专题04 二项式定理及其拓展运用8种重点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题04 二项式定理及其拓展运用8种重点常考题型 题型一：求的展开式 题型二：逆用二项式定理 题型三：求展开式中的指定项 题型四：求展开式中的常数项 题型五：求展开式中的有理项 题型六：求展开式中的项问题 题型七：多个二项式和问题 题型八：多个二项式积问题 题型一：求的展开式 1．二项式的展开式为（  ） A． B． C． D． 2.若（a，b为有理数），则（  ） A．44 B．32 C．28 D．52 3.的展开式为___________ 4.的展开式为___________ 5.用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 题型二：逆用二项式定理 6．化简：（  ） A．2 B．1 C．0 D． 7.化简的结果为（  ） A． B． C． D． 8.化简多项式的结果是（  ） A． B． C． D． 9.设，则 . 10.的展开式中含项的系数为_________ 题型三：求展开式中的指定项 11．在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 12.的展开式的第7项为（  ） A． B．35 C． D． 13.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（  ） A．14 B． C．240 D． 14.在的展开式中．含的项为 . 15.若的展开式中第4项为160，则 . 16.在二项式的展开式中，第4项为 . 17.(1＋2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝ . 18.在的展开式中的系数为20，则常数 ． 题型四：求展开式中的常数项 19．二项式的展开式中常数项为（  ） A．210 B．-210 C．120 D．-120 20.若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 21.二项式的展开式中常数项为60，则（  ） A． B． C．2 D．3 22.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（  ） A． B． C． D．45 23.在二项式的展开式中，常数项为 . 题型五：求展开式中的有理项 24．二项式的展开式中有理项的项数为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 25.若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（  ） A． B．或 C．或 D． 26.已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（  ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 27.在二项式的展开式中，有理项为 . 30.已知（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）写出展开式中的所有有理项. 题型六：求展开式中的项问题 31．的展开式共（  ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 32.的展开式中含的项为（  ） A． B． C． D． 33.展开项中的常数项为（  ） A．1 B．11 C．-19 D．51 34.的展开式中，的系数为（　　） A．60 B． C．30 D． 35.已知展开式的常数项为76，则（  ） A．1 B．61 C．2 D． 36.在的展开式中，含项的系数为___________ 37.展开式中的常数项为___________ 38.已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ． 题型七：多个二项式和问题 39．的展开式中x的系数为（  ） A．30 B．40 C．70 D．80 40.若的展开式中含有项的系数为18，则（  ） A．2 B． C．或 D．或 41.（多选）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值可能是（  ） A． B． C． D． 42.（多选）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（  ） A．2 B．11 C．15 D．20 43. 44.在的展开式中，含项的系数是 ． 题型八：多个二项式积问题 45．的展开式中的常数项为（  ） A． B．6 C．12 D．18 46.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是（  ） A．-15 B．85 C．-120 D．274 47.（多选）的展开式中（  ） A．的系数为40 B．的系数为32 C．常数项为16 D．常数项为8 48.的展开式中的常数项为_______ 49.的展开式中，含项的系数为 ． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二项式定理及其拓展运用8种重点常考题型 题型一：求的展开式 题型二：逆用二项式定理 题型三：求展开式中的指定项 题型四：求展开式中的常数项 题型五：求展开式中的有理项 题型六：求展开式中的项问题 题型七：多个二项式和问题 题型八：多个二项式积问题 题型一：求的展开式 1．二项式的展开式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【解析】二项式 ， . 故选：B. 2.若（a，b为有理数），则（  ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【分析】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案. 【解析】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 3.的展开式为___________ 【答案】 【分析】法一、法二，由二项式定理即可求解； 【解析】方法一： ． 方法二： ． 故答案为： 4.的展开式为___________ 【答案】 【分析】利用二项式展开公式直接展开即可得解 【解析】． 故答案为： 5.用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析; (2)答案见解析 【分析】利用二项式展开公式即可得解． 【解析】（1） . （2） . 题型二：逆用二项式定理 6．化简：（  ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】由二项式定理写可得答案. 【解析】因为， ，所以. 故选：C. 7.化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理的逆用即可得结果. 【解析】原式 ， 故选：A. 8.化简多项式的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解. 【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简． 故选：D. 9.设，则 . 【答案】3 【分析】由二项式定理得，代入求值即可. 【解析】由二项式定理可得， ， 则有， 当时，. 故答案为：3. 10.的展开式中含项的系数为_________ 【答案】5292 【分析】先利用二项式定理化简原式子得出，再分别求出中的系数即可. 【解析】因为 . 所以的系数为. 故答案为：5292. 题型三：求展开式中的指定项 11．在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出展开式的通项，再根据通项求解即可. 【解析】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 12.的展开式的第7项为（  ） A． B．35 C． D． 【答案】A 【分析】根据展开式通项写出第7项即可． 【解析】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以的展开式的第7项为． 故选：A． 13.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（  ） A．14 B． C．240 D． 【答案】C 【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解． 【解析】二项展开式的第项的通项公式为， 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5， 可得：，解得：. 所以， 令，解得：， 所以的系数为， 故选：C. 14.在的展开式中．含的项为 . 【答案】 【分析】求出二项式的展开式的通项公式，结合通项公式确定含项的项数，再求结论. 【解析】的通项公式为， 令，，含的项为． 故答案为： 15.若的展开式中第4项为160，则 . 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【解析】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 16.在二项式的展开式中，第4项为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项，即可根据求解； 【解析】的展开式的通项为． 令， 则 故答案为： 17.(1＋2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝ . 【答案】8 【解析】设的展开式的通项公式为，则，令，得展开式中的系数为：，令得展开式中的系数为， 依题意，，即，解得， 故答案为：8. 18.在的展开式中的系数为20，则常数 ． 【答案】 【分析】应用二项式展开式通项及相关项系数列方程求参数. 【解析】由题设，二项式展开式通项公式为，， 令，则，则. 故答案为： 题型四：求展开式中的常数项 19．二项式的展开式中常数项为（  ） A．210 B．-210 C．120 D．-120 【答案】A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出，从而可求出展开式中的常数项. 【解析】， 令得， 所以展开式中的常数项为． 故选：A. 20.若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由通项公式求出，得到，其中且，通过检验得到正确答案. 【解析】的通项公式，其中且，要想展开式中含有常数项，则，即，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合题意. 故选：A 21.二项式的展开式中常数项为60，则（  ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】根据二项展开式的通项公式，令的指数为0，可得，即可得到结果. 【解析】通项,, 令，得，得， 所以，即故， 故选：A. 22.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（  ） A． B． C． D．45 【答案】D 【分析】由二项式展开项通项公式结合第三项与第五项的系数之比列式可解出，即可求出常数项. 【解析】由二项式展开项通项公式可得第项为， 故第三项与第五项的系数之比为，解得（）， 由得故常数项为. 故选：D 23.在二项式的展开式中，常数项为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项，根据求解即可代入求解； 【解析】的展开式的通项为． 令，解得，所以常数项为 故答案为： 题型五：求展开式中的有理项 24．二项式的展开式中有理项的项数为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，求得二项式的展开式的通项为，结合通项，即可求解. 【解析】由题意，二项式的展开式的通项为： ，其中， 当时，展开式为有理项， 所以二项式的展开式中有理项的项数为6项. 故选：C. 25.若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】首先写出二项展开式的通项公式，由条件可知为整数，然后观察选项，通过列举的方法，求得正整数的值. 【解析】的通项公式是 设其有理项为第项，则的乘方指数为，依题意为整数， 注意到，对照选择项知、、， 逐一检验：时，，不满足条件； 时，、、，成立； 时，、5、8，成立 故选：B. 26.已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（  ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，结合第项为常数项，求出，再利用通项求出有理项的项数. 【解析】二项式展开式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以时，有，解得， 则展开式的通项为（且）， 由，令，，则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为. 故选：C. 27.在二项式的展开式中，有理项为 . 【答案】，，，， 【分析】根据二项式展开式的通项，根据的取值为整数可得，，代入即可得解. 【解析】的展开式的通项为． 当时，是有理项， 分别为，，，，． 故答案为： 30.已知（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）写出展开式中的所有有理项. 【答案】（1）.  （2），，. 【解析】分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程可得结果；（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令的幂指数为有理数，求得的值，即可求得展开式中有理项. 解析：（1）因为（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数 分别为，，.依题意得. 可化为， 化简得，解得或， ∵，∴. （2）展开式的通项， 所以展开式中的有理项当且仅当是6的倍数， 又，，∴或或， ∴展开式中的有理项共3项是，，. 题型六：求展开式中的项问题 31．的展开式共（  ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论. 【解析】∵， 由二项式定理可知，展示式中共有项， ∴的展开式共有项. 故选：B． 32.的展开式中含的项为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三项展开式变为，根据和展开式通项，结合不同的取值可求得结果. 【解析】 展开式通项为；展开式通项为， 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 展开式中含的项为. 故选：B. 33.展开项中的常数项为（  ） A．1 B．11 C．-19 D．51 【答案】B 【分析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【解析】展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即； （2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即； （3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即； 所以展开项中的常数项为， 故选：B. 34.的展开式中，的系数为（　　） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用多项式乘法结合组合应用问题，列式计算作答. 【解析】因为，于是在5个多项式中，取2个用，再从余下3个多项式中取2个用， 最后1个多项式用常数项相乘，因此含的项为， 所以的系数为60. 故选：A 35.已知展开式的常数项为76，则（  ） A．1 B．61 C．2 D． 【答案】A 【分析】由，利用二项式定理求其展开式，再求各部分的展开式，确定展开式的常数项表达式，列方程求. 【解析】因为， 所以 ， 的展开式的通项为，， 当时为常数项，常数项为， 的展开式的通项为，， 展开式没有常数项， 的展开式的通项为，， 展开式没有常数项， 的展开式的通项为，， 当时为常数项，常数项为， 的展开式的通项为，， 展开式没有常数项， 的展开式没有常数项， 又为常数， 所以常数项为， 所以，又， 解得． 故选：A. 36.在的展开式中，含项的系数为___________ 【答案】-10 【分析】把看成6个相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到结果. 【解析】是6个相乘，需要依次从每个的三项（1，，）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项. 得到项的方法有两类： 第一类是，6个的1个里选出，1个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到； 第二类是，6个的3个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到. 再将上述两项合并，得，因此项的系数为. 故答案为：-10 37.展开式中的常数项为___________ 【答案】70 【分析】将变形为，写出展开式的通项，令求出，从而求出二项式展开式的通项. 【解析】解：，又展开式的通项，取，得，常数项为． 故答案为：70 38.已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】先用展开式中所有项的系数之和为32求出，再将化为进行求解. 【解析】由题意可得，解得，则， 故该展开式中的常数项为． 故答案为： 题型七：多个二项式和问题 39．的展开式中x的系数为（  ） A．30 B．40 C．70 D．80 【答案】C 【分析】利用二项式定理，写出通项公式直接求解即可 【解析】展开式的通项， 令即，此时， 展开式的通项， 令，即，此时， 所以展开式中的系数为. 故选：C. 40.若的展开式中含有项的系数为18，则（  ） A．2 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列出方程，即可求得a，即得答案. 【解析】由题意的展开式中含有项的系数为18， 即 ，即， 解得或， 故选：C 41.（多选）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【解析】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 故选：ABD 42.（多选）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（  ） A．2 B．11 C．15 D．20 【答案】BD 【分析】由二项式的展开式通项得或，其中，且，对分四种情况讨论即可求解. 【解析】展开式的通项，展开式的通项. 因为的展开式中存在含的项，所以或， 即或，其中，且. 经检验知，当时，，，不符合题意， 当时，，不存在，符合题意； 当时，不存在，也不存在，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：BD. 43. 【答案】152 【分析】利用二项式定理得到的展开式，求出相加得到答案. 【解析】 ， ， 故. 故答案为：152 44.在的展开式中，含项的系数是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理，的通项为，把分成和两部分，分别求其项的系数再求和即可. 【解析】根据二项式定理，的通项为. 原式可分成和两部分： 对于，求项（即）： ，因此项的系数是6. 同理，对于，求项（即）： ，因此项的系数是24. 将两部分的项系数相加：. 故答案为：. 题型八：多个二项式积问题 45．的展开式中的常数项为（  ） A． B．6 C．12 D．18 【答案】D 【解析】二项式的通项公式为， 当时，解得，当时，解得， 所以展开式中的常数为， 故选：D． 46.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是（  ） A．-15 B．85 C．-120 D．274 【答案】A 【分析】本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成． 【解析】的展开式中， 含项为五个括号中四个取还有一个括号取常数相乘得到， 故含的项的系数为 故选：A. 47.（多选）的展开式中（  ） A．的系数为40 B．的系数为32 C．常数项为16 D．常数项为8 【答案】AC 【分析】首先化简为，再分别根据和两部分计算常数项和含的系数. 【解析】，展开式中的系数分为两部分，一部分是中含的系数，另一部分是中含项的系数，所以含的系数是，故A正确；展开式中常数项只有展开式的常数项，故C正确. 故选：AC 48.的展开式中的常数项为_______ 【答案】63 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得 【解析】二项式展开式中项分别为， 所以的展开式中的常数项为． 故答案为：63 49.的展开式中，含项的系数为 ． 【答案】48 【分析】利用二项式展开式的通项公式结合多项式乘法来求解即可． 【解析】因为， 所以的展开式中的系数为： 展开式中的系数减去展开式中的系数． 因为展开式的通项公式为：， 令得的系数为， 令得的系数为， 所以的展开式中的系数为． 故答案为：48 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $