第六章 计数原理（单元自测·冲刺卷）数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二第二学期数学单元自测 第六章 计数原理（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C A D C A A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD ACD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．126 13．45 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）的展开式的通项为， 2分 因为第项为常数项，所以时，有，解得. 4分 （2）令，得， 5分 所以含的项的系数为. 该项的二项式系数为. 8分 （3）根据通项公式与题意得，令， 则，即，，所以应为偶数.又， 所以可取，即可取. 10分 所以第项，第项与第项为有理项， 它们分别为，，，即，，. 13分 16．【详解】（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． 3分 （2）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条， 6分 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条． 故所求路线有条． 8分 （3）设H，K的位置如图所示， 则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况： ①，有条最近路线； 10分 ②，有条最近路线； 12分 ③，有条最近路线． 14分 故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． 15分 17．【详解】（1）由二项式系数性质,仅第5项最大,则 为偶数且 ,解得 . 2分 第4、5、6项系数、、,成等差数列得 . 代入 ,,, 整理得 , 4分 解得 或 . 故 , 或 ； 5分 （2）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 展开式通项为 ,系数为 ,. 7分 设第 项系数最大,则满足由 得 ,即 . 由组合数计算公式得 .,故 ,解得. 由 得 ,即 . 故 ,解得. 综上 ,即 或 . 9分 故系数最大的项为第3项和第4项:,； 10分 （3）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 又 ,则     12分 14分 故 被5除的余数为 . 15分 18．【详解】（1）当，， 又，， 2分 所以，所以； 3分 （2）当，时，， 又， 5分 所以，， ，， ，， ，，， 所以，，，，为有理数， 7分 所以从，，，，中任取一个数，取到有理数的概率为， 9分 （3）当，且时，， 又二项式的展开式的通项公式为，， 11分 所以，，， 当时，， 13分 令，可得，即，所以（舍去）， 令，可得，即，所以， 令，可得，即，所以， 所以， 15分 因为对任意的，，都有， 所以. 17分 19．【详解】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 2分 所以，图中第行的各数之和为 . 4分 （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 6分 整理可得，解得， 8分 所以存在相邻的三个数，，， 10分 （3）因为当且、时，， 13分 故 ， 16分nn 即当、，，. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元自测 第六章 计数原理 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在8:00~9:00去金顶、太子坡、南岩宫游玩， 且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则5人一共有种情况， 若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫， 每人有2种选择方法，则5人一共有种情况， 故金顶一定要有人去有种情况． 故选：B． 2．的展开式中，常数项为（    ） A．15 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【详解】展开式的通项为， 令，得，则， 故常数项为. 故选：C 3．某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．100 【答案】C 【详解】法1：直接法：选取的员工中可以有：1男2女，2男1女两类情况， 所以不同的选法种数为：. 法2：间接法：从10人中任选3人的方法中减去全是男生或全是女生的选法可得所求不同的选法种数为． 故选：C 4．若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴ 即解得. ∵， ∴. ∴的取值集合为. 故选：A. 5．的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 【答案】D 【详解】解法一： 因为，即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积. 展开式的通项为， 则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为； 展开式的通项为， 则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为. 综上所述，的展开式中的项为，系数为. 解法二： 因为，展开式的通项为. 要使展开式中含，则可取或. 当时，，展开式的通项为， 显然时，展开式含，该项为； 当时，，展开式的通项为， 显然时，展开式含，该项为. 综上所述，的展开式中的项为，系数为. 故选：D． 6．已知为中不同数字的个数，如，则事件发生的概率为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】总事件数为：， 表示三个数中恰好有两个不同的数字，其中一个数字出现 2 次，另一个出现 1 次 从 4 个数字中选 2 个不同的数字：，再从这 2 个数字中选 1 个作为重复出现的数字，从 3 个位置中选 2 个位置放置重复的数字： 所以事件 A 的情况数为： 所以. 故选：C. 7．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【详解】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 8．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，在展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故A符合题意； 对于B，由“算两次”的定义知， 从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置， 然后从其余n个元素中取出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， ∴，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意； 对于C，对于，由“算两次”的定义知， 展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故C不符合题意； 对于D，由组合数的运算性质知， ， 当时，；当时，，故D不符合题意， 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若，，为常数，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【详解】对于A，当时，令，可得为任意正整数，故A错误. 对于B，当时，，求解得，，， ，，，，可知，故B正确； 对于C，由题意，可知，令，则，所以或，故C错误； 对于D，由题意，可知，，即， 解得，又，，故D正确. 10．某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 【答案】ACD 【详解】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝， 对于A，每次使用法宝有种， 因可以重复使用，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故A正确； 对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种， 则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故B错误； 对于C，先将除乾坤圈､风火轮以外的5种法宝排列，共有种， 再利用插空法将乾坤圈､风火轮插入6个空位置中， 则不同的使用法宝的方法有种，故C正确； 对于D，先将7件法宝排列共有种， 再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确. 故选：ACD． 11．将这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是（   ） A．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个 B．若，，则这样的数列共有个 C．若，，，则这样的数列共有个 D．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个 【答案】BC 【详解】对于选项A，从中选出1个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个； 从中选出2个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个； 从中选出3个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个； 从中选出4个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有； 从中选出5个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个； 故满足条件的总个数为：个，所以选项A错误， 对于选项B，由于为奇数，所以没有三个数之和相等的两组数，根据对称性可知这样的数列有个，故选项B正确； 对于选项C，若，从中任选个作为，有种， 因为，，，则一定是剩下四个数中最大的数， 再从个数中选作为，剩下的一个作为，有种，由分步计数原理可知满足条件的数列有个； 若，从中任选个作为，有种， 因为，，，则一定是剩下个数中最大的数，且， 再从个数中选个作为，剩下的1个作为，有种，由分步计数原理可知满足条件的数列有个； 若，从中任选个作为，有种， 此时中剩下的两个数只能是，且，， 由分步计数原理可知满足条件的数列有个， 所以满足条件的这样的数列共有个，故选项C正确； 对于选项D，若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻， 则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故选项D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知(m>1)，则的值为________.（结果用数字作答） 【答案】126 【详解】因为，若m=2m-1，得m=1（舍）， 所以，由组合数的计算性质得， 所以 . 故答案为：126. 13．已知的展开式中含x项的系数为的项的系数最大值为______． 【答案】45 【详解】由题意得：的系数为：， 的系数为：， 又因为，所以当或时，的最大值为. 14．从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，则的可能值组成的集合为_______． 【答案】 【详解】由事件的概率和事件的概率相等，即， 所以，可得， 所以为完全平方数，其中，且， 当时，所以，此时， 当时，所以，此时， 所以的可能值组成的集合为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知在的展开式中，第项为常数项. (1)求 (2)求含的项的系数与该项的二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）的展开式的通项为， 2分 因为第项为常数项，所以时，有，解得. 4分 （2）令，得， 5分 所以含的项的系数为. 该项的二项式系数为. 8分 （3）根据通项公式与题意得，令， 则，即，，所以应为偶数.又， 所以可取，即可取. 10分 所以第项，第项与第项为有理项， 它们分别为，，，即，，. 13分 16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 【详解】（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． 3分 （2）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条， 6分 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条． 故所求路线有条． 8分 （3）设H，K的位置如图所示， 则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况： ①，有条最近路线； 10分 ②，有条最近路线； 12分 ③，有条最近路线． 14分 故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． 15分 17．（15分）已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，求的展开式中系数最大的项； (3)若，且，求被5除的余数. 【详解】（1）由二项式系数性质,仅第5项最大,则 为偶数且 ,解得 . 2分 第4、5、6项系数、、,成等差数列得 . 代入 ,,, 整理得 , 4分 解得 或 . 故 , 或 ； 5分 （2）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 展开式通项为 ,系数为 ,. 7分 设第 项系数最大,则满足由 得 ,即 . 由组合数计算公式得 .,故 ,解得. 由 得 ,即 . 故 ,解得. 综上 ,即 或 . 9分 故系数最大的项为第3项和第4项:,； 10分 （3）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 又 ,则     12分 14分 故 被5除的余数为 . 15分 18．（17分）已知函数，为正整数. (1)当，且时，求的值； (2)当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； (3)当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 【详解】（1）当，， 又，， 2分 所以，所以； 3分 （2）当，时，， 又， 5分 所以，， ，， ，， ，，， 所以，，，，为有理数， 7分 所以从，，，，中任取一个数，取到有理数的概率为， 9分 （3）当，且时，， 又二项式的展开式的通项公式为，， 11分 所以，，， 当时，， 13分 令，可得，即，所以（舍去）， 令，可得，即，所以， 令，可得，即，所以， 所以， 15分 因为对任意的，，都有， 所以. 17分 19．（17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【详解】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 2分 所以，图中第行的各数之和为 . 4分 （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 6分 整理可得，解得， 8分 所以存在相邻的三个数，，， 10分 （3）因为当且、时，， 13分 故 ， 16分nn 即当、，，. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元自测 第六章 计数原理 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A． B． C． D． 2．的展开式中，常数项为（    ） A．15 B．40 C．60 D．80 3．某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．100 4．若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 6．已知为中不同数字的个数，如，则事件发生的概率为 （    ） A． B． C． D． 7．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若，，为常数，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 10．某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 11．将这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是（   ） A．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个 B．若，，则这样的数列共有个 C．若，，，则这样的数列共有个 D．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知(m>1)，则的值为________.（结果用数字作答） 13．已知的展开式中含x项的系数为的项的系数最大值为______． 14．从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，则的可能值组成的集合为_______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知在的展开式中，第项为常数项. (1)求(2)求含的项的系数与该项的二项式系数；(3)求展开式中所有的有理项. 16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 17．（15分）已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值；(2)若，求的展开式中系数最大的项； (3)若，且，求被5除的余数. 18．（17分）已知函数，为正整数. (1)当，且时，求的值； (2)当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； (3)当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 19．（17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二第二学期数学单元自测 第六章 计数原理 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A． B． C． D． 2．的展开式中，常数项为（    ） A．15 B．40 C．60 D．80 3．某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．100 4．若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 6．已知为中不同数字的个数，如，则事件发生的概率为 （    ） A． B． C． D． 7．若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若，，为常数，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 10．某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 11．将这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是（   ） A．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个 B．若，，则这样的数列共有个 C．若，，，则这样的数列共有个 D．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知(m>1)，则的值为________.（结果用数字作答） 13．已知的展开式中含x项的系数为的项的系数最大值为______． 14．从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，则的可能值组成的集合为_______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知在的展开式中，第项为常数项. (1)求(2)求含的项的系数与该项的二项式系数；(3)求展开式中所有的有理项. 16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 17．（15分）已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值；(2)若，求的展开式中系数最大的项； (3)若，且，求被5除的余数. 18．（17分）已知函数，为正整数. (1)当，且时，求的值； (2)当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； (3)当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 19．（17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $