7．3 复数的三角表示（思维导图+1大知识点+6大题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

7．3 复数的三角表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：复数的三角表示 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：复数的三角形式及其表示 5 题型二：复数的代数形式化为三角形式 6 题型三：复数的三角形式化为代数形式 8 题型四：复数三角形式的乘法运算 10 题型五：复数三角形式的除法运算 12 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 14 知识点一：复数的三角表示 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 题型一：复数的三角形式及其表示 【例题1】复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解析】，则， 由于得：， 故,解得， 因为，所以的值可以是5，11，17，. 故选：C. 【例题2】（2026·高一·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设，， 所以有， 即 所以，即， 则， 故选：D. 【方法技巧与总结】 解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤） （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【变式1】（2026·高一·全国·月考）复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 即复数为， ． 故选：D. 【变式2】（2026·高二·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A 题型二：复数的代数形式化为三角形式 【例题3】已知的三角形式为，则的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，的三角形式是， 结合诱导公式知，， 故选：B 【例题4】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤） （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 【变式3】（2026·高一·广东珠海·期中）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C. 【变式4】复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（    ） A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160° C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160° 【答案】B 【解析】(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°) ＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°) ＝cos160°＋isin160°． 故选：B． 【变式5】（2026·高三·吉林·期末）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数的模为1，辐角为， 所以复数的三角形式为. 故选：A 【变式6】复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 题型三：复数的三角形式化为代数形式 【例题5】若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 【答案】 【解析】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以. 故答案为：. 【例题6】已知向量对应的复数为，把绕原点O按顺时针方向旋转后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为________(用代数形式表示)． 【答案】 【解析】对应的复数为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项） （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【变式7】（2026·高一·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）． 【答案】 【解析】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 故答案为：. 【变式8】如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为________（用代数形式表示）. 【答案】 【解析】根据复数乘法的性质，将逆时针旋转得到的对应的复数，等于将对应的复数乘以，所以向量对应的复数为 ， 故答案为：. 【变式9】设复数满足的辐角的主值为，的辐角的主值为，则________（用代数形式表示）． 【答案】 【解析】由题意，设， ， 所以，可得， 解得，所以. 故答案为：. 题型四：复数三角形式的乘法运算 【例题7】计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）原式 . （2）原式. （3） . 【例题8】求证：． 【解析】左边 右边． 所以原等式成立． 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘法运算的注意事项） 两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【变式10】计算：． 【解析】． 【变式11】计算：． 【解析】因为 ． 【变式12】计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式. 题型五：复数三角形式的除法运算 【例题9】化简下列各式： (1) ； (2) 【解析】（1） ； （2） . 【例题10】计算：. 【解析】 . 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的三角形式除法运算的注意事项） 两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【变式13】计算： (1)； (2). 【解析】（1）方法一：原式 . 方法二：原式. （2）原式. 【变式14】计算：. 【解析】 【变式15】在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【解析】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 【例题11】（2026·高一·重庆·期末）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【解析】（1）连接，因为四边形，， 所以，又， 所以，即， 因为， 所以， ， 所以，， （2）设，， 则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为， ， 设对应的复数为， 所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以， （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以的范围为. 【例题12】（2026·高一·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【解析】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项） 复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【变式16】如图所示，已知四边形是矩形，点和对应的复数分别为，，并且，求点和点分别对应的复数． 【解析】由题意可知，向量可以看作向量的长度扩大为原来的倍，并绕点按顺时针方向旋转后得到． 因向量对应的复数为， 故向量对应的复数为． 因为，则点对应的复数为． 同理可得点对应的复数是． 【变式17】（2026·高一·全国·月考）已知复数满足，且． (1)求的三角形式； (2)记、、分别表示复数、、在复平面上的对应点．已知、、三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求． 【解析】（1）由，得，所以或， 因为，则复数在复平面上对应的点应位于第二象限，故应舍去， 所以． （2）由题意，对应复数为：，对应复数为：， 因为，、、位置成逆时针顺序，又， 所以把对应复数按逆时针方向旋转即得对应复数． 所以，可得 ， 即， 故. 【变式18】（2026·高一·浙江杭州·期中）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数． ①当时，解关于x的方程； ②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值． 【解析】（1）由，且，，解得：， 所以的三角形式为：. （2）①当时，，整理得， 解得： ； ②设， 则当时， 因为存在实数，使得成立，所以， 因为，所以， 此时，符合题意， 所以点的轨迹方程为，即的轨迹是单位圆的一部分. 设，表示的复数为，表示的复数为， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7．3 复数的三角表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：复数的三角表示 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：复数的三角形式及其表示 5 题型二：复数的代数形式化为三角形式 5 题型三：复数的三角形式化为代数形式 6 题型四：复数三角形式的乘法运算 7 题型五：复数三角形式的除法运算 8 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 10 知识点一：复数的三角表示 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 题型一：复数的三角形式及其表示 【例题1】复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例题2】（2026·高一·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤） （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【变式1】（2026·高一·全国·月考）复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·高二·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 题型二：复数的代数形式化为三角形式 【例题3】已知的三角形式为，则的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【例题4】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤） （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 【变式3】（2026·高一·广东珠海·期中）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式4】复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（    ） A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160° C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160° 【变式5】（2026·高三·吉林·期末）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6】复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 题型三：复数的三角形式化为代数形式 【例题5】若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 【例题6】已知向量对应的复数为，把绕原点O按顺时针方向旋转后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为________(用代数形式表示)． 【方法技巧与总结】 解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项） （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【变式7】（2026·高一·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）． 【变式8】如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为________（用代数形式表示）. 【变式9】设复数满足的辐角的主值为，的辐角的主值为，则________（用代数形式表示）． 题型四：复数三角形式的乘法运算 【例题7】计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【例题8】求证：． 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘法运算的注意事项） 两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【变式10】计算：． 【变式11】计算：． 【变式12】计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 题型五：复数三角形式的除法运算 【例题9】化简下列各式： (1) ； (2) 【例题10】计算：. 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的三角形式除法运算的注意事项） 两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【变式13】计算： (1)； (2). 【变式14】计算：. 【变式15】在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 【例题11】（2026·高一·重庆·期末）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【例题12】（2026·高一·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项） 复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【变式16】如图所示，已知四边形是矩形，点和对应的复数分别为，，并且，求点和点分别对应的复数． 【变式17】（2026·高一·全国·月考）已知复数满足，且． (1)求的三角形式； (2)记、、分别表示复数、、在复平面上的对应点．已知、、三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求． 【变式18】（2026·高一·浙江杭州·期中）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数． ①当时，解关于x的方程； ②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $