第5单元 认识方程 A卷 母子题培优专项卷-【王朝霞培优100分】2025-2026学年四年级数学下册同步单元卷（北师大版2012）

培优100分数学四年级下册BS版 【答案见P56】 第五单元 认识方程 A卷 母子题培优专项卷 拍照批改+错题本 本单元认识方程在小学数学试卷占20分左右，常考考点中，用归纳法解决找规律问题、定义新运算、数 形结合推导公式、用代入法解决复杂图形表示数问题、行程问题是试卷中的重难点，也是最容易失分的地 方。在日常学习中，紧抓重难失分点，是期末冲满分、进阶培优的关键。请同学们先做母题，学习答题方法 或策略，再完成对应的子题。加油吧！ 威 ≈重难点1找规律问题 —归纳法 窖 母题 如图，用小棒摆图形。 封 母题视频讲解 培优攻略 摆一个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根 要 先观察，根据发现的数 题 小棒，摆5个正方形要( )根小棒，摆n个正 量关系递推出规律，再 用含有字母的式子表示 命 方形要( )根小棒。计算摆23个正方形需 出来。 要的小棒数： 子题1 像这样摆下去，摆5个三角形需要( )根小 棒，摆n个三角形需要( )根小棒。摆15个 三角形需要( )根小棒。 子题2如下图，当n=1时，有1个小星星；当n=2时，有 4个小星星；当n=3时，有9个小星星…那么 . 当n=50时，有( )个小星星。 培优小贴士 ☆☆☆☆ 每幅图中小星星的行数 ☆☆☆ ☆☆☆☆ 和列数相同。 ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ n=1 n=2 n=3 n=4 ≈重难点2定义新运算 母题如果m※n=n2-m2+2mn,如1※2=22-12+ 2×1×2=7,那么4※5=( )。 母题视频讲解 子题1〔郑州市期未〕定义新运算。一种数学游戏的规则 培优攻略 只要弄清新的运算法则， 是[6ad-e,如[8】=48-5×6= 然后分步求值就可得出 答案。 )。 子题2对a、b定义新运算：a★b=a(a一b)+1,比如5★ 2=5×(5-2)+1=16。如果4★x=13,那么x =( )。 子题3定义一种新运算“※”，规定A※B=4A+3B。已 知6※X=30,则X※9=( )。 ≈重难点3数形结合推导公式 母题 〔昆明市期末〕小东在家探究用不同的思路计算两 个长方形（如下图）拼组后的面积总和。 母题视频讲解 培优攻略 在求整个图形的面积时， 可以从单一图形和组合 思路一：先分别求出两个长方形的面积，再求面 图形两个方面思考。 积总和，应该列式为( )。 思路二：通过找寻拼组后大长方形的数据来计 算，应该列式为( )。 小东进一步探究，发现：这两个算式之间的关系 就是我们学过的一种运算律。请写出这种运算 律的名称，并用含有字母的算式把它表示出来。 培优100分数学四年级下册BS版 25 子题1如图所示，直角三角形的三条 培优小贴士 边分别是三个正方形的边长， 用几何模型可以对数 S2 学规律或公式作出直 a=6厘米，b=8厘米，c=10 e 观解释。 厘米。字母S1、S2、S分别表示 三个正方形的面积。 思考：S=( )平方厘米，S=( )平方 厘米，S2=( )平方厘米，那么S与S,和S2之 间的数量关系为( )。 请你猜测：a、b、c之间的数量关系为( ) 子题2〔绍兴市期末〕如下图①，边长分别为a、b的两个正 方形重叠。 6 图① 图② 第一步：图①两个正方形重叠后形成的涂色部 培优小贴士 分的面积是( )。 将涂色部分裁剪转化成 第二步：图①涂色部分沿虚线裁剪转化成图② 长方形时，注意面积不 长方形后，长方形的长是( ),宽是( 要重复计算。 因此，这个长方形的面积就是( ) 第三步：根据上面两图的关系，补充等式：a一b =( ) ≈重难点4复杂图形表示数问题 一代入法 母题已知：(1)△十O+☆=360； (2)△+△=O+☆； 母题视频讲解 (3)△=O+O。 培优攻略 那么☆=( 解答此类题时，可以把 每个等式都含有的部分 子题1如果△+O=22,O+O+△+△+△=56，那 看作一个整体，再利用 么O=( ),△=( 等式性质求解。 )。 26 培优100分数学 四年级下册BS版 子题2△，口，☆分别代表一个数，它们满足下面三个 等式。求出它们各代表什么数。 口+▣+△=2.4 ① ☐+△+△=3.6 ② △+☐+☆=7.5 ③ 口=( )△=( ) ☆=( ) 弥 子题3关于a,b,c,d的竖式如下所示，a,b,c,d各代表 什么数？ 9a5b a=( )b=( 封 +d5c7 c=( )d=( 1c322 ≈重难点5行程问题 线 母题〔泉州市期末〕甲、乙两艘货轮同时从泉州开往上 海，经过6小时，甲货轮落后乙货轮42千米。甲货轮每小 母题视频讲解 时行25千米，乙货轮每小时行多少千米？（列方程解答) 内 培优攻略 追及问题中的数量关系： 追及距离=速度差×追 及时间 不 追及时间=追及距离： 子题1〔西安市期末〕黑马和白马在相距50米的地方同时出 速度差 速度差=追及距离÷追 发，同向而行。出发时黑马在前，白马在后。如果黑马每 及时间 要 秒跑10米，白马每秒跑12米，经过多少秒两马相距70米？ 答 子题2甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，经过 培优小贴士” 2小时后，甲车在超过中点12.5千米处和乙车相遇。甲 甲、乙在距中点一定距 题 车每小时行54千米，乙车每小时行多少千米？ 离的地方相遇，说明甲、 乙相遇时存在路程差。四1 第五单元A卷母子题培优专项卷 重难点1 奇思 2.答：有3种添法。 母题163n+1 3×23+1=70(根) .0 【解析】观察图形，将摆成的正方形个数与所需 小棒数的关系列表如下： (V) 摆成的 (2)右面上面 正面 正方形 图形拆分 所需小棒数 个数 (3)示例 1 口→口 1×3+ 1个3 1=4 口口 口2 2 2×3+ 2个3 1=7 正面 上面 右面 3 口0→口口2 3 ×3+ 3个3 1=10 口口口门→口月月5 4 ×3+ 4个3 1=13 正面 上面 右面 (答案不唯一) 由此发现规律：所需小棒数=摆成的正方形个 附加题 数×3十1，所以摆n个正方形，需要的小棒数为 1.正 右 【解析】原立体图形从正面看到 n×3+1=3n+1。那么摆5个正方形要3×5+1 =16(根)小棒，摆23个正方形要3×23+1=70 的是 从上面看到的是厂 从右面 (根)小棒。 看到的是门；去掉涂色的小正方体后， 子题1112n+131 子题22500 从正面看到的是 从上面看到的是 三重难点2 从右面看到的是。 所以从正面 母题 49 和右面看到的形状是不变的。 【解析】m※n=n2-m2+2mn 2.B【解析】因为从上面看到的形状是 4※5=5-42+2X4×5 日已，所以这个立体图形最下面一层有3 =25-16+40 =49 个小正方体；从正面看到的形状也是 子题128 已，所以这个立体因形第二层至少有 子题21【解析】根据题意，4★x=13也就是 1个小正方，如马凸，因此搭出 4×(4-x)+1=13,解方程求出x即可。 子题335【解析】根据6※X=30,可得4× 这个立体图形最少需要3十1=4（个）小正 6+3X=30,求出X=2。X※9=4X十 方体。 3×9=4×2+3×9=35。 56 培优100分数学 四年级下册BS版 ≈重难点3 子题20.41.65.5 母题ac+bc (a+b)c 【解析】观察发现：每个算式中都有“☐十△”， 乘法分配律(a十b)c=ac+bc 思考先求出“口十△”的值。 【解析】如图，用S表示拼成的大长方形的面积， ▣+▣+△=2.4① 用S1、S,分别表示左边和右边长方形的面积，S= ▣+△+△=3.6② 根据等式性质， (a十b)c,S=S1+S2=ac十bc,可以得出(a十b)c= 将等号两边分 ac十bc,就是我们学过的乘法分配律。 △+口十☆ =7.5③ 别相加 b □+□+△+□+△+△=2.4+3.6 3×(口+△)=6 S=ac S2=bc 口+△=2 a+b 将“☐+△=2”代入①中，☐+☐+△=2.4，即 子题1100 3664 ☐+2=2.4，求得□=0.4。将“☐+△=2”代入 S=S1+S2a2+b2=c2 ②中，☐+△+△=3.6，即2+△=3.6，求得△ 子题2a2-b2a+ba-b =1.6。将“□+△=2”代入③中，△+☐+☆= (a+b)×(a-b)(a+b)×(a-b) 7.5,即2+☆=7.5，求得☆=5.5。 三重难点4 子题37566 母题180 重难点5 【解析】 母题 解：设乙货轮每小时行x千米。 △十△=O+☆ O十O十O十O=O十☆ 6x-6×25=42 代入 x=32 △=O十O O十O十O=☆ 答：乙货轮每小时行32千米。 代入 代入 【解析】根据题意画出线段图： △+O+☆=360 甲25千米/时 乙x千米/时 42千米 O+0+0+0++ =360 可列出方程：6x一6X25=42,解出方程即可。 子题1解：设经过x秒两马相距70米。 O=60 ☆=180 (12-10)x=50+70 子题1 10 12 x=60 【解析】 O+O+△+△+△=56 答：经过60秒两马相距70米。 子题2解：设乙车每小时行x千米。 O+△+O+△+△=56 2x+12.5×2=54×2 代入 x=41.5 △+O=22 答：乙车每小时行41.5千米。 【解析】甲车 12.5千米 乙车 22+22+△=56 A地 中点相遇 B地 可得△=12，进而求出○=10。 甲车比乙车多行的路程 由图可知相遇时，甲、乙两车的路程差是2个 3x-6.5×4=13 12.5千米。 解：3x-26=13 3x-26+26=13+26 第五单元B卷： 培优验收综合卷 3x=39 -、1.x+5x+5-y 3x÷3=39÷3 2.10ba-10b x=13 3.小汽车的速度比中巴车的速度快多少 四、1.(1) x+20=50×2 小汽车和中巴车5小时共行多少千米 解：x+20-20=100-20 (答案合理即可) 4.a+24a+25a+2638 x=80 5.2m15m【解析】已知长方形的宽增加 (2) 3x+98.4=155.4 m厘米，正好变成一个边长为15厘米的正 解：3x+98.4-98.4=155.4-98.4 方形，由图可知，正方形的周长比原来长 3x=57 方形的周长多了涂色小长方形的2条宽的 3x÷3=57÷3 长度，也就是多了2m厘米；正方形的面积 x=19 比原来长方形的面积多了一个长15厘米、 2.(1)(a+b) 宽m厘米的小长方形的面积，也就是多了 (2)a2 ab a2+2ab+b2 15m平方厘米。 (3)(a+b)2a2+2ab+b2 6.26.57.40120126 (4)4.62+2×4.6×5.4+5.42 8.123n9.40 =(4.6+5.4)2 10.26 =102 二、1.A =100 2.C【解析】已知7.4+☐=5.6+◇，根据 五、1.解：设篮球组参加比赛的同学有x名。 等式的性质，把等式的两边同时减去5.6， 2x-6=32 得1.8+□=◇，所以可以得出□<◇。 x=19 3.C4.C5.C6.C 答：篮球组参加比赛的同学有19名。 三、 3x-60=33 2.解：设乙队得了x分。 解：3x-60+60=33+60 3x=93 x+12=79+1 3x÷3=93÷3 x=68 x=31 答：乙队得了68分。 x+9÷3=15 3.解：设球场的宽是x米。 解：x+3=15 2×(22+x)=80 x+3-3=15-3 x=18 x=12 答：球场的宽是18米。 4.解：设乙车平均每小时行x千米。 子题1 某款手机五家卖场售价情况统计图 (1440) 1售价/元 5x-63.5×5=42.5 1420 (1420 1400 x=72 (1400 1380 1360 1360 答：乙车平均每小时行72千米。 1340 1340 (1320 1320 附加题 (1300 0 1.3x=2y A 0 E卖场 3x=x+7.2 (答案不唯一)】 【解析】第一步：观察统计表中数据的特点。题 2y=x十7.2（答案不唯一） 中手机的售价都在1300元以上，数据差异较小， 2.解：设玲玲平均每天读x页。 数值较大，所以0~1300元可以用“八一”表示。 3x+15=255-3x x=40 第二步：根据统计表中的数据确定一格表示多少 元。统计表中最大值和最小值相差100，一格表 答：玲玲平均每天读40页。 示20元较合适。 第六单元A卷 母子题培优专项卷 第三步：根据统计表中的数据绘图。 三重难点1 子题2(1)18 (2)小轩家2024年用水情况统计图 母题 (1) 候选人 明明 红红 婷婷 丁丁 用水量/吨 18 18 得票数/张 6 12 5 11 16 15 14 12 12 (2)婴盟 1 婷婷 86 0123456789101112得票数/张 42 (3)34 二)（三）（四）季度 【解析】第一步：先求出选红红、婷婷和丁丁的人 (答案不唯一) 数。求红红的人数，就是求6的2倍是多少，列式 ≈重难点2 为6×2=12（人）；选婷婷的人数×3一3=选红红 母题 (1)1 的人数，利用这一关系式可以得出选婷婷的人 (2)8:00到13：00气温上升，13：00到14：00 数；利用选丁丁的人数=选婷婷的人数×2十1 气温持平，14：00到16：00气温下降。 这一关系式可以求出选丁丁的人数。 【解析】 第二步：根据求出的数据完成统计表，注意不要 ③观察折线的整体走势，折线上升表 示温度升高，折线下降表示温度降低。 填错。 第三步：根据统计表中的数据绘制条形统计图， ①明确该24 温度/℃ 图的横轴 22 这是横向条形统计图，纵轴表示的是候选人，横 表示时间， 20 纵轴表示、18 轴表示的是得票数。 温度。 08:0010:0012:0014:0016:00时间 第四步：将统计表或统计图中的数据相加即可得 ②找到折线上每个点对应的横轴上 出四(1)班参与投票的人数。 的时间，发现每隔1小时测量一次。 培优100分数学四年级下册BS版 57