【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-4）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-4） 一．选择题（共15小题） 1．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在0℃至50℃的气温，水资源及光照充分的条件下，得出光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率均随温度的变化而变化（如图），下列说法（仅考虑温度影响）不正确的是（　　） 小贴士 当呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率时，呼吸作用成为植物的主要活动，植物无法生长． A．光合作用产氧速率是温度的函数 B．随着温度升高，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小 C．为了避免植物无法生长，可以将温度设定在5℃～40℃之间 D．最适合草莓的生长温度约为35℃ 2．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（　　） A．若图象经过点（0，1），则a＜0 B．若x时，则y随x的增大而增大 C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2 D．若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则m＜2 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是射线BC上一动点，连接AP并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PA′，连接AA′，取AA′的中点Q，再连接PQ，A′C，CQ，DQ．则下列说法正确的是（　　） A．DQ的最小值为2 B．CQ+DQ的最小值为 C．A′C的最小值为 D．PQ+DQ的最小值为 4．正方形ABCD，AB＝4cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发，以的速度沿OC、边CB向终点B运动；动点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．当t＝1s时，点P，Q的位置如图所示．有下列结论：①当t＝3s时，△CPQ的面积为；②在运动过程中，△CPQ的面积随t值的增大而增大；③在运动过程中，t有两个不同的值满足△CPQ的面积为，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图1，△ABC中，动点P从B点出发向点C运动，连接AP，设BP的长为x，AP的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则△ABC的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（　　） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当﹣2＜x＜﹣1时，﹣a＜y＜﹣b 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 t … y＝ax2+bx+c … m p 3 p n … 其中m，n，p为常数，且m＞p．有下列四个结论： ①ac＜0；②0和1是方程ax2+bx+c﹣3＝0的两个根；③；④若t＞3，则m＜n． 其中正确的结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的几组对应值如下表：则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） x … ﹣4 ﹣2 0 1 3 … y … ﹣21 ﹣5 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当x＞3时，y的值随x值的增大而增大 C．图象不经过第四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 9．如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）图象经过A（0，4）、B（20，3）两点，h的值在下列数字中可能为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 11．如图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的，圆B中的阴影部分面积占圆B面积的，圆C中的阴影部分面积占圆C面积的，则圆A、圆B、圆C的面积之比为（　　） A．20：15：1 B．20：13：5 C．18：12：1 D．18：13：5 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8．将△ABC绕点B旋转得到△DBE，分别取AD，BC的中点P，Q，则PQ的最大值是（　　） A．1 B． C．15 D．16 13．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，点E为边BC的中点，点F为边AB上的一动点，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转60°，得到EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 14．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠CDB＝90°，对角线AC，BD交于点E，若AB＝AC，AE＝2EC，且CD＝1，则AB的长为（　　） A． B．2 C． D． 15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＜0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≤a+b；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二．填空题（共15小题） 16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°，若点D是BC边上的“豫点”，则线段CD的长为　 　 ． 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是射线AD上一点，F是射线BC上一点，且BF＝4AE，连接AF，BE交于点G，连接CG，当BG+CG的值最小时，△ABG的面积为　 　 ． 18．我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成m×n，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数A为“和九数”，并把数A分解成A＝m×n的过程，称为“和九分解”．例如：因为1188＝33×36，33和36的十位数字相同，个位数字之和为9，所以1188是“和九数”，1188分解成1188＝33×36的过程就是“和九分解”．按照这个规定，最大的“和九数”是　 　 ．把一个“和九数”A进行“和九分解”，即A＝m×n，若F（A）＝m+n+1，G（A）＝|m﹣n|，令，若H（A）能被3整除，则满足条件的自然数A的最大值为　 　 ． 19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，点A，B均在格点上，且∠ABC＝90°． （Ⅰ）线段AB的长等于 　 　 ； （Ⅱ）若D为圆与网格线的交点，P为边AC上的动点，当DP+PB取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 20．如图，矩形ABCD中，点A（﹣2，0），B（4，0），C（4，5），点P为x轴上一个动点，以CP为对称轴将△CPB折叠得到△CPQ，点B的对应点为点Q，当点Q落在y轴上时，点P的坐标为　 　 ． 21．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，BC＝3，点E为边AB上的动点，点F为边BC上的动点，将△BEF沿EF折叠，使得点B的对应点B′落在线段DA的延长线上，当△AB′E为直角三角形时，BE的长为 　 　 ． 22．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°．AC与BD交于点E，且DE＝8，BE＝4，四边形ABCD的面积为　 　 ． 23．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、Q分别是边AD、BC上的动点，且PQ⊥BE交BE于点F，则BP+QE的最小值为　 　 ． 24．如图，正方形ABCD边长为4，E为边AD上一点，连接对角线BD，过点E作EF⊥AD交BD于点F，连接BE，取BE的中点为G，则GF的最小值为　 　 ． 25．用电阻值分别为R1、R2、R3、R4（R1＞R2＞R3＞R4）的电阻组装成一个如图的组件，要使该组件总电阻值最小，则？处应该安装的电阻的阻值为　 　 ． 26．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为 　 　 ． 27．已知反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点，过点C作AB∥y轴分别交两个图象于点A，B．连接OA，OB，若，则k的值为　 　 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过▱ABCD的顶点B，AB交y轴于点E，AB∥x轴，F为CD边上一点，AE：CF：DF＝1：2：3，连结FA并延长交x轴于点G，连结DG． （1）设△ADF的面积S1，四边形ABCF的面积为S2，则S1：S2的值为 　 　 ； （2）当△ADG的面积为3时，k的值为 　 　 ． 29．如图，四边形AOBC的边OA与y轴的正半轴重合，BC垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形AOBC的对角线AB，OC的交点D． （1）若D（4，3），则sin∠BOC＝　 　 ； （2）若的面积为2，则k的值为 　 　 ． 30．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是边AC上的点，E为BD的中点．若AC＝2，∠DEC＝45°．则： （1）CE的长为　 　 ； （2）的值为　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．【综合与实践】 【问题背景】 在矩形ABCD中，E是射线BC上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为F，射线BF交射线DC于点G，且． 【观察猜想】 （1）如图1，当n＝1，且点E在BC延长线上时： ①CG与CE的数量关系为　 　 ； ②若F是DE中点，则∠E的度数是　 　 ． 【类比探究】 （2）如图2，当，且点E在BC延长线上时，请根据题意补全图形（无需尺规作图）；并通过计算判断（1）中的两个结论是否仍然成立． 【拓展应用】 （3）若，当DG＝2CG时，直接写出BE的长． 32．问题提出 （1）如图①，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最小值为 　 　 ； 问题探究 （2）如图②，P是正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝6，求AP的最小值； 问题解决 （3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝3千米，千米，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD区域的面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△APD的最小面积；若不存在，请说明理由． 33．已知抛物线y＝ax2﹣bx﹣3（a≠0）经过点（4，﹣3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2﹣bx﹣3和y＝x2﹣x上（A，B与原点都不重合）． ①若，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； ②当时，若是一个与x2无关的定值，求a与b的值． 34．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． （1）若点C的坐标为（0，3），求该抛物线的顶点坐标； （2）当BC＝AB时，求b的值； （3）若点D（b﹣2，y）为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接DN，BM，当DN+BM的最小值为17时，求b的值． 35．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到△APQ，点B，C的对应点分别为点P，Q．QP的延长线交BC于点M． （1）试判断BM与PM的数量关系，并证明； （2）当AQ∥BC时，如图2，连接CQ，射线BP交CQ于点N． ①请判断CN与NQ的数量关系，并证明； ②若△ABC的两直角边的比为4：3，请直接写出的值． 36．综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，当点E落在线段AD上时，连接GD交EF于点H，连接BH，BE，BD． 特例探究 （1）请直接写出线段BE、HE与GD之间的数量关系　 　 ； 探索发现 （2）如图2，当点E落在对角线BD上时，连接AF交DG于点P，小明发现AF垂直平分GD，请你证明这个结论； 拓展延伸 （3）在矩形ABCD旋转的过程中，当E，D，F三点在同一条直线上时，连接GD，线段GD与线段AE所在的直线相交于点M．若AB＝3，AD＝5，请直接写出此时AM的长． 37．问题探究： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线l，再分别过点A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则图中的相似三角形是　 　 ； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，在点E的运动过程中，求CF的最大值？ （3）问题解决：如图③，某科创园区正在搭建一个沉浸式户外投影秀场，场地为一块五边形的数字艺术画布，经测绘，AE＝AB＝30米，BC＝40米，CD＝12米，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，．为了实现动态光影效果，技术人员在画布的AB、BC边设置了可移动激光点M、N，沿MN虚拟折叠后，点B的虚拟投影点P恰好落在预设光路BQ上，延长NP交AE于F．为了让核心投影区域（四边形AMPF）的视觉效果最佳，需要其面积最大．求此时折痕MN的长度． 38．问题提出 （1）如图1，点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为3，且OA＝5，则点P到点A的最短距离为　 　 ； 问题探究 （2）如图2，在等边△ABC中，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CA方向向终点C和A运动，连接AM和BN交于点P，请判断∠APB的大小是否发生变化，若不变，求出∠APB度数；若改变，请说明理由； 问题解决 （3）如图3所示，有一块四边形公园ABCD，C为儿童游乐区，B、D为公园的出入口，BD为连接出入口的一条主步行道，其中△ABD为花海观赏区，△BCD为休闲娱乐区．已知AB＝AD，AD∥BC．∠BAD＝120°，∠BCD＝90°，米，为了提升游客的观赏体验，现准备在BD、AD上分别修建凉亭M、N，步道AM、BN，并在步道AM、BN的交点处建立观景台P，满足，且儿童游乐区C到观景台P的距离最短． 请问：是否存在满足要求的点P？若存在，求此时CP的长；若不存在，请说明理由．（道路的宽、观景台、儿童游乐区、凉亭及出入口的大小均忽略不计） 39．【问题提出】 （1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线l，在l上任取一点D（不与点A重合）连接BD、CD，则∠BAC　 　 ∠BDC（填“＞”“＜”或“＝”）； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点，当∠BEC最大时，求cos∠BEC的值； 【问题解决】 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由． 40．如图，已知BC是⊙O的直径，A在⊙O上，点D是△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线EG∥AC． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若，BC＝6， ①求AB的长； ②直接写出DF的长度：　 　 ． 41．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝8，AC＝6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE． （1）如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE＝2时，则　 　 ； （2）如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长； （3）如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长． 42．在矩形ABCD中，E是边AB上一点，以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形EBFG，使得，连接DG． 【特例发现】 （1）如图1，当k＝1时，　 　 ； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形EBFG绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜30°），连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形EBFG在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D，G，F三点共线．若，BE＝3，请直接写出AE的长． 43．如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． （1）若m＝2，求顶点D的坐标及线段AB的长； （2）连接AC，BC，DC，若∠ACB＝∠BCD，求点C的坐标． 44．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在抛物线y＝x2﹣2bx﹣4上． （1）若A为抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点； （ⅰ）求y1的最大值； （ⅱ）若直线y＝kx（k＞0）经过A，B两点，且OA＝OB．求k的值； （2）已知抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，t），若t＞0，x1＜x2，且，试比较y1，y2的大小，并说明理由． 45．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B（1，0），C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）当m﹣2≤x≤m+1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形且A，B，Q三点不共线？若存在，求出△ABQ的面积；若不存在，说明理由． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-4） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B B A D C D B A A 题号 12 13 14 15 答案 D B A D 一．选择题（共15小题） 1．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在0℃至50℃的气温，水资源及光照充分的条件下，得出光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率均随温度的变化而变化（如图），下列说法（仅考虑温度影响）不正确的是（　　） 小贴士 当呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率时，呼吸作用成为植物的主要活动，植物无法生长． A．光合作用产氧速率是温度的函数 B．随着温度升高，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小 C．为了避免植物无法生长，可以将温度设定在5℃～40℃之间 D．最适合草莓的生长温度约为35℃ 【答案】C 【解答】解：根据光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的曲线相关信息逐项分析判断如下： A、在0℃至50℃范围内，每个温度值对应唯一的光合作用产氧速率，符合函数定义，故A正确，不符合题意； B、观察图象中代表呼吸作用耗氧速率的曲线，其走势是先上升后下降，因此，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小，故B正确，不符合题意； C、观察图象发现，在大约7.5℃和41℃时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相等，在5℃～7.5℃和41℃～50℃时，草莓呼吸作用耗氧速率曲线在光合作用产氧速率曲线上方，此时植物不生长，因此为了避免植物无法生长，可以将温度设定在7.5℃～40℃之间，故C错误，符合题意； D、最适合草莓的生长温度是光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差值最大时对应的温度，观察图象，两条曲线之间的垂直距离在温度大约为35℃时达到最大，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（　　） A．若图象经过点（0，1），则a＜0 B．若x时，则y随x的增大而增大 C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2 D．若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则m＜2 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0， 若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am， ∵a＜0，1＜m＜2， ∴﹣1＜a，故选项A错误； ∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），a＜0， ∴该函数的对称轴为直线x， ∴0， ∴当x时，y随x的增大而增大，故选项B错误； ∴若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2，故选项C正确； ∴若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2， ∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0）， ∴0， 解得1＜m，故选项D错误； 故选：C． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是射线BC上一动点，连接AP并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PA′，连接AA′，取AA′的中点Q，再连接PQ，A′C，CQ，DQ．则下列说法正确的是（　　） A．DQ的最小值为2 B．CQ+DQ的最小值为 C．A′C的最小值为 D．PQ+DQ的最小值为 【答案】B 【解答】解：如图，连接BQ，过D作DQ′⊥BQ交BQ的延长线于Q′，BQ′与AD交于点E， 在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°， ∵∠APA′＝90°，AP＝A′P，Q为AA′的中点， ∴∠AOP＝90°＝∠ABP，∠PAO＝∠APO＝45°， ∴A，B，P，Q四点在同一个圆上， ∴∠QBP＝∠OAP＝45°， ∴点Q在射线QE上， ∴当点Q运动到Q′时，此时DQ最短， 如图，当Q，E重合，A′，D重合时， 此时四边形ABPE是正方形，则AB＝AE＝2，∠ABE＝∠AEB＝45°＝∠DEQ′， ∴DE＝AD﹣AE＝2， ∴， ∴当Q，Q′重合时，DQ的最小值为， ∴A选项错误． 如图所示，作点D关于直线BQ的对称点D′，连接D′Q，则DQ＝D′Q， 当C，Q，D′三点共线时，此时CQ+DQ＝CD′最小． 延长CD交BQ于点F，则△DEF为等腰直角三角形， 即DF＝DE＝2， 连接D′F，则D′F＝DF＝2， ∴，所以B选项正确． 如图，过A′作A′H⊥BC于H，取BC的中点M，则BM＝CM＝2， ∵将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PA′， ∴PA＝PA′，∠APA′＝90°， ∵∠APB+∠BAP＝∠APB+∠A′PH＝90°， ∴∠BAP＝∠A′PH， 又∠ABP＝∠A′HP＝90°， 在△ABP与△PHA′中， ， ∴△ABP≌△PHA′（AAS）， ∴PH＝AB＝2，BP＝A′H， ∴BM﹣PM＝PH﹣PM， ∴BP＝MH， ∴MH＝A′H， ∴△A′MH是等腰直角三角形， ∴∠A′MH＝45°， 又∵CD＝CM＝2，∠MCD＝90°， ∴∠CMD＝45°， ∴M，A′，D共线， ∴， ∴A′在射线MD上运动， ∴当CA′⊥MD时，CA′最小， ∴， ∴A′C的最小值为， ∴C选项错误． ∵△AA′P为等腰直角三角形，Q为AA′的中点， ∴PQ＝AQ， ∵要使PQ+DQ取得最小，即AQ+DQ最小， 如图，当Q移动到AD上时，AQ+DQ的值最小，最小值为AD＝4． 即PQ+DQ的最小值为4， ∴D选项错误， 故选：B． 4．正方形ABCD，AB＝4cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发，以的速度沿OC、边CB向终点B运动；动点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．当t＝1s时，点P，Q的位置如图所示．有下列结论：①当t＝3s时，△CPQ的面积为；②在运动过程中，△CPQ的面积随t值的增大而增大；③在运动过程中，t有两个不同的值满足△CPQ的面积为，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：①动点P从点O出发，以的速度沿OC、边CB向终点B运动；动点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． 由题意可得：； 当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示： 此时，CQ＝3cm， ∴，故此序号正确； ②由题意知，t＝4s时，点Q到达终点D，此时点P在CB上距离C处，并停止运动； ∴两动点的运动时间为0＜t≤4s； 当0＜t≤2s时，点P，Q的位置如图所示： 此时，，CQ＝tcm， 过点P作PE⊥CD交CD于点E，则有△PEC为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当1＜t≤2时，△CPQ的面积随t值的增大而减小；故此序号错误； ③由②知，当0＜t≤2s时，令， 解得：； 当2＜t≤4时，点P，Q的位置如图所示： 此时，CQ＝tcm， ∴， 令， 化简得：， 解得：（负值舍去）； 综上，t有三个不同的值满足△CPQ的面积为；故此序号错误． 故选：B． 5．如图1，△ABC中，动点P从B点出发向点C运动，连接AP，设BP的长为x，AP的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则△ABC的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵当AP⊥BC时，AP取最小值，即AP＝BP＝1， 当点P与点C 重合时AP取最大值，即AC＝2， 作AP⊥BC如图， ∵，， ∴． 故选：A． 6．如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（　　） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当﹣2＜x＜﹣1时，﹣a＜y＜﹣b 【答案】D 【解答】解：选项A假如点（m，n）在函数的图象上，则， 当x＝﹣m时，，说明函数是奇函数，图象关于原点对称，不是关于y轴对称， 故此选项错误，不符合题意； 选项B中观察x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减少，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意； 选项C，x＞0时，y＞1；x＜0时，y＜﹣1，所以y永远不会等于0．函数值y没有最小值为0的，故此选项错误，不符合题意； 选项D，当1＜x＜2时，b＜y＜a， ∵该函数图象关于原点对称， ∴当﹣2＜x＜﹣1时，﹣a＜y＜﹣b， 故此选项正确， 故选：D． 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 t … y＝ax2+bx+c … m p 3 p n … 其中m，n，p为常数，且m＞p．有下列四个结论： ①ac＜0；②0和1是方程ax2+bx+c﹣3＝0的两个根；③；④若t＞3，则m＜n． 其中正确的结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵x＝﹣1和x＝2时，y值都为p， ∴二次函数对称轴为直线， 由对称轴公式，得b＝﹣a． ∵x＝1时y＝3，代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝3，将b＝﹣a代入得c＝3． ∵m﹣p＝（4a﹣2b+c）﹣（a﹣b+c）＝3a﹣b＝4a，且m＞p， ∴4a＞0，得a＞0． ①判断：∵a＞0，c＝3＞0，∴ac＞0，故①错误． ②判断：方程ax2+bx+c﹣3＝0即ax2+bx+c＝3，已知x＝1是方程的一个根，设另一根为x0，由对称性得，解得x0＝0，故0和1是方程的两个根，②正确． ③判断：开口向上的二次函数，最小值在处取得，最小值为， ∴，整理得，代入b＝﹣a得，即，t是x的取值，故，③正确． ④判断：x＝﹣2关于对称轴的对称点为x＝3，∴x＝3时y＝m，∵a＞0，对称轴右侧y随x增大而增大，若t＞3，则n＝y（t）＞y（3）＝m，即m＜n，④正确． 综上，正确结论共3个， 故选：C． 8．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的几组对应值如下表：则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） x … ﹣4 ﹣2 0 1 3 … y … ﹣21 ﹣5 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当x＞3时，y的值随x值的增大而增大 C．图象不经过第四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【答案】D 【解答】解：由表格可知，当x＝0时，y＝3， ∴c＝3， 由条件可得： ， 整理得， 解得， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵a＝﹣1＜0， ∴图象开口向下，选项A错误，不符合题意； ∵配方后可得图象的对称轴是直线x＝1， ∴选项D正确，符合题意； ∵a＜0，对称轴为x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，因此当x＞3时，y随x增大而减小，选项B错误，不符合题意； 令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，即二次函数与x轴交于（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于（0，3），顶点为（1，4），开口向下，因此图象经过第一、二、三、四象限，选项C错误，不符合题意； 故选：D． 9．如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴， 则弧BF的长为，即圆锥底面周长为， 设圆锥底面半径为r，则， ∴， ∴圆锥底面半径为， 故选：B． 10．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）图象经过A（0，4）、B（20，3）两点，h的值在下列数字中可能为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解答】解：设点A关于抛物线对称轴的点A′坐标为（m，4），则h， ∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴m＜20， ∴h10， 故选：A． 11．如图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的，圆B中的阴影部分面积占圆B面积的，圆C中的阴影部分面积占圆C面积的，则圆A、圆B、圆C的面积之比为（　　） A．20：15：1 B．20：13：5 C．18：12：1 D．18：13：5 【答案】A 【解答】解：由题知， 设圆A与圆B的公共部分的面积为a，圆A与圆C的公共部分的面积为b， 因为圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的， 所以． 又因为圆A中的阴影部分面积占圆A面积的， 所以SA＝6（a+b）， 则． 因为圆C中的阴影部分面积占圆C面积的，圆B中的阴影部分面积占圆B面积的， 所以， 则， 整理得，SB＝15SC， 所以， 所以SA：SB：SC＝20SC：15SC：SC＝20：15：1． 故选：A． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8．将△ABC绕点B旋转得到△DBE，分别取AD，BC的中点P，Q，则PQ的最大值是（　　） A．1 B． C．15 D．16 【答案】D 【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OP，OQ， ∵Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8， ∴． 由题意可得：AB＝BD＝17． ∵线段OQ为Rt△ABC的中位线，线段OP为△ABD的中位线， ∴，， ∴OP﹣OQ≤PQ≤OP+OQ， ∴PQ的最小值为，PQ的最大值为． 故选：D． 13．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，点E为边BC的中点，点F为边AB上的一动点，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转60°，得到EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：取AB的中点Q，连接QE，连接QG，如图， ∵菱形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点， ∴BQ＝BE＝1， ∵∠B＝60°， ∴△BEQ为等边三角形， ∴∠BEQ＝60°，EQ＝BE， ∵EF绕点E顺时针旋转60°得到EG， ∴EF＝EG，∠FEG＝60°， ∴∠BEG+∠QEF＝∠FEG+∠QEF， 即∠BEF＝∠QEG， 在△BEF和△QEG中， ， ∴△BEF≌△QEG（SAS）， ∴∠B＝∠GQE＝60°， ∴∠GQE＝∠BEQ， ∴QG∥BC， 即点G在过AB的中点Q且与BC平行的定直线上， 过Q点作QM⊥BC于M，CH⊥QG于H点，如图， 在Rt△BQM中，∵∠B＝60°， ∴BMBQ， ∴QMBM， ∴CH， ∴CG的最小值为． 故选：B． 14．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠CDB＝90°，对角线AC，BD交于点E，若AB＝AC，AE＝2EC，且CD＝1，则AB的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：设CE＝x，则AE＝2x，AB＝AC＝3x， ∵∠BAC＝90°， ∴由勾股定理得， ∵∠BAC＝∠CDB＝90°，∠AEB＝∠CED， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∴， 故选：A． 15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＜0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≤a+b；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：由图象可知，a＜0，c＞0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵b＝﹣2a＞0， ∴2a+b＝0，故②错误； ∵当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0， 又b＝﹣2a， ∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y有最大值a+b+c ∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≤a+b+c，即m（am+b）≤a+b，故④正确； 对于方程的解，即为的交点的横坐标， 如图所示，方程有两个同号的实数根，故⑤错误． 故选：D． 二．填空题（共15小题） 16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°，若点D是BC边上的“豫点”，则线段CD的长为　或2　 ． 【答案】或2． 【解答】解：如图△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝3，BC＝7，∠C＝45°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C＝45°， ∴∠CAE＝∠C， ∴CE＝AE＝3， 设CD＝x（0＜x＜7）， ∴BD＝BC﹣BD＝7﹣x，BE＝BC﹣CE＝4， ①如图1，当点D在BE上时，则3＜x＜7， ∴DE＝CD﹣CE＝x﹣3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝32+（x﹣3）2＝18﹣6x+x2， ∵点D是BC边上的“豫点”， ∴AD2＝BD•CD＝x（7﹣x）＝7x﹣x2， ∴7x﹣x2＝18﹣6x+x2， 解得：或x＝2＜3（不合题意，舍去）， ∴此时； ②如图2，当点D与点E重合时，则x＝3， ∴AD2＝AE2＝9，BD•CD＝BE•CE＝12， ∴AD2≠BD•CD，这与点D是BC边上的“豫点”矛盾，则x＝3的情形不存在； ③如图3，当点D在CE上时，则0＜x＜3， ∴DE＝CE﹣CD＝3﹣x， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝32+（3﹣x）2＝18﹣6x+x2， ∵点D是BC边上的“豫点”， ∴AD2＝BD•CD＝x（7﹣x）＝7x﹣x2， ∴7x﹣x2＝18﹣6x+x2， 解得：x＝2或（不合题意，舍去）， ∴此时CD＝2； 综上所述，线段CD的长为或2． 故答案为：或2． 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是射线AD上一点，F是射线BC上一点，且BF＝4AE，连接AF，BE交于点G，连接CG，当BG+CG的值最小时，△ABG的面积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点G作GP⊥AB，过点G作GN⊥BC，延长NG交AD于点M， 则∠MNB＝∠BPG＝∠APG＝90°， 在矩形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴四边形ABNM，PBNG是矩形， ∴BP＝GN，∠AMN＝90°，MN＝AB＝5， ∵AD∥BC， ∴△AGE∽△FGB， ∵BF＝4AE， ∴， ∴MG+GN＝NM＝5， ∴， 解得MG＝1， ∴GN＝MN﹣MG＝BP＝4， 作点B关于点P的对称点B′，连接B′G， ∴BP＝B′P＝4，B′G＝BG， ∴BB′＝8， ∵BG+GC＝B′G+GC≥B′C， ∴当点B′，G，C三点共线时，BG+CG的值最小，此时最小值为B′C， ∵PG∥BC， ∴△PB′G∽△BB′C， ∴， ∴PG＝3， ∴． 故答案为：． 18．我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成m×n，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数A为“和九数”，并把数A分解成A＝m×n的过程，称为“和九分解”．例如：因为1188＝33×36，33和36的十位数字相同，个位数字之和为9，所以1188是“和九数”，1188分解成1188＝33×36的过程就是“和九分解”．按照这个规定，最大的“和九数”是　8928　 ．把一个“和九数”A进行“和九分解”，即A＝m×n，若F（A）＝m+n+1，G（A）＝|m﹣n|，令，若H（A）能被3整除，则满足条件的自然数A的最大值为　5544　 ． 【答案】8928，5544． 【解答】解：设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，其中1≤y≤9，1≤x≤8，x，y均为整数，根据定义可得n的个位数字为9﹣x， 因此m＝10y+x，n＝10y+9﹣x， 要使A＝m×n最大，需y取最大值9，即y＝9， 则A＝（90+x）（99﹣x）＝﹣x2+9x+8910＝﹣（x﹣4.5）2+8930.25， 当x＝3或x＝6时，A＝93×96＝8928，个位不为0，符合要求， 当x＝4或x＝5时，A取得最大值8930，此时A的个位数字为0，不符合要求， 因此最大的“和九数”为8928； ∵F（A）＝m+n+1＝（10y+x）+（10y+9﹣x）+1＝20y+10＝10（2y+1），G（A）＝|m﹣n|＝|（10y+x）﹣（10y+9﹣x）|＝|2x﹣9|， ∴， ∵H（A）能被3整除，10与3互质， ∴为整数， 要使A最大，从最大的y开始验证： 当y＝7时，2y+1＝15，此时，要使该式为整数，则|2x﹣9|＝1或|2x﹣9|＝5， 当y＝8时，2y+1＝17，17为质数，不存在x使为整数，不符合题意； 当y＝9时，2y+1＝19，19为质数，不存在x使为整数，不符合题意； 若|2x﹣9|＝1，得x＝4或x＝5，此时A＝74×75＝5550，个位为0，不符合要求， 若|2x﹣9|＝5，得x＝2或x＝7，此时A＝72×77＝5544，个位不为0，符合要求． 19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，点A，B均在格点上，且∠ABC＝90°． （Ⅰ）线段AB的长等于 　　 ； （Ⅱ）若D为圆与网格线的交点，P为边AC上的动点，当DP+PB取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　取点B所在竖向格线与圆的交点H，连接DH交AC于点O，则∠ABC＝∠DBH＝90°，点O为圆心，取AB与中间竖向格线的交点E，取AC与竖向格线的交点F，作直线FE交竖向格线的交点G，连接BG交圆于点I，过点I作直径IB'，连接DB'交直径AC于点P，点P即为所作　 ． 【答案】；取点B所在竖向格线与圆的交点H，连接DH交AC于点O，则∠ABC＝∠DBH＝90°，点O为圆心，取AB与中间竖向格线的交点E，取AC与竖向格线的交点F，作直线FE交竖向格线的交点G，连接BG交圆于点I，过点I作直径IB'，连接DB'交直径AC于点P，点P即为所作 【解答】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图，点P即为所作， 由作图知FE＝GE，AE＝BE，∠AEF＝∠BEG， ∴△AEF≌△BEG（SAS）， ∴∠FAE＝∠EBG， ∴AC∥BG， ∵IB'为直径， ∴∠IBB'＝90°， ∴BB'⊥AC， 由垂径定理知B和B'关于直径AC对称， ∴PB'＝PB， ∴DP+PB＝DP+PB'＝DB'， ∴点P即为所作． 故答案为：取点B所在竖向格线与圆的交点H，连接DH交AC于点O，则∠ABC＝∠DBH＝90°，点O为圆心，取AB与中间竖向格线的交点E，取AC与竖向格线的交点F，作直线FE交竖向格线的交点G，连接BG交圆于点I，过点I作直径IB'，连接DB'交直径AC于点P，点P即为所作． 20．如图，矩形ABCD中，点A（﹣2，0），B（4，0），C（4，5），点P为x轴上一个动点，以CP为对称轴将△CPB折叠得到△CPQ，点B的对应点为点Q，当点Q落在y轴上时，点P的坐标为　（﹣6，0）或　 ． 【答案】（﹣6，0）或． 【解答】解：∵以CP为对称轴将△CPB折叠得到△CPQ，点B的对应点为点Q，B（4，0），C（4，5）， ∴CQ＝CB＝5，PQ＝PB， 设P（p，0），Q（0，q）， ∴， 解得：q＝2或q＝8， ∴Q（0，2）或Q（0，8）， 当Q（0，2）时，由PQ＝PB得， p2+22＝（p﹣4）2， 解得：， 当Q（0，8）时，由PQ＝PB得， p2+82＝（p﹣4）2， 解得：p＝﹣6， 综上，点P的坐标为（﹣6，0）或， 故答案为：（﹣6，0）或． 21．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，BC＝3，点E为边AB上的动点，点F为边BC上的动点，将△BEF沿EF折叠，使得点B的对应点B′落在线段DA的延长线上，当△AB′E为直角三角形时，BE的长为 　1或　 ． 【答案】1或． 【解答】解：由折叠的性质，得B'E＝BE． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝3，AD∥BC． 分两种情况讨论： ①当∠AB'E＝90°时，如解图所示． ∵AD∥BC． ∴∠B'AB＝∠ABC＝30°． ∴AE＝2B'E． ∴AE＝2BE． 又∵BE十AE＝AB＝3， ∴BE+2BE＝3， 解得BE＝1； ②当∠AEB′＝90°时，如解图所示． ∵AD∥BC． ∴∠B'AB＝∠ABC＝30° ∴AEB'E． ∴AEBE． 又∵BE+AE＝AB＝3， ∴BEBE＝3， 解得BE 综上所述，BE的长为1或． 22．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°．AC与BD交于点E，且DE＝8，BE＝4，四边形ABCD的面积为　72　 ． 【答案】72． 【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M，延长BC，作DN⊥BC于点N，如图所示： 则∠AMD＝∠DMB＝∠DNC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形BMDN为矩形， ∴DM∥BN，∠MDN＝90°，DM＝BN，DN＝BM， ∵∠BAD＝60°， ∴∠ADM＝30°， ∴AD＝2AM， ∵∠ADC＝∠MDN＝90°， ∴∠ADM+∠MDC＝∠MDC+∠CDN＝90°， ∴∠CDN＝∠ADM＝30°， ∴CD＝2CN， 设AM＝a，CN＝b，则AD＝2a，CD＝2b， 在直角三角形ADM中，由勾股定理得：， 在直角三角形CDN中，由勾股定理得：， ∴，， ∴，， ∵DE＝8，BE＝4， ∴BD＝4+8＝12， 在Rt△BDN中，由勾股定理得：DN2+BN2＝BD2， ∴， ∴a2+b2＝48， ∵DM∥BN， ∴△DEF∽△BEC，△AMF∽△ABC， ∴，， ∴，， 解得：，， ∵DF+MF＝DM， ∴， 解得：a＝b或a＝﹣b（不合题意，舍去）， 将a＝b代入a2+b2＝48得：2a2＝48， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴，， ，， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD ＝72， 故答案为：72． 23．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、Q分别是边AD、BC上的动点，且PQ⊥BE交BE于点F，则BP+QE的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过P作PM⊥BC于点M，将正方形ABCD沿BC翻折，得到正方形BCHG，连接GM，过点Q作QN∥MG交GH于点N， ∴∠PMB＝∠PMQ＝90°， ∵四边形ABCD，四边形BCHG是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠GBC＝∠H＝90°，BC∥GH，AB＝CD＝BC＝CH＝BG＝2， ∴四边形MGNQ是平行四边形，∠A＝∠ABC＝∠PMB＝90°， ∴MG＝QN，MQ＝GN，四边形ABMP是矩形， ∴AB＝PM＝BC，AP＝BM， 在△ABP和△BGM中， ， ∴△ABP≌△BGM（SAS）， ∴BP＝MG＝QN， ∵PQ⊥BE， ∴∠BFQ＝90°， ∴∠MPQ+∠PQM＝90°＝∠EBC+∠PQM， ∴∠MPQ＝∠CBE， 在△MPQ和△CBE中， ， ∴△MPQ≌△CBE（ASA）， ∴MQ＝CE＝GN， ∵E是CD的中点， ∴， ∴MQ＝CE＝GN＝1， ∴NH＝GH﹣GN＝2﹣1＝1， ∵BP+QE＝NQ+QE， ∴要使BP+QE有最小值，则NQ+QE有最小值，则当N、Q、E三点共线时，为线段NE的长， ∵EH＝EC+CH＝1+2＝3， ∴， ∴BP+QE的最小值为． 24．如图，正方形ABCD边长为4，E为边AD上一点，连接对角线BD，过点E作EF⊥AD交BD于点F，连接BE，取BE的中点为G，则GF的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，延长FG，交AB于点H，取AB的中点N，连接NG， ∵EF⊥AD， ∴∠AEF＝∠DEF＝90°， ∴∠AEF＝∠A＝90°， ∴∠AEF+∠A＝180°， ∴AB∥EF， ∴∠GBH＝∠GEF， ∵BE的中点为点G， ∴BG＝EG， 又∵∠HGB＝∠FGE， ∴△HGB≌△FGE（ASA）， ∴GF＝GH，EF＝BH， ∵AB的中点为点N，BE的中点为点G， ∴，NG∥AE， ∴∠HNG＝180°﹣∠A＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDF＝45°， ∴△DFE为等腰直角三角形， ∴DE＝EF， ∴DE＝EF＝BH， 设DE＝x，则BH＝x，AE＝4﹣x，，NH＝|2﹣x|，GH2＝y， ∴， ∴， 当时，y取得最小值，即GH的最小值为， ∴GF的最小值为， 故答案为：． 25．用电阻值分别为R1、R2、R3、R4（R1＞R2＞R3＞R4）的电阻组装成一个如图的组件，要使该组件总电阻值最小，则？处应该安装的电阻的阻值为R3 ． 【答案】R3． 【解答】解：∵电阻越并越小，越串越大， ∴电阻较大的R1和R2应放在并联电阻处， ∵最小电阻优化关键支路， ∴电阻最小的R4应该放在最下面， ∴应将电阻 R3 放在？处，． 故答案为：R3． 26．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AC交l于点O． ∵直线l将▱ABCD的面积平分，AC为▱ABCD的对角线， ∴O为AC的中点，为平行四边形的中心． ∴OA＝OC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠NAO＝∠MCO，． 又∠AON＝∠COM， ∴△AON≌△COM（ASA）． ∴AN＝CM． ∴． 又ED＝2，AD＝4，AB＝3， ∴． ∴CM． 故答案为：． 27．已知反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点，过点C作AB∥y轴分别交两个图象于点A，B．连接OA，OB，若，则k的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：已知反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点， ∵，AB∥y轴， ∴， 解得 ∴， 解得k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 28．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过▱ABCD的顶点B，AB交y轴于点E，AB∥x轴，F为CD边上一点，AE：CF：DF＝1：2：3，连结FA并延长交x轴于点G，连结DG． （1）设△ADF的面积S1，四边形ABCF的面积为S2，则S1：S2的值为 　　 ； （2）当△ADG的面积为3时，k的值为 　8　 ． 【答案】（1）；（2）8． 【解答】解：（1）设：每一份为a， ∵AE：CF：DF＝1：2：3， ∴AE＝a，CF＝2a，DF＝3a， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5a， 设AB和CD之间的距离为h， ∴S1，S2（2a+5a）•h， ∴S1：S2； 故答案为：． （2）如图，设点D到GF的距离为h1，点B到AF的距离为h2， 连接BF、GE、GB、OB， ∵DF＝3a，AB＝5a， ∴S△ADF：S△ABF＝3：5，即h1：h2＝3：5， ∴S△AGD：S△AGB＝3：5， ∵S△AGD＝3， ∴S△AGB＝5， ∵AE：BE＝1：4， ∴S△BEG＝4， ∴S△BEO＝4， ∴8， ∴k＝±8． ∵反比例函数在一、三象限， ∴k＝8． 故答案为：8． 29．如图，四边形AOBC的边OA与y轴的正半轴重合，BC垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形AOBC的对角线AB，OC的交点D． （1）若D（4，3），则sin∠BOC＝　　 ； （2）若的面积为2，则k的值为 　　 ． 【答案】； ． 【解答】解：（1）作DE⊥OB于点E，如图所示： ∵D（4，3）， ∴DE＝3，OE＝4， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵BC⊥x轴， ∴BC∥OA， ∴△CDB∽△ODA， ∴， ∴，． ∵△BCD的面积为2， ∴， ∴S△BDO＝3， ∴S△OBC＝2+3＝5， ∵DE⊥OB，CB⊥x轴， ∴DE∥BC， ∴△ODE∽△OCB， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 30．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是边AC上的点，E为BD的中点．若AC＝2，∠DEC＝45°．则： （1）CE的长为　2　 ； （2）的值为　　 ． 【答案】（1）2； （2）． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， 由勾股定理得： ， 又∵∠DEC＝45°， ∴∠DEC＝∠ACB， ∵∠EDC＝∠CDB， ∴△DEC∽△DCB， ∴， ∵点E为BD的中点， ∴设DE＝x，则BD＝2x， ∴CD2＝BD•DE＝2x2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）由（1）可得，BD＝2x，， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+AB2＝BD2， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共15小题） 31．【综合与实践】 【问题背景】 在矩形ABCD中，E是射线BC上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为F，射线BF交射线DC于点G，且． 【观察猜想】 （1）如图1，当n＝1，且点E在BC延长线上时： ①CG与CE的数量关系为CG＝CE ； ②若F是DE中点，则∠E的度数是　67.5°　 ． 【类比探究】 （2）如图2，当，且点E在BC延长线上时，请根据题意补全图形（无需尺规作图）；并通过计算判断（1）中的两个结论是否仍然成立． 【拓展应用】 （3）若，当DG＝2CG时，直接写出BE的长． 【答案】（1）①CG＝CE；②67.5°； （2）补全图形如图： （1）中的两个结论不成立，理由如下： ∵矩形ABCD中，， ∴， 设AB＝CD＝x，则， ∵BF⊥DE， ∴∠BCG＝∠DCE＝∠BFE＝90°， ∴∠CBG＝90°﹣∠E＝∠CDE， ∴△CBG∽△CDE， ∴， ∴； 连接BD， ∵， ∴， ∴∠DBC＝30°， ∵BF⊥DE，点F是DE中点， ∴BF是线段DE的垂直平分线， ∴BD＝BE， ∴； （3）或2． 【解答】解：（1）①∵矩形ABCD中，， ∴BC＝AB， ∴四边形ABCD是正方形， ∵BF⊥DE， ∴∠BCG＝∠DCE＝∠BFE＝90°， ∴∠CBG＝90°﹣∠E＝∠CDE， ∵BC＝CD， ∴△CBG≌△CDE（ASA）， ∴CG＝CE， 故答案为：CG＝CE； ②连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝45°， ∵BF⊥DE，点F是DE中点， ∴BF是线段DE的垂直平分线， ∴BD＝BE， ∴， 故答案为：67.5°； （2）补全图形如图： （1）中的两个结论不成立，理由如下： ∵矩形ABCD中，， ∴， 设AB＝CD＝x，则， ∵BF⊥DE， ∴∠BCG＝∠DCE＝∠BFE＝90°， ∴∠CBG＝90°﹣∠E＝∠CDE， ∴△CBG∽△CDE， ∴， ∴； 连接BD， ∵， ∴， ∴∠DBC＝30°， ∵BF⊥DE，点F是DE中点， ∴BF是线段DE的垂直平分线， ∴BD＝BE， ∴； （3）∵矩形ABCD中，，BC＝3， ∴，即， 当点G在线段DC上时， ∵DG＝2CG， ∴， 由（2）得△CBG∽△CDE， ∴， ∴， ∴； 当点G在射线DC上时， ∵DG＝2CG， ∴， 由（2）得△CBG∽△CDE， ∴， ∴， ∴BE＝BC+CE＝3﹣1＝2； 综上所述，或2． 32．问题提出 （1）如图①，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最小值为 　2　 ； 问题探究 （2）如图②，P是正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝6，求AP的最小值； 问题解决 （3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝3千米，千米，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD区域的面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△APD的最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）为；（3）在四边形ABCD内存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD的面积最小．若存在，点P的位置如图所示，△APD的最小面积为2736．理由见解析． 【解答】解：（1）过点O作OQ⊥m，交⊙O于点P，如图， 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径OP不变， 可知此时PQ最小，最小值为7﹣5＝2， 故答案为2； （2）∵BC＝6是定值，∠BPC＝90°， ∴点P的轨迹在以BC为直径的圆O上部分，如图， 连接AO，交圆O于点P，此时的AP即为AP的最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°， ∵BO＝OP＝3BC＝3， ∴， ∴AP′＝AO﹣OP′＝33． ∴AP的最小值为33． （3）在四边形ABCD内存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD的面积最小．若存在，点P的位置如图所示，△APD的最小面积为2736．理由： ∵ 千米，是定值，∠BPC＝120°， ∴点P的轨迹为以BC为弦，圆周角∠BPC＝120°的圆O上部分， 即以BC为边向下作等边△BCE，作△BCE的外接圆⊙O，点P轨迹是（不包括B，C）， 连接BO，OC，作OJ⊥BC于J，交AD于K，作AT⊥OK于T，延长OP交AD于H，如图， 当OH⊥AD时，PH的值最小，此时△APD的面积最小， 由题意，∠BOC＝2∠E＝120°， ∴， ∴，BO＝OP＝2JO＝6， ∵∠ABC＝90°，AT⊥OK，OJ⊥BC， ∴四边形ABJT是矩形， ∴∠BAT＝90°，，AB＝TJ＝3， ∵∠DAB＝120°， ∴∠KAT＝30°， ∴．AK＝2KT＝6， ∴OK＝OJ+JT+TK＝9， ∵∠OKH＝90°﹣∠KAT＝60°， ∴， ∴PH＝OH﹣OP6． ∵AB∥|JK∥CD，BJ＝CJ， ∴， ∴AK＝KD＝6， ∴AD＝12， ∴△PAD的面积的最小值． 33．已知抛物线y＝ax2﹣bx﹣3（a≠0）经过点（4，﹣3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2﹣bx﹣3和y＝x2﹣x上（A，B与原点都不重合）． ①若，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； ②当时，若是一个与x2无关的定值，求a与b的值． 【答案】（1）对称轴为直线x＝2； （2）①y1＜y2；②，b＝2． 【解答】解：（1）由条件可得16a﹣4b﹣3＝﹣3， ∴b＝4a， ∴抛物线的对称轴为． （2）①当时，则， 由条件可知． ∵x1＝x2， ∴， ∴，． ∴y1＜y2． ②∵， ∴，即， ∴ax1﹣4a＝2x2﹣2， ∴ax1＝2x2+4a﹣2．即． ∵是一个与x2无关的定值， ∴4a﹣2＝0，即． ∴b＝4a＝2． 34．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． （1）若点C的坐标为（0，3），求该抛物线的顶点坐标； （2）当BC＝AB时，求b的值； （3）若点D（b﹣2，y）为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接DN，BM，当DN+BM的最小值为17时，求b的值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）； （3）b＝6． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．点C的坐标为（0，3），将点A、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx+b+1，则点C（0，b+1）， 当y＝0时，得：x＝﹣1或b+1， ∴点B（b+1，0）， ∵BC＝AB， ∴， 解得：； （3）由（2）知，点B（b+1，0），点C（0，b+1），抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+b+1， 则抛物线的对称轴为：， 当x＝b﹣2时，y＝﹣x2+bx+b+1＝3b﹣3，即点D（b﹣2，3b﹣3）， 作点D关于抛物线对称轴的对称点D′（2，3b﹣3），将点B向右平移MN的长度， 则点， 如图，连接B′N，则四边形MNB′B为平行四边形， ∴BM＝B′N， 连接B′D′交抛物线对称轴于点N′、连接D′N，则DN+BM＝D′N+NB′≥B′D′， 当D′、N、B′共线时（此时N在N′处），上式等式成立，即DN+BM的最小值为：B′D′＝17， 即， 解得：（不合题意，舍去）或6． 35．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到△APQ，点B，C的对应点分别为点P，Q．QP的延长线交BC于点M． （1）试判断BM与PM的数量关系，并证明； （2）当AQ∥BC时，如图2，连接CQ，射线BP交CQ于点N． ①请判断CN与NQ的数量关系，并证明； ②若△ABC的两直角边的比为4：3，请直接写出的值． 【答案】（1）BM＝PM，证明如下： 如图，连接AM， ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到△APQ， ∴AP＝AB，∠APQ＝∠ABC＝90°， ∴∠APM＝90°， 在Rt△ABM和Rt△APM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△APM（HL）， ∴BM＝PM． （2）①CN＝NQ，证明如下： 如图，延长BN，AQ，交于点H， 由（1）已证：BM＝PM， ∴∠MBP＝∠MPB， 由对顶角相等得：∠QPH＝∠MPB， ∴∠QPH＝∠MBP， ∵AQ∥BC， ∴∠H＝∠MBP， ∴∠H＝∠QPH， ∴PQ＝HQ， 由旋转的性质得：PQ＝BC， ∴BC＝HQ， 在△BCN和△HQN中， ， ∴△BCN≌△HQN（AAS）， ∴CN＝NQ． ②的值为或． 【解答】解：（1）BM＝PM，证明如下： 如图，连接AM， ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到△APQ， ∴AP＝AB，∠APQ＝∠ABC＝90°， ∴∠APM＝90°， 在Rt△ABM和Rt△APM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△APM（HL）， ∴BM＝PM． （2）①CN＝NQ，证明如下： 如图，延长BN，AQ，交于点H， 由（1）已证：BM＝PM， ∴∠MBP＝∠MPB， 由对顶角相等得：∠QPH＝∠MPB， ∴∠QPH＝∠MBP， ∵AQ∥BC， ∴∠H＝∠MBP， ∴∠H＝∠QPH， ∴PQ＝HQ， 由旋转的性质得：PQ＝BC， ∴BC＝HQ， 在△BCN和△HQN中， ， ∴△BCN≌△HQN（AAS）， ∴CN＝NQ． ②由题意，设△ABC的两直角边长分别为4k，3k（k＞0）， 则， 由旋转的性质得：AQ＝AC＝5k， 如图，过点C作CD⊥AQ于点D， ∴∠ADC＝90°， ∵AQ∥BC， ∴∠BCD＝90°＝∠ADC＝∠ABC， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD， （Ⅰ）当AB＝4k，BC＝3k时，则CD＝4k，AD＝3k， ∴DQ＝AQ﹣AD＝2k， ∴在Rt△CDQ中，， 由（2）①已证：CN＝NQ， ∴， ∴； （Ⅱ）当AB＝3k，BC＝4k时，则CD＝3k，AD＝4k， ∴DQ＝AQ﹣AD＝k， ∴在Rt△CDQ中，， 由（2）①已证：CN＝NQ， ∴， ∴； 综上，的值为或． 36．综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，当点E落在线段AD上时，连接GD交EF于点H，连接BH，BE，BD． 特例探究 （1）请直接写出线段BE、HE与GD之间的数量关系　　 ； 探索发现 （2）如图2，当点E落在对角线BD上时，连接AF交DG于点P，小明发现AF垂直平分GD，请你证明这个结论； 拓展延伸 （3）在矩形ABCD旋转的过程中，当E，D，F三点在同一条直线上时，连接GD，线段GD与线段AE所在的直线相交于点M．若AB＝3，AD＝5，请直接写出此时AM的长． 【答案】（1）； （2）由旋转可得：AB＝AE，∠BAD＝∠AEF＝90°，AD＝EF， ∴△ABD≌△EAF（SAS）， ∴∠ABD＝∠EAF， ∵AB＝AE， ∴∠ABD＝∠AEB， ∴∠AEB＝∠EAF， ∴AF∥BD， ∴∠ADB＝∠DAF， ∵∠GAF＝90°﹣∠EAF，∠ADB＝90°﹣∠ABD，∠ABD＝∠EAF， ∴∠GAF＝∠ADB， ∴∠GAF＝∠DAF， ∵AG＝AD， ∴AP⊥GD，PD＝PG， 即AF垂直平分GD； （3）或15． 【解答】（1）解：由旋转可得，AG＝AD，AE＝AB，∠GAE＝∠BAD＝90°， ∴△GAD是等腰直角三角形， ∴∠ADG＝45°， 在矩形AEFG中，∠AEH＝90°， ∴∠HED＝90°， ∴△HED是等腰直角三角形， ∴HE＝DE， 在Rt△ABE中，， 在Rt△GAD中，， ∵AD＝AE+DE＝AB+DE， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：由旋转可得：AB＝AE，∠BAD＝∠AEF＝90°，AD＝EF， ∴△ABD≌△EAF（SAS）， ∴∠ABD＝∠EAF， ∵AB＝AE， ∴∠ABD＝∠AEB， ∴∠AEB＝∠EAF， ∴AF∥BD， ∴∠ADB＝∠DAF， ∵∠GAF＝90°﹣∠EAF，∠ADB＝90°﹣∠ABD，∠ABD＝∠EAF， ∴∠GAF＝∠ADB， ∴∠GAF＝∠DAF， ∵AG＝AD， ∴AP⊥GD，PD＝PG， 即AF垂直平分GD； （3）解：由旋转可得：AE＝AB＝3，EF＝BC＝AD＝5， 在矩形AEFG中，∠AEF＝∠EFG＝90°，GF＝AE＝3， ∵E，D，F三点在同一条直线上， ∴∠AED＝90°， ∴， 当点E在D、F之间时，如图所示， ∵E，D，F三点在同一条直线上， ∴AG∥DE， ∴△AGM∽△EDM， ∴， 设AM＝x，则EM＝AE﹣AM＝3﹣x， ∴，解得； 当点D在E、F之间时，如图所示， ∵四边形AEFG是矩形， ∴AG∥ED， ∴△AGM∽△EDM， ∴， 设AM＝x，则EM＝AM﹣AE＝x﹣3， ∴，解得x＝15； 综上，AM的长为或15． 37．问题探究： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线l，再分别过点A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则图中的相似三角形是　△AMC∽△CBN ； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，在点E的运动过程中，求CF的最大值？ （3）问题解决：如图③，某科创园区正在搭建一个沉浸式户外投影秀场，场地为一块五边形的数字艺术画布，经测绘，AE＝AB＝30米，BC＝40米，CD＝12米，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，．为了实现动态光影效果，技术人员在画布的AB、BC边设置了可移动激光点M、N，沿MN虚拟折叠后，点B的虚拟投影点P恰好落在预设光路BQ上，延长NP交AE于F．为了让核心投影区域（四边形AMPF）的视觉效果最佳，需要其面积最大．求此时折痕MN的长度． 【答案】（1）△AMC∽△CBN； （2）CF的最大值为； （3）MN的长度为米． 【解答】（1）解：△AMC∽△CBN，证明如下： ∵∠ACB＝90°，AM⊥l，BN⊥l， ∴∠ACB＝∠AMC＝∠BNC＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝90°， ∴∠MAC＝∠BCN， 又∵∠AMC＝∠BNC＝90°， ∴△AMC∽△CBN． （2）解：同（1）中证明方法，得△ABE∽△ECF， ∴， 令BE＝x，则EC＝BC﹣BE＝8﹣x， ∴， 得， 故当BE＝4时，CF最大，此时， 故CF的最大值为． （3）解：延长AB、FN，相交于点K，如下图所示： 由翻折的性质，可得MP＝MB，PN＝BN，MN⊥BP， ∴∠BMN+∠MBP＝90°，∠MBP+∠PBC＝90°， ∴∠BMN＝∠PBC， ∵， ∴， 令BN＝3a，则BM＝4a， ∴MP＝MB＝4a，PN＝BN＝3a， ∵∠BKN＝∠PKM，∠NBK＝∠KPM＝90°， ∴△BKN∽△PKM， ∴， 令BK＝x＞0，根据勾股定理得， 故上式为， 解得，故， 同理可证△BKM∽△AKF， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 变形得， 故当时，SAMPF最大，为300平方米， 此时BM＝4a＝15米，米， 根据勾股定理得米， 故四边形AMPF面积最大时．求此时折痕MN的长度为米． 38．问题提出 （1）如图1，点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为3，且OA＝5，则点P到点A的最短距离为　2　 ； 问题探究 （2）如图2，在等边△ABC中，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CA方向向终点C和A运动，连接AM和BN交于点P，请判断∠APB的大小是否发生变化，若不变，求出∠APB度数；若改变，请说明理由； 问题解决 （3）如图3所示，有一块四边形公园ABCD，C为儿童游乐区，B、D为公园的出入口，BD为连接出入口的一条主步行道，其中△ABD为花海观赏区，△BCD为休闲娱乐区．已知AB＝AD，AD∥BC．∠BAD＝120°，∠BCD＝90°，米，为了提升游客的观赏体验，现准备在BD、AD上分别修建凉亭M、N，步道AM、BN，并在步道AM、BN的交点处建立观景台P，满足，且儿童游乐区C到观景台P的距离最短． 请问：是否存在满足要求的点P？若存在，求此时CP的长；若不存在，请说明理由．（道路的宽、观景台、儿童游乐区、凉亭及出入口的大小均忽略不计） 【答案】（1）2； （2）不变，∠APB＝120°； （3）存在，最小值为米． 【解答】解：（2）如图1， ∵OP+AP≥OA， ∴AP≥OA﹣OP＝5﹣3＝2， 当点P为线段OA与⊙O的交点时，AP取得最小值，即为2， ∴点P到点A的最短距离为2； （2）∵等边△ABC， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°， 由题意得BM＝CN， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠APN＝∠BAM+∠ABP＝∠CBP+∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴∠APB＝180°﹣∠APN＝120°； （3）存在，理由如下： 过点A作AT⊥BD于点T， ∵AB＝AD，∠BAD＝120°， ∴， ∴， ∴， ∵∠ABM＝∠BDN， ∴△ABM∽△BDN， ∴∠BAM＝∠DBN， ∴∠APN＝∠ABP+∠BAM＝∠ABP+∠DBN＝∠ABD＝30°， ∴∠APB＝150°， 过点B作BD的垂线与DA延长线交于点O， ∴∠BOA＝90°﹣∠ADB＝60°，∠OBA＝90°﹣∠ABD＝60°，∠OAB＝180°﹣∠BAD＝60°， ∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴OA＝AB＝OB＝500米， ∴OD＝OA+AD＝1000米， ∵∠APB＝150°， ∴， ∴点P在劣弧AB上运动， 连接OP，PC，OC， ∵OP+PC≥OC， ∴PC≥OC﹣OP＝OC﹣500， ∴当点O，P，C三点共线，即点P为OC与劣弧AB的交点时，CP取得最小值， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB＝30°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝60°， ∴∠ODC＝∠ADB+∠BDC＝90°，米， ∴米， ∴CP的最小值为米． 39．【问题提出】 （1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线l，在l上任取一点D（不与点A重合）连接BD、CD，则∠BAC　＞　 ∠BDC（填“＞”“＜”或“＝”）； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点，当∠BEC最大时，求cos∠BEC的值； 【问题解决】 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）＞； （2）； （3）（米），30°． 【解答】解：（1）如图①，设DC与⊙O的交点为E，连接BE， ∵， ∴∠BAC＝∠BEC， 又∵∠BEC是△BDE的一个外角， ∴∠BEC＞∠BDC， ∴∠BAC＞∠BDC， 故答案为：＞； （2）根据（1）证明可得当点E是△EBC的外接圆与直线AD的切点时，∠BEC最大， 设△EBC的外接圆圆心为点N，连接EN并延长交BC于点O，则OE⊥AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝∠D＝90°， ∴OE⊥BC， ∴，， ∴四边形ABOE是矩形， ∴AB＝OE＝6， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：EB＝EC2， 过点C作CM⊥EB于点M， ∴， ∴CM， ∴EM， ∴． （3）在OD边上存在一点P，使得∠APB最大；理由如下： 当经过A，B的⊙T与OD相切于点P时，∠APB最大，如图3，连接TA，TB，TP，过点T作TH⊥AB于点H，交OD于点Q， ∴AB（米）； ∴（米）， 又∵∠DOC＝60°， ∴（米），∠OQH＝30°， ∴（米）， 设TA＝TB＝TP＝r米， 又∵TP⊥OD， ∴TQ＝2TP＝2r米， 在直角三角形TPQ中，由勾股定理得：QP米， 在直角三角形ATH中，由勾股定理得：TH米， ∴， 整理，得：0， ∴0， 解得：或（舍去）， ∴米， ∴△TAB是等边三角形， ∴∠ATB＝60°， ∴， ∴600（米）， ∴OP＝OQ﹣QP＝（200）（米）． 40．如图，已知BC是⊙O的直径，A在⊙O上，点D是△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线EG∥AC． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若，BC＝6， ①求AB的长； ②直接写出DF的长度：　　 ． 【答案】（1）证明见解答； （2）①AB的长为4； ②． 【解答】（1）证明：连接OE，交AC于点H，则OE＝OB， ∴∠OEB＝∠CBE， ∵BC是⊙O的直径，点D是△ABC的内心， ∴∠BAC＝90°，∠ABE＝∠CBE， ∴∠OEB＝∠ABE， ∴OE∥AB， ∴∠OHC＝∠BAC＝90°， ∵EG∥AC， ∴∠OEG＝∠OHC＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且EG⊥OE， ∴EG是⊙O的切线． （2）解：①连接CE，则∠BEC＝90°， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴， ∴AE＝CE， ∵BC＝6， ∴OEBC＝3， ∵∠HAE＝∠CBE，∠AHE＝90°， ∴sin∠HAE＝sin∠CBE， ∴HEAE6＝1， ∴HO＝OE﹣HE＝3＝1＝2， ∵OE⊥AC于点H， ∴AH＝CH， ∵BO＝CO， ∴AB＝2HO＝4， ∴AB的长为4． ②作DI⊥AB于点I，则∠AID＝∠BID＝90°， ∵∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∴tan45°＝1， ∴AI＝DI， ∵BE， ∴tan∠ABE＝tan∠CBE， ∴BIDI， ∴AB＝BI+AIDI+DI＝4， ∴DI1， ∵cos∠ABE＝cos∠CBE， ∴BFAB4， ∵sin∠ABE＝sin∠CBE， ∴BDDI（1）， ∴DF＝BF﹣BD（）， 故答案为：． 41．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝8，AC＝6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE． （1）如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE＝2时，则　　 ； （2）如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长； （3）如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长． 【答案】（1）； （2）； （3）或7． 【解答】解：（1）连接CD， ∵在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴AB＝10， ∵点D是AB边上的中点， ∴CD＝BDAB＝5， ∴∠DCB＝∠B， ∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE， ∴∠F＝∠B，EF＝EB＝2， ∵∠CGD＝∠FGE， ∴△CDG∽△FEG， ∴， 故答案为：； （2）∵∠PCD＝∠BCD，∠BCD＝∠B， ∴∠PCD＝∠B， ∵∠CPD＝∠BPC， ∴△CPD∽△BPC， ∴， 设DP＝5k，CP＝8k， ∵CP2＝PD•PB， ∴64k2＝5k（5k+5）， ∴k， ∴PD＝5k， （3）①如图③﹣a，当∠FMD＝90°时， ∵∠F＝∠B，∠FMD＝∠ACB＝90°， ∴△FDM∽△BAC， ∴， ∴， ∴DM＝3， ∴CM＝CD﹣DM＝2， ∵∠ECM＝∠B， ∴∠CME＝∠ACB＝90°， ∴△CEM∽△BAC， ∴， ∴， ∴CE， ∴BE； 如图③b， 当∠FDM＝90°时， ∵∠F＝∠BCD，∠FMD＝∠CME， ∴∠CEM＝∠FDM＝90°， ∴∠FED＝∠BED＝45°， 作DH⊥BC于H， 则△BDH∽△BAC， ∴， ∴， ∴DH＝3，BH＝4， ∴EH＝DH＝3， ∴BE＝3+4＝7． 综上所述，BE或7． 42．在矩形ABCD中，E是边AB上一点，以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形EBFG，使得，连接DG． 【特例发现】 （1）如图1，当k＝1时，　　 ； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形EBFG绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜30°），连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形EBFG在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D，G，F三点共线．若，BE＝3，请直接写出AE的长． 【答案】（1）； （2）； （3）AE的长为． 【解答】解：（1）如图1，延长FG交AD于H， ∵ ，k＝1， ∴， ∴AB＝AD，BE＝EG， ∴四边形ABCD、BFGE是正方形， ∴BG是正方形BFGE的对角线， BD是正方形ABCD的对角线， ∴B、G、D三点共线， AH∥EG∥BF， ∴∠AHG＝∠EGF＝90°， ∠HDG＝45°， ∴AE＝HG，HG＝HD， 在直角三角形DHF中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为：； （2）如图2，四边形ABCD和四边形BEGF都是矩形，连接BD、BG， ∴∠BAD＝∠BEG＝90°， ∵， ∴△BAD∽△BEG， ∴∠ABD＝∠EBG， ∴∠ABE＝∠DBG， ∵，， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， 在直角三角形BEG中，由勾股定理得：， ， ∴△ABE∽△DBG， ∴； （3）AE的长为．理由如下： ∵，BE＝3， ∴设AB＝3a，AD＝4a，EG＝4，则DC＝3a，BC＝4a， 在直角三角形BEG中，由勾股定理得：， ∵∠EGD＝∠EGF＝90°， ∴∠EGB+∠DGC＝90°＝∠DGC+∠CDG， ∴∠EGB＝∠GDC， ∵∠BEG＝∠C＝90°， ∴△BEG∽△GCD， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴，， ∴， 在直角三角形CDG中，由勾股定理得：， ∵∠ABD＝∠EBG， ∴∠ABE＝∠DBG， ∵， ∴△ABE∽△DBG， ∴， ∴． 43．如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． （1）若m＝2，求顶点D的坐标及线段AB的长； （2）连接AC，BC，DC，若∠ACB＝∠BCD，求点C的坐标． 【答案】（1）D的坐标为（2，﹣9），AB＝6； （2）C（0，﹣2）． 【解答】解：（1）当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， 则抛物线顶点D的坐标为（2，﹣9）， 令x2﹣4x﹣5＝0，则x＝﹣1或x＝5， ∴A（﹣1，0），B（5，0）， ∴AB＝6． （2）由题意，得点A，B，C，D的坐标分别为（﹣1，0），（2m+1，0），（0，﹣2m﹣1），（m，﹣m2﹣2m﹣1）， 设直线BC的解析式为y＝k1x﹣2m﹣1，直线CD的解析式为y＝k2x﹣2m﹣1， 则0＝k1（2m+1）﹣2m﹣1，﹣m2﹣2m﹣1＝k2m﹣2m﹣1， 解得：k1＝1，k2＝﹣m， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣2m﹣1，直线CD的解析式为y＝﹣mx﹣2m﹣1， 如图，过点A作AH⊥BC交CD的延长线于点H，垂足为N， ∵， ∴tan∠BAN＝tan∠ABC＝1， 设直线AH的解析式为y＝﹣x+b， 则0＝﹣（﹣1）+b，解得：b＝﹣1， ∴直线AH的解析式为y＝﹣x﹣1， 令x﹣2m﹣1＝﹣x﹣1，解得x＝m， ∴N（m，﹣m﹣1）． ∵∠ACB＝∠BCD，∠ANC＝∠HNC＝90°， ∴△ACN≌△HCN（ASA）， ∴AN＝HN， ∴N是AH的中点， ∴H（2m+1，﹣2m﹣2）． ∵点H在直线DC上， ∴﹣2m﹣2＝﹣m（2m+1）﹣2m﹣1， 解得：m＝﹣1（舍去）或， ∴C（0，﹣2）． 44．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在抛物线y＝x2﹣2bx﹣4上． （1）若A为抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点； （ⅰ）求y1的最大值； （ⅱ）若直线y＝kx（k＞0）经过A，B两点，且OA＝OB．求k的值； （2）已知抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，t），若t＞0，x1＜x2，且，试比较y1，y2的大小，并说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）y1的最大值为﹣4，（ⅱ）k＝4； （2）y1＞y2，理由如下： ∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，t）， ∴（﹣1）2﹣2b×（﹣1）﹣4＝t， ∵t＞0， ∴1+2b﹣4＞0， ∴， ∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的对称轴为直线x＝b， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，且x1、x2的中点，又x1＜x2， ∴x1离对称轴的距离更远 ∴点A到对称轴x＝b的距离大于点B到对称轴x＝b的距离， ∴y1＞y2． 【解答】解：（1）（ⅰ）y＝（x﹣b）2﹣b2﹣4， ∴， ∴， ∴y1的最大值为﹣4； （ⅱ）由（ⅰ）可得：二次函数y＝x2﹣2bx﹣4图象的顶点为A（b，﹣b2﹣4）， 由条件可知点O，A，B三点共线， ∵OA＝OB， ∴A，B关于点O对称， ∴B（﹣b，b2+4）也在抛物线y＝x2﹣2bx﹣4上， ∴（﹣b）2﹣2b•（﹣b）﹣4＝b2+4， 解得b＝±2， ∴点A的坐标为（2，﹣8）或（﹣2，﹣8）， ∵k＞0，且直线y＝kx（k＞0）经过A，B两点， ∴k＝4； （2）y1＞y2，理由如下： ∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，t）， ∴（﹣1）2﹣2b×（﹣1）﹣4＝t， ∴1+2b﹣4＞0， ∴， ∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的对称轴为直线x＝b， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，且x1、x2的中点，又x1＜x2， ∴x1离对称轴的距离更远， ∴点A到对称轴x＝b的距离大于点B到对称轴x＝b的距离， ∴y1＞y2． 45．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B（1，0），C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）当m﹣2≤x≤m+1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形且A，B，Q三点不共线？若存在，求出△ABQ的面积；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）﹣2＜m＜1； （3）存在符合题意的点Q，且△ABQ的面积为或． 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）． 令y＝0，得x＝﹣3， ∴点A的坐标为（﹣3，0）． 设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+3）， 将C（0，4）代入得4＝﹣3a， 解得a， ∴y（x﹣1）（x+3）x2x+4， ∴抛物线的解析式为yx2x+4； （2）∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． ∵当m﹣2≤x≤m+1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小， ∴， 解得﹣2＜m＜1． （3）存在点Q， 设，Q（﹣1，q）， ①当AC为平行四边形的边时， 若四边形APQC是平行四边形，如图1所示． ∵A（﹣3，0），C（0，4）， ∴﹣3﹣1＝0+p， 解得p＝﹣4，则P（﹣4，）， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为（﹣1，）， 又∵AB＝4， ∴此时△ABQ的面积为4． 若四边形AQPC是平行四边形，如图2所示． ∵A（﹣3，0），C（0，4）， ∴﹣3+p＝0﹣1， 解得p＝2，则P（2，）， ∴0＝4+q， 解得q， ∴点Q的坐标为 又∵AB＝4， ∴此时△ABQ的面积为4； ②当AC为平行四边形的对角线时，如图3所示． ∵A（﹣3，0），C（0，4）， ∴﹣3+0＝p﹣1， ∴p＝﹣2， ∴P（﹣2，4）， ∴4+0＝4+q， ∴q＝0， ∴点Q的坐标为（﹣1，0）， 但此时A，B，Q三点共线，不符合题意． 综上所述，存在符合题意的点Q，且△ABQ的面积为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $