精品解析：山东青岛五十八中杜威实验学校2026届高三下学期考前调研数学试题

2026届山东青岛五十八中杜威实验学校高三三模调研 数学试题 2026.4 （考试时间：120分钟，满分：120分） 命题人：青岛五十八中（高新校区）王麦斌 丁岳林 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断，即可得到结果. 【详解】命题“”， 则其否定为 故选:C. 2. 已知（为虚数单位)，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进而求得，得到答案. 【详解】由复数，可得，所以. 故选：B. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：C. 4. 已知等比数列的前n项和为，且，则“”是“的公比为2”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 当时，，解得或，充分性不成立； 当时，，必要性成立. 所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件. 故选：A 5. 已知函数的最小正周期为，则的图象关于（ ） A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称 【答案】B 【解析】 【分析】先通过最小正周期求出，再根据三角函数图像的性质判断对称轴与对称中心即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 由得，，即， ，故不是对称轴，也不是对称中心； ，故是对称轴，不是对称中心. 故选：B 6. 已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】如图作出圆锥的轴截面，依题意，，， 所以， 易知，则，所以， 即圆锥的内接圆柱的底面半径，高， 所以圆柱的侧面积. 故选：C 7. 已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线方程，再直线曲线联立，借助韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式计算高，最后计算面积即可. 【详解】由题知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得，则，. ∴. ∵，∴四边形平行四边形. ∵点的横坐标为3，∴，解得. ∴. 点到直线的距离为， ∴平行四边形的面积为. 故选：A. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得的图象在上连续不断，再结合赋值法、复合函数求导、不等式性质逐项判断. 【详解】由函数及其导函数的定义域均为，得的图象在上连续不断， 对于A，取，由，得， 当时，取，，而在上单调递增， 则在上不恒为0，因此，即，A错误； 对于B，，取，，由选项A知，， 不恒为0，B错误； 对于C，由在上单调递增，得当时，； 当时，由，得，C错误； 对于D，，则， 因此，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图形，结合向量的线性运算及数量积运算，对选项逐一判断即可. 【详解】 因为为正六边形，即每个内角都为 对于A，,故A错误. 对于B，连接,，则为等边三角形，设六边形边长为，中点为，连接，则，，，所以 即，故B正确. 对于C，由B选项可知， 且，故C正确. 对于D，因为，所以在上的投影向量为 故D，正确. 故选:BCD. 10. 函数的定义域为R，且与都为奇函数，则 A. 为奇函数 B. 为周期函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用与都为奇函数，可知是以2为周期的函数.从而得到结果. 【详解】由与都为奇函数知函数的图象关于点，对称， 所以，， 所以，即 所以是以2为周期的函数.又与都为奇函数， 所以，均为奇函数. 故选ABC. 【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题. 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布__________尺． 【答案】90 【解析】 【分析】每日织布数看作等差数列，利用等差数列求和公式计算出答案. 【详解】每日织布数可看作等差数列，其中， 故30天共织布尺. 故答案为：90 13. 已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可． 【详解】联立，解得，所以. 依题可得，，，即，变形得，, 因此，双曲线的离心率为. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题． 14. 机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可证得，由此可分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，则可化简得到最小值. 【详解】设，，则， 令，则， 当时，；当时，； 上单调递减，在上单调递增，； 即； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义运算的最值求解问题，解题关键是能够通过分类讨论的方式，去除所求距离形式中的绝对值符号，从而化简所求式子得到可求最值的形式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面为矩形．平面，分别为的中点，与平面所成的角为． （1）证明：为异面直线与的公垂线； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】 【分析】（1）要证为异面直线与的公垂线，即证，，转证线面垂直即可；（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（1）连接、交于点，连接、． 因为四边形为矩形，且、分别是、的中点， 所以，且． 又平面，所以平面，所以． 又，，所以平面，所以． 因为与平面所成的角为，所以， 从而．所以． 取的中点，连接、，则由、分别为、的中点， 从而，从而四边形为平行四边形． 又由，知． 又平面，所以． 又，从而平面． 从而平面．平面，从而． 综上知为异面直线与公垂线． （2）因为，设，则， 从而，所以， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则、、、， 从而，，． 设平面的一个法向量为，则， 令，从而得． 同理，可求得平面的一个法向量为． ． 设二面角的平面角为，从而 【点睛】本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，向量法求二面角，考查空间想象能力，计算能力，常考题型． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）判断的形状； （2）设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 【答案】（1）等腰三角形 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简后可得，故可得即三角形为等腰三角形； （2）根据余弦定理和基本不等式可得当最大时为正三角形，故可求此时三角形面积. 【小问1详解】 由二倍角公式得， ∴，整理得， 即. ∵，∴，即，即为等腰三角形. 【小问2详解】 由（1）及题设，有， ∴ ， 而为三角形内角，∴，当且仅当时，等号成立. 即的最大值为，此时由，而，故， 故，可得为直角三角形且， 又由（1）可得为正三角形，∴的面积. 17. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【小问1详解】 恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 【小问2详解】 由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： 【小问3详解】 由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； （3）是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点. （3）先结合（2）的结论，猜测圆的方程.设为圆上动点，写出线段中垂线方程，与椭圆方程联立，利用判断圆存在.再结合韦达定理求点坐标，利用斜率证明、、三点共线. 【小问1详解】 因为椭圆左、右焦点分别为，所以， 又因为椭圆的离心率为，得，∴， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 如图： 由得直线的斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程，得，∵， ∴所以直线与椭圆相切，且， 即线段的垂直平分线与恰有一个公共点. 【小问3详解】 假设符合条件的圆存在，由（2）知在圆上，由对称性知也在圆上，关于右顶点的对称点也在圆上. 因为线段的垂直平分线为， 线段的垂直平分线上的点满足：， 化简即得的垂直平分线方程为. 由，且, 所以过三点的圆的方程为. 如图： 下面证明此圆符合题目条件： 设在圆上，∴， 当时，的垂直平分线方程为或与椭圆相切，符合条件； 当时，的垂直平分线方程为， 设，由得， ∵ ， ∴的垂直平分线与椭圆相切. ∴满足条件的圆存在，其方程为. 又由韦达定理得切点的横坐标， 的纵坐标，∴， ∴， ∴三点共线. 19. 函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为． （1）求； （2）讨论的单调性； （3）设，证明：． 【答案】(1) (2) 在上单调递增．(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知切点坐标为，切线方程为：，结合条件列方程即可得到结果； （2）由（1）知，对求导，得，从而可知在上的单调性； （3）欲证，即证．只需证．不妨设，由此可得．因此，欲证，只需证． 【详解】（1）由题意知切点坐标为． 对求导，得，从而． 所以切线方程为，令，得，解得． （2）由（1）知，从而，对求导，得 ，从而可知在上单调递增． （3）（方法一） 由（1）知，故单调递减， 由（2）知单调递增， 当时， ， . 当时， ， . 故 ，所以 . 因为 所以 （方法二）令，解得． 从而，作商，得， 所以，从而． 所以． 当为偶数时，； 当为奇数时，． 故无论为奇数还是偶数，． 下只需证明． 当时，有，满足题意； 当时，． 故只需证，即证． 而当时，． 故不等式得证． （方法三）要证，只需证， 只需证．易知在上单调递减，且． 若，则． 此时，，只需证， 只需证．此时，． 由（2）知． 若，则． 此时，，只需证． 只需证．此时，． 由（2）知，． 综上所述，成立． 所以，． 易知，，所以成立． 故原不等式得证． 【点睛】本题是数列与函数的综合问题，考查了数列递推关系的推导应用，不等式证明，切线的几何意义，以及函数单调性与数列的单调性，需要具备一定的基础知识和解题方法，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届山东青岛五十八中杜威实验学校高三三模调研 数学试题 2026.4 （考试时间：120分钟，满分：120分） 命题人：青岛五十八中（高新校区）王麦斌 丁岳林 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位)，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前n项和为，且，则“”是“的公比为2”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的最小正周期为，则的图象关于（ ） A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称 6. 已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 函数的定义域为R，且与都为奇函数，则 A. 为奇函数 B. 为周期函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布__________尺． 13. 已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________. 14. 机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面为矩形．平面，分别为的中点，与平面所成的角为． （1）证明：为异面直线与公垂线； （2）若，求二面角的余弦值． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）判断的形状； （2）设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 17. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时， 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； （3）是否存在坐标平面上定圆（是定圆上动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 19. 函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为． （1）求； （2）讨论的单调性； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $