精品解析：湖北十堰市2026届高三下学期3月调研考试数学试题

十堰市2026年高三年级3月调研考试 数学 本试题卷共4页，19题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4．考生必须保持答题卡的卷面整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分离复数 ，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得 的值. 【详解】由，得． 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，而，则， 因此，又，所以与的夹角为． 3. 已知集合，若 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知集合； 已知集合，由于可得是 的正因数； 当时，；当 时，；当时，；当时，； 所以； 因为 ，集合中的最大元素为 ，所以必须大于等于6，即 ，所以实数的取值范围是. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 25 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【详解】法1：设 的公差为 ，由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，所以 . 所以 ，所以. 法2：设 的公差为 ，由题意，得 ， 即 ， 解得 ， . 所以 . 5. 已知直线与圆交于，两点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将直线方程整理为， 该式对任意实数恒成立，故需满足 解得，即直线恒过定点 .圆心，半径. 圆心到定点的距离. 当直线时，弦长 最小. 由弦长公式得最小值为. 故 的最小值为. 6. 冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ） A. 12℃ B. 14℃ C. 16℃ D. 18℃ 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当 时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 7. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图: 记 ，在平面上的射影为点，则在上，连接． 由平面，，可得. 又是线段的中垂线，所以在上，即，因为三棱锥外接球的表面积为，所以该球的半径为. 又，所以； 因为为的中点，为的中点，所以为的重心. 所以，，. 所以三棱锥的体积． 8. 已知函数，存在，，满足．设，函数，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由 的最值求得，再化简，换元求导得 在上最小值为 . 【详解】，则，， 所以. 若存在，，满足， 则当且仅当 ， 时等号成立， 所以，， 解得，， 所以； . 又 ， 所以. 令，当时，的取值范围是， 令，则， 当时，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以在上的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（ ） A. 若的极差为9，则 B. 若的分位数是6，则 C. 若的平均数为3，则 D. 若的方差为6.8，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，的极差为9，则，，A正确； 对于B，由的分位数是6，得，当时，，不符合题意， 因此，则，解得，符合题意，B正确； 对于C，由的平均数为3，得，解得，C错误； 对于D，的平均数为，的平均数为， 由的方差为6.8，得，解得或 ，D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 【答案】AC 【解析】 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在， 上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在 上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 11. 已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 若过点的的切线与交于点，则 C. 若的面积为，则 D. 若，则直线的倾斜角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意先求，进而得抛物线方程，再根据抛物线的性质和直线与抛物线的关系逐项验证即可求解. 【详解】如图： 由题意得，所以抛物线 ，所以， 设，直线 对于A：由，解得，所以，解得，所以，所以，故A错误； 对于B：由，所以，又点位于第一象限，所以，，所以，所以， 所以过点的切线方程为：，即，令，，所以， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C：由，消元整理得 ，所以， 所以 ，所以， 又到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的直线方程为： ，令得，所以， 同理得，所以 ，故C正确； 对于D：由直线，令，得，所以， 所以，所以， 由得：， 所以， 又， 所以，解得，所以， 又因为，解得，又， 所以，即，又，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中所有奇数项的系数和为________． 【答案】121 【解析】 【详解】展开式的通项为，， 当，2，4时,，，， 其系数和为． 13. 已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得 ，则的离心率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围. 法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围. 【详解】法1：双曲线 的右顶点， 不妨取渐近线方程为 .设，则，. 由 ，得，整理得. 由题意知该关于的方程有解，所以. 化简可得，即，所以，又. 所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由 知，点在以为直径的圆上. 由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即， 所以，所以. 所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 14. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，若，且存在，使得，则______；______．（用表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据，结合，可得，进而可求出，再根据，求出的表达式，再结合，即可求出，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】由题意，， 由，即， 所以， 由，可得， 所以， 所以， 又，所以 ， 因为存在，使得， 即，所以， 因为，且， 所以，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为 ， ，． （1）求； （2）若M为边上一点，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）等边三角形，理由如下： 由（1）知，，又， 所以，即平分 . 因为 ， ， ， 所以 ，即 ， 在中， ， 即 ，解得 或 （舍去）， 所以 ，解得 ，所以为等边三角形. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式得到 ，结合余弦定理即可求出，的值，得到为等边三角形． 【小问1详解】 解： ， ， ， 由正弦定理得， ， 即 ，又 ， ，即， 又，； 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，为棱的中点，平面，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若，为棱的中点，求平面与平面 的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，因为四边形为菱形，，所以为正三角形， 又为的中点，所以， 因为．所以 ． 因为平面，平面，所以 ， 又，平面，且 ，所以平面 ， 又平面，所以平面 平面 ． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 又 ，所以 ， ，，所以 ， ， ，． 设平面的一个法向量，则即 令，解得，，所以 ， 设平面 的一个法向量 ，则 即令 ，解得，，所以 ． 设平面与平面 的夹角为，则， 所以平面与平面 的夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）若，函数 ，讨论的单调性； （2）若恒成立，求t的取值范围． 【答案】（1） 当时，在 上单调递减； 当时，在 上单调递减，在 上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和分别求解即可； （2）利用导数及转化思想，求出函数的最小值，利用 求解即可. 【小问1详解】 当时， ，函数的定义域为 ， 且， 当时，在 上恒成立， 所以在 上单调递减； 当时， 令 ，得， 令，得， 所以在 上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时，在 上单调递减； 当时，在 上单调递减，在 上单调递增； 【小问2详解】 由， 可得， 令， 则 ， 所以，即在 上单调递增， 且当 时，；且时，， 故存在 ，使得 ， 即存在， 也即 ， 且当 时， ，当时， ， 所以函数在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ， 又因为， ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ，解得 ， 所以实数的取值范围为. 18. 已知椭圆 的离心率为，左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交于A，B两点． （1）求的大小； （2）若为的上顶点，斜率为的直线与交于M，N两点（异于的上、下顶点），记直线DM，DN的斜率分别为． （i）若，求的方程； （ii）若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）（ii）存在点，使得为定值 【解析】 【分析】（1）根据离心率得出与的关系，利用直角三角形中正切值求出，再由椭圆对称性得解； （2）（i）联立直线与椭圆方程，分别求出的坐标，即可求出直线方程；（ii）设直线的方程为,联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式表示出，化简后根据求出，可知直线过定点，由题意确定点轨迹为以为直径的圆，据此可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 将 代入方程 ，得 ， 所以，所以， 又，所以， 由椭圆的对称性知，. 【小问2详解】 因为为的上顶点，所以，即，所以， 所以，所以椭圆的方程为. （i）若，则直线DM，DN的方程分别为， 由，可得，解得，所以， 即，同理可求得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （ii）设直线的方程为， 由，消去并整理可得， 则， 且. 由，可得 ，解得，满足， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 由题意知点在以为直径的圆上， 所以当点为线段的中点时，，为圆的半径，即为定值. 19. 某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． （1）当时，求； （2）证明： ； （3）已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【答案】（1） （2）证明：由题意知的可能取值有、、、， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为 ， 所以， 所以 ， 所以 ． （3）（万元） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值及相应的概率，分析 的可能情况，进而运算求解； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，利用全概率公式求出随机变量在不同取值下的概率，再结合期望公式可证得结论成立； （3）分析可知数列是以为公比的等比数列，求出的表达式，于是可得出第个月的期望宕机节点数为，据此可得出第个月的经济损失的期望，再利用等比数列求和公式可求得从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【小问1详解】 初始状态 ，即个在线、个宕机． 第个月选中在线节点的概率为，此时 ； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时 ； 修复失败的概率为，此时 ． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 ，设， 所以 ， 所以 ， ，， 所以是以为公比的等比数列， ， ， , 故， 所以， 所以， 第个月的期望宕机节点数的期望为． 每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为． 设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为， 故（万元）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰市2026年高三年级3月调研考试 数学 本试题卷共4页，19题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4．考生必须保持答题卡的卷面整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 25 C. 30 D. 33 5. 已知直线与圆交于，两点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ） A. 12℃ B. 14℃ C. 16℃ D. 18℃ 7. 如图，在正方形中，为的中点，将 沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知函数，存在，，满足．设，函数，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（ ） A. 若的极差为9，则 B. 若的分位数是6，则 C. 若的平均数为3，则 D. 若的方差为6.8，则 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 11. 已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 若过点的的切线与交于点，则 C. 若的面积为，则 D. 若，则直线的倾斜角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中所有奇数项的系数和为________． 13. 已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得 ，则的离心率的取值范围是________． 14. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，若，且存在，使得，则______；______．（用表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为 ， ，． （1）求； （2）若M为边上一点，，，判断的形状，并说明理由． 16. 如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，为棱的中点，平面，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若，为棱的中点，求平面与平面 的夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）若，函数 ，讨论的单调性； （2）若恒成立，求t的取值范围． 18. 已知椭圆 的离心率为，左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交于A，B两点． （1）求的大小； （2）若为的上顶点，斜率为的直线与交于M，N两点（异于的上、下顶点），记直线DM，DN的斜率分别为． （i）若，求的方程； （ii）若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． （1）当时，求； （2）证明： ； （3）已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $