数学二模模拟卷（山东专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A． B A C D A B C B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3x﹣2）（3x+2） 12． 13． 14．（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 15．（1）；（2）． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）【解析】解：（1）2x2﹣4x＝3（x﹣2）， 2x2﹣4x﹣3（x﹣2）＝0， 2x(x-2)﹣3（x﹣2）＝0，（2分） （x﹣2）（2x﹣3）＝0， x﹣2＝0或2x﹣3＝0，（3分） 解得；（4分） （2）原式＝（2分） ＝ ＝1．（4分） 17．（7分）【解析】解：【操作发现】 （1）如图1，MN为所作；（2分） （2）∵点M是△ABC中AC边的中点， ∴AC＝2AM，（3分） ∵MN∥BC， ∴AN：AB＝AC：AM＝2， 即AB＝2AM；（4分） 【类比探究】如图2，点N为所作．（7分） 18．（9分） 【解析】解：（1）将A（4，﹣2）代入得：， 解得：k＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为；（2分） 将B（﹣2，m）代入反比例函数解析式可得：， ∴B（﹣2，4）， 将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入反比例函数解析式得：， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；（4分） （2）由图象可得：不等式的解集为x≤﹣2或0＜x≤4；（6分） （3）在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；理由如下： ∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为﹣4， ∴点P的纵坐标为，∴P（﹣4，2）， 设点Q（c，n），以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，分以下几种情况讨论： 当AB为对角线时，AB与PQ互相平分， ∴，∴， ∴Q（6，0）；（7分） 当AP为对角线时，AP与BQ互相平分， ∴，解得：， ∴Q（2，﹣4）；（8分） 当AQ为对角线时，AQ与BP互相平分， ∴，解得：， ∴Q（﹣10，8）； 综上所述，在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；满足条件的点Q的坐标为（6，0）或（2，﹣4）或（﹣10，8）．（9分） 19．（10分） 【解析】解：（1）∵A款人工智能软件20份问卷调查的得分的20个数据中出现次数最多的是100， ∴a＝100；（2分） B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据所占百分比为×100%＝35%， ∴m%＝1﹣5%﹣45%﹣35%＝15%， ∴m＝15；（4分） B款人工智能软件20份问卷调查的得分在A组中的数据有：20×5%＝1（个）； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在B组中的数据有：20×15%＝3（个）； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据有7个， ∴中位数b＝＝88，（6分） （2）A款人工智能软件更优. （7分） 理由如下： 因为A、B两款人工智能软件的平均数相同，而A款人工智能软件的众数和中位数都大于B款人工智能软件的众数和中位数 ∴A款人工智能软件更优；（8分） （3）20×+15×45%＝11+6.75＝17.75（万人次）， 答：估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有17.75万人次．（10分） 20．（10分） 【解析】（1）证明：如图，连接OC， ∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD， ∴∠OCF＝90°，（1分） ∵FE⊥AB，∴∠OEF＝90°， ∴∠F+∠COE＝180°，（2分） ∵∠AOC+∠COE＝180°，∴∠AOC＝∠F，（3分） ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠AOC＝2∠OBC＝2∠OCB， ∴∠F＝2∠OCB，（4分） ∵∠DCA＝∠OCB＝90°﹣∠ACO， ∴∠F＝2∠DCA；（5分） （2）解：在Rt△OCD中，OC＝OA＝8，OD＝OA+AD＝8+2＝10， ∴CD＝＝6，（6分） ∵∠ODC＝∠FDE，∠OCD＝∠FED＝90°， ∴△DOC∽△DFE，（8分） ∴， ∵DE＝DA+AO+OE＝2+8+2＝12，∴， 解得DF＝20，（9分） ∴CF＝DF﹣CD＝20﹣6＝14．（10分） 21．（9分） 【解析】解：（1）如图2，过点G作GM⊥FH于M， ∵α＝45°，∴△GHM是等腰直角三角形，∴GM＝DF， ∵∠DFH+∠FDG＝90°+90°＝180°， ∴DG∥FH，（1分） ∴∠BGD＝∠FHG＝45°， ∵∠B＝90°，∴△BDG是等腰直角三角形，（2分） ∴∠BDG＝45°，∴∠ADE＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE， ∴DF＝2米，∠A＝∠ADE＝45°，∴∠AED＝90°， ∴AD＝AE＝（米），（3分） ∵AB＝2.5米，∴BD＝AB﹣AD＝2.5﹣＝2.5﹣0.705＝1.795≈1.8（米）， 答：此时伞沿支点D离地面约为1.8米．（4分） （2）如图3，过点E作EP⊥AB于P，过点Q作QN⊥BC交FH于N， ∵∠FDG＝∠F＝∠GKF＝90°， ∴GK＝DF＝2米， 在Rt△GHK中，∠GHK＝α＝30°， ∴GH＝2GK＝4（米），（5分） ∵DG∥FH，∴∠DGB＝∠GHK＝30°， ∵∠DGB+∠BDG＝90°，∠ADE+∠BDG＝90°， ∴∠ADE＝∠DGB＝30°， 在Rt△DEP中，DP＝DE•cos∠ADE＝0.5cos30°＝0.5×≈0.4325（米），（6分） ∵AE＝DE，EP⊥AD， ∴AD＝2DP＝0.865（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝2.5﹣0.865＝1.635（米）， ∴BG＝BD•tan∠BDG＝1.635×tan60°≈2.829（米），（7分） ∵BQ＝5米， ∴HQ＝BG+GH﹣BQ＝2.829+4﹣5＝1.829（米）， ∴NQ＝HQ•tanα＝1.829×tan30°＝1.829×≈1.055（米），（8分） ∵1.055＞1， ∴此时小明的头部不会被太阳光照射到．（9分） 22．（11分） 【解析】解：（1）①由条件可得1＝a×12+b×1+c，∴a+b+c＝1；（1分） ②若点P1（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则点P1（0，1），P3（1，1）是抛物线上的对称点， ∴对称轴为直线，∴与“当0＜x＜1时，函数值y随x的增大而增大”矛盾， ∴只能点P2（0，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx+c上， 将点P2（0，﹣1）代入y＝ax2+bx+c， 得c＝﹣1，（2分） 由（1）①得a+b+c＝1， ∴a+b﹣1＝1，即b＝2﹣a， ∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣1，∴， ∵二次函数y＝ax2+bx+c有最大值， ∴a＜0，， 解得：a＝﹣1，（3分） 经检验，a＝﹣1是原方程的解，且符合题意， ∴b＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3，（4分） ∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣1；（5分） （2）的值为定值0. （6分） 理由如下： 由（1）②得a＝﹣1，b＝3，c＝﹣1， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，（7分） 令y＝n，则﹣x2+4x﹣3＝n， ∴x2﹣4x+3+n＝0，（8分） ∵Q1（x1，n），Q2（x2，n）为二次函数图象上的不同两点， ∴x1+x2＝4，x1x2＝3+n，（9分） ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0．（11分） 23．（11分） 【解析】解：（1）将CE绕点C逆时针旋转90°，并放大为原来的2倍，点E的对应点为点F．连接BF，交DE的延长线于点G，连接AE，如图， 四边形CEGF即为所求；（1分） 四边形CEGF为矩形. （2分） 理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC， 由题意得，∠ECF＝90°，CF＝2CE， ∴∠DCE＝∠BCF＝90°﹣∠BCE， ∵BC＝2AB，∴BC＝2CD，即， ∵CF＝2CE，∴，∴， ∴△CDE∽△CBF，（3分） ∴∠BFC＝∠DEC＝90°， ∵∠DEC＝90°，∴∠GEC＝180°﹣∠DEC＝90°， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠BFC＝90°， ∴四边形CEGF为矩形；（4分） （2）如图，过点E作EH⊥AD于点H， 由（1）得△CDE∽△CBF，∴， ∵点G为BF中点，∴，∴， ∴GF＝DE，（5分） ∵四边形CEGF是矩形，∴CE＝GF，∴DE＝CE， ∵∠DEC＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°， ∵在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°， 设DE＝CE＝2a， 则 ，（6分） ∴ ， ∵EH⊥AD，∠ADE＝45°，∴△EDH为等腰直角三角形， ∴ ，∴ ， ∴， ∴；（7分） （3）∵∠DEC＝90°，∴点E的轨迹为以CD的中点O为圆心，DO为半径的圆⊙O， 延长AE交⊙O于点M，连接DM，如图， ∵∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝∠ECD+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠ECD， ∵，∴∠ECD＝∠M，∴∠ADE＝∠M， ∵∠DAE＝∠MAD，∴△DAE∽△MAD，∴， ∴， ∵AD为定值，∴当取得最小值时，DM取得最大值， ∵DM≤DC，∴， ∴的最小值为2；（9分） （4）过点B作BG⊥DB，且使得BG＝2BD，连接AG，DG，如图， ∵∠ABC＝90°，∴∠DBC+∠ABD＝90°， ∵BG⊥DB，∴∠GBA+∠ABD＝90°，∴∠DBC＝∠GBA， ∵AB＝2BC，BG＝2BD，∴， ∴△BDC∽△BGA，∴，∴， ∵，∴BD＝DG， ∴当DG取得最大值时，BD取得最大值，（10分） ∵， ∴当点A，D，G三点共线时，DG取得最大值，为， ∴BD的最大值为＝．（11分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，最小的是（　　） A．﹣1 B．0 C．|﹣2| D．﹣（﹣3） 2．我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．它的主视图是直角三角形 B．它的左视图是矩形 C．它的俯视图是直角三角形 D．它的主视图是矩形 4．古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.54×109 B．5.4×107 C．5.4×108 D．54×107 5．下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝5xy B．x2•x3＝x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2x+y）2＝4x2+4xy+y2 6．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们定义一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝1，则（3+2i）•（1﹣i）的值为（　　） A．5﹣i B．5+i C．1+i D．1﹣i 7．如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 8. 如图，△ABE△BCF△CAD，且点D、E、F分别在CF、AD、BE上，延长BD交AC于点G. 若E为AD中点，则下列结论不正确的是（ ） A. △DEF是等边三角形 B. ∠FDB = 30° C. BD = 2DG D. AG = 4CG 9．图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为36V，R0为定值电阻，Rs为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为1.5m时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为0.4A．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压U＝（电阻R0+电阻Rs）×电流I）（　　） A．电阻Rs的初始阻值为0 B．当Rs的阻值为30Ω时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，Rs的阻值越大 D．定值电阻R0的阻值为40Ω 10．当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解：9x2﹣4＝　 　 ． 12．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 ． 13．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 　 ． 14．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是 　 ． 15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD边上一动点（不与A、D重合），连接BP，过C点作CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点． （1）当点P为AD中点时，CE＝　 ； （2）线段DF的最小值是　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）解方程：2x2﹣4x＝3（x﹣2）； （2）计算：． 17．（7分）【操作发现】 如图1，点M是△ABC中AC边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作BC的平行线MN，交AB于点N； （2）在（1）的条件下，线段AB与AN的数量关系是 　 　 ； 【类比探究】 如图2，线段AB与射线AC有公共端点A．请你用圆规和无刻度的直尺在线段AB上作一个点N，使． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为﹣4，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 19．（10分）近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两款人工智能软件得分统计表 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 A款 87 a 91 121 B款 87 95 b 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为用户对哪款人工智能软件更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有多少万人次？ 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线与⊙O相切于点C，过线段OB上一点E作AB的垂线交直线DC于点F，交BC于点G． （1）求证：∠F＝2∠DCA； （2）若AO＝8，AD＝OE＝2，求CF的长． 21．（9分）如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（AB）、悬托架（AE）、伞面（DF）和感应器组成．支架AB垂直于地面BC，伞沿的支点D在AB上滑动．悬托架支点E在DF上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即∠AED的大小）使得伞面DF与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知AB＝2.5米，AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE． （1）某天下午15点时太阳光线与地面的夹角α＝45°，此时伞沿支点D离地面多高？（结果精确到0.1米） （2）如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点Q，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天16点时太阳光线与地面的夹角α＝30°，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：） 22．（11分）在平面直角坐标系中，点P1（0，1），P2（0，﹣1）中恰有一点在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，当0＜x＜1时，函数值y随x的增大而增大． （1）若点P3（1，1）在该二次函数的图象上， ①求a+b+c的值； ②已知二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为，求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，Q1（x1，n），Q2（x2，n）为二次函数y＝ax2+（b+1）x+c﹣2图象上的不同两点，且x1≠1，试判断的值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 23．（11分）平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律．这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径． 【特例探究】 如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是矩形内一动点，且∠DEC＝90°．将CE绕点C逆时针旋转90°，并放大为原来的2倍后，点E的对应点为点F．连接BF，交DE的延长线于点G，连接AE． （1）按题意在图1中画出符合题意的四边形CEGF，判断其形状，并说明理由； （2）当点G为BF中点时，求的值； （3）求的最小值； 【类比探究】 （4）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，，．连接BD，若AB＝2BC，求BD的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，最小的是（　　） A．﹣1 B．0 C．|﹣2| D．﹣（﹣3） 【答案】A． 【解析】解：∵|﹣2|＝2，﹣（﹣3）＝3， ∴﹣1＜0＜2＜3， ∴﹣1＜0＜|﹣2|＜﹣（﹣3）， ∴最小的数是：﹣1． 故选：A． 2．我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 3．如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．它的主视图是直角三角形 B．它的左视图是矩形 C．它的俯视图是直角三角形 D．它的主视图是矩形 【答案】A． 【解析】解：这个几何体是底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥， 所以它的主视图是一个直角三角形，它的左视图是一个三角形，它的俯视图是一个矩形（含一条对角线）， 故选：A． 4．古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.54×109 B．5.4×107 C．5.4×108 D．54×107 【答案】C． 【解析】解：5.4亿＝540000000＝5.4×108． 即数据“5.4亿”用科学记数法表示为5.4×108． 故选：C． 5．下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝5xy B．x2•x3＝x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2x+y）2＝4x2+4xy+y2 【答案】D． 【解析】解：A.2x与3y不是同类项，不能合并，因此选项A不符合题意； B．x2•x3＝x2+3＝x5≠x6，因此选项B不符合题意； C．（2x2）3＝23•（x2）3＝8x6≠6x6，因此选项C不符合题意； D．（2x+y）2＝（2x）2+2•2x•y+y2＝4x2+4xy+y2，因此选项D符合题意． 故选：D． 6．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们定义一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝1，则（3+2i）•（1﹣i）的值为（　　） A．5﹣i B．5+i C．1+i D．1﹣i 【答案】A． 【解析】解：利用多项式乘法法则进行乘法运算可得： （3+2i）•（1﹣i）＝3﹣3i+2i﹣2i2＝3﹣i+2＝5﹣i， 故选：A． 7．如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【答案】B． 【解析】解：根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520， 故选：B． 8. 如图，△ABE△BCF△CAD，且点D、E、F分别在CF、AD、BE上，延长BD交AC于点G. 若E为AD中点，则下列结论不正确的是（ ） A. △DEF是等边三角形 B. ∠FDB = 30° C. BD = 2DG D. AG = 4CG 【答案】C． 【解析】解：A选项. ∵△ABE △BCF △CAD ， ∴ AD = BE = CF，AE = BF = CD， ∴ DE = EF = DF，∴ △DEF是等边三角形.∴A选项正确. B选项. ∵ △DEF是等边三角形，∴ ∠EFD = 60°。 又∵ BF = AE = DE = DF，∴ ∠FDB = ∠FBD = ×60°= 30°. ∴B选项正确. C选项. 如下图，过点C作CH⊥BG于点H，过点F作FM⊥BD于点M，则BM=MD，△FDM△CDH，∴ BD=2DM=2DH≠2DG.∴C选项不正确.  D选项. 如下图，∵∠CDH = ∠FDB = 30°, ∴ CH = CD. 易证△ADG∽△CHG，∴，∴ AG = 4CG. ∴D选项正确.故选：C． 9．图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为36V，R0为定值电阻，Rs为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为1.5m时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为0.4A．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压U＝（电阻R0+电阻Rs）×电流I）（　　） A．电阻Rs的初始阻值为0 B．当Rs的阻值为30Ω时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，Rs的阻值越大 D．定值电阻R0的阻值为40Ω 【答案】B． 【解析】解：根据从函数图象得出相关信息逐项分析判断如下： 当s＝0时，Rs≠0，故电阻Rs的初始阻值不为0，故选项A错误，不符合题意； 当传感器到障碍物距离为1.5m时，报警器开始报警，此时Rs的阻值为40Ω， 随着s的减小，Rs的阻值也在逐渐减小，故当Rs的阻值为30Ω时，s＜1.5m， 报警器会报警，故选项B正确，符合题意；选项C错误，不符合题意； 当s＝1.5m时，Rs＝40Ω，I＝0.4A， ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 10．当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数. 【答案】D． 【解析】解：∵|x1+y2|+|x2+y1|＝0， ∴x2+y1＝0，x1+y2＝0，∴x2＝﹣y1，y2＝﹣x1， A、∵， 当点（x1，y1）在反比例函数上时，则x1y1＝2， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1，∴x2y2＝﹣x1•（﹣y1）＝x1y1＝2； ∴点（x1，y1）的反射点（x2，y2），必定在反比例函数图象上， ∴反比例函数的图象上存在无数对“反射点”；正确，不符合题意； B、对于y＝x2+1，若点（x1，y1），（x2，y2）是反射点，则，， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1，∴， ∴，∴， ∵， ∴无解， 故二次函数函数y＝x2+1的图象上没有“反射点”；正确，不符合题意； C、∵y＝kx﹣4是“镜像函数”， ∴图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2），即（x1，y1），（﹣y1，﹣x1）在直线y＝kx﹣4上， ∴，∴y1+x1＝k（x1+y1）， ∵y1≠﹣x1，∴y1+x1≠0，∴k＝1，∴y＝x﹣4， ∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝x﹣4＝0时，x＝4， ∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为（0，﹣4），（4，0）， ∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为；正确，不符合题意； D、∵二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2）， ∴， ∴，∴， ∴x2+x1＝1或x2﹣x1＝0， 当x2﹣x1＝0时，即x2＝x1，则； ∴x2+x1＝1，∴x2＝﹣x1+1，∴， ∴， 当时，，此时； 故；错误，符合题意；故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解：9x2﹣4＝　 　 ． 【答案】（3x﹣2）（3x+2） 【解析】解：9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）． 故答案为：（3x﹣2）（3x+2）． 12．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 ． 【答案】 【解析】解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的有：（A，B），（B，A），（C，D），（D，C），共4种， ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 13．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 　 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接OA，O′A，过点A作AB⊥OO′于点B， 由题意可知，OA＝O′A＝OO′＝2， ∴△OO′A是等边三角形， ∴∠AOO′＝∠AO′O＝60°，OB＝OO′＝×2＝1， ∴AB＝， 则阴影部分的面积是S扇形OAO′+S扇形O′AO﹣S△OO′A＝＝， 所以阴影部分的面积是 ． 故答案为：． 14．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是 　 ． 【答案】（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 【解析】解：∵直线y＝x+1和y轴交于A1，∴A1的坐标（0，1），即OA1＝1， ∵四边形C1OA1B1是正方形，∴OC1＝OA1＝1， 把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，∴A2的坐标为（1，2）， 同理A3的坐标为（3，4）， … An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），故答案为：（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD边上一动点（不与A、D重合），连接BP，过C点作CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点． （1）当点P为AD中点时，CE＝　 ； （2）线段DF的最小值是　 ． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∵点P为AD的中点，∴，∴， ∴， ∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠APB， ∴sin∠CBE＝sin∠APB， ∵CE⊥BP，∴∠BEC＝90°， ∴， 故答案为：； （2）如图，取BC中点G，取CG中点H，连接EG，FH，DH， ∵CE⊥BP，∴∠BEC＝90°， ∵G是BC的中点，∴， ∵F、H分别是CE，CG的中点，∴FH是△CEG的中位线， ∴， ∵DF≥DH﹣FH， ∴当D、F、H三点共线时，DF有最小值，最小值为DH﹣FH的值， 在Rt△CDH中，由矩形的性质可得CD＝AB＝6，∠HCD＝90°， ∴，∴DF的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（1）解方程：2x2﹣4x＝3（x﹣2）； （2）计算：． 【解析】解：（1）2x2﹣4x＝3（x﹣2）， 2x2﹣4x﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（2x﹣3）＝0， x﹣2＝0或2x﹣3＝0， 解得； （2）原式＝ ＝ ＝1． 17．【操作发现】 如图1，点M是△ABC中AC边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作BC的平行线MN，交AB于点N； （2）在（1）的条件下，线段AB与AN的数量关系是 　 　 ； 【类比探究】 如图2，线段AB与射线AC有公共端点A．请你用圆规和无刻度的直尺在线段AB上作一个点N，使． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【解析】解：【操作发现】 （1）如图1，MN为所作； （2）∵点M是△ABC中AC边的中点， ∴AC＝2AM， ∵MN∥BC， ∴AN：AB＝AC：AM＝2， 即AB＝2AM； 故答案为：AB＝2AM； 【类比探究】如图2，点N为所作． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为﹣4，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 【解析】解：（1）将A（4，﹣2）代入得：， 解得：k＝﹣8，∴反比例函数的解析式为； 将B（﹣2，m）代入反比例函数解析式可得：， ∴B（﹣2，4）， 将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入反比例函数解析式得：， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+2； （2）由图象可得：不等式的解集为x≤﹣2或0＜x≤4； （3）在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；理由如下： ∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为﹣4， ∴点P的纵坐标为，∴P（﹣4，2）， 设点Q（c，n），以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，分以下几种情况讨论： 当AB为对角线时，AB与PQ互相平分， ∴，∴，∴Q（6，0）； 当AP为对角线时，AP与BQ互相平分， ∴，解得：， ∴Q（2，﹣4）； 当AQ为对角线时，AQ与BP互相平分， ∴，解得：， ∴Q（﹣10，8）； 综上所述，在坐标平面内存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形；满足条件的点Q的坐标为（6，0）或（2，﹣4）或（﹣10，8）． 19．近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两款人工智能软件得分统计表 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 A款 87 a 91 121 B款 87 95 b 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为用户对哪款人工智能软件更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有多少万人次？ 【解析】解：（1）∵A款人工智能软件20份问卷调查的得分的20个数据中出现次数最多的是100， ∴a＝100； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据所占百分比为×100%＝35%， ∴m%＝1﹣5%﹣45%﹣35%＝15%，∴m＝15； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在A组中的数据有：20×5%＝1（个）； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在B组中的数据有：20×15%＝3（个）； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据有7个， ∴中位数b＝＝88， 故答案为：100，88，15； （2）A款人工智能软件更优，理由如下： 因为A、B两款人工智能软件的平均数相同，而A款人工智能软件的众数和中位数都大于B款人工智能软件的众数和中位数 ∴A款人工智能软件更优； （3）20×+15×45%＝11+6.75＝17.75（万人次）， 答：估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有17.75万人次． 20．如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线与⊙O相切于点C，过线段OB上一点E作AB的垂线交直线DC于点F，交BC于点G． （1）求证：∠F＝2∠DCA； （2）若AO＝8，AD＝OE＝2，求CF的长． 【解析】（1）证明：如图，连接OC， ∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCF＝90°， ∵FE⊥AB，∴∠OEF＝90°，∴∠F+∠COE＝180°， ∵∠AOC+∠COE＝180°，∴∠AOC＝∠F， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠AOC＝2∠OBC＝2∠OCB，∴∠F＝2∠OCB， ∵∠DCA＝∠OCB＝90°﹣∠ACO，∴∠F＝2∠DCA； （2）解：在Rt△OCD中，OC＝OA＝8，OD＝OA+AD＝8+2＝10， ∴CD＝＝6， ∵∠ODC＝∠FDE，∠OCD＝∠FED＝90°， ∴△DOC∽△DFE，∴， ∵DE＝DA+AO+OE＝2+8+2＝12，∴，解得DF＝20， ∴CF＝DF﹣CD＝20﹣6＝14． 21．如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（AB）、悬托架（AE）、伞面（DF）和感应器组成．支架AB垂直于地面BC，伞沿的支点D在AB上滑动．悬托架支点E在DF上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即∠AED的大小）使得伞面DF与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知AB＝2.5米，AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE． （1）某天下午15点时太阳光线与地面的夹角α＝45°，此时伞沿支点D离地面多高？（结果精确到0.1米） （2）如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点Q，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天16点时太阳光线与地面的夹角α＝30°，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：） 【解析】解：（1）如图2，过点G作GM⊥FH于M， ∵α＝45°，∴△GHM是等腰直角三角形，∴GM＝DF， ∵∠DFH+∠FDG＝90°+90°＝180°，∴DG∥FH， ∴∠BGD＝∠FHG＝45°， ∵∠B＝90°，∴△BDG是等腰直角三角形， ∴∠BDG＝45°，∴∠ADE＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE， ∴DF＝2米，∠A＝∠ADE＝45°，∴∠AED＝90°， ∴AD＝AE＝（米）， ∵AB＝2.5米， ∴BD＝AB﹣AD＝2.5﹣＝2.5﹣0.705＝1.795≈1.8（米）， 答：此时伞沿支点D离地面约为1.8米． （2）如图3，过点E作EP⊥AB于P，过点Q作QN⊥BC交FH于N， ∵∠FDG＝∠F＝∠GKF＝90°，∴GK＝DF＝2米， 在Rt△GHK中，∠GHK＝α＝30°， ∴GH＝2GK＝4（米）， ∵DG∥FH，∴∠DGB＝∠GHK＝30°， ∵∠DGB+∠BDG＝90°，∠ADE+∠BDG＝90°， ∴∠ADE＝∠DGB＝30°， 在Rt△DEP中，DP＝DE•cos∠ADE＝0.5cos30°＝0.5×≈0.4325（米）， ∵AE＝DE，EP⊥AD，∴AD＝2DP＝0.865（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝2.5﹣0.865＝1.635（米）， ∴BG＝BD•tan∠BDG＝1.635×tan60°≈2.829（米）， ∵BQ＝5米，∴HQ＝BG+GH﹣BQ＝2.829+4﹣5＝1.829（米）， ∴NQ＝HQ•tanα＝1.829×tan30°＝1.829×≈1.055（米）， ∵1.055＞1， ∴此时小明的头部不会被太阳光照射到． 22．在平面直角坐标系中，点P1（0，1），P2（0，﹣1）中恰有一点在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，当0＜x＜1时，函数值y随x的增大而增大． （1）若点P3（1，1）在该二次函数的图象上， ①求a+b+c的值； ②已知二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为，求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，Q1（x1，n），Q2（x2，n）为二次函数y＝ax2+（b+1）x+c﹣2图象上的不同两点，且x1≠1，试判断的值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】解：（1）①由条件可得1＝a×12+b×1+c， ∴a+b+c＝1； ②若点P1（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则点P1（0，1），P3（1，1）是抛物线上的对称点， ∴对称轴为直线， ∴与“当0＜x＜1时，函数值y随x的增大而增大”矛盾， ∴只能点P2（0，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx+c上， 将点P2（0，﹣1）代入y＝ax2+bx+c，得c＝﹣1， 由（1）①得a+b+c＝1， ∴a+b﹣1＝1，即b＝2﹣a， ∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣1，∴， ∵二次函数y＝ax2+bx+c有最大值， ∴a＜0，，解得：a＝﹣1， 经检验，a＝﹣1是原方程的解，且符合题意， ∴b＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3， ∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣1； （2）的值为定值0，理由如下： 由（1）②得a＝﹣1，b＝3，c＝﹣1， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3， 令y＝n，则﹣x2+4x﹣3＝n，∴x2﹣4x+3+n＝0， ∵Q1（x1，n），Q2（x2，n）为二次函数图象上的不同两点， ∴x1+x2＝4，x1x2＝3+n， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝0． 23．平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律．这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径． 【特例探究】 如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是矩形内一动点，且∠DEC＝90°．将CE绕点C逆时针旋转90°，并放大为原来的2倍后，点E的对应点为点F．连接BF，交DE的延长线于点G，连接AE． （1）按题意在图1中画出符合题意的四边形CEGF，判断其形状，并说明理由； （2）当点G为BF中点时，求的值； （3）求的最小值； 【类比探究】 （4）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，，．连接BD，若AB＝2BC，求BD的最大值． 【解析】解：（1）将CE绕点C逆时针旋转90°，并放大为原来的2倍，点E的对应点为点F．连接BF，交DE的延长线于点G，连接AE，如图， 四边形CEGF即为所求； 四边形CEGF为矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC， 由题意得，∠ECF＝90°，CF＝2CE， ∴∠DCE＝∠BCF＝90°﹣∠BCE， ∵BC＝2AB，∴BC＝2CD，即， ∵CF＝2CE，∴， ∴，∴△CDE∽△CBF， ∴∠BFC＝∠DEC＝90°， ∵∠DEC＝90°，∴∠GEC＝180°﹣∠DEC＝90°， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠BFC＝90°，∴四边形CEGF为矩形； （2）如图，过点E作EH⊥AD于点H， 由（1）得△CDE∽△CBF，∴， ∵点G为BF中点，∴， ∴，∴GF＝DE， ∵四边形CEGF是矩形，∴CE＝GF，∴DE＝CE， ∵∠DEC＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形， ∴∠CDE＝45°， ∵在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°， 设DE＝CE＝2a，则 ， ∴ ， ∵EH⊥AD，∠ADE＝45°，∴△EDH为等腰直角三角形， ∴ ，∴ ， ∴， ∴； （3）∵∠DEC＝90°， ∴点E的轨迹为以CD的中点O为圆心，DO为半径的圆⊙O， 延长AE交⊙O于点M，连接DM，如图， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠EDC＝∠ECD+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠ECD， ∵，∴∠ECD＝∠M，∴∠ADE＝∠M， ∵∠DAE＝∠MAD， ∴△DAE∽△MAD，∴，∴， ∵AD为定值，∴当取得最小值时，DM取得最大值， ∵DM≤DC，∴， ∴的最小值为2； （4）过点B作BG⊥DB，且使得BG＝2BD，连接AG，DG，如图， ∵∠ABC＝90°，∴∠DBC+∠ABD＝90°， ∵BG⊥DB，∴∠GBA+∠ABD＝90°，∴∠DBC＝∠GBA， ∵AB＝2BC，BG＝2BD，∴， ∴△BDC∽△BGA，∴，∴， ∵，∴BD＝DG， ∴当DG取得最大值时，BD取得最大值， ∵，∴当点A，D，G三点共线时，DG取得最大值，为， ∴BD的最大值为＝． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[X)[][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 日 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D1 9.A1[B][C1[D1 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(7分) C C M B A B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(9分) B 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) C G DA ® 21.(9分) y E D 0 ac --- G HC 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) D D C B B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，最小的是（　　） A．﹣1 B．0 C．|﹣2| D．﹣（﹣3） 2．我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．它的主视图是直角三角形 B．它的左视图是矩形 C．它的俯视图是直角三角形 D．它的主视图是矩形 4．古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.54×109 B．5.4×107 C．5.4×108 D．54×107 5．下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝5xy B．x2•x3＝x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2x+y）2＝4x2+4xy+y2 6．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们定义一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝1，则（3+2i）•（1﹣i）的值为（　　） A．5﹣i B．5+i C．1+i D．1﹣i 7．如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 8. 如图，△ABE△BCF△CAD，且点D、E、F分别在CF、AD、BE上，延长BD交AC于点G. 若E为AD中点，则下列结论不正确的是（ ） A. △DEF是等边三角形 B. ∠FDB = 30° C. BD = 2DG D. AG = 4CG 9．图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为36V，R0为定值电阻，Rs为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为1.5m时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为0.4A．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压U＝（电阻R0+电阻Rs）×电流I）（　　） A．电阻Rs的初始阻值为0 B．当Rs的阻值为30Ω时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，Rs的阻值越大 D．定值电阻R0的阻值为40Ω 10．当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解：9x2﹣4＝　 　 ． 12．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 ． 13．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 　 ． 14．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是 　 ． 15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD边上一动点（不与A、D重合），连接BP，过C点作CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点． （1）当点P为AD中点时，CE＝　 ； （2）线段DF的最小值是　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）解方程：2x2﹣4x＝3（x﹣2）； （2）计算：． 17．（7分）【操作发现】 如图1，点M是△ABC中AC边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作BC的平行线MN，交AB于点N； （2）在（1）的条件下，线段AB与AN的数量关系是 　 　 ； 【类比探究】 如图2，线段AB与射线AC有公共端点A．请你用圆规和无刻度的直尺在线段AB上作一个点N，使． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为﹣4，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 19．（10分）近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两款人工智能软件得分统计表 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 A款 87 a 91 121 B款 87 95 b 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为用户对哪款人工智能软件更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有多少万人次？ 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线与⊙O相切于点C，过线段OB上一点E作AB的垂线交直线DC于点F，交BC于点G． （1）求证：∠F＝2∠DCA； （2）若AO＝8，AD＝OE＝2，求CF的长． 21．（9分）如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（AB）、悬托架（AE）、伞面（DF）和感应器组成．支架AB垂直于地面BC，伞沿的支点D在AB上滑动．悬托架支点E在DF上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即∠AED的大小）使得伞面DF与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知AB＝2.5米，AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE． （1）某天下午15点时太阳光线与地面的夹角α＝45°，此时伞沿支点D离地面多高？（结果精确到0.1米） （2）如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点Q，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天16点时太阳光线与地面的夹角α＝30°，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：） 22．（11分）在平面直角坐标系中，点P1（0，1），P2（0，﹣1）中恰有一点在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，当0＜x＜1时，函数值y随x的增大而增大． （1）若点P3（1，1）在该二次函数的图象上， ①求a+b+c的值； ②已知二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为，求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，Q1（x1，n），Q2（x2，n）为二次函数y＝ax2+（b+1）x+c﹣2图象上的不同两点，且x1≠1，试判断的值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 23．（11分）平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律．这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径． 【特例探究】 如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是矩形内一动点，且∠DEC＝90°．将CE绕点C逆时针旋转90°，并放大为原来的2倍后，点E的对应点为点F．连接BF，交DE的延长线于点G，连接AE． （1）按题意在图1中画出符合题意的四边形CEGF，判断其形状，并说明理由； （2）当点G为BF中点时，求的值； （3）求的最小值； 【类比探究】 （4）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，，．连接BD，若AB＝2BC，求BD的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(7分) C M B A B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(9分) 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) F G d D A 21.(9分) F A E 0 D ar. ac. G HC B G HC 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) D A D B C A B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！