第7讲 经济问题（基础：利润与折扣）-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第8讲 经济问题（提高） 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、经济问题解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：分段计费问题 2 📌 考点二：复杂利润率计算 4 📌 考点三：折扣与利润率的综合应用 6 📌 考点四：多商品经济问题 7 ⚠️ 易错避坑指南 10 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 12 一、基础夯实篇(8题) 12 二、能力进阶篇(7题) 13 三、思维跃迁篇(5题) 14 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 16 一、基础夯实篇(8题) 16 二、能力进阶篇(7题) 17 三、思维跃迁篇(5题) 20 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 经济问题（提高）是小学奥数经济模块的核心进阶内容，围绕分段计费、利润率、折扣、多商品利润四大核心展开，核心是理清数量关系、找准计算标准、分步突破难点，精准解决复杂经济场景下的计费、利润计算问题，需精准掌握以下知识点： 公式类型 公式表达 适用场景 关键注意事项 分段计费核心公式 总费用 = 各分段费用之和 某分段费用 = 该分段单价 × 该分段数量（或里程、时长） 分段计价、阶梯收费（如水电费、打车费、物业费） 明确分段节点，区分“不足一段按一段算”“超额部分计费”两种情况，避免漏算、错算分段 利润率核心公式 利润 = 售价 - 成本 售价 = 成本×(1 + 利润率) 成本 = 售价÷(1 + 利润率) 复杂利润率计算，已知任意两个量求第三个量 利润率的计算基数是成本，而非售价；亏损时利润率为负数，利润=售价-成本＜0 折扣核心公式 折扣 = （折） 售价 = 原价×折扣（小数形式） 折扣与利润率综合应用，求折扣、原价、售价 折扣需转化为小数计算（如8折=0.8），区分“原价”（定价）与“成本”，避免混淆 多商品利润公式 总利润 = 单个商品利润×数量（单种商品） 总利润 = 每种商品利润之和（多种商品） 总利润率 = 多商品盈利、亏损合计，求总利润、总利润率 分别计算每种商品的成本和利润，盈利为正、亏损为负，合计时注意正负抵消 二、经济问题解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键公式/步骤 记忆技巧 分段计算法 先明确分段标准（节点、单价），再按不同标准计算每一段的费用，最后将各分段费用相加，得到总费用 ① 找出分段节点，明确各段计费规则；② 计算每段费用（注意是否超额）；③ 求和得到总费用 分段节点划清楚，每段单价记牢固，分段计算再求和，不重不漏不失误 逆向推导法 根据利润率、售价等已知条件，反向推导成本（核心），再结合其他条件求解未知量 ① 确定已知量（售价/利润率/成本）；② 若求成本，用公式；③ 验证利润、利润率是否符合题意 逆向推导找成本，售价除以（1+利润率），亏损记得减利润率，计算之后要验证 综合分析法 梳理多个量（成本、售价、利润率、折扣、数量）之间的关系，分步计算，先求单一量，再求综合量 ① 拆解题目条件，明确各量之间的关联；② 分步计算（如先求成本，再求折扣，最后求利润）；③ 汇总结果，检查是否符合题意 复杂问题分步解，先单后综不慌乱，关联关系找清楚，每步结果验一验 三、奥数思维提升 1　 分类讨论思想：分段计费问题中，根据计费节点分类计算，明确不同区间的计费标准，避免因区间混淆导致错误。 2　 逆向思维：利润率、折扣综合问题中，当正向计算困难时，从已知结果（售价、利润）反向推导成本、原价，简化计算。 3　 分步突破思想：多商品经济问题中，先单独计算每种商品的成本、利润，再汇总计算总利润，避免多个量混淆导致漏算。 4　 精准定位思想：明确利润率、折扣的计算基数（利润率以成本为基数，折扣以原价为基数），找准核心量，避免计算基数错误。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：分段计费问题 ✨ 典型例题 1（基础型——分段计价，无超额进位） 某市居民阶梯水费收费标准如下：每月用水量不超过15吨，每吨2.8元；超过15吨但不超过30吨的部分，每吨3.5元；超过30吨的部分，每吨5.2元。小明家9月份用水量28吨，应缴水费多少元？ 解题步骤： ① 明确分段节点：15吨（第一档）、30吨（第二档），小明家用水量28吨，分两档计费 ② 计算第一档费用（15吨以内）：元 ③ 计算第二档费用（15-28吨，共吨）：元 ④ 总水费=两档费用之和：元 【答案】应缴水费87.5元 【知识点睛】分段计费的核心是“分档计算、求和”，先判断用水量（或其他量）所在的区间，再按对应单价计算每档费用，避免跨档错算单价。 ✨ 典型例题 2（提高型——分段计费，超额进位） 某打车软件收费标准：3公里以内（含3公里）收费10元；超过3公里，每公里收费2.4元（不足1公里按1公里计算）。小红从家打车到学校，全程8.6公里，应支付车费多少元？ 解题步骤： ① 明确分段规则：3公里内10元，超过3公里按实际里程进位计算（不足1公里按1公里算） ② 计算超过3公里的里程：8.6公里-3公里=5.6公里，不足1公里按1公里算，即6公里 ③ 计算超过部分的费用：元 ④ 总车费=基础费用+超额费用：元 【答案】应支付车费24.4元 【知识点睛】遇到“不足1公里按1公里计算”“不足1吨按1吨计算”的情况，需先对超额部分进行进位处理，再计算费用，这是分段计费的高频易错点。 ✨ 典型例题 3（综合型——分段计费的逆向应用） 某小区物业费实行分段计费：房屋面积不超过120平方米，每平方米每月1.5元；超过120平方米的部分，每平方米每月2元。王叔叔家10月份缴纳物业费210元，他家房屋面积是多少平方米？ 解题步骤： ① 先计算120平方米对应的物业费（第一档）：元 ② 判断是否超过第一档：210元＞180元，说明房屋面积超过120平方米 ③ 计算超额部分的物业费：元 ④ 计算超额部分的面积：平方米 ⑤ 总房屋面积=120+15=135平方米 【答案】他家房屋面积是135平方米 【知识点睛】分段计费的逆向应用，先计算第一档的最大费用，判断未知量所在区间，再逆向推导超额部分的量，最后求出总数量。 📌 考点二：复杂利润率计算 ✨ 典型例题 4（基础型——已知成本、利润率，求售价） 一件商品的成本是200元，按30%的利润率定价销售，这件商品的售价是多少元？若按此售价卖出，可获得多少利润？ 解题步骤： ① 明确公式：售价=成本×(1+利润率)，利润=售价-成本 ② 计算售价：元 ③ 计算利润：元（或元） 【答案】商品售价是260元，可获得利润60元 【知识点睛】已知成本和利润率，直接用“成本×(1+利润率)”求售价，利润也可直接用“成本×利润率”计算，简化步骤。 ✨ 典型例题 5（提高型——已知售价、利润率，求成本） 一件商品按40%的利润率定价，实际售价为280元，这件商品的成本是多少元？若按成本价出售，售价应为多少元？ 解题步骤： ① 明确公式：成本=售价÷(1+利润率) ② 计算成本：元 ③ 按成本价出售，售价=成本=200元 【答案】商品的成本是200元，按成本价出售售价为200元 【知识点睛】逆向推导成本是复杂利润率的核心，牢记“成本=售价÷(1+利润率)”，切勿用“售价×(1-利润率)”计算成本（易混淆基数）。 ✨ 典型例题 6（综合型——亏损与利润率的计算） 一件商品的成本是300元，按售价卖出后亏损了20%，这件商品的售价是多少元？亏损了多少元？ 解题步骤： ① 明确亏损时的利润率为负数，公式仍适用：售价=成本×(1+利润率) ② 计算售价：元 ③ 计算亏损金额：元（或元） 【答案】商品售价是240元，亏损了60元 【知识点睛】亏损问题中，利润率为负数，计算时需将“亏损率”转化为负的利润率，核心公式不变，注意区分“盈利”与“亏损”的计算逻辑。 ✨ 典型例题 7（综合型——利润率的复杂计算） 一件商品先按20%的利润率定价，再按定价的90%出售，最终售价为216元，这件商品的成本是多少元？最终的利润率是多少？ 解题步骤： ① 逆向推导，先求定价：售价=定价×90%，因此定价=元 ② 再求成本：定价=成本×(1+20%)，因此成本=元 ③ 计算最终利润：元 ④ 计算最终利润率： 【答案】商品的成本是200元，最终的利润率是8% 【知识点睛】多步定价、出售的利润率问题，需分步逆向推导，先求定价，再求成本，最后计算实际利润率，避免一步到位导致错误。 📌 考点三：折扣与利润率的综合应用 ✨ 典型例题 8（基础型——折扣与利润率的基础结合） 一件商品的成本是150元，按20%的利润率定价，再打8折出售，这件商品的实际售价是多少元？最终是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少元？ 解题步骤： ① 计算定价：元 ② 计算实际售价（打8折，即折扣0.8）：元 ③ 判断盈利/亏损：144元＜150元，亏损 ④ 计算亏损金额：元 【答案】实际售价是144元，最终亏损6元 【知识点睛】折扣与利润率结合，需先求定价（基于成本和利润率），再求实际售价（基于定价和折扣），最后对比成本判断盈利或亏损。 ✨ 典型例题 9（提高型——已知折扣、利润率，求成本） 一件商品按定价打7.5折出售，实际售价为225元，获得的利润率为12.5%，这件商品的成本是多少元？定价是多少元？ 解题步骤： ① 先求成本：已知售价和利润率，成本=售价÷(1+利润率)，即元 ② 再求定价：售价=定价×折扣，因此定价=元 【答案】商品的成本是200元，定价是300元 【知识点睛】折扣与利润率综合的逆向问题，优先求成本（利润率的核心基数），再根据折扣公式逆向求定价，步骤不可颠倒。 ✨ 典型例题 10（综合型——折扣、利润率与定价的综合计算） 一件商品的定价是300元，若按定价打8折出售，可获得20%的利润率，这件商品的成本是多少元？若要获得30%的利润率，应打几折出售？ 解题步骤： ① 计算实际售价（打8折）：元 ② 求成本：元 ③ 计算获得30%利润率的售价：元 ④ 计算折扣：折（保留一位小数） 【答案】商品的成本是200元，要获得30%的利润率，应打约8.7折出售 【知识点睛】此类问题需先通过折扣和利润率求出成本，再根据新的利润率求新售价，最后计算对应的折扣，分步突破，避免混淆。 📌 考点四：多商品经济问题 ✨ 典型例题 11（基础型——单种多数量商品利润） 商店购进一批笔记本，每本成本8元，按15%的利润率定价出售，一共卖出50本，这批笔记本的总利润是多少元？总销售额是多少元？ 解题步骤： ① 计算每本笔记本的利润：元 ② 计算总利润：元 ③ 计算每本售价：元（或元） ④ 计算总销售额：元 【答案】总利润是60元，总销售额是460元 【知识点睛】单种多数量商品，先求单个商品的利润和售价，再分别乘数量，得到总利润和总销售额。 ✨ 典型例题 12（提高型——多种商品盈利合计） 商店同时卖出两件商品，第一件商品的成本是120元，利润率为25%；第二件商品的成本是180元，利润率为20%。两件商品的总利润是多少元？总利润率是多少？ 解题步骤： ① 计算第一件商品的利润：元，售价=元 ② 计算第二件商品的利润：元，售价=元 ③ 计算总利润：元 ④ 计算总成本：元 ⑤ 计算总利润率： 【答案】两件商品的总利润是66元，总利润率是22% 【知识点睛】多种商品盈利合计，需分别计算每种商品的利润和成本，再汇总总利润和总成本，总利润率以总成本为基数计算。 ✨ 典型例题 13（综合型——多种商品盈利与亏损合计） 商店卖出两件商品，第一件商品的成本是200元，盈利20%；第二件商品的成本是300元，亏损10%。卖出这两件商品，商店总体是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少元？ 解题步骤： ① 计算第一件商品的利润：元，售价=元 ② 计算第二件商品的亏损：元，售价=元 ③ 计算总利润：盈利40元 - 亏损30元 = 10元 ④ 判断：总利润为正，因此总体盈利10元 【答案】商店总体盈利，盈利10元 【知识点睛】多商品有盈有亏时，需分别计算每种商品的盈利或亏损金额，再进行正负抵消，总利润为正则盈利，为负则亏损，切勿直接用利润率相加。 ✨ 典型例题 14（综合型——多商品折扣与利润综合） 商店购进A、B两种商品，A商品成本50元，按20%的利润率定价，打9折出售；B商品成本80元，按30%的利润率定价，打8.5折出售。卖出1件A商品和1件B商品，总利润是多少元？ 解题步骤： ① 计算A商品的定价：元，实际售价=元，利润=元 ② 计算B商品的定价：元，实际售价=元，利润=元 ③ 计算总利润：元 【答案】总利润是12.4元 【知识点睛】多商品结合折扣与利润率，需分别计算每种商品的定价、实际售价、利润，再汇总总利润，步骤清晰，避免遗漏某一环节。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 分段计费漏算分段、错算单价 错误示例：打车3公里内10元，超过3公里每公里2.4元，全程7.2公里，错误计算：元 正确分析：分段计费需区分基础部分和超额部分，7.2公里应分为3公里（10元）和5公里（超额部分，不足1公里按1公里算），正确费用=元。需先划清分段节点，再分别计算。 ❌ 利润率计算混淆基数（用售价当基数） 错误示例：一件商品成本200元，售价260元，错误计算利润率= 正确分析：利润率的计算基数是成本，而非售价，正确利润率=。牢记“利润÷成本”，而非“利润÷售价”。 ❌ 折扣与原价、成本混淆 错误示例：一件商品成本150元，打8折出售后售价144元，错误认为原价=144元 正确分析：折扣是基于“原价（定价）”计算的，而非成本，原价=元，成本是150元，二者不可混淆。 ❌ 多商品总利润率计算错误（用单个利润率相加） 错误示例：两件商品，一件利润率25%，一件利润率20%，错误认为总利润率= 正确分析：总利润率=总利润÷总成本×100%，需分别计算两件商品的利润和总成本，再计算总利润率，不可直接将单个利润率相加。 ❌ 亏损问题中，错误使用利润率公式 错误示例：一件商品成本300元，售价240元，错误计算亏损率= 正确分析：亏损率本质是负的利润率，计算基数仍为成本，正确亏损率=，售价是卖出价格，不能作为计算亏损率的基数。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇(8题) 1． 某市阶梯电费收费标准：每月用电量不超过200度，每度0.55元；超过200度的部分，每度0.65元。小亮家10月份用电240度，应缴电费多少元？ 2． 一件商品成本180元，按25%的利润率定价，这件商品的售价是多少元？利润是多少元？ 3． 一件商品售价336元，利润率为20%，这件商品的成本是多少元？ 4． 某商品定价200元，打8折出售，实际售价是多少元？ 5． 商店卖出10本笔记本，每本成本6元，利润率为20%，总利润是多少元？ 6． 一件商品成本250元，按售价卖出后亏损12%，这件商品的售价是多少元？ 7． 打车收费标准：2公里内8元，超过2公里每公里2.2元（不足1公里按1公里算），打车全程5.3公里，应支付车费多少元？ 8． 一件商品定价150元，打9折出售后，利润率为8%，这件商品的成本是多少元？ 二、能力进阶篇(7题) 9． 某小区阶梯物业费：100平方米以内（含100平方米），每平方米每月1.2元；超过100平方米的部分，每平方米每月1.8元。李叔叔家11月份缴纳物业费192元，他家房屋面积是多少平方米？ 10． 一件商品先按30%的利润率定价，再按定价的85%出售，实际售价为221元，这件商品的成本是多少元？最终利润率是多少？ 11． 商店同时卖出两件商品，第一件成本150元，利润率20%；第二件成本200元，利润率15%，两件商品的总利润和总利润率各是多少？ 12． 某商品成本120元，若要获得25%的利润率，定价应为多少元？若打8折出售，还能盈利多少元？ 13． 一件商品售价450元，亏损10%，这件商品的成本是多少元？若要盈利20%，售价应定为多少元？ 14． 分段计费：每月用水量不超过12吨，每吨3元；超过12吨但不超过20吨，每吨4元；超过20吨，每吨6元。小刚家9月份缴水费80元，他家9月份用水量是多少吨？ 15． 商店卖出A、B两件商品，A商品成本60元，打8折出售后盈利20%；B商品成本90元，打7.5折出售后盈利12.5%，两件商品的总利润是多少元？ 三、思维跃迁篇(5题) 16． 一件商品按定价出售可获得利润80元，若按定价的80%出售，则亏损40元，这件商品的成本和定价各是多少元？ 17． 商店购进一批商品，每件成本40元，按50%的利润率定价，卖出一半后，剩下的商品打8折出售，全部卖出后，总利润率是多少？ 18． 某市出租车收费标准：3公里内10元，超过3公里，每公里2.5元（不足1公里按1公里算），另外加收燃油附加费2元。小明打车从家到机场，共支付车费44.5元，小明家到机场的距离最远是多少公里？ 19． 两件商品的总成本是500元，第一件商品按20%的利润率出售，第二件商品按15%的利润率出售，总利润为95元，两件商品的成本各是多少元？ 20． 一件商品定价360元，第一次打9折出售，第二次在第一次打折的基础上再打9.5折，两次打折后获得的利润率为14%，这件商品的成本是多少元？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇(8题) 1． 【答案】136元 解题步骤： ① 第一档（200度以内）费用：元 ② 第二档（240-200=40度）费用：元 ③ 总电费：元 【知识点睛】分段计费，分两档计算，求和得到总费用。 2． 【答案】售价225元，利润45元 解题步骤： ① 售价=元 ② 利润=元（或元） 【知识点睛】已知成本和利润率，直接用公式求售价和利润。 3． 【答案】280元 解题步骤： ① 成本=售价÷(1+利润率)=元 【知识点睛】逆向推导成本，牢记基数是成本，用售价除以（1+利润率）。 4． 【答案】160元 解题步骤： ① 实际售价=定价×折扣=元 【知识点睛】折扣转化为小数，用定价乘折扣得到实际售价。 5． 【答案】12元 解题步骤： ① 每本利润=元 ② 总利润=元 【知识点睛】单种多数量商品，先求单个利润，再乘数量。 6． 【答案】220元 解题步骤： ① 售价=成本×(1-亏损率)=元 【知识点睛】亏损问题，利润率为负，用成本乘（1-亏损率）求售价。 7． 【答案】16.8元 解题步骤： ① 基础费用8元（2公里内），超额里程=5.3-2=3.3公里，按4公里算 ② 超额费用=元 ③ 总车费=元 【知识点睛】不足1公里按1公里算，先对超额里程进位，再计算费用。 8． 【答案】125元 解题步骤： ① 实际售价=元 ② 成本=售价÷(1+利润率)=元 【知识点睛】先求实际售价，再逆向推导成本，结合折扣和利润率。 二、能力进阶篇(7题) 9． 【答案】140平方米 解题步骤： ① 第一档（100平方米）物业费：元 ② 超额物业费：元 ③ 超额面积：平方米 ④ 总面积：100+40=140 平方米 【知识点睛】分段计费逆向应用，先算第一档费用，再求超额费用和超额面积，最后求总面积。 10． 【答案】成本200元，最终利润率10.5% 解题步骤： ① 定价=221÷0.85=260元 ② 成本=260÷(1+30%)=200元 ③ 利润=221-200=21元 ④ 利润率=21÷200×100%=10.5% 【知识点睛】多步定价、出售，分步逆向推导，先求定价，再求成本，最后算利润率。 11． 【答案】总利润60元，总利润率17.14% 解题步骤： ① 第一件利润：元，第二件利润：元 ② 总利润：元 ③ 总成本：元 ④ 总利润率： 【知识点睛】多商品盈利合计，先算单个利润，再汇总总利润和总成本，总利润率=总利润÷总成本。 12． 【答案】定价150元，盈利0元 解题步骤： ① 定价=成本×(1+利润率)=元 ② 打8折售价：元 ③ 盈利：元 【知识点睛】先求定价，再求折扣后的售价，对比成本判断盈利情况。 13． 【答案】成本500元，盈利20%的售价600元 解题步骤： ① 成本=售价÷(1-亏损率)=元 ② 盈利20%的售价：元 【知识点睛】亏损问题逆向求成本，再根据盈利要求求新售价。 14． 【答案】22吨 解题步骤： ① 第一档（12吨）费用：元 ② 第二档（12-20吨，8吨）费用：元 ③ 前两档总费用：元，超额费用：元 ④ 第三档（超过20吨）吨数：吨，按实际计费，总用水量=20+2=22吨 【知识点睛】三段计费，先算前两档最大费用，判断用水量所在区间，再求第三档吨数。 15． 【答案】总利润23.25元 解题步骤： ① A商品：打8折出售后盈利20%，售价=60×(1+20%)=72元，利润=72-60=12元 ② B商品：打7.5折出售后盈利12.5%，售价=90×(1+12.5%)=101.25元，利润=101.25-90=11.25元 ③ 总利润=12+11.25=23.25元 【知识点睛】多商品结合折扣与利润率，分别计算每种商品的售价和利润，再汇总。 三、思维跃迁篇(5题) 16． 【答案】成本520元，定价600元 解题步骤： ① 设商品成本为 x 元，则定价为 (x+80) 元 ② 按定价 80% 出售亏损 40 元，列方程：0.8 (x+80)=x−40 ③ 解方程：0.8x+64=x−40 → 0.2x=104 → x=520 ④ 定价 = 520+80=600 元 【知识点睛】通过设未知数，利用利润与亏损的等量关系列方程求解。 17． 【答案】总利润率35% 解题步骤： ① 设总数为10件，总成本=40×10=400元 ② 定价=40×1.5=60元 ③ 卖出5件，销售额=5×60=300元，利润=300-200=100元 ④ 剩下5件打8折，售价=60×0.8=48元，销售额=5×48=240元，利润=240-200=40元 ⑤ 总利润=140元，总利润率=140÷400×100%=35% 【知识点睛】赋值法简化计算，分别计算两部分利润，再求总利润率。 18． 【答案】16公里 解题步骤： ① 扣除燃油附加费2元，实际车费=元 ② 扣除3公里基础费用10元，超额费用=元 ③ 超额里程=公里 ④ 总里程=3+13=16公里（刚好整除，无进位） 【知识点睛】先扣除固定附加费和基础费用，再求超额里程，最后求总里程，注意“最远距离”即无进位的情况。 19． 【答案】第一件成本400元，第二件成本100元 解题步骤： ① 设第一件商品成本为 x 元，第二件为 (500−x) 元 ② 列方程：20% x+15%(500−x)=95 ③ 解方程：0.2x+75−0.15x=95 → 0.05x=20 → x=400 ④ 第二件成本 = 500−400=100 元 【知识点睛】设未知数，利用总利润=各商品利润之和列方程，求解各商品成本。 20． 【答案】成本270元 解题步骤： ① 第一次打折售价：360×0.9=324 元 ② 第二次打折售价：324×0.95=307.8 元 ③ 成本 = 307.8÷(1+14%)=307.8÷1.14=270 元 【知识点睛】多次折扣分步算售价，再结合利润率逆向求成本。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $