21.1 《四边形及多边形》知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.1 四边形及多边形 知识框架： · 四边形及其内角和 · 多边形及其内角和 1、 四边形及其内角和 · 定义：与三角形类似，在平面内，由不在同一直线的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形． · 在定义中抓住几点：①在同一个平面内；②四条线段；③首尾顺次相接；④封闭图形． · 四边形的基本元素有：四个顶点，四条边，对角线，内角和外角． · 凸四边形和凹四边形概念 在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形；而图（2）就不满足上述凸四边形的特征，因为画CD所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．注意：初中阶段我们讨论的多边形指的都是凸多边形． · 四边形内角和 思考：长方形、正方形的内角和等于多少度？任意一个四边形的内角和又是多少呢？ 如何证明四边形内角和为360°呢？ 证明：连接AC， ∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝（∠BAC＋∠BCA＋∠B）＋（∠DAC＋∠DCA＋∠D）， ＝180°＋180°＝360°． 还能想到其他方法证明吗？ 方法二：在四边形内任找一点，作该点与四个顶点的连线，可将四边形分为4个三角形．由图知，四边形的内角和为：180°×4－360°＝360° 方法三：在四边形一边上找一点，作该点与另两个顶点的连线，可将四边形分为3个三角形．由图知，四边形的内角和为：180°×3－180°＝360° 方法四：在四边形外部找一点，作该点与另四个顶点的连线．由图知，四边形的内角和为：180°×3－180°＝360° 例题精析 例 如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系呢？ 解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°． ∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°， ∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°． 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补． 2、 多边形及其内角和 · 定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． · 内角与外角的关系：相邻的内角与外角之间的关系是互补并且相邻，所以是邻补角． · 正多边形 具备两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等． 例题精析 例1 同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，你知道吗？ 解：按图（1）所示方式去截，不经过线段AB和AD，还剩五个角，即得到一个五边形． 按图（2）所示方式去截，经过点D，不经过线段AB，还剩4个角，即得到一个四边形． 按图（3）所示方式去截，经过点D，点B，则剩下3个角，即得到三角形． 练习1 1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（ ）． A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形 2．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）． A．5 B．6 C．7 D．8 3．如下图是凸多边形的有（ ）． A．①③⑤ B．①③ C．②④⑤ D．②④ 4．过十边形的一个顶点可作出 条对角线；所以，十边形共有 条对角线． 作业1 1．下列图形中,不一定是正多边形的是（ ）． A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．正六边形 2．画多边形的任何________所在的直线，整个多边形都在这条直线的________，这样的多边形叫凸多边形． 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于P，请添加一个条件，使四边形ABCD的面积为：，并给予证明． 解：添加的条件：_________． 4．下列结论正确的是（ ）． A．在平面内，有四条线段组成的图形叫四边形 B．由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫四边形 C．在平面内，由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫四边形 D．在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫四边形 5．一个多边形的边数和所有对角线的条数相等，则这个多边形是（ ）． A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 6．一个多边形只有27条对角线，则这个多边形的边数为（ ）． A．8 B．9 C．10 D．11 7．下列结论正确的是（ ）． A．由一些不在同一直线上的线段相连组成的图形叫多边形 B．连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫做四边形的对角线 C．四边形具有稳定性 D．各条边都相等的多边形，叫正多边形 · 多边形的内角和 推导五边形和六边形以及n边形的内角和各是多少？ （1）从五边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将五边形分为________个三角形，五边形的内角和等于180°×________． （2）从六边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×________． （3）从n边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×________． 答案：（1）2，3，3＝540°．（2）3，4，4＝720°．（3）n－3，n－2，（n－2）． 总结： 多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）×180°． 多边形对角线条数：n边形有条对角线 例题讲解 例1：已知两个多边形的内角和为1800°，且两个多边形的边数比为2:5，求这两个多边形的边数． 解：设这两个多边形的边数分别为2x，5x，根据多边形的内角和公式和题意，得 （2x－2）×180°＋（5x－2）×180°＝1800°，解得x＝2． ∴2x＝4，5x＝10． ∴这两个多边形的边数分别为4和10． 例2： 在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少呢？ 如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值． 解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°， ∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°， ∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°． 又∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝(6－2)×180°, ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－(6－2)×180°＝360°． 这就是说，六边形的外角和为360°． 换成n边形可以得到同样的结果： 因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，又因为n边形的内角和为（n－2）×180°所以，n边形的外角和为：n·180°－（n－2）·180°＝360°． 总结：多边形的外角和等于360°． 巩固练习 如图，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→A散步，则张老师共转了（ ）． A．440° B．360° C．260° D．270° 练习2 已知一个多边形各个内角都是150°，求这个多边形的边数． 拓展提高 例 小佳在计算某个多边形的内角和时，由于粗心她漏掉一个内角，求得的内角和为2030°，你能否求得这个多边形的边数？ 作业2 1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）． A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角 2．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）． A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 3．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能（ ）． A．都是钝角 B．都是锐角 C．是一个锐角，一个钝角 D．是一个锐角，一个直角 5．一个四边形中锐角最多有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）． A．120° B．（128）° C．144° D．145° 8．若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（ ）． A．2:1 B．1:1 C．5:2 D．5:4 9．当一个多边形的边数增加2时，它的内角和增加_______度． 10．如果五边形的五个外角的比是1:3:2:4:5，则五边形中最大的内角与最小的内角的比是_ 11．如图所示，小亮从A点出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了__________m． 检测2 1．七边形的内角和等于__________，n边形（n≥3）的内角和等于__________． 2．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2∶3∶4∶3，则∠D等于__________． 3．已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是（ ）． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．在△ABC中，三外角之比为2∶3∶4，则与之对应的三内角度数比为（ ）． A．4∶3∶2 B．5∶3∶1 C．3∶2∶4 D．1∶3∶5 5．李强在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1 125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，问这个少加的内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 答案 练习1： 1．A． 2．C． 3．B． 4．7，35． 作业1： 1．B．2．一条边，同一侧． 3．解：添加的条件：AC⊥BD． 理由：∵AC⊥BD， ∴，．∴， ，． 4、D．5、B．6、B．7、B． 巩固练习： 解：该问题中张老师没转过与∠1相邻的这个外角，所以用五边形的外角和减去它，即360°－（180°－90°）＝270°，所以张老师共转了270°，故应选D． 练习2： 解：【解法一】设此多边形的边数为n，则： （n－2）×180°＝150°n，解得：n＝12． 【解法二】设此多边形的边数为n，则： （180°－150°）·n＝360°，解得：n＝12． 拓展提高： 解：设边数为n，这个内角为x，则0°＜x＜180°． 根据题意，得（n－2）·180°＝x＋2030°， ∵（n－2）·180°是180°的倍数，∴x＋2030°必是180°的倍数． ∵2030°÷180°＝11…50，∴x＝180°－50°＝130°． ∴（n－2）·180°＝2030°＋130°．∴（n－2）＝12．∴n＝14． 作业2： 1．B． 2．C． 3．D． 4．C． 5．C． 6．C． 7．D． 8．D． 9．360． 10．13:5． 11．240． 提示：小亮每次向右转的角度相同，并且前进的路程也相同，因此当他第一次回到出发点A时，所走的路程是一个正多边形的周长，每次转的角度是这个正多边形的一个外角，所以这个正多边形的边数是360°÷15°＝24，所以小亮一共走了10×24＝240 检测2： 1．900°．（n－2）×180°．点拨：根据多边形内角和公式代入计算． 2．90°．点拨：四边形内角和为360°．所以360°÷（2＋3＋4＋3）＝30°，所以∠D＝30°×3＝90°． 3．B．点拨：设这个多边形的边数为n，所以n边形的内角和是（n－2）×180°，又知道任意多边形的外角和都为360°，从而得到方程（n－2）×180°＝360°，解得n＝4．故选B． 4．B．点拨：根据任意多边形的外角和是360°，求出三个外角分别是80°，120°，160°，那么相对应的内角分别为100°，60°，20°，所以它们的比是100∶60∶20＝5∶3∶1． 5．解：设这个多边形为n边形． 当（n－2）×180＝1 125时，解得n＝8.25． 因为少加了一个角．所以n＝9． 当n＝9时，内角和为（9－2）×180°＝1 260°，少加的内角的度数为：1 260°－1 125°＝135°． 答：这个少加的角为135°，此多边形为九边形． 学科网（北京）股份有限公司 $