精品解析：山东聊城第一中学2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试题

2024－2025学年第二学期期中考试 高二数学试题 时间：150分钟 分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，所以. 2. 某班上午要上语文、数学、体育和外语四门课，体育老师因故不能上第一节和第二节，不同的排课方法有 （ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】优先安排体育课，再安排其余三节课，根据分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】先安排体育课，有种排法；再安排其余三节课，有种排法； 不同的排课方法有种排法. 故选：B. 3. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的展开式中常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中常数项为． 4. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为（ ） A. 25 B. 10 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列举出X所有可能取值. 【详解】X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8，4＋5＝9. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，结合函数值确定正确选项. 【详解】由，可得函数的减区间为，增区间为， 当时，，可得选项为A． 故选：A 6. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品优品， 由题可得：， 故. 故选：A. 7. 的计算结果精确到0.001的近似值是（ ） A. 0.930 B. 0.931 C. 0.932 D. 0.933 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理求解 【详解】. 故选：C 8. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围. 【详解】的定义域为， 由题意得在上有解， 即在上有解， 其中， 故，故实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A项：，所以A错； 对于B项：，所以B对； 对于C项：，所以C错； 对于D项：，所以D正确． 10. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】计算出，，利用条件概率求出，A正确；同理得到，D错误，利用全概率公式求出，B错误；利用条件概率得到C正确. 【详解】由题意得：，， 故，A正确； ，，D错误； ，， 故，B错误； ，C正确. 故选：AC 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解. 【详解】令，则. 由已知可得，即在上单调递减． 所以， 故，，即C、D选项正确． 选项B，因为，所以， 若为负，则， 所以不等式不成立. 选项A，由， 可得， 无法推出，因此选项A错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可知， 当时，令，即可得． 所以. 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接求导，分离参数得. 【详解】， 又∵在上单调递增，∴在上恒成立， ∴，∴． 故答案为：. 14. 从、、、、、、、、这个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑为真数时，对数值只能为；然后考虑从除以外的其余各数任取两数分别作为对数的底数和真数，减去对数值重复的情况，即可得解. 【详解】由于只能作真数，从其余个数任取一个数作底数，对数值均， 从除以外的其余各数任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式， 其中，，，， 因此，不同的对数值的个数为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）分别选择这三个条件，利用二项式系数的性质，求的值； （2）根据的值和展开式中的常数项为112，利用二项式求得的值，再求展开式中的系数. 【小问1详解】 选①，， ； 选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，； 选③，∵所有项的二项式系数的和为256，， . 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为 ，令得， ∴展开式中的常数项为， 得，又， 的展开式的通项公式为， 令得， ， ∴展开式中的系数为. 16. 某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. （1）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （2）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可解； （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可得. 【小问1详解】 从7名成员中挑选2名成员，共有种情况， 记“男生甲被选中”为事件A，所包含的基本事件数为种，故. 记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则， 故. 【小问2详解】 记“挑选的2人一男一女”为事件C， 事件C所包含的基本事件数为种， 由（1），则，则， 故. 17. 甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球. （1）求“三球中至少有一个为白球”的概率； （2）设表示所取白球的个数，求的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，再用间接法即可求得“三球中至少有一个为白球”的概率； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3.分别求出各个取值的概率，从而可列出离散型随机变量的分布列. 【小问1详解】 记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件， 则；；. ； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 18. 已知函数在与时，都取得极值． （1）求的值； （2）若，求的单调区间和极值； （3）若对都有恒成立，求的取值范围． 【答案】解：（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0． 由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解． －a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2……………………………………4分 经检验得：这时与都是极值点．…………………………………5分 （2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1． ∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1． ∴ f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）． 当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝； 当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－……………………………………………10分 （3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c， f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减． 而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2． ∴ f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴ ，∴ ∴ 或∴ 或…………………16分 【解析】 【详解】试题分析：（1）函数的极值点是使导数等于0的的值，因此本题中一定有和，由此可解出的值；（2）再由可求出，而求单调区间，很显然是解不等式（得增区间）或（得减区间），然后可得相应的极大值和极小值；（3）不等式恒成立，实际上就是当时的最大值小于，因此问题转化为先求在上的最大值，然后再解不等式即可． 试题解析：（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0． 由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解． －a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2 3分 经检验得：这时与都是极值点． …4分 （2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1． ∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1． ∴f(x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）． 当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝； 当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－ …8分 （3）由（1）得，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c， f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减． 而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2． ∴ f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴ ，∴ ∴ 或∴ 或 12分 考点：（1）导数与极值；（2）导数与单调区间；（3）不等式恒成立问题． 19. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，. （3）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意及导数的几何意义先求出和，由点斜式可得解； （2）当时，恒成立，等价于恒成立， 构造函数，通过研究单调性和最小值即可得证； （3）利用参变分离将原不等式转化为恒成立， 再构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得解 【小问1详解】 由题意，，又 由导数的几何意义， ， 所以在点处的切线方程：， 即； 【小问2详解】 当时，恒成立，等价于恒成立， 设，则， 当时，，所以，即在上为增函数， 所以，即恒成立，恒成立， 所以当时，，问题得证； 【小问3详解】 若时，恒成立， 等价于恒成立， 令，则， 令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 故当时，原不等式恒成立. 【点睛】利用导函数解不等式常见思路： （1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解 （2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期期中考试 高二数学试题 时间：150分钟 分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 某班上午要上语文、数学、体育和外语四门课，体育老师因故不能上第一节和第二节，不同的排课方法有 （ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的展开式中常数项是（ ） A. B. C. D. 4. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为（ ） A. 25 B. 10 C. 7 D. 6 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 的计算结果精确到0.001的近似值是（ ） A. 0.930 B. 0.931 C. 0.932 D. 0.933 8. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确是（ ） A. B. C D. 10. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 14. 从、、、、、、、、这个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值个数为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数. 16. 某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. （1）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （2）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 17. 甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球. （1）求“三球中至少有一个为白球”概率； （2）设表示所取白球的个数，求的分布列. 18. 已知函数在与时，都取得极值． （1）求的值； （2）若，求的单调区间和极值； （3）若对都有恒成立，求取值范围． 19. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，. （3）若时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $