专题7.4 二项式定理（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

该高中数学二项式定理复习讲义通过表格系统梳理二项式定理及系数性质，用框架图呈现“知识点-题型-方法”逻辑脉络，突出用计数原理分析展开式、二项式系数对称性与最值等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，“即学即练”夯实基础，综合题型如多项式积的特定项、整除问题培养逻辑推理与数学运算素养，杨辉三角探索发展数学建模能力。典例与变式适配不同层次学生，助力教师实施精准复习教学。

专题7.4 二项式定理 教学目标 1.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 2.了解二项式系数的4个性质． 3.在通过归纳推理得到一般性结果以及运用二项式系数的性质解决问题的过程中，提升逻辑推理和数学运算素养． 4.在运用(a＋b)n展开式处理问题的过程中，提升数学建模和数学运算素养；1. 在杨辉三角的探索中发展数学建模素养． 教学重难点 1.重点 用计数原理分析(a＋b)n的展开式，得到二项式定理；二项式系数的对称性、单调性；合理赋值，巧妙求解． 2.难点 用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律；综合运用展开式、通项、二项式系数的性质解题. 知识点01 二项式定理 二项式定理： 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 注： (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【即学即练】 1．二项式的展开式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【解析】二项式 ， . 故选：B. 2．根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据二项展开式直接运算即可； （2）根据二项展开式分别求的展开式，即可得结果. 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为 ， 因为 ， 所以 . 知识点02 二项式系数的性质及应用 二项式系数的性质： (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,…时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=21，第二行的三个数之和为4=22，…，第六行的各数之和为26，…，第n行的(n+1)个数之和为2n. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 【即学即练】 1．已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（  ） A． B． C． D．的大小关系与有关 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质知，，再用组合数的定义验证. 【解析】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项. 即，， 所以，从而. 故选：A. 2．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（  ） A．42 B．35 C．28 D．21 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项解得即可求解. 【解析】展开式的通项为，，即， 解得，故展开式中共有8项， 所以展开式中间两项的系数最大，最大值为. 故选：B 题型01 求二项展开式 【典例1】（1）若（a，b为有理数），则（  ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【分析】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案. 【解析】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． （2）化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理的逆用即可得结果. 【解析】原式 ， 故选：A. 1.二项式定理的展开式公式为：。 其中是二项式系数，计算公式为。 展开式共有项（通项公式）为，需注意项数与的对应关系。 2.提取公共系数或调整符号，使各项系数匹配：若系数为倍数关系，先提取公因数，将系数化为标准二项式系数；若有负号，结合展开式的符号规律（奇数项正、偶数项负）调整。 3.识别的原型：根据幂次变化规律，确定幂次递减的项为的幂次，且需满足为常数或最简代数式（无同类项可合并）。 验证结构一致性：将凑配的展开，对比原式是否完全一致，若存在差异则调整或的取值。 【变式1】化简：（  ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】由二项式定理写可得答案. 【解析】因为， ，所以. 故选：C. 【变式2】化简多项式的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解. 【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简． 故选：D. 【变式3】设，则 . 【答案】3 【分析】由二项式定理得，代入求值即可. 【解析】由二项式定理可得， ， 则有， 当时，. 故答案为：3. 题型02 二项式系数及和问题 【典例1】（1）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（  ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【解析】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 当时，可知； 可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. （2）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（  ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【解析】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 若求二项式系数和，聚焦，求某一项的二项式系数用二项式展开式通项：，其中为二项式系数 【变式1】在的展开式中，含的项的二项式系数为（  ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可. 【解析】由题可知：的项的二项式系数为. 故选：A 【变式2】已知的展开式中第2项与第5项的系数相等，则偶数项的二项式系数和为（  ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，再利用二项式系数的性质求解. 【解析】依题意，，解得， 所以的展开式偶数项的二项式系数和为. 故选：B 【变式3】在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 ． 【答案】14或23 【分析】表示各二项式系数，利用等差数列公式求解即可. 【解析】由题意得，． 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得， 即， 化简得，解得或． 故答案为：14或23. 题型03 二项式系数最值问题 【典例1】已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（  ） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】C 【解析】令，可得展开式中所有项的系数和，即可求出的值，从而可得出再利用二项式系数最值性即可求解. 【解析】因为二项式的展开式中所有项的系数和为512， 令，得 所以，二项式展开式有10项， 则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大， 所以当或5时，最大， 故选：C 1.明确二项式系数性质与n的奇偶性。二项式系数呈对称分布，先判断n为奇数还是偶数，确定最值项的位置规律。 2.n为偶数时，中间项（第项）系数最大；n为奇数时，中间两项（第项和第项）系数相等且最大。代入组合数公式计算具体值。 【变式1】展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（  ） A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】令，得所有项指数和，求得指数，再根据二项式系数的性质得结论． 【解析】令得，， 展开式中二项式系数最大的项是第3和第4项，最大的二项式系数为． 故选：B． 【变式2】的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式前三项的系数，根据题意可得出关于的方程，解出的值，然后利用二项式系数的基本性质可求得结果. 【解析】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 【变式3】已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（  ） A． B． C． D．的大小关系与有关 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质知，，再用组合数的定义验证. 【解析】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项. 即，， 所以，从而. 故选：A. 【变式4】的展开式中的系数等于其二项式系数的最大值，则的值为___________ 【答案】2 【分析】根据二项展开式的通项公式赋值得展开式中的系数，而二项式系数的最大值为，据题设列式求值即可. 【解析】因为的展开式的通项公式为， 令，即时，的系数为. 而二项式系数最大值为， 所以，即. 故答案为：2 题型04 求展开式的特定项或特定项的系数 【典例1】（1）在的展开式中，的系数为（  ） A．30 B．15 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得展开式的通项公式为，求解即可. 【解析】因为二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以， 所以的系数为. 故选：B. （2）在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（  ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 【答案】D 【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项. 【解析】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D （3）已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（  ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，结合第项为常数项，求出，再利用通项求出有理项的项数. 【解析】二项式展开式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以时，有，解得， 则展开式的通项为（且）， 由，令，，则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为. 故选：C. 针对二项式展开式（如），通项公式为（）。 指定“含，求解为整数且在取值范围内）。 将求得的代入通项公式，计算组合数、字母部分的幂次。化简结果，得到指定项的表达式（含系数和字母部分） 3.二项式展开：若为标准二项式为变量指数），通项公式为，整理后需突出变量的幂次部分：。 4.根据“常数项变量指数为0”求参数，从第一步整理后的通项中，提取所有变量的指数表达式，令其和为0，建立方程。解方程求出参数，需严格验证是否为整数且在取值范围为展开式次数内，若不在范围内则说明展开式中无常数项。 5.将第二步求得的有效值代入通项公式，重点计算常数部分：先计算组合数，再计算常数系数的幂次乘积（如第一步中）。由于常数项不含变量，此时变量部分已因指数为0化为1，只需将组合数与常数系数乘积化简，结果即为展开式的常数项。 【变式1】在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出展开式的通项，再根据通项求解即可. 【解析】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 【变式2】的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（  ） A．60 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可. 【解析】由题可知，解得， 则二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A. 【变式3】已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式，结合条件，列方程求解. 【解析】设的展开式中，通项为 ，， 由 ，所以. 由 . 故选：D. 【变式4】若的展开式中第4项为160，则 . 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【解析】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 【变式5】已知（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）写出展开式中的所有有理项. 【答案】（1）.  （2），，. 【分析】：（1）利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程可得结果；（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令的幂指数为有理数，求得的值，即可求得展开式中有理项. 【解析】（1）因为（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数 分别为，，.依题意得. 可化为， 化简得，解得或， ∵，∴. （2）展开式的通项， 所以展开式中的有理项当且仅当是6的倍数， 又，，∴或或， ∴展开式中的有理项共3项是，，. 题型05 利用赋值法求系数和问题 【典例1】（1）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（  ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【分析】先根据已知系数列式求出，再应用赋值法计算系数和即可. 【解析】的展开式中的系数为，所以， 所以令，所以展开式中所有项的系数的和为48. 故选：C. （2）（多选）已知 则（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【解析】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ①    ②得：；①②得. 所以 ，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 求和问题可以用用赋值法。 【变式1】若的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（  ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【分析】令求出，然后根据展开式的通项求解即可. 【解析】令，可得，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故选：D. 【变式2】若，则（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用赋值法，即可求解. 【解析】令，得到， 令，得到， 则， 故选：C. 【变式3】若，则的值为（ ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】通过令，求得，再令，计算即得. 【解析】由， 令，可得， 再令时，可得， 故. 故选：C. 【变式4】（多选）设，则下列说法正确的有（  ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，由结论直接可得二项式系数的和为，A正确；B选项，令得；C选项，赋值得到，相加可得C正确；D选项，令得，D错误. 【解析】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确； B选项，中，令得，B正确； C选项，中，令得 ①， 令得②， 两式①+②得， 即，C正确； D选项，， 由二项式定理得， 故，， 令得，D错误. 故选：ABC 题型06 多项式积的展开式中的特定项问题 【典例1】（1）的展开式中的系数为（  ） A． B． C．80 D．100 【答案】A 【分析】先求出展开式的通项，从而得到展开式中的系数为.. 【解析】因为， 其中展开式的通项为， 当时，， 故，其他项均不合要求， 所以展开式中的系数为. 故选：A. （2）的展开式中常数项为（  ） A． B．80 C． D．160 【答案】C 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【解析】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中常数项为. 故选：C. 【变式1】展开式中的系数是（  ） A．15 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】写出展开式通项，结合乘积形式求对应项，进而确定的系数. 【解析】对于，展开式通项为，， 当，即时，， 当，即时，， 所以展开式中的系数是. 故选：A. 【变式2】的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，分别代入和，两式作差即可构造方程求得的值. 【解析】设， 令得：； 令得：； 两式作差得：，即，解得：. 故选：D. 【变式3】的展开式中的常数项为（  ） A．147 B． C．63 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得 【解析】二项式展开式中项分别为， 所以的展开式中的常数项为． 故选：C 题型07 求展开式中系数最大（小）的项 【典例1】在的二项展开式中，系数最大的项是（  ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【解析】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B. 系数最大项的一般解决方法是：提取系数使得第r项系数大于等于第r+1项系数以及第r项系数大于等于第r-1项系数，列不等式求解；简单系数最大问题可直接通过二项式系数配合其他关系进行判断求解 【变式1】已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（  ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【解析】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 【变式2】在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【解析】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 【变式3】在的展开式中，的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为________ 【答案】10 【分析】求出二项式的通项公式，根据题意求出a，再根据二项式展开式的特征判断系数最大项． 【解析】的展开式的通项， 令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1， 展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数， 故各项的系数中最大值为， 故答案为：10 【变式4】已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【解析】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 题型08 三项展开式的系数问题 【典例1】若的展开式中的常数项为31，则（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【解析】依题意，，所以，即． 故选：C. 1.转化二项式：将三项式（如，转化为熟悉的二项展开式。 2.写出两层通项：先写出外层二项展开的通项，再写出内层括号展开的通项，明确每一项的构成。 3. 锁定目标条件：根据题目要求（如特定项系数、常数项等），列出字母的指数方程，求解参数值。 4. 计算系数：将符合条件的参数代入通项，累加对应项的系数，得到结果。 【变式1】的展开式中，的系数是（  ） A．60 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【分析】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可. 【解析】由题意得， 由二项式定理得的通项为， 欲求的系数，则令，此时对应项为， 后续我们再从找到只含的项即可， 由二项式定理得的通项为， 令，解得，此时对应项为， 故的系数为，故A正确. 故选：A. 【变式2】在的展开式中，常数项为（  ） A． B．31 C． D． 【答案】C 【分析】变形得，再根据二项展开式的通项公式即可得到答案. 【解析】由题意变形得， 则根据展开式通项得，代入， 则常数项为. 故选：C. 【变式3】在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（  ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【解析】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 【变式4】在的展开式中，的系数为 ． 【答案】120 【分析】先确定的展开式中含的项为，再确定的展开式中含的项和含的项，系数相加即可得解. 【解析】的展开式中，含的项为， 而的展开式中，含的项为， 含的项为， 因此项的系数为． 故答案为：120 题型09 利用二项式定理解决整除和余数问题 【典例1】若，则被8整除的余数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令得，令得，两式相减即可得，即 利用二项式定理即可求解. 【解析】令得，令得， 两式相减得 ， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以 被8整除的余数为4. 故选：C. 1.拆分底数：将被除数拆分为 “除式的倍数 + 常数” 形式（如，其中为常数），确保 | r| < |m|。 2.二项式展开：对拆分后的式子展开，利用二项式定理写出通项，此时展开式中前的正整数次幂，必为的倍数。 分析余项：仅需关注最后一项的余数，即为原式子的余数；若的倍数，则原式子能被 m 整除。 【变式1】除以8的余数为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】应用二项式展开式计算得出余数即可. 【解析】， 又， 所以， 所以除以8的余数为3. 故选：B. 【变式2】已知能被11整除，则整数a的值可以是（  ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【解析】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 【变式3】若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（  ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解. 【解析】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 【变式4】（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 【答案】（1）4； （2）证明见解析 【分析】（1）将转化为，然后根据二项式展开式求得正确答案. （2）将转化为然后利用二项式展开式求得正确答案. 【解析】（1） ， 除以15的余数为4. （2）证明： ， 原式能被96整除. 题型10 近似计算问题 【典例1】最接近下列哪个数字（  ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【解析】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C. 1.拆分底数：将待求式的底数拆分为的绝对值越小，近似结果越精确。 2.二项式展开：对值极小，可忽略）。 3.计算近似值：仅计算前几项的和，舍弃高阶小项，得到最终近似结果。 【变式1】的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【解析】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 【变式2】某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（  ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【解析】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 【变式3】求下列各数的近似值（精确到0.001）： (1)； (2)． 【答案】(1)1.008； (2)0.990 【分析】（1）（2）根据二项式定理展开式的性质，即可求解近似值. 【解析】（1）由二项式定理展开式得： ， 由于精确到0.001，所以； （2）由二项式定理展开式得 ， 由于精确到0.001，所以. 题型11 证明组合恒等式 【典例1】求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用二项式定理的展开式再令可证明. 【解析】由二项式定理：， 令得： ， 化简得：. 【变式1】求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【解析】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 【变式2】求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用恒等式及二项式定理，左右展开后对应项系数相同，利用组合数性质计算即可. 【解析】考虑恒等式：， 有 ． 左边展开式中的系数为： ， 而右边展开式中项的系数为零． 所以. 即得所证等式． 题型12 杨辉三角问题 【典例1】杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《解析九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【答案】(1)； (2)存在，且这三个数为，，； (3)证明见解析 【分析】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【解析】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 【变式1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（  ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【解析】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 【变式2】“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（  ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【分析】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【解析】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D. 【变式3】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（  ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 【答案】B 【分析】明确杨辉三角每行数字个数及规律以及去掉1后每行数字个数规律，然后确定所求数列前35项在杨辉三角中的位置，利用等比数列求和公式求杨辉三角前行和，再去掉1的个数及第10行对应部分和，从而得到所求数列前35项和. 【解析】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 1．的值是（  ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】A 【分析】利用二项式定理即可求解. 【解析】由二项式定理得 . 故选：A. 2．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的展开式，求特定项的二项式系数. 【解析】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 3．在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则各项系数之和为（  ） A． B． C．1 D．1024 【答案】C 【分析】由二项式系数的性质及系数最大项可得，再应用赋值法求各项系数之和. 【解析】由的展开式中，只有第6项的二项式系数为最大，所以， 在中，令，得，所以各项系数之和为1． 故选：C 4．的展开式中含的项为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三项展开式变为，根据和展开式通项，结合不同的取值可求得结果. 【解析】 展开式通项为；展开式通项为， 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 展开式中含的项为. 故选：B. 5．若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（  ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 【答案】C 【分析】利用二项式的展开式中系数的规律及二项式展开式的通项公式即可解出. 【解析】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以， 设展开式第项为常数项，则， ， ， 该二项式的展开式中常数项为， 故选：C. 6．已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可. 【解析】对于A，取，得，故A错误； 对于B，的展开式中第7项为， 所以，故B错误； 对于C，取得， 所以，故C错误； 对于D，由， 取得， 取得， 所以，故D正确. 故选：D. 7．（多选）在以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D．已知，则 【答案】BCD 【分析】利用组合数公式计算可判断AB；利用二项式定理可判断C；利用赋值法可判断D. 【解析】对于A，， 故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 两式相加可得，两式相减， 再令得，则， 则 ，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（  ） A．展开式中各项的通项公式为 B．展开式中各项的系数等于其二项式系数 C．x的幂指数是整数的项共有5项 D．展开式中存在常数项 【答案】ABC 【分析】对于A，根据二项式定理，结合幂的运算律，可得答案； 对于B，根据A写出的通项，结合单项式系数以及二项式系数的定义，可得答案； 对于C，根据二项式展开式中项的性质，建立方程，可得答案； 对于D，利用赋值法，建立方程，结合常数项的性质，可得答案. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，的通项：，各项的系数为：，二项式系数为：，两者相等，故B正确； 对于C，x的幂指数是整数，∵的通项：， ∴，且，，解得共五项，故C正确； 对于D，的通项：，∴，且，∴k无解，故D错误. 故选：ABC. 9.（多选）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，，左边的系数等于右边的系数，得到A正确；B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法，用两种方法解答，得到B正确；C选项，，左边的系数等于右边的系数，故，C错误；D选项，在C基础和题干条件下，得到方程组，联立得到答案. 【解析】A选项，， 左边的系数为， 右边， 故的系数为， 故，A正确； B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法？ 方法一：先从在个人中选人，再从选出的人中选出人擦窗户，共有种不同的方法； 方法二：先从在个人中选人擦窗户，再从剩余的人中选人拖地， 故共有种方法； 故，B正确； C选项，， ， 左边的系数为， 右边的系数为，故，C错误； D选项，由题干可得， 故， 即①， 由C可知，，则②， 故①-②得， 所以，D正确. 故选：ABD 10．的展开式中含项的系数为__________ 【答案】-160 【分析】先将变形为，那么，再根据二项式展开式的通项公式求出含项的系数. 【解析】因为，所以. 对于，则其展开式的通项公式为： （）. 令，解得. 将代入到通项公式中，可得含项为.即含项的系数为. 故答案为：-160 11．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【解析】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 12．计算，可以采用以下方法： 构造等式：，两边对x求导， 得， 在上式中令，得．类比上述计算方法，计算 ． 【答案】 【解析】由题意得，构造等式：，两边同乘，得，再两边对求导，得到，在上式中，令，得. 故答案为： 13．已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【解析】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 14．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解析】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 二项式定理 教学目标 1.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 2.了解二项式系数的4个性质． 3.在通过归纳推理得到一般性结果以及运用二项式系数的性质解决问题的过程中，提升逻辑推理和数学运算素养． 4.在运用(a＋b)n展开式处理问题的过程中，提升数学建模和数学运算素养；1. 在杨辉三角的探索中发展数学建模素养． 教学重难点 1.重点 用计数原理分析(a＋b)n的展开式，得到二项式定理；二项式系数的对称性、单调性；合理赋值，巧妙求解． 2.难点 用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律；综合运用展开式、通项、二项式系数的性质解题. 知识点01 二项式定理 二项式定理： 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 注： (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【即学即练】 1．二项式的展开式为（  ） A． B． C． D． 2．根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 知识点02 二项式系数的性质及应用 二项式系数的性质： (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,…时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=21，第二行的三个数之和为4=22，…，第六行的各数之和为26，…，第n行的(n+1)个数之和为2n. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 【即学即练】 1．已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（  ） A． B． C． D．的大小关系与有关 2．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（  ） A．42 B．35 C．28 D．21 题型01 求二项展开式 【典例1】（1）若（a，b为有理数），则（  ） A．44 B．32 C．28 D．52 （2）化简的结果为（  ） A． B． C． D． 1.二项式定理的展开式公式为：。 其中是二项式系数，计算公式为。 展开式共有项（通项公式）为，需注意项数与的对应关系。 2.提取公共系数或调整符号，使各项系数匹配：若系数为倍数关系，先提取公因数，将系数化为标准二项式系数；若有负号，结合展开式的符号规律（奇数项正、偶数项负）调整。 3.识别的原型：根据幂次变化规律，确定幂次递减的项为的幂次，且需满足为常数或最简代数式（无同类项可合并）。 验证结构一致性：将凑配的展开，对比原式是否完全一致，若存在差异则调整或的取值。 【变式1】化简：（  ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】化简多项式的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式3】设，则 . 题型02 二项式系数及和问题 【典例1】（1）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（  ） A．128 B．256 C．512 D．1024 （2）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（  ） A．4 B．8 C．32 D．64 若求二项式系数和，聚焦，求某一项的二项式系数用二项式展开式通项：，其中为二项式系数 【变式1】在的展开式中，含的项的二项式系数为（  ） A．6 B．16 C．24 D．216 【变式2】已知的展开式中第2项与第5项的系数相等，则偶数项的二项式系数和为（  ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式3】在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 ． 题型03 二项式系数最值问题 【典例1】已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（  ） A．4 B．5 C．4或5 D．6 1.明确二项式系数性质与n的奇偶性。二项式系数呈对称分布，先判断n为奇数还是偶数，确定最值项的位置规律。 2.n为偶数时，中间项（第项）系数最大；n为奇数时，中间两项（第项和第项）系数相等且最大。代入组合数公式计算具体值。 【变式1】展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（  ） A．6 B．10 C．15 D．20 【变式2】的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（  ） A． B． C． D．的大小关系与有关 【变式4】的展开式中的系数等于其二项式系数的最大值，则的值为___________ 题型04 求展开式的特定项或特定项的系数 【典例1】（1）在的展开式中，的系数为（  ） A．30 B．15 C． D． （2）在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（  ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 （3）已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（  ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 针对二项式展开式（如），通项公式为（）。 指定“含，求解为整数且在取值范围内）。 将求得的代入通项公式，计算组合数、字母部分的幂次。化简结果，得到指定项的表达式（含系数和字母部分） 3.二项式展开：若为标准二项式为变量指数），通项公式为，整理后需突出变量的幂次部分：。 4.根据“常数项变量指数为0”求参数，从第一步整理后的通项中，提取所有变量的指数表达式，令其和为0，建立方程。解方程求出参数，需严格验证是否为整数且在取值范围为展开式次数内，若不在范围内则说明展开式中无常数项。 5.将第二步求得的有效值代入通项公式，重点计算常数部分：先计算组合数，再计算常数系数的幂次乘积（如第一步中）。由于常数项不含变量，此时变量部分已因指数为0化为1，只需将组合数与常数系数乘积化简，结果即为展开式的常数项。 【变式1】在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【变式2】的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（  ） A．60 B． C．15 D． 【变式3】已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】若的展开式中第4项为160，则 . 【变式5】已知（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）写出展开式中的所有有理项. 题型05 利用赋值法求系数和问题 【典例1】（1）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（  ） A．16 B．32 C．48 D．64 （2）（多选）已知 则（  ） A． B． C． D． 求和问题可以用用赋值法。 【变式1】若的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（  ） A．20 B．40 C．60 D．80 【变式2】若，则（  ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3】若，则的值为（ ） A．1 B．0 C． D．2 【变式4】（多选）设，则下列说法正确的有（  ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 题型06 多项式积的展开式中的特定项问题 【典例1】（1）的展开式中的系数为（  ） A． B． C．80 D．100 （2）的展开式中常数项为（  ） A． B．80 C． D．160 【变式1】展开式中的系数是（  ） A．15 B． C．30 D． 【变式2】的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】的展开式中的常数项为（  ） A．147 B． C．63 D． 题型07 求展开式中系数最大（小）的项 【典例1】在的二项展开式中，系数最大的项是（  ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 系数最大项的一般解决方法是：提取系数使得第r项系数大于等于第r+1项系数以及第r项系数大于等于第r-1项系数，列不等式求解；简单系数最大问题可直接通过二项式系数配合其他关系进行判断求解 【变式1】已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（  ） A．252 B．210 C．120 D．10 【变式2】在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【变式3】在的展开式中，的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为________ 【变式4】已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 题型08 三项展开式的系数问题 【典例1】若的展开式中的常数项为31，则（  ） A． B．0 C．1 D．2 1.转化二项式：将三项式（如，转化为熟悉的二项展开式。 2.写出两层通项：先写出外层二项展开的通项，再写出内层括号展开的通项，明确每一项的构成。 3. 锁定目标条件：根据题目要求（如特定项系数、常数项等），列出字母的指数方程，求解参数值。 4. 计算系数：将符合条件的参数代入通项，累加对应项的系数，得到结果。 【变式1】的展开式中，的系数是（  ） A．60 B．30 C．20 D．10 【变式2】在的展开式中，常数项为（  ） A． B．31 C． D． 【变式3】在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（  ） A．10 B． C． D． 【变式4】在的展开式中，的系数为 ． 题型09 利用二项式定理解决整除和余数问题 【典例1】若，则被8整除的余数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 1.拆分底数：将被除数拆分为 “除式的倍数 + 常数” 形式（如，其中为常数），确保 | r| < |m|。 2.二项式展开：对拆分后的式子展开，利用二项式定理写出通项，此时展开式中前的正整数次幂，必为的倍数。 分析余项：仅需关注最后一项的余数，即为原式子的余数；若的倍数，则原式子能被 m 整除。 【变式1】除以8的余数为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式2】已知能被11整除，则整数a的值可以是（  ） A．1 B．9 C．10 D．0 【变式3】若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（  ） A．6 B．10 C．55 D．63 【变式4】（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 题型10 近似计算问题 【典例1】最接近下列哪个数字（  ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 1.拆分底数：将待求式的底数拆分为的绝对值越小，近似结果越精确。 2.二项式展开：对值极小，可忽略）。 3.计算近似值：仅计算前几项的和，舍弃高阶小项，得到最终近似结果。 【变式1】的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【变式2】某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（  ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【变式3】求下列各数的近似值（精确到0.001）： (1)； (2)． 题型11 证明组合恒等式 【典例1】求证：． 【变式1】求证： 【变式2】求证： 题型12 杨辉三角问题 【典例1】杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《解析九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【变式1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（  ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【变式2】“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（  ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【变式3】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（  ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 1．的值是（  ） A． B．1 C．0 D．22024 2．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（  ） A． B． C． D． 3．在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则各项系数之和为（  ） A． B． C．1 D．1024 4．的展开式中含的项为（  ） A． B． C． D． 5．若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（  ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 6．已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 7．（多选）在以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D．已知，则 8．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（  ） A．展开式中各项的通项公式为 B．展开式中各项的系数等于其二项式系数 C．x的幂指数是整数的项共有5项 D．展开式中存在常数项 9.（多选）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（  ） A． B． C． D． 10．的展开式中含项的系数为__________ 11．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 12．计算，可以采用以下方法： 构造等式：，两边对x求导， 得， 在上式中令，得．类比上述计算方法，计算 ． 13．已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 14．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $