精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2025年上学期高一数学月考试题 一、单选题（共40分） 1. 设是两个集合，则“且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，，为线段上的点且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 图象一个对称中心可以是 C. 的一个单调递增区间可以是 D. 图象的一条对称轴可以是 8. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共20分） 9. （多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 10. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若A＞B，则 B. 若，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 11. 一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则存在实数使得 B. C. D. 12. 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则 C. 若时，则的取值个数最多为7 D. 若时，则的取值个数最多为 三、填空题（共20分） 13. 已知平面向量，，，向量在向量上投影向量为，则_____________. 14. 设三边满足关系，则面积的最大值是________． 15. 已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________；最小值是__________． 16. 在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________． 17. 已知，，且．当为何值时， （1）向量与互相垂直； （2）向量与平行. 18. 已知的三个内角所对边为，若，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求； （2）若，求的面积． 20. 已知向量，函数． （1）求函数在上的单调递减区间； （2）若，且，求的值； （3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 21. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 22. 设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”． （1）设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由； （2）若在上是“可逆函数”，求实数的值； （3）若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期高一数学月考试题 一、单选题（共40分） 1. 设是两个集合，则“且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得. 【详解】因“且”“” “”， 故“且”是“”的充要条件. 故选：A 2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：A. 4. 对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：利用基本不等式即可求得结果；方法二：根据柯西不等式即可求出. 【详解】方法一：， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为． 方法二：， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：B 5. 已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移求出函数，由是偶函数求出，进而得出的值． 【详解】∵函数的图象上所有的点向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数， 又函数是偶函数，∴，∴． 由，可得， ∴，， 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查图象的变换，考查奇偶性的应用，属于基础题． 6. 在中，，，，，为线段上的点且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算，利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，又， 则， 又，，， 所以 . 故选：A 7. 设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 图象的一个对称中心可以是 C. 的一个单调递增区间可以是 D. 图象的一条对称轴可以是 【答案】C 【解析】 【分析】先用向量夹角公式和三角函数的辅助角公式对函数化简，再结合周期计算、对称轴与对称中心的判断以及单调性的分析判定选项. 【详解】， 对于A，最小正周期为，故A正确； 由于 ，故B、D表述正确， 对于C，，，而函数上单调递减， 根据复合函数的单调性法则可知，的一个单调递减区间可以是，所以C错误， 故选：C． 8. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解. 二、多选题（共20分） 9. （多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质与基本不等式逐项求解判断即可. 【详解】对于A，，则，即，故A正确； 对于B，，则 ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，，由，取，满足条件， 则，故C不正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若A＞B，则 B. 若，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性即可判断A,由正弦定理即可判断B,由余弦值的性质即可判断C,由边角互化即可判断D. 【详解】对于A，所以函数在上单调递减，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理可得：，∴， 此时无解，故B错误； 对于C，∵，为三角形的内角， ∴，可知A，B，C均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：∵，所以由正弦定理可得，又, 因此， ∴，∴，b＝a或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 11. 一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则存在实数使得 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理判断A；利用向量数量积的坐标运算判断B；利用新定义运算计算判断C；根据新定义以及数量积的坐标运算求解判断D. 【详解】对于A，依题意，不共面，因此不存在实数使得，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 因此，D正确． 故选：BCD 12. 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则 C. 若时，则的取值个数最多为7 D. 若时，则的取值个数最多为 【答案】AC 【解析】 【分析】由新定义可知，再对每个命题进行判断，即可得出结论. 【详解】对A，若时，， 两式相乘得，又， ，即， ，即，故A正确； 对B，若时，则，同理， 相乘得到，又， 所以，即， 则取值时符合，此时，故B错误； 对C，若时，则， 同理，相乘得，又， ，， 又，得， ， ， ， 的取值个数最多为7个，故C正确； 对D，若时，由上面推导方法可知， ，，， 的取值个数最多为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 三、填空题（共20分） 13. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由题得，则，又， . 故答案为：. 14. 设的三边满足关系，则面积的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合基本不等式，先求的取值范围，再利用余弦定理，求的取值范围，进而得的取值范围，最后结合三角形的面积公式可求三角形面积的最大值. 【详解】因为，所以（当且仅当时取“”）. 由余弦定理得：，故， 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为： 15. 已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________；最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】构建直角坐标系且，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值，应用数量积的坐标表示及三角恒等变换及三角函数的性质求的最小值. 【详解】由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 若，则， ，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以，当时，， 所以时，取得最小值是. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：根据题设构建合适坐标系，应用坐标法及三角恒等变换、三角函数的性质求对应表达式的最值. 16. 在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，直接由向量的线性运算计算即可； 第二空，用向量表示向量，进而求出的模，设分别为所对边，由的模表示出的关系，利用基本不等式即可求解△ABC面积的最大值. 【详解】第一空，因为P是MC的中点， 所以， 又因为， 所以， 所以， 即， 所以； 第二空，设，则， 因为点D在BC上，所以，即， 所以， 所以， 因为，即， 设分别为所对边， 所以， 即， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以， 因此△ABC面积的最大值为为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算及应用，关键在于利用平面向量基本定理表示出向量，再根据模长求出三角形两边的关系，利用基本不等式和面积公式即可得到面积最大值. 17. 已知，，且．当为何值时， （1）向量与互相垂直； （2）向量与平行. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出，根据向量垂直列式求解； （2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 若向量与互相垂直，则， ∴， ∴， ∴，解得或. 【小问2详解】 因为，即， 则，所以不共线， 若向量与平行，则存在实数使得成立， 所以且，解得. 18. 已知的三个内角所对边为，若，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角正弦公式可求得，由二倍角余弦公式可求得结果； （2）利用余弦定理可构造方程求得，进而得到，结合三角形面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得：，即， ，则. 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得：， 又，，解得：或（舍）， ，. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用边化角与和两角和的正弦公式即可化简求值. （2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果 【小问1详解】 由正弦定理得 ， 整理得：， 即：，又因为， 所以，又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 解得：， 故. 20. 已知向量，函数． （1）求函数在上的单调递减区间； （2）若，且，求的值； （3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简，再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调减区间； （2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可； （3）根据三角函数图象变换得，再根据三角函数的性质计算即可. 小问1详解】 因为， 所以即 又因为，所以函数在上的单调递减区间为 【小问2详解】 若则，所以. 因为，所以， 所以， 所以 故. 【小问3详解】 将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象， 即： 则， 当时， 由方程有一解，可得的取值范围为． 21. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； 【小问3详解】 由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：对于三角形周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解. 22. 设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”． （1）设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由； （2）若在上是“可逆函数”，求实数的值； （3）若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：． 【答案】（1）是“可逆函数”；不是“可逆函数”，理由见解析‘ （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用“可逆函数”定义即可判断； （2）利用函数单调性与值域之间的包含关系以及“可逆函数”定义即可求得结果； （3）对参数a分情况讨论，再对对称轴讨论即可证明结论. 【小问1详解】 已知，定义域为,对于任意的， 设，由，得，因为对于任意， 且唯一，所以是“可逆函数”； 已知，定义域，令，则， 由，即，得，那么，即， 判别式，方程无解，所以不是“可逆函数” 【小问2详解】 由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“可逆函数”， 则在定义域上是“可逆函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得； 即当且仅当的值域是的值域的子集， 定义的值域、的值域分别为， 所以在定义域上是“可逆函数”当且仅当； 由题意在上是可逆函数， 首先当时，单调递减，此时， 由可逆函数定义可知，不包含0，即（1）； 从而在时的值域为， 由题意， 所以要满足题意，还需满足（2）； 只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得， 【小问3详解】 情形一：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形二：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形三：当时，注意到的对称轴为，则， （i）当时，， 由二次函数性质可知存在使得，即此时， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； （ii）当时，由二次函数性质可知， 即此时，注意到， 若在定义域上是可逆函数， 首先，其次结合，可得应该满足； 结论得证； 【点睛】方法点睛：新定义函数的思考方向：首先，深入理解新定义，逐字逐句分析其内涵，明确所涉及的概念、规则等关键信息.其次，将新定义与熟悉的函数知识建立联系，例如函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的图像特征（如开口方向，对称轴、最值点等）以及函数的运算规律.再者，运用分类讨论思想，根据题目条件和参数的不同取值范围，分别进行分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$