7．3 复数的三角表示（6大题型）训练-2025-2026学年高一下学期数学新教材同步配套（人教A版必修第二册）

7．3 复数的三角表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：复数的三角形式及其表示 2 题型二：复数的代数形式化为三角形式 2 题型三：复数的三角形式化为代数形式 3 题型四：复数三角形式的乘法运算 4 题型五：复数三角形式的除法运算 4 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 7 02 重难点拓展 12 题型一：复数的三角形式及其表示 1．（2026·高一·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C 2．（2026·高三·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 题型二：复数的代数形式化为三角形式 3．复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则. 故选：A 4．复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 5．复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】复数在复平面内所对应的点为位于第四象限， 则，，所以，即 所以． 故选：D 题型三：复数的三角形式化为代数形式 6．将复数化成代数形式，正确的是（    ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】D 【解析】根据特殊角的三角函数值，化简即可. 故选：D. 7．将复数化为代数形式为___________ 【答案】 【解析】由题得. 故答案为： 题型四：复数三角形式的乘法运算 8．（2026·高一·河南洛阳·期末）已知复数，则________. 【答案】1 【解析】复数， 所以. 故答案为：1 9．已知复数，，求的辐角的主值． 【解析】 ， 因为辐角主值属于，所以的辐角的主值为． 10．计算：. 【解析】 . 题型五：复数三角形式的除法运算 11．计算． （1）； （2）． 【解析】（1） ； （2） 12．计算： (1)； (2). 【解析】（1）根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 13．计算下列各式，并作出几何解释： (1) (2). 【解析】（1）原式 . 几何解释：设，作与对应的向量， 然后把向量绕原点按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的， 得到一个长度为，辐角为的向量， 则即为所对应的向量. （2）原式 . 几何解释：设， 作与对应的向量，然后把向量 绕原点按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的， 得到一个长度为，辐角为的向量， 则即为所对应的向量. 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 14．（2026·高二·浙江·开学考试）人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：. (1)写出方程的复数根； (2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，. （i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若，则 （ii）求的值（用表示）. 【解析】（1）由题意有， 所以； （2）（i）由已知有1的5次方根为：易知是方程的根， 由提示，，则是方程的根， 又， 依次类推均为1的五次方根，命题得证； （ii）（*）， 由（2）易证：若，则均为方程的根. 由代数基本定理可知， 所以， 所以 又均为方程的根，， 所以， 则（*）等于， 因为， 所以 . 15．（2026·高一·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【解析】（1）由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； （2） ； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 16．（2026·高一·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【解析】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 1．若复数z满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可设，所以， 则， 故当时取最小值，最小值为． 故选：B 2．（2026·高一·江西宜春·期末）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解析】， 由棣莫弗定理可得， 因为复数为纯虚数， 所以且，所以，，得，， 所以正整数m的最小值为4. 故选：A. 3．复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 4．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 5．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】， ，A选项错误， 的虚部是，B选项错误； ，C选项错误， 在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确. 故选：D 6．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为, 所以, 所以对应的点为，,在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 7．（2026·高一·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【解析】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 8．（2026·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【解析】， 所以 , 所以的虚部为. 故选:B. 9．（多选题）（2026·高一·贵州·月考）已知复数z，w均不为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设，，x，y，a，，则 对A，令，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，取，，则， ，故，故C错误， 对D，，， 得到，故，故D正确. 故选：BD 10．（多选题）（2026·高一·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故， 故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 11．（多选题）（2026·高一·山东临沂·期中）设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．若，则的最大值为5 D．若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BD 【解析】对于A，设，则， 而，当时必定不成立，故A错误； 对于B，设且，由 ， 可得，解得，即，故B正确； 对于C，因，可设， 则， 则， 故当 时，取得最大值9，故的最大值为3，即C错误； 对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环， 其面积为，故D正确. 故选：BD. 12．将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 【答案】 【解析】（1）； （2）； （3） ； （4）. 故答案为：；；； 13．复数化为三角形式为_____________，_____________． 【答案】 【解析】复数对应的点在第一象限，且，. 因为，所以． 故答案为：；. 14．设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 【答案】32； 【解析】因为 ， 所以复数的模为32，辐角的主值为． 故答案为：32；． 15．在复数范围内，求的三次方根与的四次方根. 【解析】设，因为，则（）， 得，， ； 设，则（）， 得，， ，. 16．（2026·高一·山东菏泽·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【解析】（1）依题意，， 所以 . （2）设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 17．（2026·高一·四川成都·期中）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，． (1)若复数，求复数z的实部和虚部； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 【解析】（1）， 则， 所以复数z的实部为，虚部为0. （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式得， 所以，. （3）正二十四边形每边所对的中心角为，设（为常数）， 则， 所以 ， 由周期性知，共有8个不同的值， 所以复数所对应不同点的个数为8． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7．3 复数的三角表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：复数的三角形式及其表示 2 题型二：复数的代数形式化为三角形式 2 题型三：复数的三角形式化为代数形式 2 题型四：复数三角形式的乘法运算 2 题型五：复数三角形式的除法运算 3 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 4 02 重难点拓展 6 题型一：复数的三角形式及其表示 1．（2026·高一·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 题型二：复数的代数形式化为三角形式 3．复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 4．复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 5．复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 题型三：复数的三角形式化为代数形式 6．将复数化成代数形式，正确的是（    ） A．4 B．-4 C． D． 7．将复数化为代数形式为___________ 题型四：复数三角形式的乘法运算 8．（2026·高一·河南洛阳·期末）已知复数，则________. 9．已知复数，，求的辐角的主值． 10．计算：. 题型五：复数三角形式的除法运算 11．计算． （1）； （2）． 12．计算： (1)； (2). 13．计算下列各式，并作出几何解释： (1) (2). 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 14．（2026·高二·浙江·开学考试）人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：. (1)写出方程的复数根； (2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，. （i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若，则 （ii）求的值（用表示）. 15．（2026·高一·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 16．（2026·高一·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 1．若复数z满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2026·高一·江西宜春·期末）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 4．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 5．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 6．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2026·高一·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 8．（2026·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 9．（多选题）（2026·高一·贵州·月考）已知复数z，w均不为0，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·山东临沂·期中）设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．若，则的最大值为5 D．若，则点的集合所构成图形的面积为 12．将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 13．复数化为三角形式为_____________，_____________． 14．设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 15．在复数范围内，求的三次方根与的四次方根. 16．（2026·高一·山东菏泽·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 17．（2026·高一·四川成都·期中）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，． (1)若复数，求复数z的实部和虚部； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $