第十章 二元一次方程组 章节（11知识详解+29典例分析）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第十章 二元一次方程组 章节（11知识详解+29典例分析） 【知识点01】二元一次方程 1. 定义： 含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式， 含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程应满足的条件识别二元一次方程的方法 化简前  整式方程 化简后  (1)只含有两个未知数； (2) 含有未知数的项的次数都是 1 是整式方程 该项次数是1 该项次数是1 示例： 4x+2y=10 是二元一次方程.含有两个未知数 3. 二元一次方程的一般形式：ax+by=c(a，b，c是常数，且a≠0，b≠ 0). 【知识点02】二元一次方程组 1. 二元一次方程组：方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 说明：未知数的个数与未知项的次数是对化简后的方程而言的. 2. 二元一次方程组应满足的条件 形式 两个方程，方程都是整式方程 未知数的个数 一共有两个未知数 未知项的次数 一次 【知识点03】二元一次方程的解 1. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解 . 特别说明： 二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示，如x=2，y=3 是二元一次方程x+y=5 的一组解，可写为 2. 判断一组数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一组数值是不是二元一次方程的解，只需将这组数值分别代入方程的左、右两边 . 若左边 = 右边，则这组数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边， 则这组数值不是这个方程的解 . 【知识点04】二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解 . 2. 判断一组数值是不是二元一次方程组的解的方法 将这组数值分别代入方程组中的每一个方程中进行检验，若满足每一个方程，则这组数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这组数值就不是这个方程组的解 . 【知识点05】用代入消元法解二元一次方程组 1. 消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为一元一次方程 . 先求出一个未知数，然后再求另一个未知数 . 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想 . 2. 代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 .这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y=ax＋b( 或x=ay＋b)(a，b 是常数，a ≠ 0)的形式 一般选未知数系数比较简单的方程变形 ②代入 把y=ax＋b( 或x=ay＋b)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程) ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号 ④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为  的形式. 用“｛” 将未知数的值联立起来可代入原方程组进行检验 【知识点06】用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法. 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤具体 做法 目的 注意事项 ①变形 根据同一个未知数的系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数 (1)选择消元对象：在两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单；(2)把某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一定要把两个方程的两边分别相加(减)；(2)应用减法消元时，注意符号的变化 ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 ， 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 【知识点07】列二元一次方程组解应用题的基本步骤 1. 基本思想方法 列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组 . 2. 注意事项：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等 ；(4)方程(组)的解要符合问题的实际意义；(5)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程 . 3. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3)找：找出能表示题意的两个等量关系； (4)列：根据等量关系列出方程组； (5)解：解这个方程组，求出未知数的值； (6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案(包括单位名称). 【知识点08】列方程组解应用题的常见题型 类型  基本数量关系 和差倍分问题  较大量 = 较小量 + 多余量， 总量 = 一份的量 × 份数 行程问题 路程(s)= 速度(v)× 时间(t).  (1)相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总距离 .  (2)追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两地距离 = 追者走的路程 . (3)航行问题：①顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；②逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 工程问题  工作量 = 工作效率 × 工作时间 总工作量= 个体工作量之和 销售问题 利润= 售价- 成本 售价= 标价×(当打n 折销售时) 利润率=×100% 增长(降低)率问题 原量×(1+ 增长率)= 增长后的量 原量×(1- 降低率)= 降低后的量 【知识点09】三元一次方程组 1. 三元一次方程组：方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 如就是一个三元一次方程组. 2. 三元一次方程组必须同时满足以下条件 (1)方程组中一共有三个整式方程； (2)方程组中一共含有三个未知数； (3)每个方程中含未知数的项的次数都是1. 【知识点10】三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 三元一次方程组二元一次方程组 一元一次方程 2. 解三元一次方程组的一般步骤： (1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起. 【知识点11】三元一次方程组的简单应用 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系； (2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3)根据等量关系列出方程，建立方程组； (4)解方程组求出未知数的值并检验； (5)写出答案，包括单位名称 . 【题型一】二元一次方程的定义 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义可知且，解方程即可得解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，， ，， ． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 【题型二】二元一次方程的解 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【详解】解：A．，不是方程的解； B．，不是方程的解； C．，是方程的解； D．，不是方程的解． 4．（25-26七年级下·河南周口·月考）写出一个以 为解的二元一次方程：___________(写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】任意写一个关于x与y的一次二项式，再将代入计算出数值，即可得出关于x与y的二元一次方程． 【详解】解：∵把代入得， ∴以 为解的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 5．（25-26七年级下·全国·周测）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组需满足：两个整式一次方程，且只含两个未知数是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组由两个一次方程组成；②共含有两个未知数，且每个方程均为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、第二个方程是二次方程，不符合一次方程要求，不符合题意； B、两个方程均为一次方程，且共含两个未知数和，符合定义，符合题意； C、第二个方程含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、方程组涉及三个未知数，不是二元方程组，不符合题意． 故选：B． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 7．（25-26七年级·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 8．（25-26七年级下·全国·周测）在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 【题型六】代入消元法 9．（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解方程组 代入后得到的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】代入消元法 【详解】解： ， 把代入得：． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）解方程组：； 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可得. 【详解】解： ， 把①代入②得：， 解得， 将代入①得， 则方程组的解为. 【题型七】加减消元法 11．（25-26七年级下·河南周口·月考）解方程组 ，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法 【详解】解：得， 12．（25-26七年级下·河南周口·月考）解下列方程组 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：    ， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解为 （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为． 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 13．（24-25七年级下·广东江门·月考）已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、代入消元法 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 【题型九】二元一次方程组的错解复原问题 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 16．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 【题型十】构造二元一次方程组求解 17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．解题关键是掌握消元的思想． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值． （2）由（1）中结果可得x，y的关系式，把代入解方程即得x值． 【详解】（1）解：∵中，当时，；当时，， ∴， 解得：， （2）解：由（1）知，， ∴， ∴当时，， 解得． 【题型十一】已知二元一次方程组的解的情况求参数 18．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】利用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，再根据x和m均为整数的条件，结合整除的性质求解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， ， 为整数，也为整数， ， 当时，，无对应选项， 当时，，符合条件． 19．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 【题型十二】方程组相同解问题 20．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、方程组相同解问题 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 21．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 【答案】， 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题 【分析】将两个方程组的第一个方程联立求出x和y的值，再代入另外两个方程得到关于a和b的二元一次方程组，从而求出a、b的值． 【详解】解：∵方程组和有相同的解， ∴①和③联立方程组得：， 解得：， 将代入②和④，并联立方程组得：， 解得：， 即a、b的值分别为、7． 【题型十三】根据实际问题列二元一次方程组 22．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知某段旋律由若干四分音符和八分音符构成，其中四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍．若该段旋律的总拍数为12拍，其中四分音符的个数比八分音符多3．设该段旋律中四分音符的个数为x，八分音符的个数为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是总拍数为12拍，二是四分音符个数比八分音符多3个，根据等量关系列方程组即可． 【详解】解：设四分音符的个数为x，八分音符的个数为y． 由题意得． 【题型十四】根据几何图形列二元一次方程组 23．（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．此类题目是数形结合的题例，需仔细观察图形，利用方程组解决问题． 根据长方形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：小长方形的长宽，小长方形的长小长方形的宽小长方形的长．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【详解】解：设每个小长方形地砖的长为，宽为， 由题意可得， 解之得， ∴每个小长方形地砖的面积是． 故选B． 【题型十五】方案问题(二元一次方程组的应用) 24．（25-26七年级下·福建泉州·月考）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 【答案】(1) (2)，，， (3)需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）用一张该板材的面积除以一块靠背板的面积即可得出结果； （2）一张该板材先靠上裁切靠背板块，设余下的板材可裁切靠背板块，座板块，根据题意可得，表示出，结合，为正整数，求出或或，即可得出结果； （3）分三种情况，分别列出二元一次方程组，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板块； （2）解：如图：一张该板材先靠上裁切靠背板块， 设余下的板材可裁切靠背板块，座板块， 根据题意可得， ∴， ∵，为正整数， ∴或或， ∴方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板块和座板块． 方案三：裁切靠背板块和座板块； （3）解：设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块． 【题型十六】行程问题(二元一次方程组的应用) 25．（25-26七年级下·全国·课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 【答案】 90千米/时 180千米/时 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 【详解】解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 【题型十七】工程问题(二元一次方程组的应用) 26．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【题型十八】数字问题(二元一次方程组的应用) 27．（24-25七年级下·山东泰安·月考）甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数． 【答案】和 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是根据题意找出等量关系． 设其中一个加数为，另一个加数为，根据两种情况进行列出方程组，求解即可． 【详解】解：设其中一个加数为，另一个加数为，根据题意得， 解得 所以原来的两个加数分别为和． 【题型十九】年龄问题(二元一次方程组的应用) 28．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 【题型二十】分配问题(二元一次方程组的应用) 29．（25-26七年级下·全国·课后作业）现有一个110人的旅游团入住某宾馆，恰好住满了50间客房．如果这50间客房中既有双人间，又有三人间，那么他们所住的双人间和三人间客房分别为多少间？ 【答案】双人间40间，三人间10间 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知列出方程组是解题关键． 设二人间有x间，三人间有y间，根据“二人间+三人间，二人间数三人间数”列方程组求解可得． 【详解】解：设双人间x间，三人间为y间， 由题意得， 解得， 答：双人间有40间，三人间有10间. 【题型二十一】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 30．（25-26七年级下·河南周口·月考）某超市用3000元购进甲、乙两种商品，甲商品进价每件15元，售价20元；乙商品进价每件20元，售价30元．全部售完后共获利1250元，求甲、乙两种商品各购进多少件？ 【答案】甲购进100件，乙购进75件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题是二元一次方程组的实际应用，解题关键是找到两个等量关系：购进甲、乙两种商品的总花费为3000元；销售完甲、乙两种商品的总利润为1250元；根据这两个等量关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲购进件，乙购进件， ， 解得​． 答：甲购进 100 件，乙购进 75 件． 【题型二十二】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【答案】第一组有9人，第二组有14人 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一组有x人，第二组有y人， ∵第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人， ∴， 解得：． 答：第一组有9人，第二组有14人． 【题型二十三】几何问题(二元一次方程组的应用) 32．（25-26七年级下·山西临汾·月考）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应尺寸如图所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小长方形的长和宽为未知数，根据大长方形的长和宽的等量关系列出方程组，求解得出小长方形的宽，即为的长度． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形列方程组得：， 解得：， 根据图形关系：， ∴的长为． 33．（25-26七年级下·河南周口·月考）如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，大长方形宽为，求每块地砖的长和宽． 【答案】地砖长，宽 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设地砖长，宽，由图示可得等量关系：①个长个宽，②一个长一个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设地砖长，宽，根据题意，得 ，​ 解得， 答：地砖长，宽． 【题型二十四】图表信息题(二元一次方程组的应用) 34．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则________． 6 1 4 【答案】 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)、加减消元法 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程组． 根据各行、各列及对角线上三个数之和都相等，列出关于，的方程组，通过加减消元法求出方程组的解，最后代入即可求解． 【详解】解：由题意得： 化简方程组，得： 由②得：， 将代入①，得：， 解得：， 故方程组的解为： ， 故答案为：． 35．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 【题型二十五】古代问题(二元一次方程组的应用) 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据题目中绢布总匹数和总售价的两个等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 【题型二十六】开放型问题(二元一次方程组的应用) 37．（25-26七年级·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【答案】(1)甲的速度是，乙的速度是；甲的速度是，乙的速度是 (2)见解析 【知识点】开放型问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一个条件再解二元一次方程组． (1)设甲的速度是，乙的速度是，可列二元一次方程，求出两组满足二元一次方程的条件的解； (2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的倍，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ， 根据题意可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：增加条件：已知乙的速度是甲的速度的倍， 根据题意可得：， 解得：， 答：甲的速度是，乙的速度是． 【题型二十七】其他问题(二元一次方程组的应用) 38．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 【答案】A 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组． 每个盘子重x千克，每个杯子重y千克，根据题意列方程组求出，然后代入求解即可． 【详解】解：每个盘子重x千克，每个杯子重y千克， 根据题意得， 解得 ∴（千克）． ∴20个盘子和10个杯子的总重量为2.4千克． 故选：A． 39．（25-26七年级·北京·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 【答案】(1)1 (2)，； (3) 【知识点】二元一次方程的解、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）把代入方程求出y的值，再根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况求解. 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1． （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为 【题型二十八】三元一次方程组的定义及解 40．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】通过加减消元消去未知数，得到二元一次方程组，再对比选项得出正确结果． 【详解】解： ∵，得， 即，可排除C、D选项； 再将，得， 即， ∴ 消去后得到的二元一次方程组为，符合选项A． 若选择消去，可得，选项B中常数项为，因此B错误． 41．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知，则_______ ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程组，解方程后，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 42．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】先设，再求出，即可得出，然后用分别减去三个方程求出方程组的解即可． 【详解】解：设，则， ∴． ∵， 即， ∴， 解得：， ∴， 由， ，得， ，得， ，得， ∴方程组的解为． 【题型二十九】三元一次方程组的应用 43．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 【详解】 解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 44．（25-26七年级·全国·课后作业）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如：乙烷完全燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数是．若己烷完全燃烧的化学方程式是为常数），则的值分别是_________． 【答案】2，14，12 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组即可． 根据题意可以列出三元一次方程组，然后解答即可求得的值． 【详解】解：由题意，得：， ∴，将，代入， 解得：， 故答案为：2；14；12． 45．（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 【答案】上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次组方程组是解题的关键．设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗， 依题意，得：， 解得， 答：上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 章节（11知识详解+29典例分析） 【知识点01】二元一次方程 1. 定义： 含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式， 含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程应满足的条件识别二元一次方程的方法 化简前  整式方程 化简后  (1)只含有两个未知数； (2) 含有未知数的项的次数都是 1 是整式方程 该项次数是1 该项次数是1 示例： 4x+2y=10 是二元一次方程.含有两个未知数 3. 二元一次方程的一般形式：ax+by=c(a，b，c是常数，且a≠0，b≠ 0). 【知识点02】二元一次方程组 1. 二元一次方程组：方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 说明：未知数的个数与未知项的次数是对化简后的方程而言的. 2. 二元一次方程组应满足的条件 形式 两个方程，方程都是整式方程 未知数的个数 一共有两个未知数 未知项的次数 一次 【知识点03】二元一次方程的解 1. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解 . 特别说明： 二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示，如x=2，y=3 是二元一次方程x+y=5 的一组解，可写为 2. 判断一组数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一组数值是不是二元一次方程的解，只需将这组数值分别代入方程的左、右两边 . 若左边 = 右边，则这组数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边， 则这组数值不是这个方程的解 . 【知识点04】二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解 . 2. 判断一组数值是不是二元一次方程组的解的方法 将这组数值分别代入方程组中的每一个方程中进行检验，若满足每一个方程，则这组数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这组数值就不是这个方程组的解 . 【知识点05】用代入消元法解二元一次方程组 1. 消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为一元一次方程 . 先求出一个未知数，然后再求另一个未知数 . 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想 . 2. 代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 .这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y=ax＋b( 或x=ay＋b)(a，b 是常数，a ≠ 0)的形式 一般选未知数系数比较简单的方程变形 ②代入 把y=ax＋b( 或x=ay＋b)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程) ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号 ④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为  的形式. 用“｛” 将未知数的值联立起来可代入原方程组进行检验 【知识点06】用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法. 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤具体 做法 目的 注意事项 ①变形 根据同一个未知数的系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数 (1)选择消元对象：在两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单；(2)把某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一定要把两个方程的两边分别相加(减)；(2)应用减法消元时，注意符号的变化 ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 ， 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 【知识点07】列二元一次方程组解应用题的基本步骤 1. 基本思想方法 列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组 . 2. 注意事项：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等 ；(4)方程(组)的解要符合问题的实际意义；(5)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程 . 3. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3)找：找出能表示题意的两个等量关系； (4)列：根据等量关系列出方程组； (5)解：解这个方程组，求出未知数的值； (6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案(包括单位名称). 【知识点08】列方程组解应用题的常见题型 类型  基本数量关系 和差倍分问题  较大量 = 较小量 + 多余量， 总量 = 一份的量 × 份数 行程问题 路程(s)= 速度(v)× 时间(t).  (1)相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总距离 .  (2)追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两地距离 = 追者走的路程 . (3)航行问题：①顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；②逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 工程问题  工作量 = 工作效率 × 工作时间 总工作量= 个体工作量之和 销售问题 利润= 售价- 成本 售价= 标价×(当打n 折销售时) 利润率=×100% 增长(降低)率问题 原量×(1+ 增长率)= 增长后的量 原量×(1- 降低率)= 降低后的量 【知识点09】三元一次方程组 1. 三元一次方程组：方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 如就是一个三元一次方程组. 2. 三元一次方程组必须同时满足以下条件 (1)方程组中一共有三个整式方程； (2)方程组中一共含有三个未知数； (3)每个方程中含未知数的项的次数都是1. 【知识点10】三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 三元一次方程组二元一次方程组 一元一次方程 2. 解三元一次方程组的一般步骤： (1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起. 【知识点11】三元一次方程组的简单应用 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系； (2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3)根据等量关系列出方程，建立方程组； (4)解方程组求出未知数的值并检验； (5)写出答案，包括单位名称 . 【题型一】二元一次方程的定义 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【题型二】二元一次方程的解 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南周口·月考）写出一个以 为解的二元一次方程：___________(写出一个即可)． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 5．（25-26七年级下·全国·周测）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 7．（25-26七年级·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 8．（25-26七年级下·全国·周测）在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【题型六】代入消元法 9．（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解方程组 代入后得到的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）解方程组：； 【题型七】加减消元法 11．（25-26七年级下·河南周口·月考）解方程组 ，得（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·河南周口·月考）解下列方程组 (1)． (2)． 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 13．（24-25七年级下·广东江门·月考）已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【题型九】二元一次方程组的错解复原问题 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【题型十】构造二元一次方程组求解 17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 【题型十一】已知二元一次方程组的解的情况求参数 18．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 19．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【题型十二】方程组相同解问题 20．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 21．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 【题型十三】根据实际问题列二元一次方程组 22．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知某段旋律由若干四分音符和八分音符构成，其中四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍．若该段旋律的总拍数为12拍，其中四分音符的个数比八分音符多3．设该段旋律中四分音符的个数为x，八分音符的个数为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【题型十四】根据几何图形列二元一次方程组 23．（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型十五】方案问题(二元一次方程组的应用) 24．（25-26七年级下·福建泉州·月考）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 【题型十六】行程问题(二元一次方程组的应用) 25．（25-26七年级下·全国·课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 【题型十七】工程问题(二元一次方程组的应用) 26．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【题型十八】数字问题(二元一次方程组的应用) 27．（24-25七年级下·山东泰安·月考）甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数． 【题型十九】年龄问题(二元一次方程组的应用) 28．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【题型二十】分配问题(二元一次方程组的应用) 29．（25-26七年级下·全国·课后作业）现有一个110人的旅游团入住某宾馆，恰好住满了50间客房．如果这50间客房中既有双人间，又有三人间，那么他们所住的双人间和三人间客房分别为多少间？ 【题型二十一】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 30．（25-26七年级下·河南周口·月考）某超市用3000元购进甲、乙两种商品，甲商品进价每件15元，售价20元；乙商品进价每件20元，售价30元．全部售完后共获利1250元，求甲、乙两种商品各购进多少件？ 【题型二十二】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【题型二十三】几何问题(二元一次方程组的应用) 32．（25-26七年级下·山西临汾·月考）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应尺寸如图所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级下·河南周口·月考）如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，大长方形宽为，求每块地砖的长和宽． 【题型二十四】图表信息题(二元一次方程组的应用) 34．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则________． 6 1 4 35．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【题型二十五】古代问题(二元一次方程组的应用) 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【题型二十六】开放型问题(二元一次方程组的应用) 37．（25-26七年级·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【题型二十七】其他问题(二元一次方程组的应用) 38．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 39．（25-26七年级·北京·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 【题型二十八】三元一次方程组的定义及解 40．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知，则_______ ． 42．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【题型二十九】三元一次方程组的应用 43．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 44．（25-26七年级·全国·课后作业）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如：乙烷完全燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数是．若己烷完全燃烧的化学方程式是为常数），则的值分别是_________． 45．（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $