【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-5）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-5） 一．选择题（共16小题） 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．点D在AB边上，点E在AB的延长线上，连接CD，CE，且AD＝BE．则下列结论错误的是（　　） A．CD+DE的最小值为 B．CE﹣DE的最大值为 C．的最小值为 D．△CDE周长的最小值为 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝1，AD＝3，DC＝5，点S从点A→B→C运动到C点停止，以S为圆心，SD为半径作弧交射线DC于点T，设S点运动的路径长为x，等腰△DST的面积为y，则y与x的函数图象应为（　　） A． B．C．D． 3．已知抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与直线y＝t有两个交点M，N，若MN≤6，则t的取值范围为（　　） A．t≥﹣8 B．﹣8≤t＜1 C．﹣8＜t＜1 D．﹣8≤t≤1 4．已知整点（横纵坐标都是整数）P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B也可以到达点C．如图2，点P0（1，0）沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P0跳到Q1位置，称为做一次“正横跳马”；若P0跳到Q2位置．称为做一次“正竖跳马”．当点P0连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点Pn（14，11），求a+b的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知抛物线y＝ax2+4ax+3a+1（a≠0），当x＞0时，y随x的增大而减小，则该抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C停止运动．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　） A．AB＝4 B．∠ACB＝90° C．当0≤t≤2时，y D．△EFD的周长为9+5 8．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论： ①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．③④ 9．已知点A（m，y1）、B（m+4，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣6 B．m＞﹣6 C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 10．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 11．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A，B两点，若反比例函数y（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k≤8 B．2≤k≤9 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 12．已知，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），下列判断正确的是（　　） A．该抛物线的开口方向向下 B．该抛物线与y轴交点可能在y轴负半轴上 C．该抛物线与x轴一定有交点 D．点P（m+2，y1）、点Q（m﹣2，y2）在该函数图象上，则y1＝y2 13．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象沿x轴翻折．若原函数图象的顶点、与x轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则a的值为（　　） A． B． C． D． 14．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．43m D．77m 15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　） A．2 B．6﹣3 C．2 D．66 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，半径为5的⊙O与AC，BC分别相切于点E，F，与AB交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共14小题） 17．对于实数a，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当a＝﹣1时，a2＝　 　 ； （2）当a＝﹣2时，a+a1+a2+a3+⋯+a2026＝　 　 ． 18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交边BC于F． （1）当AE＝AB时，EF的长为　 　 ； （2）EF长的最小值为　 　 ． 19．如图，等边△ABC的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且与CD相交于点F，则CD•CF的值为　 　 ．（用含a的代数式表示） 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣5，2），N（﹣1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1）． （1）k的值为　 　 ； （2）若在线段M′N′上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为　 　 ． 21．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点P、Q分别在AB、CD上，且AP：CQ＝2：3，连接PQ，若PQ的长度为，则AP的长度为　 　 ． 22．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是边AD上的一个动点，连接AC，CE，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE，AC于点G，H．有如下结论： ①CE⊥DF；②DE＝AH；③若，则；④若M为AD中点，连接GM，则GM的最小值为33．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． 23．对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“两头和数”． （1）最小的“两头和数”是 　 　 ； （2）用“两头和数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m），若t是“两头和数”，且t的4倍与t的十位数字的2倍之和是5的倍数，则F（t）的最大值为 　 　 ． 24．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE的最大值是 　 　 ． 25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝10，AC，BD交于点E，若，则BD＝　 　 ． 26．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　 　 ． 27．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD，∠OAB＝75°，若CD恰好经过点A，且OC⊥OB，OA＝4，则AB＝　 　 ． 28．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，，连接BD，则BD+CD的最小值为　 　 ． 29．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BE与AC交于点F，则△AEF与四边形CFED的面积之比是　 　 ． 30．如图，菱形ABCD中，，点E在边AD上，点F在对角线BD上，作AG⊥BE，EG∥AF交AG于点G．若，则　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在抛物线y＝x2﹣2bx﹣4上． （1）若A为抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点； （ⅰ）求y1的最大值； （ⅱ）若直线y＝kx（k＞0）经过A，B两点，且OA＝OB．求k的值； （2）已知抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，t），若t＞0，x1＜x2，且，试比较y1，y2的大小，并说明理由． 32．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（1，﹣2）和（2，﹣3）两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作CD∥y轴交直线l于点C，以CD为直径作⊙E，当⊙E与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′，过点H（﹣2，0）作HF⊥x轴，交直线l于点F，连接OF，问在⊙E′上是否存在一点P，使△OFP的面积最大？若存在，求出△OFP面积的最大值，若不存在，请说明理由． 33．如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，AB＝AC，∠ADB＝∠ABC，AD，BC的延长线交于点E． （1）求证：△ACE∽△BDE； （2）若BD⊥CD，求证：； （3）如图2，若AB＝10，，当的值最小时，求CD的长． 34．如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 35．问题发现 （1）如图①，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P在上，连接PA、PC，则sin∠APC＝　 　 ； 问题探究 （2）如图②，已知CD是△ABC的中线，点E在AC上，连接BE，且∠ABE＝∠ACD，若，求AE的长度； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是某小区的一块空地，其中AB＝100米，BC＝50米，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，物业准备在空地内找一点P，分别修建四条小道PA、PB、PC、PD（小道的宽度不计），并在△PAD、△PCD、△PBC内分别种植不同的花卉，△PAB为生活娱乐区，根据物业公司规划要求，∠CPD＝45°，且小道AP与BP的比值尽可能小．是否存在满足要求的点P？若存在，请找出点P的位置，并计算的最小值，以及此时△PCD的面积；若不存在，请说明理由． 36．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0），点B． （1）如图1，求c的值； （2）如图2，连接AB，点C是第一象限抛物线上的一点，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．设点C的横坐标为t，CD的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BC并延长交x轴于点E，点F是线段AD上一点，连接FC，OF，延长FC交x轴于点G，将线段OF绕点O逆时针旋转90°得到线段OH，过点H作HK∥FG交x轴于点K，若HK＝FG，且∠OBE＝∠OKH，求d的值． 37．已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）． （1）求证：抛物线与x轴必有交点； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x（a≠﹣1）上．当时，是一个与x1无关的定值． （i）求b的值； （ii）若点B是经由点A向右平移m个单位，向上平移n个单位得到，且满足，求n的最小值． 38．项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美﹣数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片，某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽OA＝60m，在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D1到OA中点E的距离ED1＝16m（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），ED1与水平塔架BC的投影B1C1相交于点F1，在同一时刻测得高21cm的测绘仪的投影长度为4cm． 数学公式备用：若P（x1，y1）、Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则线段PQ与抛物线围成“弓形PQ”的面积为：． 数学建模：以O为坐标原点，OA为x轴的正方向建立平面直角坐标系，点A的坐标为（60，0）． 探究问题： （1）桥塔的高度DE＝　 　 ； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若此时测得EF1＝12m， ①求水平塔架BC的长度； ②设“弓形BC”的面积为S1，四边形OACB的面积为S2，记，请直接写出k值． 39．解决下列问题： 问题探究 （1）如图1，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△ABP面积的最大值　 　 ； （2）如图2，△ABC与△BDE都为等边三角形，当CE⊥BD时，求∠ADB的度数； 问题解决： （3）如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD，其中BC＝400米，∠DCB＝45°，AB⊥BC且，AC和BD是两条小路，AC和BD的交点为点E，其中△BCE区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点B、C、E围成的三角形面积最大，求△BCE面积的最大值．（结果保留根号） 40．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+6交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，且OA＝OB． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点C在AB上，过点C作AB的垂线，交OB于点E，交x轴于点D，连接OC，设点D的横坐标为t，△OCD的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在AO上，连接CF和EF，CF＝EF，点G是AF的中点，连接CG，∠ACG+2∠OCD＝45°，过点E作CF的平行线交OF于点H，延长CO到点K，点K的纵坐标为﹣t，点P在第四象限，连接DP、HP、KP，∠DPK＝90°，PH平分∠DPK，求点P的坐标． 41．综合与探究 已知△ABC中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D． 【初探】（1）如图1，若∠B＝90°，AB＝BC，AE＝CF，过点E作EG∥BF交AC于点G． ①求证：△DGE≌△DCF； ②求证：； 【再探】（2）如图2，若∠B＝90°，AB＝2BC，AE＝2CF，探究CD与BE之间的数量关系； 【深探】（3）如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，AB＝8，AE＝2，BC＝4CF，当点C从点B运动到点A，请直接写出点D的运动路径的长． 42．探索四边形与矩形中的角度及边长关系． 问题提出： （1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝10，BC＝8，AD＝DC，∠ADC＝2∠ABC＝120°，求四边形ABCD的对角线BD的长； 问题解决： （2）如图②，矩形ABCD为某公园内的一片空地，现计划将此区域修建为园林景观，其中将△BPC区域建设为池塘，四边形PEGF区域放置假山，其余区域种植花草树木．已知，BC＝60m，G为AD的中点，∠BPC＝2∠EPF＝2∠EGF＝120°，PE＝PF．根据设计要求，需将假山区修建的尽可能小．试问四边形PEGF面积是否存在最小值？若存在，求出四边形PEGF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 43．问题探究 （1）如图①，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝4，则线段CM的长为　 　 ； （2）如图②，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，求线段AP的最小值； 问题解决 （3）如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地ABCD，用于班级种植，EF是两个工具房，分别在AB，CD边上，且CF＝2BE，沿EF铺设一条运送通道，再从点A铺设一条垂直于EF的小路AM，在点M处修一个肥料存放点，点C处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点M处获取肥料，需要沿CM铺设一条小路，要求CM尽可能的短，已知AB＝50m，BC＝40m．请问CM是否存在最小值？若存在，求出CM的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 44．（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F，交BC于点E．求证：△ABE∽△BCD； （2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点D作AF⊥DG交BC于点G，，探究的值； （3）拓展：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和BC上的点，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求的值． 45．冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：BC段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道BC上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹CD在空中飞行，BC段的抛物线与CD段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以OC为y轴，水平面OA为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知AB⊥OA，OC⊥OA，跳台高AB是8m，OA长度10m，OC高度6m，BC段的抛物线最低点到y轴的距离为4m． （1）求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ （2）为了安全着想，利用斜坡CE的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为6.4m，求落点到OC的水平距离？ 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-5） 参考答案与试题解析 一．选择题（共16小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D B A D C D A B 题号 12 13 14 15 16 答案 D D C D D 一．选择题（共16小题） 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．点D在AB边上，点E在AB的延长线上，连接CD，CE，且AD＝BE．则下列结论错误的是（　　） A．CD+DE的最小值为 B．CE﹣DE的最大值为 C．的最小值为 D．△CDE周长的最小值为 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．点D在AB边上，点E在AB的延长线上，连接CD，CE，且AD＝BE．则： 由题意可得：AB＝2BC＝2， ∴， ∵AD＝BE， ∴AD+DB＝BE+DB， ∴DE＝AB＝2， 当CD取最小值时，则CD+DE取最小值，当CD⊥AB时，CD取最小值， 此时， ∴，解得， ∴CD的最小值为， ∴CD+DE的最小值为，故A结论正确，不符合题意； 当CE取最大值时，则CE﹣DE取最大值，当D与B重合时，CE取最大值． 如图1，作CH⊥AB于H， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴CE的最大值为， ∴CE﹣DE的最大值为，故B结论正确，不符合题意； 如图：以AB为一边作∠PAB＝∠BAC＝30°，过C作CP⊥AP交AB于D， ∴，∠ACP＝90°﹣∠PAB﹣∠BAC＝30°， ∴， 当C，D，P三点共线，且CP⊥AP时，取最小值CP， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，故C结论错误，符合题意； 如图，过E作EF∥CD，过C作CF∥DE，CF与EF相交于F， C关于AB的对称点G，分别连接CG，EG，FG，CG与AB交于H， 则GE＝CE，，CG⊥CF，四边形CDEF是平行四边形， ∴FE＝CD，CF＝DE＝2， ∴CD+CE＝FE+GE≥FG， ∵， ∴当G，E，F三点共线时，CD+CE最小值，最小值为， ∴△CDE的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝1，AD＝3，DC＝5，点S从点A→B→C运动到C点停止，以S为圆心，SD为半径作弧交射线DC于点T，设S点运动的路径长为x，等腰△DST的面积为y，则y与x的函数图象应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：当0≤x≤1时，作SE⊥DT于点E，如图1所示， ∵AS＝x，△SDT是等腰三角形， ∴DT＝2x， ∴y3x， ∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，图象是一条线段； 当1＜x≤6时，作SE⊥DT于点E，作BF⊥DC于点F，如图2所示， 则BC， ， 即，得SE， ∴DE＝5﹣CE＝555， ∴DT， ∴y； 故选：A． 3．已知抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与直线y＝t有两个交点M，N，若MN≤6，则t的取值范围为（　　） A．t≥﹣8 B．﹣8≤t＜1 C．﹣8＜t＜1 D．﹣8≤t≤1 【答案】B 【解答】解：由题知， 因为y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1， 所以抛物线的顶点坐标为（﹣2，1）． 如图所示， 直线AB∥x轴，AB＝6， 则﹣2， 将x＝1代入y＝﹣（x+2）2+1得， y＝﹣8， 所以直线AB为y＝﹣8． 因为抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与直线y＝t有两个交点M，N且MN≤6， 所以﹣8≤t＜1． 故选：B． 4．已知整点（横纵坐标都是整数）P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B也可以到达点C．如图2，点P0（1，0）沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P0跳到Q1位置，称为做一次“正横跳马”；若P0跳到Q2位置．称为做一次“正竖跳马”．当点P0连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点Pn（14，11），求a+b的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：由题意，当点P0（1，0）先连续做了a次“正横跳马”，再连续做b次“正竖跳马”后，到达点Pn（14，11），则： ， ①+②，得：3a+3b＝24， ∴a+b＝8， 故选：D． 5．已知抛物线y＝ax2+4ax+3a+1（a≠0），当x＞0时，y随x的增大而减小，则该抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：由抛物线对称轴公式，可得对称轴直线x＝﹣2， ∴抛物线顶点横坐标为﹣2＜0． ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，可得a＜0． 将x＝﹣2代入解析式求顶点纵坐标y， y＝a（﹣2）2+4a•（﹣2）+3a+1＝4a﹣8a+3a+1＝﹣a+1． ∵a＜0，∴﹣a＞0，可得y＝﹣a+1＞0． ∵顶点横坐标为负，纵坐标为正， ∴顶点在第二象限， 故选：B． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C停止运动．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在Rt△ABC中，BC6（cm）， （Ⅰ）当5＜t＜8时，如图所示，可知点Q在线段BC上． 根据题意可知CQ＝（16﹣2t）cm，AP＝tcm． 所以． 所以，当5＜t＜8，S与t的函数图象是开口向下的抛物线的一部分，且S随t的增大而减小； （Ⅱ）当0＜t≤5时，如图所示，可知点Q在线段AB上，过点P作直线AB的垂线，交AB于点D． 根据题意可知AQ＝2tcm，AP＝tcm． 因为∠C＝∠ADP＝90°，∠A＝∠A， 所以△APD∽△ABC． 所以． 所以PD， ． 所以，当0＜t≤5，S与t的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且S随t的增大而增大． 综上所述，选项A图形符合题意． 故选：A． 7．如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　） A．AB＝4 B．∠ACB＝90° C．当0≤t≤2时，y D．△EFD的周长为9+5 【答案】D 【解答】解：由△ABC的运动可知，等腰△ABC 与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变．记HE中点为I，由函数图象可得，当t＝2时，y＝2，此时点C落在HE上，如图： 则BI＝2×1＝2，由题意得AB⊥HE， ∵CA＝CB， ∴AB＝2BI＝4，， ∴Cl＝2＝BI， ∴此时△CIB为等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠ACB＝90°，故A、B正确，不符合题意； ∴当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB， 由题意得：BI＝t×1＝t，∠B＝45°，AB⊥HE， ∴△IJB为等腰直角三角形， ∴IJ＝IB＝t，，故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当t＝6时运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，如图： ∴DI＝EF＝6， ∵四边形HEFG是正方形， ∴EF＝GF＝6，∠F＝90°， 由题意得：D为BC的中点， ∴DF＝3， ∴， ∴△EFD的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 8．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论： ①火车的速度为30米/秒； ②火车的长度为120米； ③火车整体都在隧道内的时间为35秒； ④隧道长度为1200米． 正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．③④ 【答案】C 【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确； 火车的长度是150米，故②错误； 整个火车都在隧道内的时间是：45﹣5﹣5＝35秒，故③正确； 隧道长是：45×30﹣150＝1200（米），故④正确． 综上可知正确的有①③④． 故选：C． 9．已知点A（m，y1）、B（m+4，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣6 B．m＞﹣6 C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 【答案】D 【解答】解：由对称轴公式可知其中b＝4a， ∴，即抛物线对称轴为直线x＝﹣2， ∵C为顶点，且y0≥y1，说明顶点纵坐标是抛物线的最大值， ∴抛物线开口向下，a＜0，开口向下时，点离对称轴越近，对应函数值越大， ∵y1＞y2， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣2）|＜|（m+4）﹣（﹣2）|， 整理得|m+2|＜|m+6|， 两边平方得（m+2）2＜（m+6）2， 展开得m2+4m+4＜m2+12m+36， 解得m＞﹣4， ∴m的取值范围是m＞﹣4． 故选：D． 10．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【解答】解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，△APD的面积先增大，再减小， 当点P运动到点C时，△APD的面积最大， 根据函数图象可得此时△APD的面积为4， 如图， ∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC， ∴， 可得 AC＝4， 当点P运动到CB的中点时，如图， ∵点D为边AB的中点， ∴， 故选：A． 11．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A，B两点，若反比例函数y（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k≤8 B．2≤k≤9 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 【答案】B 【解答】解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴， ∴当x＝1时，y＝﹣1+6＝5， 当y＝2时，﹣x+6＝2，解得x＝4， ∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5）， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小， 设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大， 则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9， ∵1≤x≤4， ∴当x＝3时，k值最大， 此时交点坐标为（3，3）， 因此，k的取值范围是2≤k≤9． 故选：B． 12．已知，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），下列判断正确的是（　　） A．该抛物线的开口方向向下 B．该抛物线与y轴交点可能在y轴负半轴上 C．该抛物线与x轴一定有交点 D．点P（m+2，y1）、点Q（m﹣2，y2）在该函数图象上，则y1＝y2 【答案】D 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，二次项系数a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，A选项错误． ∵当x＝0时，y＝m2+1≥1＞0， ∴抛物线与y轴交点在y轴正半轴，B选项错误． ∵判别式Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+1）＝﹣4＜0， ∴抛物线与x轴没有交点，C选项错误． ∵抛物线对称轴为直线x＝m，点P（m+2，y1）到对称轴的距离为|（m+2）﹣m|＝2，点Q（m﹣2，y2）到对称轴的距离为|（m﹣2）﹣m|＝2， ∴两点到对称轴距离相等，对应的函数值相等，即y1＝y2，D选项正确， 故选：D． 13．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象沿x轴翻折．若原函数图象的顶点、与x轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1）， 令y＝0，解得x＝3或x＝﹣1， ∴原函数与x轴两交点为（﹣1，0）和（3，0），两交点间距离为3﹣（﹣1）＝4，即四边形的一条对角线长为4． 对原二次函数配方，得y＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴原函数顶点坐标为（1，﹣4a）， ∵图象沿x轴翻折，翻折后顶点横坐标不变，纵坐标变号， ∴翻折后顶点坐标为（1，4a）， ∴两顶点之间的距离为|4a﹣（﹣4a）|＝|8a|，即四边形的另一条对角线长为|8a|． ∵四个点组成的四边形对角线互相垂直平分，若为正方形则对角线相等， ∴|8a|＝4， 解得， 故选：D． 14．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．43m D．77m 【答案】C 【解答】解：延长BA交MN于点C，则BC⊥MN， 由题意得，BC＝120m，MN＝73m， 在Rt△CNB中，∠CNB＝45°， ∴∠CNB＝∠CBN＝45°． ∴CN＝BC＝120m． ∴MC＝MN+CN＝73+120＝193（m）， 在Rt△AMC中，∠AMC＝22°， ∴AC＝MC•tan22°≈193×0.4＝77.2（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝120﹣77.2≈43（m）， 即潮汐塔AB的高度约为43m． 故选：C． 15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　） A．2 B．6﹣3 C．2 D．66 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6， ∴AB＝BC＝6， 根据折叠的性质得，AE⊥BF，BE＝EF， ∵∠B＝45°， ∴∠BAE＝90°﹣45°＝∠B， ∴AE＝BEAB＝3， ∴BF＝2BE＝6， ∴CF＝BF﹣BC＝66， 故选：D． 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，半径为5的⊙O与AC，BC分别相切于点E，F，与AB交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，连接OM，ON，OE，OF，OE，OF分别交AB于点P，点Q，过点O作OH⊥AB于点H， 则OE⊥AC，OF⊥BC， ∵∠ACB＝90°，OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴CE＝CF＝OE＝OF＝5， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AE＝8﹣5＝3，BF＝6﹣5＝1， ∵OE∥BC，OF∥AC， ∴△AEP∽△ACB，△BFQ∽△BCA， ∴，， 即，， 解得PE，QF， ∴OP＝5，OQ＝5， ∴PQ＝OP， ∵S△POQOP•OQPQ•OH，即OH， ∴OH， 在Rt△MOH中， MH， ∴MN＝2MH， 故选：D． 二．填空题（共14小题） 17．对于实数a，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当a＝﹣1时，a2＝　2　 ； （2）当a＝﹣2时，a+a1+a2+a3+⋯+a2026＝　　 ． 【答案】（1）2； （2）． 【解答】解：（1）当a＝﹣1时，， ； （2）当a＝﹣2时， ， ， ， 因此结果每3个数为一个循环周期， 一个周期内的和为， （2026+1）÷3＝675⋯⋯2， ∴原式 ． 18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交边BC于F． （1）当AE＝AB时，EF的长为　　 ； （2）EF长的最小值为　　 ． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）如图，连接AF交BD于点P， ∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠ABF＝∠AEF＝∠BAD＝90°， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴BF＝EF， ∴AF垂直平分BE， 又∵AD∥BC， ∴∠ABD+∠BAP＝∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠BAF＝∠ADB， ∴△ABF∽△DAB， ∴，即， 解得， ∴； （2）过点E作MN⊥BC，则MN⊥AD，四边形ABNM是矩形， ∴BN＝AM， ∵∠AEF＝∠AME＝∠FNE＝90°， ∴∠FEN+∠AEM＝∠MAE+∠AEM＝90°， ∴∠FEN＝∠MAE， ∴△AEM∽△EFN， ∴， ∵EN∥DC， ∴△BNE∽△BCD， ∴， ∴， ∵EF⊥AE， ∴AF2＝EF2+AE2＝5EF2， ∴当AF最小时，EF长最小， ∴当点F与点B重合时，EF长最小， ∴． 19．如图，等边△ABC的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且与CD相交于点F，则CD•CF的值为　　 ．（用含a的代数式表示） 【答案】． 【解答】解：∵等边△ABC的边长为a， ∴∠A＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝a， 在△DAC和△ECB中， ， ∴△DAC≌△ECB（SAS）， ∴CD＝BE，∠ACD＝∠EBC， 又∠FEC＝∠CEB， ∴△FEC∽△CEB， ∴， ∴， ∴， 故答案为：a2． 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣5，2），N（﹣1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′（n＞1）． （1）k的值为　﹣10　 ； （2）若在线段M′N′上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为　　 ． 【答案】（1）﹣10；（2）． 【解答】解：（1）∵点M（﹣5，2）反比例函数的图象上， ∴5． 解得k＝﹣10， 故答案为：﹣10； （2）∵k＝﹣10， ∴反比例函数的解析式为y， 如图，作射线ON，交y于点N′， 设ON的解析式为y＝mx， 把N（﹣1，2）代入得：2＝﹣m， 解得m＝﹣2， ∴ON的解析式为y＝﹣2x， 解方程﹣2x得x， 由于点N′在第二象限， ∴点N′（，2）， ∴n， 又∵n＞1， ∴1＜n， ∴n的最大值为， 故答案为：． 21．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点P、Q分别在AB、CD上，且AP：CQ＝2：3，连接PQ，若PQ的长度为，则AP的长度为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝AB＝6，CD∥AB， 过D作DE⊥AB于E，则∠DEA＝90°， ∵∠DAB＝60°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAB＝30°， ∴AEAD＝3， ∴DE3PQ， ∴PQ⊥AB， ∵DE⊥AB ∴DE∥PQ， ∴四边形DEPQ是平行四边形， ∴EP＝DQ， 设AP＝2x， ∵AP：CQ＝2：3， ∴CQ＝3x， ∴AE＝AP﹣EP＝2x﹣（6﹣3x）＝3，EP＝DQ＝CD﹣CQ＝6﹣3x， 解得， ∴， 故答案为：． 22．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是边AD上的一个动点，连接AC，CE，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE，AC于点G，H．有如下结论： ①CE⊥DF； ②DE＝AH； ③若，则； ④若M为AD中点，连接GM，则GM的最小值为33． 上述结论中，所有正确结论的序号是　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝6，E是边AD上的一个动点，连接AC，CE，在AB上截取AF＝DE， ∴AD＝CD＝AB＝6，∠DAF＝∠CDE＝90°， 在△DAF和△CDE中 ， ∴△DAF≌△CDE（SAS）， ∴∠ADF＝∠DCE， ∵∠DCE+∠CED＝90°， ∴∠ADF+∠CED＝90°， ∴∠DGE＝180°﹣（∠ADF+∠CED）＝90°， ∴CE⊥DF，故①正确； 由题意可得：∠HAF＝45°， ∵AF＝DE， 若DE＝AH，则AF＝AH， ∴， ∵题干中并未给出具体度数，故不能证明DE＝AH，则②错误； ∵， ∴DE＝2， ∴AF＝DE＝2． 在Rt△CDE中，． 在Rt△DAF中，， ∵∠DGE＝∠DAF＝90°，∠GDE＝∠ADF， ∴△DGE～△DAF． ∴， ∴△DGE∽△DAF， ∴， 即， ∴， ∵AB∥CD， ∴△AFH∽△CDH， ∴． ∴， ∴，故③正确； ∵∠DGC＝90°， ∴点G在以CD为直径的圆上． 设CD的中点为O′，则O′为圆心，半径r＝3， ∴DM＝3． ∵DO′＝3，DM＝3， ∴， ∵MO′＞r， ∴点M在圆外， ∴GM的最小值为，故④正确． 故答案为：①③④． 23．对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“两头和数”． （1）最小的“两头和数”是 　132　 ； （2）用“两头和数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m），若t是“两头和数”，且t的4倍与t的十位数字的2倍之和是5的倍数，则F（t）的最大值为 　24　 ． 【答案】（1）132； （2）24． 【解答】解：（1）由题知， “两头和数”是一个三位正整数，且百位上的数字小于个位上的数字， 又百位上的数字最小为1，则个位上的数字最小为2． 又百位与个位上的数字之和等于十位上的数字， 所以十位上的数字最小为3， 所以最小的“两头和数”是132． 故答案为：132． （2）令“两头和数”t的个位上数字为a，百位上数字为b，则十位上的数字为（a+b）．（b＜a） 所以t＝100b+10（a+b）+a＝110b+11a． 则4t+2（a+b）＝440b+44a+2a+2b＝442a+46b． 又此代数式是5的倍数，且末尾数字是0或5的数是5的倍数， 则b＝1时，a＝3或8，F（143）＝16﹣1﹣9＝6；F（198）＝81﹣1﹣64＝16． b＝2时，a＝6，F（286）＝64﹣4﹣36＝24． b＝3时，a＝4或9，其中a＝9舍去，F（374）＝49﹣9﹣16＝24． b＝4时，a＝7舍去． 又a+b≤9，且b＜a，故后面的情况都不存在． 所以F（t）的最大值为24． 故答案为：24． 24．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE的最大值是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：如图，连接PC， ∵△ABC是等边三角形，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∵E是AC边的中点，AB＝6， ∴EC＝3， 在△PCE中，CP﹣PE＜EC， ∴CP﹣PE＜3， ∴当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3， BP﹣PE的最大值是3． 故答案为：3． 25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝10，AC，BD交于点E，若，则BD＝　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴A、B、C在以AC为直径的圆上， ∵∠ADC＝90°， ∴A、D、C在以AC为直径的圆上， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠1＝∠2， ∵AB＝AC， ∴∠2＝∠3， ∵∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3＝45°， ∴∠1＝45°， ∴∠3＝∠1， ∴△BCE∽△BDC， ∴， ∴BC2＝BD•DE， ∵， 令DE＝x，BE＝2x， ∴BD＝3x， ∴BC2＝3x•2x＝6x2， ∵BC＝10， ∴6x2＝100， ∴x（负值舍去）， ∴BD＝5， 故答案为：5． 26．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图，连接AP，并延长交BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∵△MNP是等边三角形， ∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积MP2， ∵AM＝AN，AP＝AP， ∴△AMP≌△ANP（SSS）， ∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°， ∴∠AMP＝90°， ∴MPAM，AP＝2AM， ∴MPAP， ∴△MNP的面积AP2， ∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大， ∵∠B＝∠BAH＝60°， ∴△ABH是等边三角形， ∴AB＝AH＝6， ∵AM＝AN，MP＝NP， ∴点P在AH上运动， ∵点P始终在▱ABCD的内部或边上． ∴AP的最大值为AH的长， 即AP＝6， ∴AM＝AN＝3， ∴DN＝5， 故答案为：5． 27．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD，∠OAB＝75°，若CD恰好经过点A，且OC⊥OB，OA＝4，则AB＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：由旋转的性质得：OA＝OC、∠C＝∠OAB＝75°、∠AOB＝∠COD， ∴∠OAC＝∠C＝75°， ∴∠AOC＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵OC⊥AB， ∴∠COB＝90°， ∴∠AOB＝∠COB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠OAB﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣60°＝45°， 如图，作AF⊥OB于点F， 在Rt△AOF中，∠AOF＝60°，OA＝4， ∴∠OAF＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， 在Rt△ABF中，∠B＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 28．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，，连接BD，则BD+CD的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， 作BH⊥AC于点H，过点D作AC的平行线l，延长BH交直线l于点G， ∴∠CBH＝30°，AH＝CH＝3， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 延长BG到点B′，使，则点B′与点B关于直线l对称，连接B′C交直线l于点D′，连接BD′，则BD＝BD′， ∴BD+CD的最小值为B′D′+CD′＝B′C， 作B′F⊥BC交BC延长线于点F， ∵∠FBB′＝30°，， ∴， ∴， ∴CF＝12﹣6＝6， ∴． 29．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BE与AC交于点F，则△AEF与四边形CFED的面积之比是　1：5　 ． 【答案】1：5． 【解答】解：∵正方形ABCD，E是AD的中点， ∴，AD∥BC， ∴∠FAE＝∠FCB，∠AEF＝∠CBF， ∴△EAF∽△BCF， ∴，， ∴， 设S△AEF＝x，则S△ABF＝2x，S△BCF＝4x， ∴S△ABC＝S△ADC＝S△ABF+S△BCF＝6x， ∴S四边形CFED＝S△ADC﹣S△AEF＝5x， ∴S△AEF：S四边形CFED＝1：5， 故答案为：1：5． 30．如图，菱形ABCD中，，点E在边AD上，点F在对角线BD上，作AG⊥BE，EG∥AF交AG于点G．若，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AC，分别交BD，BE于点O，M，连接OG，OE，设BD，GE相交于点N， 在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵AG⊥BE，∠AME＝∠BMO， ∴∠OBE＝∠OAG， ∵，， ∴△OBE∽△OAG， ∴∠EOB＝∠GOA， ∴， ∴∠GOE＝∠AOB＝90°， ∴△AOB∽△GOE， ∴∠ABO＝∠GEO＝∠ADO， ∵AF∥GE， ∴∠AFD＝∠END， ∴∠ABF+∠BAF＝∠NEO+∠NOE， ∴∠BAF＝∠DOE， ∴△DOE∽△BAF， ∴， 设OA＝8x，则OB＝OD＝15x，AB＝17x， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共15小题） 31．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在抛物线y＝x2﹣2bx﹣4上． （1）若A为抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点； （ⅰ）求y1的最大值； （ⅱ）若直线y＝kx（k＞0）经过A，B两点，且OA＝OB．求k的值； （2）已知抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，t），若t＞0，x1＜x2，且，试比较y1，y2的大小，并说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）y1的最大值为﹣4，（ⅱ）k＝4； （2）y1＞y2，理由如下： ∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，t）， ∴（﹣1）2﹣2b×（﹣1）﹣4＝t， ∵t＞0， ∴1+2b﹣4＞0， ∴， ∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的对称轴为直线x＝b， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，且x1、x2的中点，又x1＜x2， ∴x1离对称轴的距离更远 ∴点A到对称轴x＝b的距离大于点B到对称轴x＝b的距离， ∴y1＞y2． 【解答】解：（1）（ⅰ）y＝（x﹣b）2﹣b2﹣4， ∴， ∴， ∴y1的最大值为﹣4； （ⅱ）由（ⅰ）可得：二次函数y＝x2﹣2bx﹣4图象的顶点为A（b，﹣b2﹣4）， 由条件可知点O，A，B三点共线， ∵OA＝OB， ∴A，B关于点O对称， ∴B（﹣b，b2+4）也在抛物线y＝x2﹣2bx﹣4上， ∴（﹣b）2﹣2b•（﹣b）﹣4＝b2+4， 解得b＝±2， ∴点A的坐标为（2，﹣8）或（﹣2，﹣8）， ∵k＞0，且直线y＝kx（k＞0）经过A，B两点， ∴k＝4； （2）y1＞y2，理由如下： ∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，t）， ∴（﹣1）2﹣2b×（﹣1）﹣4＝t， ∴1+2b﹣4＞0， ∴， ∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的对称轴为直线x＝b， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，且x1、x2的中点，又x1＜x2， ∴x1离对称轴的距离更远， ∴点A到对称轴x＝b的距离大于点B到对称轴x＝b的距离， ∴y1＞y2． 32．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（1，﹣2）和（2，﹣3）两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作CD∥y轴交直线l于点C，以CD为直径作⊙E，当⊙E与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′，过点H（﹣2，0）作HF⊥x轴，交直线l于点F，连接OF，问在⊙E′上是否存在一点P，使△OFP的面积最大？若存在，求出△OFP面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+1； （2）D（2，﹣3）； （3）存在，最大值为． 【解答】解：（1）把（1，﹣2）和（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴y＝x2﹣4x+1； （2）设D（d，d2﹣4d+1）（d＞0）， ∵CD∥y轴， ∴， ∴． ∵⊙E与y轴相切， ∴， 解得d1＝2，（舍去）， ∴D（2，﹣3）； （3）∵d＝2， ∴C（2，1）， ∵以CD为直径作⊙E，D（2，﹣3）， ∴E（2，﹣1）， ∵把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′， ∴E′（2，0）， ∵过点H（﹣2，0）作HF⊥x轴， ∴OH＝2，当x＝﹣2时，， ∴F（﹣2，3）， ∴FH＝3， ∴． 如图，过点E′作E′G⊥FO，交直线FO于点G，交⊙E′于点P′，连接FP′，OP′，则此时△OFP′的面积最大． ∵E′（2，0），⊙E′与y轴相切， ∴OE′＝P′E′＝2， ∵∠FHO＝∠OGE′＝90°，∠FOH＝∠E′OG ∴△FOH∽△E′OG， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即△OFP面积的最大值为． 33．如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，AB＝AC，∠ADB＝∠ABC，AD，BC的延长线交于点E． （1）求证：△ACE∽△BDE； （2）若BD⊥CD，求证：； （3）如图2，若AB＝10，，当的值最小时，求CD的长． 【答案】（1）∵AB＝AC，∠ADB＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACE＝∠BDE， ∵∠E＝∠E， ∴△ACE∽△BDE； （2）如图，作AH⊥AD于点A，交BD于点H， ∴∠DAH＝90°， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 由（1）得：△ACE∽△BDE， ∴∠CAE＝∠DBE， ∵∠AGD＝∠BGC， ∴△AGD∽△BGC， ∴， ∵∠AGB＝∠DGC， ∴△AGB∽△DGC， ∴∠BAG＝∠BDC＝90°， ∴∠BAH＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴AH＝AD，， 在△ABH和△ACD中， ， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴BH＝CD， ∴； （3）． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠ADB＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACE＝∠BDE， ∵∠E＝∠E， ∴△ACE∽△BDE； （2）证明：如图，作AH⊥AD于点A，交BD于点H， ∴∠DAH＝90°， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 由（1）得：△ACE∽△BDE， ∴∠CAE＝∠DBE， ∵∠AGD＝∠BGC， ∴△AGD∽△BGC， ∴， ∵∠AGB＝∠DGC， ∴△AGB∽△DGC， ∴∠BAG＝∠BDC＝90°， ∴∠BAH＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴AH＝AD，， 在△ABH和△ACD中， ， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴BH＝CD， ∴； （3）解：由（1）得：△ACE∽△BDE， ∴，∠CAE＝∠DBE， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠DCE＝∠BAD，∠CDE＝∠ABC， ∵AC＝AB＝10， ∴当BD最长时，最小， 此时BD为四边形ABCD外接圆的直径， ∴∠DCE＝∠BAD＝90°， ∴， 即， ∴，， ∴， 又∵， ∴设CE＝4x，CD＝3x， 则， ∴， ∴． 34．如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【答案】（1）a，D（﹣3，﹣8）； （2）y（x﹣7）2+8； （3）点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）． 【解答】解：（1）由y＝ax2+6ax+9a﹣8得y＝a（x+3）2﹣8， ∴顶点D的坐标为（﹣3，﹣8）， ∵点B（2，0）在抛物线C上， ∴0＝a（2+3）2﹣8， 解得：a； （2）如图1，连接DE，作DH⊥x轴于H，作EM⊥x轴于M， 根据题意，点D，E关于点B（2，0）成中心对称， ∴DE过点B，且DB＝EB， 在△DBH和△EBM中， ， ∴△DBH≌△EBM（AAS）， ∴EM＝DH＝8，BM＝BH＝5， ∴抛物线C1的顶点E的坐标为（7，8）， ∵抛物线C1由C绕点P旋转180°后得到， ∴抛物线C1的函数表达式为y（x﹣7）2+8； （3）∵抛物线C1由C绕x轴上的点P旋转180°后得到， ∴顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8， 设点E（m，8）， 如图2，作DH⊥x轴于H，EM⊥x轴于M，EN⊥DN于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴FG＝AB＝2BH＝10， ∴点H的坐标为（﹣3，0），点N的坐标为（m，﹣8）， 根据勾股定理得，EF2＝82+52＝89， 显然，△AEG和△BEG不可能是直角三角形， ①当△AEF是直角三角形时，显然只能有∠AEF＝90°， 根据勾股定理得： AE2＝AM2+EM2＝（m+8）2+82＝m2+16m+128， AE2＝AF2﹣EF2＝（m+13）2﹣89＝m2+26m+80， ∴m2+16m+128＝m2+26m+80， 解得：m， ∴OP（m+3）﹣3＝（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； ②当△BEF是直角三角形时，显然只能有∠BEF＝90°， 根据勾股定理得： BE2＝BM2+EM2＝（m﹣2）2+82＝m2﹣4m+68， BE2＝BF2﹣EF2＝（m+3）2﹣89＝m2+6m﹣80， ∴m2﹣4m+68＝m2+6m﹣80， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）， ③当△DEF是直角三角形时， DE2＝EN2+DN2＝162+（m+3）2＝m2+6m+265， DF2＝DH2+HF2＝82+（m+8）2＝m2+16m+128， i）当∠DEF＝90°时，DE2+EF2＝DF2， 即m2+6m+265+89＝m2+16m+128， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； ii）当∠DFE＝90°时，DF2+EF2＝DE2， 即m2+16m+128+89＝m2+6m+265， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； iii）∵DE＞EN＝16＞EF， ∴∠EDF≠90°， 综上所述，当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）． 35．问题发现 （1）如图①，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P在上，连接PA、PC，则sin∠APC＝　　 ； 问题探究 （2）如图②，已知CD是△ABC的中线，点E在AC上，连接BE，且∠ABE＝∠ACD，若，求AE的长度； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是某小区的一块空地，其中AB＝100米，BC＝50米，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，物业准备在空地内找一点P，分别修建四条小道PA、PB、PC、PD（小道的宽度不计），并在△PAD、△PCD、△PBC内分别种植不同的花卉，△PAB为生活娱乐区，根据物业公司规划要求，∠CPD＝45°，且小道AP与BP的比值尽可能小．是否存在满足要求的点P？若存在，请找出点P的位置，并计算的最小值，以及此时△PCD的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）AE＝4； （3）点P是DB为直径的圆与AC的交点，，此时△PCD的面积为750平方米． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴， ∵， ∴∠APC＝∠ABC， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接ED， ∵∠ABE＝∠ACD， ∴C，E，D，B四点共圆， ∴∠CBD+∠CED＝180°， ∵∠AED+∠CED＝180°， ∴∠AED＝∠ABC， 又∵∠EAD＝∠BAC， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∵，CD是△ABC的中线， ∴， ∴， 解得：AE＝4（负值舍去）； （3）如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD， ∵AB∥CD，∠ABC＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴∠DBC＝45°， ∵BC＝50， ∴CD＝BC＝50， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BCDE是矩形， 又∵CD＝CB， ∴四边形BCDE是正方形， 则BE＝CD＝50， ∵∠CPD＝45°＝∠DBC， ∴P在正方形BCDE的外接圆上运动，设圆心为O，连接CO， ∵AB＝100， ∴AE＝50， 延长AP交⊙O于点F，连接PE，BF，EF，AC，DF， ∵， ∴∠PFE＝∠PBE， ∵∠PAE＝∠BAF， ∴△APB∽△AEF， ∴，∠APB＝∠AEF， ∴， ∴当EF为圆的直径时，即C，F重合时，取得最小值， ∴， ∴， 此时如图所示， ∵∠DEC＝45°，∠AED＝90°， ∴∠AEC＝135°， ∴∠APB＝135°， 又∵， ∴∠APB+∠CPB＝180°， ∴A，P，C三点共线，即P在AC上， 过点P作PH⊥CD交CD的延长线于点H， ∵BC＝50，AB＝100， ∴在Rt△ABC中，， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠HCP＝∠CAB， ∴PH＝CP•sin∠HCP， ∵∠AEP+∠PEB＝180°，∠ACB+∠PEB＝180°， ∴∠AEP＝∠ACB， 又∵∠PAE＝∠BAC， ∴△PAE∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平方米， ∴点P是以DB为直径的圆与AC的交点，，此时△PCD的面积为750平方米． 36．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0），点B． （1）如图1，求c的值； （2）如图2，连接AB，点C是第一象限抛物线上的一点，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．设点C的横坐标为t，CD的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BC并延长交x轴于点E，点F是线段AD上一点，连接FC，OF，延长FC交x轴于点G，将线段OF绕点O逆时针旋转90°得到线段OH，过点H作HK∥FG交x轴于点K，若HK＝FG，且∠OBE＝∠OKH，求d的值． 【答案】（1）c＝4； （2）； （3）． 【解答】解：（1）将A（﹣4，0（代入抛物线yx2x+c得， 16（﹣4）+c＝0， 解得c＝4； （2）如图，过点C作CR∥y轴交AB的延长线于点R． ∵c＝4， ∴yx2x+4， ∵当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， ∵点C为抛物线yx2x+4上的一点，且点C的横坐标为t， ∴． 设直线AB的解析式为y＝mx+n， ∴， 解得， ∴y＝x+4， ∴R（t，t+4）， ∴． ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴∠R＝∠OBA＝45°． 在Rt△CDR中，， ∴； （3）如图，连接AH，连接FH交OA于点P，过点D作DQ⊥OB，垂足为点Q，令CD与OB的交点为T，连接FT． 由旋转的性质得，OF＝OH，∠FOH＝90°， ∵∠AOH+∠AOF＝90°，∠BOF+∠AOF＝90°， ∴∠AOH＝∠BOF． ∵OA＝OB，∠AOH＝∠BOF，OH＝OF， ∴△AOH≌△BOF（SAS）， ∴AH＝BF，∠OAH＝∠OBF＝45°． ∵HK∥FG， ∴∠PKH＝∠PGF，∠PHK＝∠PFG， 又∵HK＝FG， ∴△KPH≌△GPF（ASA）， ∴PH＝PF， 又∵OF＝OH，OP＝OP ∴△OPH≌△OPF（SSS）， ∴∠OPH＝∠OPF＝90°， ∴OP⊥FH， ∴AF＝AH， ∴AF＝AH＝BF， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB4， ∴BF＝AFAB＝2， ∵OP⊥FH， ∴FP∥BO， ∴△AFP∽△ABO， ∴， ∵OA＝OB， ∴AP＝PF， ∵AP2+PF2＝AF2， ∴AP＝PFAF＝2， ∴OP＝4﹣2＝2， ∴F（﹣2，2）． ∵∠OBE＝∠OKH＝∠AGF，∠OBA＝∠BAO＝45°， ∴∠OBE+∠OBA＝∠AGF+∠BAO， ∴∠CBF＝∠CFB， ∴CF＝CB， 又∵CD⊥BF， ∴， ∴BT＝FT， ∴∠BFT＝∠FBT＝45°， ∴∠BTF＝90°， ∴FT∥AO， ∴△BFT∽△BAO， ∴， ∴BT＝2， ∴TO＝2， ∴T（0，2）． ∵DQ⊥OB， ∴DQ∥FT， ∴△BDQ∽△BFT， ∴， ∵BT＝FT， ∴BQ＝DQ， ∵BQ2+DQ2＝BD2， ∴， ∴OQ＝OB﹣BQ＝3， ∴D（﹣1，3）． 设直线DT的解析式为y＝kx+b， ∴ 解得， ∴y＝﹣x+2． ∵在直线DT上， ∴． 解得t1＝1，（舍）， ∴． 37．已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）． （1）求证：抛物线与x轴必有交点； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x（a≠﹣1）上．当时，是一个与x1无关的定值． （i）求b的值； （ii）若点B是经由点A向右平移m个单位，向上平移n个单位得到，且满足，求n的最小值． 【答案】（1）∵y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）， 当y＝0时，得：ax2﹣bx＝0， ∵Δ＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2≥0， ∴ax2﹣bx＝0必有解， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）（i）b＝2； （ii）n＝﹣4． 【解答】（1）证明：∵y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）， 当y＝0时，得：ax2﹣bx＝0， ∵Δ＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2≥0， ∴ax2﹣bx＝0必有解， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）解：（i）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，将点A的坐标代入得： ∴y1； 点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上，将点B的坐标代入得： ∴y2， ∵， ∴， ∴， 则x2x1[（a+1）x2﹣2]＝x2x1（ax1﹣b）， ∴x1x2[（a+1）x2﹣2]＝x1x2（ax1﹣b）， ∵， ∴x1≠0，x2≠0，（当x1＝0，x2＝0，无意义）， ∵x1x2[（a+1）x2﹣2]＝x1x2（ax1﹣b）， ∴（a+1）x2﹣2＝ax1﹣b， ∴， ∴， ∵是一个与x1无关的定值． ∴， ∴﹣b+2＝0， ∴b＝2； （ii）∵点B（x2，y2）是经由点A（x1，y1）向右平移m个单位，向上平移n个单位得到， ∴x2＝x1+m，y2＝y1+n， ∵， ∴， ∴x2＝﹣x1， ∵点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上． ∴， ∵x2＝﹣x1， ∴y2， ∵y2＝y1+n， ∴， ∴， ∵b＝2， ∴， ∵1＞0， ∴的开口方向向上，在x1＝﹣2时，函数的最小值为n＝﹣4． 38．项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美﹣数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片，某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽OA＝60m，在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D1到OA中点E的距离ED1＝16m（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），ED1与水平塔架BC的投影B1C1相交于点F1，在同一时刻测得高21cm的测绘仪的投影长度为4cm． 数学公式备用：若P（x1，y1）、Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则线段PQ与抛物线围成“弓形PQ”的面积为：． 数学建模：以O为坐标原点，OA为x轴的正方向建立平面直角坐标系，点A的坐标为（60，0）． 探究问题： （1）桥塔的高度DE＝　84cm ； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若此时测得EF1＝12m， ①求水平塔架BC的长度； ②设“弓形BC”的面积为S1，四边形OACB的面积为S2，记，请直接写出k值． 【答案】（1）84cm； （2）抛物线的函数表达式； （3）①BC＝30cm；②． 【解答】解：（1）∵在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D1到OA中点E的距离ED1＝16m（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），在同一时刻测得高21cm的测绘仪的投影长度为4cm， ∴， 解得DE＝84cm， 故答案为：84cm； （2）∵桥塔底部宽OA＝60m，在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D1到OA中点E， ∴A（60，0），D（30，84）， 设抛物线的函数表达式y＝ax2+bx+c， 代入A（60，0），D（30，84），O（0，0）可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （3）①由题意可得， ∵EF1＝12m， ∴EF＝63m， 当时，解得x1＝15，x2＝45， ∴B（15，63），C（45，63）， ∴BC＝45﹣15＝30cm； ②由题意可得“弓形BC''的面积为， 四边形OACB的面积为， ∴． 39．解决下列问题： 问题探究 （1）如图1，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△ABP面积的最大值　9　 ； （2）如图2，△ABC与△BDE都为等边三角形，当CE⊥BD时，求∠ADB的度数； 问题解决： （3）如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD，其中BC＝400米，∠DCB＝45°，AB⊥BC且，AC和BD是两条小路，AC和BD的交点为点E，其中△BCE区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点B、C、E围成的三角形面积最大，求△BCE面积的最大值．（结果保留根号） 【答案】（1）9； （2）30°； （3）． 【解答】（1）解：如图1，连接OP，过点P作PZ⊥AB于点Z， 则， ∴PZ≤OP＝3， ∴当点Z与点O重合时，点P到AB距离的最大值是3，此时△ABP的面积最大， ∴△ABP面积的最大值为． 故答案为：9； （2）解：∵△ABC与△BDE都为等边三角形， ∴BC＝BA，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠ADB＝∠CEB， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°﹣∠DBE＝30°， ∴∠ADB＝30°； ∵△ABC与△BDE都为等边三角形， ∴BC＝BA，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠ADB＝∠CEB， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°﹣∠DBE＝30°， ∴∠ADB＝30°； （3）解：如图3，过点D作DF⊥DC交BC于点F，连接AF， ∵∠BCD＝45°， ∴△CDF为等腰直角三角形， ∴DF＝DC，∠DFC＝45°， ∴， ∵， ∴FC+AB＝BC， ∵FC+BF＝BC， ∴AB＝BF， ∵∠ABC＝90°， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∴∠AFB＝45°， ∴， ∴， ∵∠AFB＝∠DFC＝45°， ∴∠BFD＝∠AFC， ∴△BFD∽△AFC， ∴∠FBD＝∠FAC， ∵∠FAC+∠ACF＝∠AFB＝45°， ∴∠FBD+∠ACF＝45°， ∴∠BEC＝135°， ∵BC＝400米， ∴如图3，作△BEC的外接圆，记为⊙O，连接OE、OB、OC，过点O作OK⊥BC于K，交于点E′，过点E作EH⊥BC于点H，过点O作ON⊥EH交EH延长线于点N， 则∠OKH＝∠KHN＝∠N＝90°， ∴四边形KONH为矩形， ∴NH＝OK， ∵∠BEC＝135°， ∴∠BOC＝360°﹣2∠BEC＝90°， ∴△BOC为等腰直角三角形， ∴，（米）， ∵（米）， ∴， 当点E，E′重合时，EH取最大值，最大值即为E′K的长，此时△BCE的面积最大， ∴， 即△BCE面积的最大值为． 40．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+6交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，且OA＝OB． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点C在AB上，过点C作AB的垂线，交OB于点E，交x轴于点D，连接OC，设点D的横坐标为t，△OCD的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在AO上，连接CF和EF，CF＝EF，点G是AF的中点，连接CG，∠ACG+2∠OCD＝45°，过点E作CF的平行线交OF于点H，延长CO到点K，点K的纵坐标为﹣t，点P在第四象限，连接DP、HP、KP，∠DPK＝90°，PH平分∠DPK，求点P的坐标． 【答案】（1）k＝1； （2）； （3）． 【解答】解：（1）直线y＝kx+6交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，且OA＝OB， 当x＝0时，得：y＝6， ∴点B的坐标为（0，6）， ∴OB＝6， ∴OA＝OB＝6， ∴点A的坐标为（﹣6，0）， 将点A的坐标代入y＝kx+6得： ﹣6k+6＝0， 解得：k＝1； （2）如图2，过点C作CM⊥AD交AD于点M， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CDA＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD， ∴AC＝CD， ∴△ACD为等腰直角三角形， ∵CM⊥AD， ∴AM＝MD，∠CMD＝90°， ∴∠MCD＝90°﹣∠CDA＝45°＝∠CDA， ∴MC＝MD， ∵点D的横坐标为t， ∴OD＝t，AD＝OA+OD＝6+t， ∴， ∴； （3）设∠FCE＝α， ∵CF＝EF， ∴∠CEF＝∠ECF＝α，∠EFC＝180°﹣∠CEF﹣∠ECF＝180°﹣2α， ∵∠DCM＝45°， ∴∠FCM＝∠FCE﹣∠DCM＝α﹣45°， ∵∠CFM＝90°﹣∠FCM＝135°﹣α， ∴∠EFM＝∠CFM﹣∠CFE＝α﹣45°， ∴∠FCM＝∠EFO， 在△CMF和△FOE中， ， ∴△CMF≌△FOE（AAS）， ∴OF＝CM，OE＝MF， 设∠OCD＝β， ∵∠ACG+2∠OCD＝45°， ∴∠ACG＝45°﹣2β， ∴∠CGO＝∠CAO+∠ACG＝90°﹣2β，∠GCO＝∠ACD﹣∠ACG﹣∠OCD＝45°+β， ∴∠GOC＝180°﹣∠CGO﹣∠GCO＝45°+β， ∴∠GCO＝∠GOC， ∴OG＝GC， 由（2）可知：OD＝t，AD＝OA+OD＝6+t，， ∴， ∴， ∵G为AF中点， ∴， ∴， ∴， 在Rt△GCM中，由勾股定理得：MG2+MC2＝GC2， ∴， 解得：t1＝2，t2＝﹣6（不合题意，舍去）， ∴OF＝4，OD＝2， ∴FD＝OF+OD＝6，OE＝OD＝2，CM＝4， ∴， ∵OE∥CM， ∴E为CD的中点， ∵EH∥CF， ∴， ∴， ∴OH＝HD﹣OD＝1， 如图3，过点H作HP的垂线交PK延长于V，过点H作x轴的垂线交KV于W， ∵∠DPK＝90°，PH平分∠DPK， ∴∠HPD＝∠HPK＝45°， ∵∠VHP＝90°， ∴∠HVP＝90°﹣∠HPK＝45°， ∴HV＝HP， ∵∠VHW+∠WHP＝90°，∠DHP+∠WHP＝90°， ∴∠VHW＝∠DHP， ∵∠V＝∠HPV＝45°， ∴△HWV≌△HDP（ASA）， ∴HW＝HD＝3， 过点K作KR⊥HW于点R，交y轴于Q， ∵K的纵坐标为﹣t， ∴OQ＝2， ∴tan∠KOQ＝tan∠OCM， ∴， ∴KQ＝1， ∵RQ＝HO＝1， ∴RK＝2， ∴RW＝HW﹣HR＝HW﹣OQ＝1， 过点P作x轴的垂线，垂足为N交RK的延长线于点L， ∵∠PKL＝∠WKR， ∴， ∴KL＝2PL， 设PL＝n，则KL＝2n， ∵∠DPN＝∠PKL， ∴tan∠DPN＝tan∠PKL， ∴， ∵PN＝2﹣n， ∴， ∵QL＝ON， ∴QK+KL＝OD+DN， ∴， ∴， ∴． 41．综合与探究 已知△ABC中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D． 【初探】（1）如图1，若∠B＝90°，AB＝BC，AE＝CF，过点E作EG∥BF交AC于点G． ①求证：△DGE≌△DCF； ②求证：； 【再探】（2）如图2，若∠B＝90°，AB＝2BC，AE＝2CF，探究CD与BE之间的数量关系； 【深探】（3）如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，AB＝8，AE＝2，BC＝4CF，当点C从点B运动到点A，请直接写出点D的运动路径的长． 【答案】（1）①∵AB＝BC，∠B＝90°， ∴． ∵EG∥BF， ∴∠AEG＝∠B＝90°，∠GED＝∠F，∠AGE＝∠ACB． ∴∠AGE＝∠A． ∴AE＝GE． 又∵AE＝CF， ∴GE＝CF． 在△DGE和△DCF中， ∵∠GED＝∠F，∠GDE＝∠CDF，GE＝CF， ∴△DGE≌△DCF（AAS）． ②如图所示，过点D作BF的垂线，交BF于点H． ∵△DGE≌△DCF， ∴DE＝DF． ∴EF＝2DF． ∵DH⊥BF， ∴∠DHF＝90°． ∴∠DHF＝∠B＝90°． 又∵∠F＝∠F， ∴△DHF∽△EBF． ∴． ∴BE＝2DH． ∵． ∴． （2）如图所示，过点E作AB的垂线，交AC于点G，过点D作BF的垂线，交BF于点H． ∵GE⊥AB， ∴∠AEG＝90°． ∴∠AEG＝∠B＝90°． 又∵∠A＝∠A， ∴△AEG∽△ABC． ∴． ∴AE＝2GE． 又∵AE＝2CF， ∴GE＝CF． 同（1）可证得△DGE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝DF． 同（1）可证得BE＝2DH． ∵∠DHC＝∠B＝90°，∠ACB＝∠DCH＝90°， ∴△ACB∽△DCH． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）． 【解答】（1）证明：①∵AB＝BC，∠B＝90°， ∴． ∵EG∥BF， ∴∠AEG＝∠B＝90°，∠GED＝∠F，∠AGE＝∠ACB． ∴∠AGE＝∠A． ∴AE＝GE． 又∵AE＝CF， ∴GE＝CF． 在△DGE和△DCF中， ∵∠GED＝∠F，∠GDE＝∠CDF，GE＝CF， ∴△DGE≌△DCF（AAS）． ②如图所示，过点D作BF的垂线，交BF于点H． ∵△DGE≌△DCF， ∴DE＝DF． ∴EF＝2DF． ∵DH⊥BF， ∴∠DHF＝90°． ∴∠DHF＝∠B＝90°． 又∵∠F＝∠F， ∴△DHF∽△EBF． ∴． ∴BE＝2DH． ∵． ∴． （2）解：如图所示，过点E作AB的垂线，交AC于点G，过点D作BF的垂线，交BF于点H． ∵GE⊥AB， ∴∠AEG＝90°． ∴∠AEG＝∠B＝90°． 又∵∠A＝∠A， ∴△AEG∽△ABC． ∴． ∴AE＝2GE． 又∵AE＝2CF， ∴GE＝CF． 同（1）可证得△DGE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝DF． 同（1）可证得BE＝2DH． ∵∠DHC＝∠B＝90°，∠ACB＝∠DCH＝90°， ∴△ACB∽△DCH． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如图所示，过点E作BC的平行线，交AC于点G，取BE的中点为点H，连接DH. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵GE∥BC， ∴△AEG∽△ABC． ∴． ∴BC＝4GE． 又∵BC＝4CF， ∴GE＝CF． ∵GE∥BC， ∴∠GED＝∠F． 在△DEG和△DFC中， ∠GED＝∠F，∠GDE＝∠CDF，GE＝CF， ∴△DEG≌△DFC（AAS）． ∴DE＝DF． 又∵EH＝HB， ∴DH∥BC． ∴∠ADH＝∠ACB＝90°． ∴点D的运动轨迹为以AH为直径的半圆． ∴点D的运动路径的长． 42．探索四边形与矩形中的角度及边长关系． 问题提出： （1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝10，BC＝8，AD＝DC，∠ADC＝2∠ABC＝120°，求四边形ABCD的对角线BD的长； 问题解决： （2）如图②，矩形ABCD为某公园内的一片空地，现计划将此区域修建为园林景观，其中将△BPC区域建设为池塘，四边形PEGF区域放置假山，其余区域种植花草树木．已知，BC＝60m，G为AD的中点，∠BPC＝2∠EPF＝2∠EGF＝120°，PE＝PF．根据设计要求，需将假山区修建的尽可能小．试问四边形PEGF面积是否存在最小值？若存在，求出四边形PEGF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形PEGF的面积存在最小值，最小值为． 【解答】解：（1）∵∠ADC＝2∠ABC＝120°， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠A+∠BCD＝180°， 如图①，AD＝CD，∠ADC＝120°，将△ABD绕点D逆时针旋转120°得到△CED，则∠BCD+∠ECD＝∠BCD+∠A＝180°， ∴B、C、E三点共线， ∴∠BDE＝120°，BD＝DE， ∴△BDE为等腰三角形， ∵∠BDE+∠DBE+∠DEB＝180°， ∴∠DBE＝∠DEB（180°﹣120°）＝30°， 过点D作DF⊥BE，垂足为F， ∴∠BDF＝60°， ∵CE＝AB＝10，BC＝8， ∴BE＝BC+CE＝18， ∴， 在直角三角形BDF中，； （2）四边形PEGF面积存在最小值； 如图②，连接GP将△GFP绕点P逆时针旋转60°，得到△G′EP，连接GG′， ∵EP＝FP，， ∴点E与点F对应，点G与点G′对应， ∴G′P＝GP，∠G′PG＝∠EPF＝60°， ∴△GG′P为等边三角形， ∵2∠EGF＝120°， ∴∠EGF＝60°， ∴∠GEP+∠GFP＝240°， ∴∠G′EG＝120°， ∴（S四边形PEGF）min＝（S四边形PG′EG）min＝（S△G′PG）min﹣（S△G′EG）max， 作△G′EG的外接圆O，过点O作OM⊥GG′，垂足为M，过点E作EN⊥GG′，垂足为N，连接EO、NO， 当N、M两点重合时有NOmin＝MO，此时NEmin＝EO﹣MO， ∴此时， 作△BPC的外接圆O′，过点G作GI⊥BC，垂足为I，交圆O′于点K，过点P作PH⊥BC，垂足为H，连接O′P、O′I， ∵PG≥GI﹣PH， ∴当G、P、H三点共线时有PGmin＝GI﹣PH， ∵点G为AD的中点， ∴O′I⊥BC， ∴PH≤PO′﹣O′I， ∴当P、H、O′三点共线时有PHmax＝PO′﹣O′I， 此时，G、P、H、O′四点共线， ∴PGmin＝GI﹣PHmax＝GI﹣PO′+O′I＝GI﹣KI， 连接BO′、BK， ∵∠BPC＝120°， 易得∠KO′B＝60°， ∴△BO′K为等边三角形， ∵BC＝60m， ∴BI＝30m， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形PEGF的面积存在最小值，最小值为． 43．问题探究 （1）如图①，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝4，则线段CM的长为　5　 ； （2）如图②，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，求线段AP的最小值； 问题解决 （3）如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地ABCD，用于班级种植，EF是两个工具房，分别在AB，CD边上，且CF＝2BE，沿EF铺设一条运送通道，再从点A铺设一条垂直于EF的小路AM，在点M处修一个肥料存放点，点C处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点M处获取肥料，需要沿CM铺设一条小路，要求CM尽可能的短，已知AB＝50m，BC＝40m．请问CM是否存在最小值？若存在，求出CM的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】（1）5； （2）2； （3）CM存在最小值，为． 【解答】解：（1）∵DE是△ABC的中位线，BC＝4， ∴，DE∥BC， ∴△BMF∽△DEF， ∴， ∵DF＝2BF， ∴， ∴BM＝1， ∴CM＝BM+BC＝1+4＝5， 故答案为：5； （2）∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，即∠PCA+∠PCB＝90°， ∵∠PCA＝∠PBC， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°， 则动点P是在以BC的中点为圆心，BC的长为直径的圆上，且在△ABC内部的圆弧上， 如图②，以BC的中点O为圆心，OC为半径画圆弧交AB于点Q，连接AO，交圆弧于一点，即为点P，此时线段AP的值最小， ∵BC＝6， ∴， 在Rt△ACO，∠ACB＝90°，AC＝4， 由勾股定理得：， ∴AP＝AO﹣OP＝5﹣3＝2， 则线段AP的最小值为2； （3）CM存在最小值；理由如下： 如图③，延长FE、CB相交于点G，连接AG，点O是AG的中点，作ON⊥GB， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABG＝90°，AB∥CD， ∴△GBE∽△GCF， ∴， ∵CF＝2BE，BC＝40m， ∴，即， 解得：GB＝40（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∵AM⊥EF，即∠AMG＝90°， ∴动点M的运动轨迹是以点O为圆心，AG为直径的圆弧上， 以点O为圆心，AG为直径作圆弧，连接OC，交圆弧于一点，即为点M，此时CM的值最小， 在Rt△ABG中，GB＝40m，AB＝50m， 由勾股定理得：（m）， ∴m， ∵ON⊥GB， ∴m， 在Rt△OGN中，由勾股定理得：ON25（m）， ∵CN＝GB+BC﹣GN＝60m， 在Rt△ONC中，由勾股定理得：OC65（m）， ∴CM＝OC﹣OM＝（65﹣5）m， 则CM存在最小值，最小值为（65﹣5）m． 44．（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F，交BC于点E．求证：△ABE∽△BCD； （2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点D作AF⊥DG交BC于点G，，探究的值； （3）拓展：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和BC上的点，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求的值． 【答案】（1）证明：∵AE⊥BD， ∴∠EFB＝90°， ∴∠FBE+∠FEB＝90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠FBE+∠BDC＝90°， ∴∠FEB＝∠BDC， ∴△ABE∽△BCD． （2）； （3）或． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BD， ∴∠EFB＝90°， ∴∠FBE+∠FEB＝90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠FBE+∠BDC＝90°， ∴∠FEB＝∠BDC， ∴△ABE∽△BCD． （2）解∵BG＝GE，， 设AB＝6a，BC＝11a，BG＝GE＝x， ∵CE＝11a﹣2x＞0， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，∠ABE＝90°，CD＝AB＝6a， ∴∠CGD+∠CDG＝90，∠ABE＝∠C， ∵AF⊥DG， ∴∠GFE＝90°， ∴∠CGD+∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠GDC， ∴△AEB∽△GDC， ∴， ∴， ∴x＝2a或x＝9a（与矛盾，舍去）， ∴； （3）解：作EM⊥BC于点M，则∠EMB＝∠EMF＝90°， ∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝90°＝∠EMF， ∴四边形ABME为矩形， ∴EM＝AB＝3， 根据题意可知，点P和点Q关于直线EF对称， ∴EF⊥PQ， ∴∠CPQ+∠PFE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CPQ+∠CQP＝90°， ∴∠MFE＝∠CQP， ∴△EMF∽△PCQ， ∴， ∵BC＝6，点P为BC边上的三等分点， ∴或， ∴或， ∴或． 45．冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：BC段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道BC上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹CD在空中飞行，BC段的抛物线与CD段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以OC为y轴，水平面OA为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知AB⊥OA，OC⊥OA，跳台高AB是8m，OA长度10m，OC高度6m，BC段的抛物线最低点到y轴的距离为4m． （1）求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ （2）为了安全着想，利用斜坡CE的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为6.4m，求落点到OC的水平距离？ 【答案】（1）7.6米； （2）12m． 【解答】解：（1）∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出， ∴C坐标为（0，6）． ∵AB⊥OA，OC⊥OA ∴B坐标为（﹣10，8）． ∵BC段的抛物线最低点到y轴的距离为4m． ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+4）2+c． 依题意，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ∵BC段的抛物线与CD段的抛物线关于点C（0，6）成中心对称， ∴CD段的抛物线的顶点坐标（4，7.6）， ∴CD段的抛物线的函数解析式：． ∴飞行过程中最大高度为7.6米． （2）∵小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为6.4m， ∴小华在斜坡上的落点高度为7.6﹣6.4＝1.2m， 令， 解得x1＝12，x2＝﹣4（舍去）． 答：落点到OC的水平距离是12m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $