精品解析：重庆市渝西中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

渝西中学高二下第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，已知，，则数列的公差为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，则不同的排法共有（ ） A. 108种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 4. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知数列为等比数列，，，且，则实数（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 7. 如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ） A. 480 B. 720 C. 1080 D. 1200 8. 已知,若在上恒成立， 则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数的极大值为，极小值为 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的单调减区间为 D. 曲线在点处的切线方程为 10. 现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 共有不同的安排方法有种 B. 若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 11. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ） A. B. 当n为奇数时， C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答） 13. 若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________. 14. 已知函数，在曲线上总存在两点，，使得曲线在，两点处的切线平行，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个? 17. 已知四棱锥中，平面，，，点在棱上，平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、． ①证明：为定值； ②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）若曲线在处的切线斜率为1，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若时，不等式恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝西中学高二下第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数公式即可得答案. 【详解】根据排列数公式可得， 故选：C 2. 在等差数列中，已知，，则数列的公差为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得 ，即. 故选：A. 3. 将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，则不同的排法共有（ ） A. 108种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定字母A，E的位置，然后再排列其他字母即可. 【详解】因为字母A，E不能排在两端，则有种排列方式， B，C，D有种排列方式，所以不同的排法共有种排法. 故选：C 4. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求解出焦点和准线方程，则结果可知. 【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B. 5. 已知数列为等比数列，，，且，则实数（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式的特点可得答案. 【详解】因为数列为等比数列，所以也为等比数列， 设数列的公比为，则， 因为，所以，， 所以， 故选：D 6. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，. 设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 7. 如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ） A. 480 B. 720 C. 1080 D. 1200 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论按照O，A，B，C，D，E的顺序按题意要求去依次涂色即可解决. 【详解】先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法， ①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法， 最后E有2种涂色方法； ②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色， 若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法； 若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法. 综上，涂色方法总数为 故选：D 8. 已知,若在上恒成立， 则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，令，用导数法求解. 【详解】解：因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 设， 则， 令，则或， 当，即时，，则在上递增， 又，所以在上恒成立， 当，即时，或时，，递增， 时，，递减， 所以在上的最小值为， 因为，所以，不成立； 当，即时，或时，，递增， 时，，递减， 所以在上的最小值为， 因为，所以成立； 综上：， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数的极大值为，极小值为 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的单调减区间为 D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案. 【详解】因为，所以， 由，得或，由，得， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增， 增区间不能合并，故选项C正确，选项B错误； 所以当时，取得极大值， 在时，取得极小值，故选项A正确； 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即，故选项D正确. 10. 现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 共有不同的安排方法有种 B. 若甲工厂必须有同学去，则不同安排方法有37种 C. 若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理一一计算可得； 【详解】解：根据题意， 对于A：，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践， 每个学生有4种选法，则三个学生有种选法，故A正确； 对于B：三人到4个工厂，有种情况，其中甲工厂没有人去， 即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有种， 则工厂甲必须有同学去的安排方法有种，故B正确； 对于C：若同学必须去工厂甲，剩下2名同学安排到4个工厂即可， 有种安排方法，故C错误； 对于D：若三名同学所选工厂各不相同，有种安排方法，故D正确； 故选：ABD． 11. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ） A. B. 当n为奇数时， C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数新定义即可知，，，可得A正确，由可得B错误；易知小于的所有正奇数与均互质,共有个，可得C正确；同理可得，利用等比数列前项和公式即可求得D正确. 【详解】对于A，因为，，，所以，故A正确； 对于B，由于，故B错误； 对于C，因为小于所有正奇数与均互质，且小于的所有正奇数有个， 所以，因此数列为等比数列，故C正确； 对于D，同理小于的所有3的倍数与均不互质，共有个， 因此小于的所有与互质的数共有个，即， 所以，令， 则，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答） 【答案】36 【解析】 【详解】将3名学生捆绑，并排列，再与2名老师一起排列，共有种排法. 13. 若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线的焦点和双曲线方程解得，设出点，代入曲线方程，求得横纵坐标关系，再根据题意坐标表示，，代入后利用二次函数的性质求其最小值，则可求得的取值范围. 【详解】解：由题意得： 是已知双曲线的左焦点 ，即 双曲线方程为 设点，则有，解得 ，， 根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增 当时，取得最小值， 故答案为： 14. 已知函数，在曲线上总存在两点，，使得曲线在，两点处的切线平行，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求得函数的导函数，根据两直线平行结合导数的几何意义可得，化简可得，，构造函数，利用导数求得函数的范围，再结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：， 因为在曲线上总存在两点，，使得曲线在，相两点处的切线平行， 所以，且， 即， 所以， 所以， 令，则， 设， 则， 当时，， 所以函数在上递增， 所以 所以， 又，， 又因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答. （2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答. 【小问1详解】 由，等比数列是递增数列，得， 因此数列的公比，则， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得，， . 16. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个? 【答案】（1）36个（2）36个（2）49个 【解析】 分析】（1）先排个位数，方法数有种，然后排万位数，方法数有种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数. （2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不为0，其余位置任意排； （3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个. 【详解】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有个； （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有个； （3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况， 比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题. 17. 已知四棱锥中，平面，，，点在棱上，平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过作的平行线交于点，结合线面平行的性质得，可得，分别为，的中点，结合得，又即可证得； （2）由已知条件证得面，得．建空间直角坐标系，求出面的法向量，然后利用向量夹角公式求得结果. 【小问1详解】 过作的平行线交于点，连接， 又，则，则四点共面， ∵面，面，面面， ∴，故平行四边形，从而， ∴，分别为，的中点，又， ∴，又，∴． 【小问2详解】 因为，，所以， 由平面，平面，得， 又，面，所以面，又面，所以． 所以，以为原点，为轴建空间直角坐标系，设， 则有． 所以，， 设面的法向量为，则，令，所以． 又有，记为与平面所成角， 则． 所以与平面所成角的正弦值为． 18. 已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、． ①证明：为定值； ②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① 证明见解析；②存在；或 【解析】 【分析】(1)根据条件列出方程化简即可求出曲线方程； (2) 设直线，，，联立方程组，利用韦达定理得出的和、积. ①利用两点的坐标直接表述出，将的和、积代入化简即可求证为定值；②根据题意求出的直线方程，通过整理化简得出直线过定点，根据三角形的面积求出的值，进而求解即可. 【小问1详解】 令，根据题意可知：， 化简，可得：， 所以曲线C的方程为：. 【小问2详解】 设，，可设直线，联立方程 可得：， 则， 故且 ① ． ②∵轴，∴，由两点式方程可得的直线方程为： ， ∴，将，代入可得： ， 将代入上式，得到： ， 所以直线过定点， ∴ ∴或（舍） 所以存在直线l，使得的面积为， 直线l的方程为：或． 19. 已知函数，． （1）若曲线在处的切线斜率为1，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若时，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，没有零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可； （2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数； （3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值. 【小问1详解】 ， 依题意，，解得． 【小问2详解】 的零点的根． 设， ①当时，没有零点； ②当时，，所以在内是增函数． 取，取， 所以在上有且仅有一个零点； ③当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而． 当时，没有零点； 当时，在上有且仅有一个零点； 当时，， 取，取， 所以在上有两个零点． 综上，当时，没有零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点． 【小问3详解】 ， 构造函数，则． 而， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 而当时，，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时． 因为当时，单调递减，故， 两边取对数得，，所以， 令，则， 令得，，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 故a的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $