2026年上海市长宁区中考数学模拟练习卷

2026年上海市长宁区中考数学模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，不能与，，组成比例的是(    ) A. B. C. D. 2.下列变形错误的是(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列说法正确的是(    ) A. 一组数据，，，，，的众数和中位数都是 B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 D. 了解我市百岁以上的老人的健康状况应用全面调查 5.如图，在中，点是角平分线、的交点，若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.化成最简二次根式后．______判断对错 8.某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为        9.八亿六千三百万零四百写作，四舍五入到亿位约是        亿 10.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为        ． 11.反比例函数的图象过点，则 ______． 12.有张正面分别标有数字，，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使关于的分式方程有正实数解的概率为______． 13.某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价元件、每星期销量件之间的函数解析式为；售价元件与单件利润元之间的关系如图所示． 与之间的函数解析式为        ；不必写范围 若某星期该滑板车单件利润为元，则本星期该滑板车的销量为        件 14.一个不透明的盒子中装有个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到红球，由此估计盒子中的红球有      个 15.如图，菱形的边长等于，，为中点，为对角线上任意一点则的最小值为        ． 16.已知直角三角形的两条直角边为和，则斜边长为______． 17.如图，已知过、、三点的圆的圆心为，过、、三点的圆的圆心为，如果 ，那么        　 18.如图，矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点，若，，则的长为      ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 20.本小题分 解不等式组： 21.本小题分 如图，设反比例函数的解析式为． 若该反比例函数和正比例函数的图象有一个交点的纵坐标为，求的值； 若该反比例函数与过点的直线：的图象交于，两点，如图所示，当的面积为时，求直线的解析式． 22.本小题分 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使，并连接保留作图痕迹，不写作法 23.本小题分 如图，在中，，． 请利用尺规在边上找一点，使得∽，并求此时的度数； 若，，求的长． 24.本小题分 已知抛物线与轴交于和两点，且与轴交于点． 求抛物线的解析式； 抛物线的对称轴方程和顶点坐标； 求四边形的面积． 25.本小题分 如图，在中，，，，是三角形的角平分线；是边上的动点，于，交于，、分别交于、． 如果是等腰三角形，求的长； 以为圆心、长为半径作，再以为圆心、为半径作如果与相切，求的长； 在点的运动过程中，是否可能与相似？如果能相似，求此时的长；如果不能相似，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市长宁区中考数学模拟练习卷 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7. 错  8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17.   18.   19. 解： ．  20. 解：， 由得， 由得， 不等式组的解集为．  21. 解：由题意， 把代入，得到， 把代入，可得， ， 由消去得到，解得或， ，， 的面积为， ， 解得， 直线的解析式为．  22. 解：，， ， 即点在线段的垂直平分线上． 如图，点即为所求．  23. 解：以为顶点，为一边，作，即可确定点的位置． 如图就是所求作的图． ∽， ． ， ． ，， ． ． ． 设，则； ∽， ． 即 解得舍去，． ．  24. 解：由题意，可设抛物线的解析式为． 将点坐标代入后可得： ， 即， 因此抛物线的解析式为：； 由的抛物线的解析式可知：， 因此抛物线的对称轴方程为：；顶点的坐标为：； 过作轴于， 则有 ， 因此四边形的面积为．  25. ；   ；   能与相似，的长为或或．  【解析】 1. 解：、因为，所以能与，，组成比例；  B、因为，所以能与，，组成比例；  C、因为，所以能与，，组成比例；  D、因为不能与，，写成乘积相等式，所以不能与，，组成比例．  故选：． 逆用比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积；据此逐项分析后找出不能与，，组成比例的一项即可． 此题考查比例的性质的灵活运用，关键是熟悉比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积的知识点． 2. 【分析】 本题考查了运用等式的性质进行变形，解题关键是掌握等式的基本性质：等式两边同时加上或者减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍成立；等式两边同时除以同一个不为零的数或整式，等式仍成立，据此判断得出答案。 【解答】 解：选项，如果，那么，即，A正确，不合题意； 选项，如果，那么， 即，B正确，不合题意； 选项，如果，那么，C正确，不合题意； 选项，如果，那么，所以当时，D错误，符合题意。 故选D． 3. 解：，故A正确； B.，故B错误； C.，故C错误； D.，故D错误； 故选：． 根据整式的运算法则逐一判断即可． 本题考查了合并同类项，有理数的乘方，熟练准确的计算是解题的关键． 4. 解：一组数据，，，，，的众数是，中位数是，选项说法错误，不符合题意； B.“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，选项说法错误，不符合题意； C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等是随机事件，选项说法错误，不符合题意； D.了解我市百岁以上的老人的健康状况应用全面调查，选项说法正确，符合题意． 故选：． 利用众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择逐项判定即可． 本题主要考查了众数，中位数，随机事件，圆周角定理，掌握相应的概念和特点是解题的关键． 5. 解：如图，过点作于， ，平分，， ，． ． 平分， ，，． 设，则， 在中，根据勾股定理得： ． ． ． 在中，． 故选：． 过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据勾股定理求出利用角平分线的性质得出设，则，在中，根据勾股定理列出方程，求出，然后在中，利用三角函数定义即可求出的值． 本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质及锐角三角函数的定义，构造直角三角形求出线段的长是求解本题的关键． 6. 解：是的直径，是的切线， ， ， ， ， 故选：． 根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 7. 解：， 化成最简二次根式后，错， 故答案为：错． 把化成最简二次根式，即可解答． 本题考查了最简二次根式，准确熟练地化简二次根式是解题的关键． 8. 解：某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示， 当时，， 故答案为：． 将代入关系式计算即可． 本题考查函数值，正确进行计算是解题关键． 9. 解：亿， 答：四舍五入到亿位约是亿． 故答案为：． 四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 本题主要考查整数的求近似数，注意求近似数时要带计数单位． 10. 解：由条件可得， 解得：． 故答案为：． 根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 11. 解：反比例函数的图象过点， ，解得． 故答案为：． 直接把点代入反比例函数即可． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键． 12. 解：， ， ， ， 且， 即且， 关于的分式方程有正实数解， 且， 解得且， ，，， 使关于的分式方程有正实数解的概率为． 故答案为：． 解不等式得到且，由关于的分式方程有正实数解得到关于的不等式，解不等式求出的范围，再根据概率公式求解． 本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了解一元一次不等式组． 13. 解：设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为． 故答案为：． 当时，得， 当时，得， 本星期该滑板车的销量为件． 故答案为：． 利用待定系数法解答即可； 将代入与之间的函数解析式，求出对应的值，再将的值代入，求出对应的值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 14. 解：设盒子中的红球有个， 根据题意得：． 解得：， 即盒子中的红球有个． 故答案为：． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解． 本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 15. 解：如图：连接，过点作交的延长线于点， 与关于对称， 连接，则的最小值为的长； ，，为的中点， ，， ， 在中，， 在中，， 与关于对称，连接，即为的最小值，再根据勾股定理求解． 本题考查了最短路径；掌握勾股定理和轴对称的性质是解题的关键． 16. 解；直角三角形的两条直角边的长为和， 它的斜边长． 故选答案为：． 根据直角三角形的两条直角边的长为和，利用勾股定理即可求出其斜边的长． 此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，要求学生应熟练掌握． 17. 分析：连接、，如图，设，根据等腰三角形的性质由得，再根据三角形内角和定理得到，而，则，利用三角形外角性质得，再利用得到，然后根据三角形外角性质得到，即得． 解：连接、，如图，设， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， ，即得， 即． 故答案为． 18. 解：矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，如图，连接， ，，，， 在与中， ， ≌； ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 连接，根据翻折的性质，矩形的性质和是的中点，可得：，，，，可证≌，得；再根据，，可得，，可求出． 本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键． 19. 根据零指数幂，二次根式化简，绝对值化简，负整数指数幂，分母有理化，特殊角三角函数值分别进行计算，然后合并即可． 本题考查了实数的运算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，掌握相关知识并正确运算是解题的关键． 20. 先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可． 本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21. 由题意可得，利用待定系数法即可解决问题； 根据三角形的面积构建方程即可解决问题； 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 22. 根据题意，作线段的垂直平分线，交于点，连接即可． 本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键． 23. 作出相应的图，由相似三角形的性质可得，从而可求的度数； 根据已知条件不难求得，从而有，利用相似三角形的性质可求得的长度． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，作图复杂作图，解答的关键是作出正确的图，并熟记相似三角形的性质． 24. 已知了三点的坐标，可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式然后将点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式． 根据得出的抛物线的解析式即可求出对称轴方程及的坐标可用配方法进行求解． 由于四边形不是规则的四边形，因此可过作轴的垂线，将四边形分成梯形和两个直角三角形三部分来求． 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及图形面积的求法． 当图形的形状不规则时，可将图形分割成几个规则图形，然后利用这些图形的面积的“和，差”关系来求解． 25. 是等腰三角形，且于，， 是等腰直角三角形，， 平分， ， 设， 则，， ， ， ， 是的角平分线， 过点作于， 平分，，， ， ，， ，即， 在中，，，， ， 设，则， ， 解得：， ； 如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 过点作于， 则，，， 平分，，， ， ， ， ，的半径为， ， 与轴的交点为， ， 过点作轴于， ， ∽， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ∽， ，即， ； 能与相似， 如图，设交轴于点，直线的解析式为，将代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为，令，得， ， ， ，， ，， ， ∽， ，即， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 由知， ， ， 直线的解析式为， 联立方程组：， 解得：， ， 联立方程组：， 解得：， ， 联立方程组：， 解得：， ， ， 直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式，得， 解得：， ， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则，， ， ，， ， ∽， ， 假设与相似，， ∽或∽， 或， 或， 当时， 则， ， ， 或， 若，则， 若时，则； 当时， 则， ， ， ， ； 综上，的长为或或． 设，则，，，可得是的角平分线，过点作于，根据角平分线性质可得：，利用三角形面积可得，设，则，建立方程即可求得答案； 如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作于，则，，，根据角平分线性质可得 ：，利用面积法即可求得：，的半径为，可得，故与轴的交点为，过点作轴于，由，可得∽，运用相似三角形性质可得：，，故F，再通过∽，即可求得答案； 设直线的解析式为，将代入，可得直线的解析式为，令，得，，由∽，可得， 进而得出，故E，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，通过联立方程组可分别得出：，，，，，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则，，假设与相似，，分两种情况：∽或∽，可得或，分别建立方程求解即可． 本题是有关圆的几何综合题，考查了两圆相切的性质，角平分线性质，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，待定系数法，一次函数图象的交点坐标等，综合性很强，难度大，合理添加辅助线构造相似三角形，运用代数知识解决几何问题是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $