精品解析：湖南岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题

2026年3月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底， 故选：B 2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】应用投影向量公式及数量积坐标公式及模长公式计算求解. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 3. 已知实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件式变形为，构造函数，利用单调性得，从而，利用二次函数的性质即可求出最小值. 【详解】由得， 令，， 在上单调递增，，， ，， 故当时，取最小值. 故选：C. 4. 已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义计算可得，进而可求夹角的大小. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 解得，所以，解得. 故选：A. 5. 若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为m，n是关于的方程的两个正实数根， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 所以，所以的最小值为． 故选：D． 6. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件. 【详解】由得； ①当时，，则，解得， 因为，，满足题意； ②当时，， 若存在唯一的，使得成立， 则与有且仅有一个交点， 在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有且仅有一个交点， 所以，，解得，此时，； ③当时，， 由②同理可得，解得：，则. 综上所述：原命题成立的充要条件为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 7. 已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 取中点为，根据向量之间关系，得到，过点作于点，过点作于点，得出，进而可得三角形面积之比. 【详解】 取中点为，则， 因为，所以，则，因此， 过点作于点，过点作于点， 则易知， 因此， 所以的面积与的面积之比为. 故选：B. 8. 已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出分段函数的图象，再通过对方程因式分解讨论分析，求解实数范围即可. 【详解】 原方程因式分解得，因此方程等价于或. 分析的实根个数，是分段函数，所以 当时，，解得或，共个正根； 当时，，得（无解），解得，共个负根， 因此总共个不同实根，题目要求总共有个实根，故需要有个不同实根. 分析（）的实根个数， 分区间讨论的性质，时，，最大值为， 时，时无实根；时，时有个实根； 时，时有个实根；时，时有个实根； 时，时有个实根；时，时无实根. 时，， 时个实根；时个实根；时个实根。 要使得总共有个实根，只有两种情况： ，此时总根个数为，符合要求，对应； 时，此时总根个数为，符合要求，对应. 综上，的取值范围是. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 当时， D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，定义域为， 所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 当时，可得，则必有，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 若函数，则的值域为 C. 若函数，则的值域为 D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断BD；变形函数式，分类讨论判断C即可. 【详解】对于A，，，有， 则函数在上单调递增，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C， ， 当时，，，有， 当时，，，有， 综上：的值域为，故C正确； 对于D，当时，，有，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是利用三角函数的基本关系式将函数化为，从而结合高斯函数的定义即可得解. 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得或， 即函数的定义域为， 设则，而在上单调递减， 对于函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为． 13. 如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为，与的夹角为,且，，若,则的值为_________. 【答案】6 【解析】 分析】 【详解】 故答案为：6 14. 已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示， 若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. 已知两个单位向量与的夹角为，设，． （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； 【小问2详解】 因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 16. 已知函数． （1）求图象的对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）时，有零点，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由倍角公式及辅助角公式可得，再由正弦函数的性质，即可求解； （2）由正弦函数的性质，即可求解； （3）利用正弦函数的性质得时，的值域，结合条件，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由，得到， 所以图象的对称中心为. 【小问2详解】 由，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，，，在上的图象如图所示， 因为有零点，令，得到，所以与有交点， 由图可知,. 17. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】（1）不是“函数”，理由见解析 （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 18. 如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. （1）若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量; （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）连结，，由题设条件得到四边形是平行四边形，由此能求出． （2）设，则，，由此结合题设条件，利用向量的数量积能求出的取值范围． 【详解】解:连结，， 扇形的弧的中点为，动点、分别在、上， 且，，， 四边形是平行四边形， 点是线段靠近点的四分之一分点， ． 设，则， ， ， ，， 的取值范围是，． 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，求出两函数解析式； （2）根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出答案； （3）根据函数单调性和恒成立，存在性问题得到不等式，求出参数的取值范围 【小问1详解】 由题意知，则， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 所以，联立， 解得，． 【小问2详解】 函数为增函数，函数为减函数， 所以函数为增函数， 因为为奇函数，， 故在上恒成立， 则不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 设， 因为，，使成立， 则， 因为函数为增函数， 则当时，， 函数在上的最小值记为， 则， 令，函数为增函数， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 则， 由得，即，解得， 因为，则， 由得， 即，解得 因为，所以， 则； 当时，函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以， 又，， 则当时，恒成立． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 3. 已知实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（ ） A. B. C. D. 5. 若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 8. 已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 当时， D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 若函数，则的值域为 C. 若函数，则的值域为 D. ， 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数单调递增区间为______． 13. 如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为，与的夹角为,且，，若,则的值为_________. 14. 已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 四、解答题（共80分） 15. 已知两个单位向量与的夹角为，设，． （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）求图象的对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）时，有零点，求范围． 17. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 18. 如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. （1）若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量; （2）求的取值范围. 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $