均为整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： 方案1：租用A型车8辆，B型车1辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车3辆； 方案3：租用A型车2辆，B型车5辆； （3）解：选用方案1所需租车费为（元）； 选用方案2所需租车费为（元）； 选用方案3所需租车费为（元）； ， ∴选租车方案3最省钱，最少租车费为730元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $