湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的。 1. 已知椭圆C二+号-1，则其离心率e( ) 4 2 纺 A月 B时 c鸣 D.9 都 2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若aa4=8,4=42+2,则S,=（) A.7 B.14 C.15 D.31 如 3.(1+x)"的展开式中含x2的项的系数为15，则n=() 脚 如 A.5 B.6 C.7 D.8 救 4.曲线y=血在点Mx,0)处的切线方程为（) x+ny+n=0 B.x-y元=0 C.x-0y叶=0 D.x+0y-u=0 己知圆C:x2+y2+8x-6y+9=0,圆C2:(x+1)2+(y+1)=a2(a>0),若C与C2内切，则 实数a的值为() 解 御 A.1 B.2 C.9 D.10 6.某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人 看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有() A.100 B.150 C.180 D.540 刀.已知等差数列{an},满足a2026+a2027<0,a2026a2027<0,且数列{an}的前n项和Sn有最大值， 赵 那么Sn取最小正值时，n等于（) 邻 A.4052 B.4051 C.4050 D.4049 8. 已如双曲线C苦茶=a>06>0)的左、右焦点分别为R,点M在双自线C上，考 M,MO,M成等比数列(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为() Ay=±x B.y=±2x Cy± 2 Dy=士V2x 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是() A.男、女各站在一起，共有24种排法 B.男生不能排在一起，共有54种排法 C.男生必须排在一起，共有48种排法 D.男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 10.袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑 球的个数为X,则（) A.随机变量X服从二项分布 B.PK1)=月 C.B(4-1)=3 D.记这4个球中白球的个数为Y,则D(X)=D() 11.抛物线C:y2=4x的准线为1，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线， 2为切点，过P作1的垂线，垂足为B,则() A.1与⊙A相切 B.当PA,B三点共线时，|PQ=V5 C.当|PB=2时，PA⊥AB D.满足PA=PB1的点P有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X~B(6,p),YN(4,d2)且P(23)=)E()=E(),则p=」 13.有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已 知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为 14.已知函数fx)=ar-lnx,a>0,对任意的x∈(0，+oo),不等式ear≥axfx),则a的取值范围是 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{a,}的前n项和为S,其中4，=9，S,=15,数列，}满足6.=】 anantl (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 16.(本小题满分15分) 6 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AC=4,BC=2V3. (1)求证：BC⊥CA1; (2)若平面AAB与平面ABC所成角的余弦值为四，求A4的值. 17.(本小题满分15分) 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产 品中优质品的件数记为n.如果=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这 批产品通过检验；如果=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通 过检验；其他情沉况下，这批产品都不能通过检验， 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否 为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质 量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望 第3页共4页 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx,aeR. (1)当a=1时，求函数f(x)的极小值； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 点M,D分别是椭圆三+y2=1(a>1)的左右顶点，离心率为 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点M作互相垂直的直线MA,MB交椭圆于A,B两点，求△ABD面积的最大值. 第4页共4页