重庆市大足中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

重庆市大足中学高2027届高二第四期第一次月考 数 学 试 题 总分150分 考试时间：120分钟 命题人： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（    ） A．9 B．18 C．28 D．36 2．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 4．已知，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 5．A，B，C，D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法种数是（    ） A．24种 B．12种 C．48种 D．23种 6．如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A．124 B．185 C．220 D．330 7．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 8.已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。） 9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 10．下列求导结果正确的有（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．若，则方程有两个不等的实根 C．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________； 13．已知函数，则______. 14．已知函数，，若， ，使得，则实数的取值范围是____． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知函数在时取得极大值4. (1)求实数a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 16．（15分）用0，1，2，3，4，5可组成多少个： （1）没有重复数字的四位数？ （2）没有重复数字且被5整除的四位数？ （3）比2000大且没有重复数字的自然数？ 17．（15分）已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 18．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围. 19．（17分）定义运算：，已知函数． (1)当时，①求在处的切线方程； ②证明：在内存在唯一的极小值点，且； (2)若对任意（），都有，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《重庆市大足中学高2027届高二第四期第一次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C B B D A A ABC BD ACD 1．B 【分析】根据组合数公式计算出正确答案. 【详解】. 故选：B 2．B 【分析】根据导数的几何意义以及割线斜率结合图形可判断. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 3．C 【分析】由导数的定义可得； 【详解】.故选：C. 4．B 【分析】对求导代入求出得到，代入0可得答案. 【详解】根据题意,， 则其导数， 令可得：，解可得， 则有， 故. 故选：B. 5．B 【分析】利用捆绑法及分步乘法原理可求解 【详解】将A与B看成一个整体，有种排法，再排“A与B”、 C，D有种排法，所以由分步乘法原理可知共有种不同的排法. 故选：B 6．D 【分析】由题意可知问题转化为 根据组合数性质计算即可. 【详解】根据题意可知：这些数分别为 ， 则由 逐步应用得： ， 所以这些数和为 330. 故选：D. 7．A 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 8．A 【解析】设 ，则 ,由条件可得在上单调递增，进一步可得在上单调递增，将可化为，即，由单调性可得答案. 【详解】设 ，则 当时，有成立，此时 所以在上单调递增. 又为奇函数，则，则为奇函数，又 则在上单调递增，所以在上单调递增. 当，恒有 可化为，即， 由在上单调递增，所以 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数，求出的导函数，由条件得到的单调性，将可化为，根据的单调性解出不等式，属于中档题. 9．ABC 【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案 【详解】由题意，函数的导函数的图象可知： 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数f(x)单调递减区间为：，，递增区间为，， 且函数在和取得极小值，在取得极大值. 故选：ABC． 10．BD 【分析】根据导数的四则运算一一计算即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 11．ACD 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 12．243 【分析】根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法， 所以5名同学共有种选择方法. 故答案为：. 13． 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为，则， 因此，. 故答案为：. 14． 【分析】将题意转化为，再根据的单调性分别求解最小值即可. 【详解】当时，由得，， ∴在单调递减， ∴是函数的最小值， ∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2）， 可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值， 即∃x∈[2，3]，使成立，即∃x∈[2，3]，使成立，故. 故答案为： 15．(1)； (2)最大值为4，,最小值为0. 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【详解】（1），由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. （2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 16．（1）300；（2）108；（3）1440 【分析】（1）先考虑千位，再考虑剩余的百位，十位和个位；（2）考虑个位是0或5两种情况，再用分类加法原理计算；（3）从四位数，五位数和六位数考虑，再用分类加法原理计算. 【详解】（1）千位可以从1，2，3，4，5中任选一个，有种，剩余的百位，十位和个位，可以从剩余的5个数中任意选择，所以有种，所以没有重复数字的四位数共有种 （2）没有重复数字且被5整除的四位数，分两种情况： 个位数字为0时，有种；个位数字为5时，千位可以从从1，2，3，4种任选一个，有4种，剩下的百位和十位可以从剩余的四个数种选择两个的排列，有，则有种，利用分类加法原理可得：共有种. （3）比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2，3，4，5中选一个有4种选法，再从剩下的元素中选3个，有种，共有种；当是五位数时，共有种选法；当是六位数时，共有种选法；故共有240+600+600=1440种，所以比2000大的自然数共有1440种. 17．（1）；（2）3. 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以， 所以，即. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 18．(1)答案详见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间； （2）运用转化法，结合导数的性质和数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. ①当时，由，知函数在内单调递增； ②当时，由，即得； 由，即得. 所以，函数在内单调递增，在内单调递减. 因此，当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增；在内单调递减； （2）函数的定义域为， ， 因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不相等的正实数根， 即，设函数， 当时，单调递减，当时，单调递增， 即函数的最大值为：， 由，由， 因此函数的图象如下图所示： 要想方程有两个不相等的正实数根， 只需函数的图象有两个交点，即， 实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：函数的极值个数可以转化为函数导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象的交点个数问题，利用导数和数形结合思想进行求解即可. 19．(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）确定函数解析式：①求导得，求切点纵坐标，由点斜式得切线方程；②设，求确定函数的单调性，从而得函数的零点性质，即可得的极值点，从而证得结论； （2）原不等式等价于，设，则，由函数单调可得恒成立，孤立参数求解最值即可得数的取值范围． 【详解】（1）， 当时，， ， ①由题意得， 则在处的切线方程为， 即； ②证明：设， 则， 和在上均单调递增， 在上均单调递增， 存在唯一零点，使得， 当时，单调递减，即在上单调递减； 当时，单调递增，即在上单调递增， 是函数在内唯一的极小值点， . （2）不妨设，原不等式等价于， 即， 设，则， 由的任意性，可知在上单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则， 在上单调递增， ， 实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题中双变量结构相同的不等式，集中变量转化为，构造函数得含参不等式恒成立问题，对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)恒成立； (2)恒成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $