2026年上海市徐汇区中考数学诊断练习卷

2026年上海市徐汇区中考数学诊断练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知二次函数的解析式为，则该二次函数图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 3.对于函数，下列说法： 图象关于轴对称； 有最小值； 当方程有两个不相等的实数根时，； 直线与的图象有三个交点时，． 正确的有个． A. B. C. D. 4.下列命题是真命题的是(    ) A. 相等的角是对顶角 B. 如果，，则 C. 内错角相等 D. 如果，，则 5.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则：的值是(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 6.下列命题中，真命题是(    ) A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 四条边相等的四边形是矩形 D. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.若，则的值为        ． 8.如果式子在实数范围内有意义，那么的取值范围是          ． 9.已知，且，那么______． 10.在件相同的产品中有件一等品，件二等品，件次品，任取件是二等品的概率是        ． 11.某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是      米结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位参考数据：，， 12.化简：______． 13.如图，在中，，沿折叠，使点落在上处，若，，则______． 14.如图，由边长为的小正方形构成的网格中，点、、、都在格点上，若，则的值为        ． 15.如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为已知，，那么这辆汽车速度是______结果保留根号． 16.如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点点，不与线段，的端点重合且，连接，，在点，运动的过程中，有下列四个结论：是等腰直角三角形；面积的最小值是；至少存在一个，使得的周长是；四边形的面积是请写出正确结论的序号            ． 17.如图，在中，，分别是，上的点，且，如果，，的周长分别记为，，，则的最大值是______． 18.已知，若有一角与的两边分别平行，则该角的度数为        ，另有，若的一边，另一边与直线相交于点，且点不在直线上，则的度数为        ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 19.解方程组： 四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 先化简，再求值：，其中． 21.本小题分 已知抛物线：． 若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为______； 若抛物线交轴于点，，当时． 则的值为______，抛物线的对称轴为直线______； 若直线与该抛物线有公共点，则的取值范围为______． 22.本小题分 某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量件是售价元件的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润元的四组对应值如表，此外，该网店每日的固定成本折算下来共元【注】日销售纯利润日销售量售价进价每日固定成本． 售价元件 日销售量件 日销售纯利润元 求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围； 求当售价是多少时，日销售纯利润最大？ 23.本小题分 如图，已知正方形，是的中点，是上的一点，于且． 求证：平分． 求证：． 24.本小题分 定义：若点在函数的图象上，将以为二次项系数，为一次项系数构造的二次函数称为函数的一个“二次派生函数”． 点在函数的图象上，则它的“二次派生函数”是______； 若“二次派生函数”经过点，求，的值； 若函数是函数的一个“一次派生函数”，在平面直角坐标系中，同时画出“一次派生函数”和“二次派生函数”的图象，当时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”，求点的坐标． 25.本小题分 如图，四边形的顶点、、分别在、轴的正半轴上，，动点从点出发，沿匀速运动，动点以每秒的速度从出发沿线段向点来回运动，当点运动到点点时，两点同时停止运动若点、同时出发运动秒后，如图是的面积与秒的函数关系图象，以线段为斜边向右作等腰直角． 填空：点的运动速度是______，点坐标为______． 当秒时， 为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 是否存在这样的时刻，使点正好落在线段上，若存在，求此时的，若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市徐汇区中考数学诊断练习卷 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17.   18. 或 或或或   19. 解： 由得， 或， 则原方程组变为 解得．  20. 解：原式 ， 当时， 原式．  21.     22. 解：设一次函数解析式为， 把，代入解析式，得， 解得， 故一次函数的解析式为． 设进价为元，根据题意，得， 解得， 根据题意，得， 故当元时，有最大值． 答：当售价是时，日销售纯利润最大．  23. 证明：连接，如图所示： 正方形，是的中点， ，， ， ， ， ∽， ，， ， ， ， ∽， ， 平分． 证明：， 由射影定理得：， 在和中，， ≌， ， ．  24.   25.  ，． 当时，点在线段上． 由题意，， 当时，∽， ， 解得． 当时，∽， ， 解得或舍弃， 综上所述，满足条件的的值为或． 存在．如图中，由题意． ，， 直线的解析式为， 把代入直线，得到， 解得． 点正好落在线段上时的值为．  【解析】 1. 解：二次函数解析式为 ， 顶点坐标为 ． 故选：． 根据二次函数的顶点式形式，求出结果即可． 本题主要考查二次函数的顶点式，解题的关键是二次函数的顶点式一般形式为 ，其中顶点坐标为 ． 2. 解：如图所示： ，且为等腰三角形， 为等腰直角三角形， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ， 设， 根据勾股定理，得，， ，代入直线， 得， 解得， ， ，代入直线， 得， 此方程无解． 综上所述：． 故选：． 先根据，且为等腰三角形，可知为等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，设，表示出点坐标，代入直线解析式，求出的值，即可求出的长． 本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键． 3. 解：当时，， 当时，， 图象关于轴对称，正确； 当时，， 当时，有最小值为； 当时，， 当时，有最小值为， 综上所述，函数有最小值为，正确． 画出函数图象如图， 由图知，当或时，与两函数有两个交点， 即此时方程有两个不相等的实数根，不正确； 由题意知，有三个不相等的实数根，即有三个不相等的实数根， 设，当时，； 当时，，则函数的图象如下， 由图象知，当或时，和图象有三个交点，此时函数图象与直线图象有三个交点，不正确， 故选：． 分别求出当和时的函数值，从而可判断图象是否关于轴对称； 当和时两种情况，去掉绝对值号，从而可分别求出函数的最小值，从而可求出最小值； 画出函数的图象，当函数图象与直线有两个交点时，即求出的取值范围； 构造函数，画出函数图象，则可求出的范围使得该函数和直线有三个交点． 本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的图象和性质、含绝对值的函数图象和性质．本题的关键是通过讨论自变量的取值范围将绝对值号去掉，即转化成二次函数进行求解． 4. 解：、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； B、在同一平面内，如果，，则，原命题是假命题； C、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； D、如果，，则，是真命题； 故选：． 根据对顶角、平行线的判定和性质判断即可． 本题考查命题与定理，对顶角，以及平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5. 解：，， ：：， 由题意得：平分， ：：：， ：：， 故选：． 先根据三角函数求出：的值，再根据三角形的面积公式求出：的值，再根据三角形的面积公式求解． 本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 6. 解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，本选项说法是假命题，不符合题意； C、四条边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，本选项说法是假命题，不符合题意； D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法是真，符合题意； 故选：． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7. 解：当时， ． 故答案为：． 利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 8. 解：在实数范围内有意义， ， 解得． 故答案为：． 先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于，此题基础题，比较简单． 9. 解：，， ， 时，， 故答案为． 由已知可得，解出即可． 本题考查函数值；理解题意，能够将所求问题转化为一元二次方程求解是关键． 10. 解：件相同的产品中有件一等品，件二等品，件次品， 任取件是二等品的概率是， 故答案为：． 直接利用概率公式，事件发生的概率是在一次实验中事件发生的所有可能情况，在一次实验中事件所有可能的结果，求解即可． 本题考查了概率公式的应用，解题的关键是牢记概率公式，难度不大． 11. 解：在中，， 则， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 答：新教学楼的高度约为米． 根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义列出方程，解方程求出． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地识别图象是解题的关键． 12. 解：：， 故答案为； 根据屏幕绚丽的加法法则计算即可 本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则． 13. 解：如图，点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，建立方程求解即可求得答案． 本题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系． 14. 解：如图，作关于的对称点，连接、，则． ， ． ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 作关于的对称点，连接、，则，再证明是等腰直角三角形，求出，即可得出． 本题考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，轴对称的性质等知识，准确作出辅助线是解题的关键． 15. 解：如图：作于则， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， 这辆汽车速度是． 故答案为：． 如图：作于则，再求出、，进而求得的长，最后求出速度即可． 本题主要考查解直角三角形的应用，速度、时间、路程之间的关系等知识点，正确添加常用辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 16. 解：四边形是正方形， ，，，， ， ， 在和中， ≌， ，， ， 是等腰直角三角形，故正确； 当时，最小，此时， 面积的最小值是，故正确； ， ， 设，则， ， 的周长是， ， ， 存在一个，使得的周长是，故正确； ≌， ，故正确； 故答案为：． 证明≌，可得，，可得到；再由当时，最小，此时，可得面积的最小值是，可得到正确；设，则，根据勾股定理可得，从而得到，得正确；再根据≌，可得，可得正确；即可求解． 此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 17. 解：设，，， ∽∽， ， ，， ，， ， 的最大值是， 故答案为． 设，，由，得到∽∽，通过相似比得到，，则，，得到即可得到结论． 本题考查了三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，周长的比等于相似比．也考查了用配方法求最值． 18. 解：如图所示，当另一角是锐角时， ，， ， ， ； 如图所示，当另一角是钝角时， ，， ， ， ， 综上所述，该角的度数为或； 若射线、交点在两直线、之外时，如图： ， ， 又， ， 又，， ， 又， ； 若射线、交点在两直线、之间时，如图： ， ， 又，， ； 如图，设交于， ， ， ； 如图，设交于点， ， ， ，， ， ， 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或，或或或． 分两种情况讨论：另一角是锐角和钝角，然后利用平行线的性质求解即可；分四种情况讨论：若射线、交点在两直线、之外时；若射线、交点在两直线、之间时，如图，设交于；如图，设交于点，即可求解． 本题综合考查了平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角的性质等相关知识点，解题关键是掌握平行线的性质，根据交点位置，不重不漏求出角度的大小． 19. 本题考查了解二元二次方程组，解答此类题目的方法一般是把它转化成二元一次方程组求解．由可得为或，然后与方程组成二元一次方程组，然后解二元一次方程组即可． 20. 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将的值代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21. 解：根据题意得且， 解得； 故答案为：； 抛物线交轴于点，， 一元二次方程的两个根为，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 即直线； 故答案为：，； 抛物线与直线有公共点， 一元二次方程有实数解， 整理得， ， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 利用二次函数的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式和方程得到的值， 根据抛物线与轴的交点问题得到一元二次方程的两个根为，，利用根与系数的关系得到，可可求出的值，然后利用抛物线对称轴方程写出对称轴； 把抛物线与直线有公共点转化为一元二次方程有实数解，利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 22. 设一次函数解析式为，选，代入求解即可． 设进价为元，根据求得，由此列式构造二次函数求最值即可． 本题考查了一次函数解析式的确定，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． 23. 由正方形的性质得出，，证出，得出∽，由相似三角形的性质得出，，证出∽，得出即可； 由射影定理得：，由证明≌，得出，即可得出结论． 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键． 24. 解：由题意可得， 故答案为： “二次派生函数”经过点， ， 又， ， 解得， ， ，． 把代入得， 把代入得， 可得方程组， 解得或， 当时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”，如图， ， 点坐标为． 将，代入求解． 由经过点及可得与的值． 把代入及可得与的关系，再由可解，的值，根据当时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”可作出图象求解． 本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题中“二次派生函数”及“一次派生函数”的定义，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 25. 解：由题意，， ， ， ， 点的运动速度， 观察图可知，，，根点作于． 四边形是矩形， ， ， ， 点与点重合， ． 故答案为，． 当时，点在线段上． 由题意，， 当时，∽， ， 解得． 当时，∽， ， 解得或舍弃， 综上所述，满足条件的的值为或． 存在．如图中，由题意． ，， 直线的解析式为， 把代入直线，得到， 解得． 点正好落在线段上时的值为． 根据三角形的面积求出的长，利用勾股定理求出，根据速度可得结论，观察图可知，，，根点作于利用勾股定理求出，推出点与重合可得点坐标． 当时，点在线段上．由题意，，当时，∽，当时，∽，分别构建方程求解即可． 存在．如图中，由题意求出直线的解析式，利用待定系数法解决问题即可． 本题属于相似形综合题，考查了一次函数的应用，速度，时间，路程之间的关系，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $